25.2.4一元二次方程根与系数的关系（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过三组简单方程让学生计算两根和与积，观察规律后推导一般形式定理，强调判别式非负的前提条件，构建从特殊到一般的学习支架，衔接方程求解与代数推理。 以“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”为主线，培养学生归纳推理能力和代数逻辑证明能力，自主学习与合作探究结合提升创新意识，例题练习涵盖基础应用、参数问题及中考真题，帮助学生掌握定理及整体代入思想，发展数学思维与应用意识。

25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 （导学案） (1)理解一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式；掌握定理成立的前提条件（）；能不解方程，利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方程根的正确性、求解简单参数问题. (2)经历“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”的探究过程，提升从特殊到一般的归纳推理能力、代数逻辑证明能力，体会数形结合、整体代入的数学思想. (3)在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严谨的数学思维习惯；通过定理的推导与应用，增强学习代数知识的兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心. 重点：一元二次方程根与系数的关系公式理解与基础应用，能够熟练利用韦达定理求解两根和、两根积及简单根系代数式的值. 难点:根与系数关系的严谨推导过程；解题中精准把握定理成立的前提条件，规避无实数根时误用定理、看错系数符号的易错问题；灵活运用整体代入思想变形求解复杂的根系代数式. 第一环节 自主学习 温故知新： 情境导入，特例探究 教师出示三组简单一元二次方程，要求学生快速解方程，求出两根并计算两根之和、两根之积： ① ② ③ 学生独立计算后汇报结果，教师板书整理数据，引导学生观察： 方程的两根和、两根积与方程的二次项、一次项、常数项之间存在什么规律？ 学生小组交流，自主猜想：当二次项系数为1时，两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项；当二次项系数不为1时，两根和、两根积与系数存在固定比例关系. 【学法指导】 新知自研：自研课本第15-16页的内容 【学法指导】自研课本P15-16页内容 (一)严谨推导，得出定理 活动1：猜想的规律是否适用于所有有实数根的一元二次方程？怎样进行推导. 师生共同推导：对于一般形式一元二次方程 ，当时，方程的两个实数根为： ，. 分步计算两根和、两根积： ；. 归纳总结：一元二次方程根与系数的关系： 若一元二次方程的两个实数根为，则 . 核心前提：方程必须有实数根，即. 特例：当a=1时，方程，则. （二）理解定理，及时应用 活动2. 判断下列说法是否正确. 方程的两根和为-2，两根积为3. （×，无实数根，不能用定理） （2） 方程的两根和为2，两根积为. （√，根据一元二次方程根与系数关系结论正确） 活动3：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积: （1）； （2）； （3）. （1） （2） （3）方程化为，所以 （三） 灵活运用 拓展提升 活动4：代数式变形求值（核心应用） 已知是方程的两根，不解方程，求下列代数式的值：（1） （2） 学生讨论交流：结合完全平方公式、分式通分，将所求代数式整体变形为含、的形式，再代入计算. 推导核心变形公式： 学生独立完成解题，教师规范解题步骤，强调整体代入思想. 活动5：参数解决综合问题 已知方程的两根之和为1，求m的值及两根之积。 学生交流讨论：1. 根据根系关系得：-(m-2)=1，解得m=1； 2. 验证，确保方程有实数根； 3. 代入求两根积. 【自研自探】 自研课本P15-16页内容 典型例题 例1.已知关于x的方程有两实数根． (1)求k的取值范围： (2)设方程两实数根分别为：，，且，求实数k的值． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程； （1）根据方程有两个实数根得出，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用表示出的值，根据条件可得到关于的方程，可求得的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两实数根， ∴ 解得：； （2）解：∵方程两实数根分别为：，， ∴，， ∵ ∴ ∴ 解得：，（经检验都是原方程的解）， ∵ 故． 例2．若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． 例3．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， (1)求的值 (2)求的值 (3)求的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据根与系数的关系即可得到答案； （2）根据根与系数的关系即可得到答案； （2）根据（1）（2）所求结合进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴； （2）解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 第二环节 合作探究 1. 讨论怎样推导一元二次方程根与系数的关系定理 2. 讨论应用一元二次方程根与系数的关系定理的条件是什么？ 3. 讨论如何拓展应用一元二次方程根与系数的关系定理解决问题. 拓展提升： 1．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 即的取值范围是； （2），， ， ， ，即， 解得或． ； ． 故的值为2． 课本课堂练习（P16）. 1．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴x1+x24，x1•x23， 故选：D． 2．（2025•绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝　　 ． 【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根， ∴m+n＝2025，mn＝1， ∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027， 故答案为：2027． 3．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为　　 ． 【解答】解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5．∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣5+2+1＝﹣2．故答案为：﹣2． 4．（2025•广安）已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 　　 ． 【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣24＝0中的两根分别为a、b， ∴a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0． ∴a2﹣5a＝24， ∴a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b， ＝24+5， ＝29． 故答案为：29． 5．（2025•泸州）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　　 ． 【解答】解：将x＝α代入原方程得：2α2﹣6α﹣1＝0， ∴2α2﹣6α＝1． ∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β， ∴α+β＝3， ∴2α2﹣3α+3β＝（2α2﹣6α）+3（α+β）＝1+3×3＝10． 故答案为：10． 6．（2025•南充）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根． （1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值． （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 【解答】解：（1）把x1＝﹣1代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2， 得m2＝6， ∴． ∴（x﹣1）（x﹣2）＝6，即x2﹣3x﹣4＝0． ∴（x﹣4）（x+1）＝0． ∴x1＝﹣1，x2＝4． ∴． （2）方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化为x2﹣3x+2﹣m2＝0． ∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． ∵方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2即x2﹣3x+2﹣m2＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝2﹣m2． ∴（x1﹣1）（x2﹣1） ＝x1•x2﹣（x1+x2）+1 ＝2﹣m2﹣3+1 ＝﹣m2． ∵m2≥0， ∴﹣m2≤0，即（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 1. 知识与技能：（1）核心定理：对于，当时，方程两个实数根为，则 ；（2）特殊形式：方程，则两根和为-p，两根积为q；（3）核心应用：不解方程求根系代数式的值、求方程参数、检验方程根的正确性. 2. 思想方法：（1）特殊到一般：从具体方程猜想规律，再推导一般公式，是代数探究的核心方法；（2）整体代入：将复杂代数式变形为两根和、两根积的整体形式代入计算，简化运算；（3）转化思想：将陌生的代数式求值问题转化为熟悉的根系关系基础问题. 3. 易错提醒：（1）忽略前提条件：必须先判断，方程无实数根时，根与系数定理不成立，严禁盲目套用公式；（2）符号错误：两根和公式是，容易遗漏负号，需重点关注一次项系数符号；（3）系数混淆：必须将方程化为一般形式后再找a、b、c，避免非一般形式下系数取值错误；（4）变形失误：代数式变形（完全平方、通分）时容易漏项、符号出错，变形后需及时检查. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 （导学案） (1)理解一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式；掌握定理成立的前提条件（）；能不解方程，利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方程根的正确性、求解简单参数问题. (2)经历“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”的探究过程，提升从特殊到一般的归纳推理能力、代数逻辑证明能力，体会数形结合、整体代入的数学思想. (3)在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严谨的数学思维习惯；通过定理的推导与应用，增强学习代数知识的兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心. 重点：一元二次方程根与系数的关系公式理解与基础应用，能够熟练利用韦达定理求解两根和、两根积及简单根系代数式的值. 难点:根与系数关系的严谨推导过程；解题中精准把握定理成立的前提条件，规避无实数根时误用定理、看错系数符号的易错问题；灵活运用整体代入思想变形求解复杂的根系代数式. 第一环节 自主学习 温故知新： 情境导入，特例探究 教师出示三组简单一元二次方程，要求学生快速解方程，求出两根并计算两根之和、两根之积： ① ② ③ 学生独立计算后汇报结果，教师板书整理数据，引导学生观察： 方程的两根和、两根积与方程的二次项、一次项、常数项之间存在什么规律？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第15-16页的内容 【学法指导】自研课本P15-16页内容 (一)严谨推导，得出定理 活动1：猜想的规律是否适用于所有有实数根的一元二次方程？怎样进行推导. 师生共同推导：对于一般形式一元二次方程 ，当时，方程的两个实数根为： ，. 分步计算两根和、两根积： 归纳总结：一元二次方程根与系数的关系： 若一元二次方程的两个实数根为，则 . 核心前提：方程必须有实数根，即. 特例：当a=1时，方程，则. （二）理解定理，及时应用 活动2. 判断下列说法是否正确. 方程的两根和为-2，两根积为3. （2） 方程的两根和为2，两根积为. 活动3：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积: （1）； （2）； （3）. （三） 灵活运用 拓展提升 活动4：代数式变形求值（核心应用） 已知是方程的两根，不解方程，求下列代数式的值：（1） （2） 活动5：参数解决综合问题 已知方程的两根之和为1，求m的值及两根之积。 【自研自探】 自研课本P15-16页内容 典型例题 例1.已知关于x的方程有两实数根． (1)求k的取值范围： (2)设方程两实数根分别为：，，且，求实数k的值． 例2．若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 例3．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， (1)求的值 (2)求的值 (3)求的值 第二环节 合作探究 1. 讨论怎样推导一元二次方程根与系数的关系定理 2. 讨论应用一元二次方程根与系数的关系定理的条件是什么？ 3. 讨论如何拓展应用一元二次方程根与系数的关系定理解决问题. 拓展提升： 1．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 课本课堂练习（P16）. 1．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 2．（2025•绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝　　 ． 3．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为　　 ． 4．（2025•广安）已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 　　 ． 5．（2025•泸州）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为　　 ． 6．（2025•南充）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根． （1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值． （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 1. 知识与技能：（1）核心定理：对于，当 时，方程两个实数根为 ，则 ；（2）特殊形式：方程，则两根和为 ，两根积为 ；（3）核心应用：不解方程 值、求 . 2. 思想方法：（1）特殊到一般：从具体方程 ，再推导 ，是代数探究的 ；（2）整体代入：将 变形为 的整体形式代入计算，简化运算；（3）转化思想：将陌生的代数式求值问题转化为 问题. 3. 易错提醒：（1）忽略前提条件：必须先判断，方程无实数根时，根与系数定理 ，严禁 ；（2）符号错误：两根和公式是 ，容易 ，需重点关注 符号；（3）系数混淆：必须将方程化为一般形式后 ，避免非 错误；（4）变形失误：代数式变形（完全平方、通分）时容易 、 出错，变形后需及时检查. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $