辽宁省2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟卷04

**基本信息** 聚焦高二数学核心内容，融合选择性必修三（数列、不等式）与一轮复习函数模块（指对幂函数、图像、零点），梯度设计兼顾基础巩固与能力提升，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、数列、导数几何意义、函数图像与性质|单选基础（如集合运算、等差求和），多选综合（如数列不动点、函数零点），考查抽象能力与推理意识| |填空题|3题/15分|等差数列、一元二次方程、函数值域|双空设计（如公差与恒成立条件），强化数学语言表达| |解答题|5题/77分|集合关系、数列通项与求和、函数奇偶性与单调性、导数综合应用|第19题导数证明与恒成立问题，体现逻辑推理与创新意识，契合高考命题趋势|

辽宁省2026年高二数学下学期期末模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修三全册，一轮复习指对幂函数、函数图像、函数零点。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．17 B．19 C．25 D．30 【答案】C 【详解】因为为等差数列，故，故， 而，故，故，则公差， 故. 3．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 4．已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像的对称性和特殊点的函数值判断. 【详解】因为,因此 是奇函数，图像关于原点对称， 排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）； 当 时，分子 ，分母 ， 因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B； 取 ，计算 的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8， 选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A； 因此，只有选项 D 符合所有特征. 5．已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：是方程的两根，且， 则，可得，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 6．已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可. 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 7．已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数的图象关于直线对称，进而推得函数也是周期等于的函数，化简得到，结合对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，则有， 再由是定义在上的周期为2的函数， 可得函数也是周期等于2的函数， 所以， 又因为时，是增函数，可得． 8．已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求导，将条件转化为导数在区间上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围． 【详解】由，则， 又在区间上存在单调递增区间， 则存在，使得，即，即成立， 令，，则， 所以在上单调递减，且， 所以要使在上有解，只需， 故的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的有（    ） A．数列的不动点为2和3 B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】A，列出不动点方程求数列的不动点；BCD，根据已知条件证明数列为等比数列，并求出数列通项，进而得到数列的通项，据此判断与3的大小关系. 【详解】A，不动点方程为，即，解得或，故A正确； B，，故数列是首项为，公比的等比数列，故B正确； C，由B项分析可得，整理得，故C错误； D，由C项分析可得，故D正确. 10．已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 11．已知函数的定义域为，若满足，且函数图象关于中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，得到和，结合选项，利用赋值法和累加法，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且函数图象关于中心对称， 所以， 又因为，所以， 取可得， 因为，所以，所以A正确； 对于B，由且，可得，， 累加之后，可得，所以B正确； 对于C，由和，可得周期不是2026，所以C错误； 对于D，由且， 因为函数图象关于中心对称，且， 由，可得， 所以，所以D正确．] 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式，解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 14．已知函数的值域为，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求得时的值域为，结合函数值域为的条件，将问题转化为时的值域需包含. 对对应的函数求导，根据导数与单调性的关系对的取值分类讨论，结合值域包含关系列不等式求解，最终取并集得到的取值范围. 【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为，得函数在上的值域包含， 当时，函数，求导得，而， 当时，，函数在上单调递增，函数值集合为， 而恒成立，则； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 函数值集合为，于是，解得，则， 所以a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：处理分段函数值域为的问题时，先求解单调性明确的分段对应的值域，将问题转化为另一分段的值域需覆盖剩余区间，再结合导数分析函数单调性与最值，分类讨论求解参数范围，最终汇总各分类的结果得到答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 16．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系化简原式求解； （2）错位相减法求前项和 【详解】（1）因为， 所以， 两式相减并整理得， 则， 当时，，则， 所以， 所以数列为首项为的等比数列，故各项均为，则， 所以. （2）由（1）知，， 则， ， 两式相减得 ， 故. 17．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 18．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过偶函数的性质代入化简，求出实数的值，再检验实数是否使为偶函数； （2）对函数表达式进行化简为 ，再使用换元法设，把问题转化为二次函数零点问题求解. 【详解】（1）由于是偶函数， 所以即， 即 化简，得 所以， 要使等式恒成立，则， 经检验，当时，函数 是偶函数. （2）由于 所以， ， 设，则 因为函数在上只有一个零点，那么 由可得 即 上只有一个零点 所以，关于的方程在上只有一个实根，那么 ， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时， 根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根， 则或，即或 故实数的取值范围为. 19．已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)由于，故， 令，由于在上单调递增，则， 则可化为函数， 则，由于，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的极小值也即最小值为， 故，即. (3) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）令，将可化为函数，利用导数求出该函数的最小值，即可证明； （3）将对任意 ，不等式恒成立，化为对任意恒成立，分情况讨论a的取值情况，即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 则，， 故曲线在处的切线方程为， 即． （2）略 （3）由（2）知，对任意 ，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立，分情况讨论： 当时，恒成立，在R上单调递增， 当时，存在t使，不满足条件； 当时，对恒成立，满足条件； 当时，由（2）知的最小值为，令，得， 即， 综上，a的取值范围为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026年高二数学下学期期末模拟卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修三全册，一轮复习指对幂函数、函数图像、函数零点。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．17 B．19 C．25 D．30 3．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知数列满足，，则下列结论正确的有（    ） A．数列的不动点为2和3 B．数列是等比数列 C． D． 10．已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 11．已知函数的定义域为，若满足，且函数图象关于中心对称，则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 14．已知函数的值域为，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 16．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 17．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 18．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 19．已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $