第25章一元二次方程数学活动（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程，核心内容为探究方程公共解条件及黄金分割比推导，通过复习方程解法、根的判别式等旧知引入新课，搭建前后知识联系的学习支架。 导学案以“特例计算—猜想结论—推理证明—归纳总结”引导探究，培养代数推理与归纳能力，结合线段分割建模体现数形结合与数学思维，习题含实际问题与中考题，强化模型意识与应用意识，助力学生自主合作学习，发展数学眼光与核心素养。

第25章一元二次方程 数学活动（导学案） （1）理解两个一元二次方程存在公共解的含义，掌握方程有公共解的判定条件及推理方法；掌握线段黄金分割的定义，能通过列一元二次方程推导黄金分割比，熟记黄金分割近似值，会判断简单的黄金分割线段. （2）经历“特例计算—猜想结论—推理证明—归纳总结”的探究过程，提升代数推理、归纳概括能力；通过线段分割建模解方程的过程，强化数形结合、数学建模的思想方法. （3）在自主探究与合作交流中体验数学探究的乐趣；感受黄金分割的数学美感与实用价值，体会代数与几何的内在统一性，提升数学学习的积极性与审美素养. 重点：探究并掌握两个一元二次方程有公共实数解的条件及推理过程；利用一元二次方程推导黄金分割比，理解黄金分割的定义与核心性质. 难点：从特殊方程的公共解猜想，归纳出任意两个一元二次方程有公共解的一般条件，完成从特殊到一般的代数推理； 准确从线段分割问题中提取等量关系，建立一元二次方程模型，理解黄金分割比的无理数本质及几何意义. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：1.解一元二次方程的基本思想和方法？ 解一元二次方程的基本思想是降次转化为一元一次方程；基本方法：配方法、公式法、因式分解法？ 2.一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系？ 3.列一元二次方程解决实际的通用步骤？ 4.几个一元二次方程有公共解的条件引入活动课题. 【学法指导】 新知自研：自研课本第23页的内容 【学法指导】自研课本P23页内容 （一）活动1探究一元二次方程有公共解的条件 活动①特例感知，初步探究 给出两组具体一元二次方程，让学生独立求解： ① x-3x+2=0 ② x-4x+3=0 追问：公共解x=1满足什么特点？ 活动②探究一元二次方程有公共解的条件 设三个一元二次方程：ax+bx+c=0、bx+cx+a=0、cx+ax+b=0(abc≠0)，若两个方程有公共实数根x=m. 引导学生推理： （二） 活动2神奇的线段分割 活动①你能把任意一条线段分成不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和？ 学生交流讨论： 活动②将一条线段AB分割为AP、PB两段（AP＞PB），若满足较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，这种分割方式有何特殊性？ 建模列方程，自主求解 活动③将一条线段分成不等的三条线段，三条线段为a、b、c，且a>b>c，你能找的a、b、c，使和同时成立吗？ 讨论交流: 【自研自探】 自研课本P23页内容 典型例题 例1.我们可以用一元二次方程知识研究下面关于“减半”矩形的问题，即：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半． (1)阅读探究过程并完成填空； 当已知矩形的边长分别是和时． 设所求矩形的一边长是，则另一边长为， 根据题意，得， 整理，得； ∵， ∴______；______； ∴满足要求的矩形存在； (2)请你继续解决下列问题： 如果已知矩形的边长分别是和，请你仿照上述方法研究是否存在满足要求的矩形； 如果矩形的边长为，，请你研究满足什么条件时，矩形存在？ 第二环节 合作探究 1.讨论一元二次方程有公共解的条件. 2.讨论线段三种分割方法. 拓展提升： 1.综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    1.如图，在矩形中，，点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿边向点运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． (1)若运动时间为秒，则______________，_____________． (2)两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，点与点之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 1．（2025·南充·统考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】： （1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)； ①10      ②24     ③34    ④60 【探究问题】： （2）若可配方成 (m，n为常数)，则的值为_____； （3）已知 (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】： （4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 1. 知识技能:两个一元二次方程的公共解可同时满足两个方程，可通过 ，求解 . 2. 思想方法:（1）特殊到一般：通过具体 ，归纳出 规律.（2）数形结合：将 问题转化为 问题，以代数解几何.（3）数学建模：从实际几何情境中提取 ，建立 解决问题. 3. 易错提醒:（1）探究方程公共解时，忽略 前提，误将 .（2）未根据 的实际意义 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章一元二次方程 数学活动（导学案） （1）理解两个一元二次方程存在公共解的含义，掌握方程有公共解的判定条件及推理方法；掌握线段黄金分割的定义，能通过列一元二次方程推导黄金分割比，熟记黄金分割近似值，会判断简单的黄金分割线段. （2）经历“特例计算—猜想结论—推理证明—归纳总结”的探究过程，提升代数推理、归纳概括能力；通过线段分割建模解方程的过程，强化数形结合、数学建模的思想方法. （3）在自主探究与合作交流中体验数学探究的乐趣；感受黄金分割的数学美感与实用价值，体会代数与几何的内在统一性，提升数学学习的积极性与审美素养. 重点：探究并掌握两个一元二次方程有公共实数解的条件及推理过程；利用一元二次方程推导黄金分割比，理解黄金分割的定义与核心性质. 难点：从特殊方程的公共解猜想，归纳出任意两个一元二次方程有公共解的一般条件，完成从特殊到一般的代数推理； 准确从线段分割问题中提取等量关系，建立一元二次方程模型，理解黄金分割比的无理数本质及几何意义. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：1.解一元二次方程的基本思想和方法？ 解一元二次方程的基本思想是降次转化为一元一次方程；基本方法：配方法、公式法、因式分解法. 2.一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系？ 当时,方程有实数根; 3.列一元二次方程解决实际的通用步骤？ 审题意→巧设元→找等量→列方程→解方程→验实际→写答案. 4.几个一元二次方程有公共解的条件引入活动课题. 【学法指导】 新知自研：自研课本第23页的内容 【学法指导】自研课本P23页内容 （一）活动1探究一元二次方程有公共解的条件 活动①特例感知，初步探究 给出两组具体一元二次方程，让学生独立求解： ① x-3x+2=0 ② x-4x+3=0 学生求解得出：方程①根为，方程②根为， 发现两个方程有公共解x=1. 追问：公共解x=1满足什么特点？ 引导学生总结：公共解同时满足两个方程，代入两个方程等式均成立. 活动②探究一元二次方程有公共解的条件 设三个一元二次方程：ax+bx+c=0、bx+cx+a=0、cx+ax+b=0(abc≠0)，若两个方程有公共实数根x=m. 引导学生推理：将x=m代入两方程，可得 am+bm+c=0，bm+cm+a=0,cm+am+b=0 联立三式，三个方程左右两边分别相加，得(a+b+c)m+(a+b+c)m+(a+b+c)=0 结合方程根及根的判别式，得： 当a+b+c≠0时，方程变形为m+m+1=0，，方程无实数解. 当a+b+c=0时，三个方程有唯一公共解x=1方程有一个解为. 归纳结论：当a+b+c=0时，三个方程ax+bx+c=0、bx+cx+a=0、cx+ax+b=0(abc≠0)有唯一公共解x=1. 当a+b+c≠0时，三个方程ax+bx+c=0、bx+cx+a=0、cx+ax+b=0(abc≠0)无公共解. （二） 活动2神奇的线段分割 活动①你能把任意一条线段分成不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和？ 学生交流讨论：问题可以转化为：设线段总长为1，分成的三条线段为a、b、c，满足a=b+c，且a、b、c互不相等，求a、b、c. 满足条件的线段：①a=b+c，②a+b+c=1， 即较长线段， 活动②将一条线段AB分割为AP、PB两段（AP＞PB），若满足较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，这种分割方式有何特殊性？ 建模列方程，自主求解 设线段AB=1，AP=x，则PB=1-x，根据比例关系列出等式： AP=AB×PB， 整理得一元二次方程：x+x-1=0 学生用公式法解方程，得 . 结合实际，取舍根 根据线段长度为正数的实际意义，舍去负根，得出黄金分割比： 活动③将一条线段分成不等的三条线段，三条线段为a、b、c，且a>b>c，你能找的a、b、c，使和同时成立吗？ 讨论交流: 设线段总长为1，满足①a=b+c,②a+b+c=1，③. ①a=b+c,②a+b+c=1，联立，得a=0.5，b+c=0.5. 代入③，得， 解得，取正值：得. 验证：长度关系：， 倒数关系:, 满足: 【自研自探】 自研课本P23页内容 典型例题 例1.我们可以用一元二次方程知识研究下面关于“减半”矩形的问题，即：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半． (1)阅读探究过程并完成填空； 当已知矩形的边长分别是和时． 设所求矩形的一边长是，则另一边长为， 根据题意，得， 整理，得； ∵， ∴______；______； ∴满足要求的矩形存在； (2)请你继续解决下列问题： 如果已知矩形的边长分别是和，请你仿照上述方法研究是否存在满足要求的矩形； 如果矩形的边长为，，请你研究满足什么条件时，矩形存在？ 【分析】（）利用求根公式即可求出方程的两根； （）仿照（）找准关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形； （）仿照（）找准关于的一元二次方程，由根的判别式，可找出、之间的关系； 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，准确的找到等量关系列方程组，会灵活运用根的判别式在不解方程的情况下判断一元二次方程的解的情况． 【详解】（1）， ∴，， 故答案为：，； （2）①设所求矩形的一边长是x，则另一边长为， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴不存在矩形； ②设所求矩形的一边长是x，则另一边长为， 根据题意，得， 整理，得， 要使矩形存在，此方程需有解，即， 即， 整理，得， ∴当时，矩形存在． 第二环节 合作探究 1.讨论一元二次方程有公共解的条件. 2.讨论线段三种分割方法. 拓展提升： 1.综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    【详解】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （2）将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，    则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．        1.如图，在矩形中，，点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿边向点运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． (1)若运动时间为秒，则______________，_____________． (2)两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，点与点之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可表示、的长； （2）根据梯形的面积公式列方程，即可求解； （3）根据勾股定理列方程解答即可，注意分、两种情况讨论． 此题是一道动态题，有一定的难度，涉及到一元二次方程和勾股定理有关知识，注意分类讨论思想的运用． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； 故答案为：，； （2）解：根据题意，得，， 矩形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是矩形面积的． （3）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为．      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 1．（2025·南充·统考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】： （1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)； ①10      ②24     ③34    ④60 【探究问题】： （2）若可配方成 (m，n为常数)，则的值为_____； （3）已知 (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】： （4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【详解】解：（1），，24和60不能写成的形式， 10和34是“完美数”， 24和60不是“完美数”， 故答案为：①③； （2）， ，， ， 故答案为：； （3）当时，S是“完美数”，理由如下： ， 当时，， ∵a，b是整数， ∴和也是整数， ∴当时，S是“完美数”； （4）解：∵， ∴，                                        ∴原式 ，                                       又∵， ∴， ∵， ∴当时，原式的值随着x的增大而增大， ∴当时，原式取最小值，最小值为：． 1. 知识技能:两个一元二次方程的公共解可同时满足两个方程，可通过联立方程、代入验根判断公共解，求解参数. 2. 思想方法:（1）特殊到一般：通过具体方程特例，归纳出方程公共解的通用判定规律.（2）数形结合：将几何线段比例问题转化为一元二次方程代数问题，以代数解几何.（3）数学建模：从实际几何情境中提取等量关系，建立方程模型解决问题. 3. 易错提醒:（1）探究方程公共解时，忽略实数根前提，误将无实根方程的虚拟公共根当作有效解.（2）未根据线段长度为正的实际意义舍去负根. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $