微专题12　统计与概率的综合问题讲义——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦统计与概率综合问题，覆盖频率分布直方图应用、回归分析建模、独立性检验等核心考点，按“统计图表—回归分析—独立性检验”逻辑层次展开，通过例题精讲、学霸笔记方法提炼、跟踪训练真题演练，帮助学生构建知识体系与解题思路。 资料以生活实践情境为载体，如物理测试成绩分析、AI模型性能评估等，引导学生用数学眼光提取数据信息，用数学思维构建概率模型，设置分层练习适配不同能力学生，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生数据处理与综合应用能力。

微专题12　统计与概率的综合问题 视角一　统计图表与概率的综合问题 例1 (2026·潍坊模拟)某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计该地区本次物理测试的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？(结果保留整数) (3)从成绩位于区间[80，90)和[90，100]的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在[90，100]的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据． (2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等). (3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断． 　跟踪训练　某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1 000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图象的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． (1)估计这1 000次试验中该AI模型正确识别图象数量的均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用X表示这4次试验中正确识别图象数量不少于20个的次数，求X的分布列和数学期望． 视角二　回归分析与概率的综合问题 例2 (2026·西安模拟)当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡x 1 2 3 4 5 6 平均过关时间y(单位：秒) 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：i＝28.5，iui＝106.05，其中，ui＝ln yi. (1)若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y关于x的经验回归方程； (2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为p，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为f(p)，求f(p)的最大值，并求出相应的概率p0. 参考公式：对于一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程(预测)；②求某随机变量的概率(范围)、均值、方差等． (2)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)作出判断，确定是线性问题还是非线性问题，求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的． (3)明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型． 　跟踪训练　(2026·沧州模拟)粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素．小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用．以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下： 年份 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0 现规定xi表示第i年的年份，yi表示第i年的产量，经计算得i＝68.5，iyi＝206.6，(y－2)＝0.2. (1)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，5)的相关系数(精确到0.01)； (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望． 附：样本相关系数r＝，≈1.414. 视角三　独立性检验与概率综合问题 例3 (2026·深圳模拟)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 (1)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ (2)根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为X，求X的分布列和期望． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：此类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决此类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解． 　跟踪训练　(2026·郑州模拟)已知某市组建了一支300人的志愿者队伍，并由其中200人组成“志愿模范队”．经过一年的实践，全队共有200人的周平均服务时长超过2小时，其中有150人来自“志愿模范队”，如下表所示． 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 150 200 周平均服务时长不超过2小时 总计 200 300 (1)请完成2×2列联表，并根据表中数据回答：根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (2)由于该市志愿者工作成效优异，现向全省推广该市经验，在全省每个市县都成立志愿者队伍，请以该市志愿者队伍的样本频率作为概率的值，在全省的志愿者队伍中任选3人，记周平均服务时长超过2小时且不是“志愿模范队”成员的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附录：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 微专题12　统计与概率的综合问题 例1　解析：(1)由题意10×(0.005＋0.010×2＋0.020＋0.025＋a)＝1，解得a＝0.030， 则平均分＝45×0.005×10＋55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.03×10＋85×0.025×10＋95×0.01×10＝74，所以该地区本次物理测试的平均分为74分． (2)成绩在[90，100]的频率为0.1， 在[80，90)的频率为0.25，在[70，80)的频率为0.3， 因为0.1＋0.25＝0.35，0.1＋0.25＋0.3＝0.65， 所以选报物理方向的最低分x在[70，80)内，则(80－x)×0.03＋0.25＋0.1＝0.6，解得x≈72，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． (3)由题可知，成绩在区间[80，90)的频数为100×0.025×10＝25， 成绩在区间[90，100]的频数为100×0.010×10＝10， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在[80，90)的频数为25×＝5， 成绩在[90，100]的频数为10×＝2， 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 跟踪训练　解析：(1)0.01×10×5＋0.02×10×15＋0.015×10×25＋0.03×10×35＋0.025×10×45＝29，故均值为29. (2)设1次试验中正确识别图象数量不少于20个的概率为p， 则p＝0.015×10＋0.03×10＋0.025×10＝0.7， 则X～B(4，0.7)，X＝0，1，2，3，4， P(X＝0)＝C×0.70×0.34＝0.008 1； P(X＝1)＝C×0.71×0.33＝0.075 6；P(X＝2)＝C×0.72×0.32＝0.264 6； P(X＝3)＝C×0.73×0.31＝0.411 6；P(X＝4)＝C×0.74×0.30＝0.240 1. 列出X的分布列如下 X 0 1 2 3 4 P 0.008 1 0.075 6 0.264 6 0.411 6 0.240 1 E(X)＝4×0.7＝2.8. 例2　解析：(1)因为y＝aebx两边取对数可得ln y＝ln (aebx)＝ln a＋ln ebx，即ln y＝ln a＋bx，令ui＝ln yi，所以u＝bx＋ln a，由＝i＝4.75，＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5， ＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝91. 所以＝＝＝0.36， 又＝＋ln a，即4.75＝0.36×3.5＋ln a，所以ln a＝3.49，所以a＝e3.49. 所以y关于x的经验回归方程为y＝e0.36x＋3.49. (2)甲每局比赛获胜的概率为p，则甲每局比赛失败的概率为1－p， 依题意可得f(p)＝Cp3(1－p)2＝10p3(1－p)2(0<p<1)， 则f′(p)＝10[3p2(1－p)2－2p3(1－p)]＝10p2(1－p)(3－5p)， 所以当0<p<时f′(p)>0，当<p<1时f′(p)<0， 所以f(p)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减， 所以f(p)max＝f()＝10×()3×(1－)2＝，此时p0＝. 跟踪训练　解析：(1)＝i＝3，＝1＋4＋9＋16＋25＝55， 故样本相关系数 ＝＝≈0.78． (2)X的取值可以为0，1，2. 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 例3　解析：(1)零假设为H0：性别因素与锻炼的经常性无关， 因为χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，所以n＝80，a＝10，b＝30，c＝20，d＝20，则ad－bc＝10×20－30×20＝－400，则(ad－bc)2＝160 000， a＋b＝40，c＋d＝40，a＋c＝30，b＋d＝50，所以(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝40×40×30×50＝2 400 000，则χ2＝＝≈5.333， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验为6.635，由χ2≈5.333<6.635， 因此可以认为H0成立，即不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系． (2)经常锻炼的学生为50人(男生30人，女生20人)，按比例抽取5人，其中男生抽取3人，女生抽取2人． 则X的可能取值为0，1，2，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝1.2. 跟踪训练　解析：(1)由题可得如下2×2列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 150 50 200 周平均服务时长不超过2小时 50 50 100 总计 200 100 300 设零假设H0：“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关， 可得χ2＝＝18.75>10.828， 所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为H0不成立， 即认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关． (2)依题意，X的可能取值为0，1，2，3，从全省的志愿者队伍中随机抽取一位志愿者，取到周平均服务时长超过2小时且不是“志愿模范队”成员的志愿者的概率为， 故P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝C××()2＝，P(X＝2)＝C×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P X～B(3，)，则数学期望E(X)＝3×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $