阅读与思考 一元二次方程与黄金分割数&数学活动25.3 探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

阅读与思考一元二 1.黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领 域.例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割.如 图，枫叶的叶脉AC长为14cm,B为线段 AC上一点(AB>B0),且满足%-把.则 称点B为线段AC的黄金分割点.若BC的 长为xcm,则根据题意可列方程为( A.(14-x)2=14x B.x2=14(14-x) C.x(14-x)=142 D.14(1-x)2=14-x 2.(教材P24习题T9变式)如图，已知点C在 线段AB上，且满足AC=AB·BC (1)若AB=1,求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长. 23数学九年级上册配R版 次方程与黄金分割数 3.综合与实践 【主题】黄金分割数 【素材】如图①，我们知道，如果点P是线段 AB上一点(AP>BP),且满足BP：AP= AP:AB,那么这种分割就叫作黄金分割.其 中，线段AP与AB的比值或线段BP与AP 的比值叫作黄金分割数。 【实践操作】若线段AB=1,设AP的长为x, 则BP=1-x .'BP:AP=AP:AB, .(1-x):x=x:1. … 根据此方法可计算出黄金分割数为 (结果保留根号) 【实践探索】二胡是我国古老的民族拉弦乐 器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴 弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦 比下面一截琴弦短)，奏出来的音调最和谐 悦耳.如图②，一把二胡的琴弦长为80cm, 求“千斤”下面一截琴弦长.（结果保留根号） 琴头 琴轴十 千 入弓杆 弓毛、 位琴筒 D B 琴托琴皮 图① 图② 数学活动探究方程有公共 活动1探究方程有公共解的条件 1.若一元二次方程a.x2-bx十c=0,bx2-cx十 a=0,cx2-ax十b=0(a≠b≠c,abc≠0)恰有 一个公共解. (1)求证：a十b+c=0. 证明：将三个方程相加，得(a+b十c)x2 (a+b+c)x+(a十b+c)=0, .∴.(a+b+c)(x2-x+1)=0. 请将后面的证明过程补充完整. (2)求方程a.x2-bx十c=0的解. 我们可以用两种方法进行求解： 方法一：用因式分解法求解。 ,a+b+c=0,.b=-a-c. ∴.a.x2-bax+c=a.x2+(a+c)x+c=a.z2+a.x+十 cx+c=ax(x+1)+c(x+1)=(x+1)(a.x十c). :a.x2-bx十c=0, .x十1=0，或ax十c=0. =-1w=-8 方法二：用公式法求解. … 请你写出方法二的具体过程， 解的条件与神奇的线段分割 活动2神奇的线段分割 2.【阅读材料】老师出了一道题：如果三条线段 的长度分别为a,b,c,且a>b>c,试找出一 组ab的值，使a=6叶c和2+同时 成立 小明是这么解答的：将a=b+c代入2+上=3 化简可得？=3c2.把c看作常数，可得b=√3c. .a=(5+1)c. .a:b:c=(√3+1)：√5：1. 答案不唯一，取满足这个比例式的正数值即 可，如：a=√5+1，b=√3，c=1. 【尝试应用】仿照上面小明的解题思路，解答 下列问题： 如果三条线段的长度分别为a,b,c,且a> b>c,试找出一组a,b,c的值，使a=2b十c 和2+上=上同时成立. a bc 第二十五章一元二次方程2425.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础过关 2.C3.D4.解：(1)十x=二（-4)=4，x1=1,(2)z1十x三 八2 6 xm=3=-2.(3)方程化为x2十8x-10=0m十x2=-8,x1x=-10. 5.A6m>号7.58-29.解：佳佳的解题过程末考虑△≥0这个条件.正确的 解题过程如下：根据题意，得△=[一(2m-1)]-4m2≥0，解得m≤子.由根与系数的 关系，得a十b=2m-1,ab=m2,,a十b=ab-4,.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2= 3.m≤心m=-1. 能力提升 10.C11.B12.C13.202714.解：，方程x2十(a-2a)x十a一1=0的两个实数 根互为相反数，.x1十x2=-a2十2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2 1=0,符合题意；当a=2时，原方程为x2十1=0，方程无实数根，舍去，∴a=0. 思维拓展 15.解：(1)71 0右 =3.(3)令=a,-n=6,则d2+a-7=0,+b-7=0.:m≠-1. :元≠一n,即a≠k.“a,b是方程r十x一7=0的两个不相等的实数根.∴a士b正 a6=-.+n=d+=(a+b-2a=(-1-2X(-0=15. 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·热点】 1.A2.-33.C41)-号(2)片(3)号（④）-}(6)@【变式题 25 5 5.解：(1)由题意，得△=(-6)2-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)由根与系数的关系，得 1十x2=6,x12=2m十1.：2x1x2十x1十x2≥20，.2(2m十1)十6≥20，解得m≥3. :m≤4，.3≤m≤4.6.解：(1)：方程有两个实数根，∴△=[-(2k十1)]-4×1× (:十2)≥0.4十4k十1-4状一8≥0.-4k十1≥0.解得≤子(2)由根与系数 的关系，得x1十x2=2k十1，x1x2=k2十2k.:x1十x号=(x1十x2)2-2x1x2=11, (2k十1)2-2(k2+2k)=11.整理，得2k2十1=11，.k2=5.解得k1=√5，k2=-√5. :≤子=后 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 基础过关 1.A2.43.解：设这个矩形菜园垂直于墙的边长为xm.根据题意，得x(32一2x)= 120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，32一2x=20>18,不合题意，舍去：当x=10时，32 -2x=12<18,符合题意..x=10.答：这个矩形菜园垂直于墙的边长为10m.4.C 5.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9.解得x1=0.5, x2=8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m.6.2 能力提升 7.C8.29.√5-110.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为 (80-x)cm根据题意得（学）十(0)=20.解得==40.要使这两个正 方形的面积之和为200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为 yem,则另一段绳长为(80-m根据题意，得（宁）+(0)=8，解得 一8（不符合题意，舍去），y2=88(不符合题意，舍去).∴这两个正方形的面积之和不可 能为488cm. 思维拓展 11.解：，四边形ABCD为矩形，∴.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN CM-BC-BM-8-2t,DN-CD-CN-6-1SAAMNxA8X6- 合×6×21-号×(8-24)×1-7×8X(6-)=号×8×6.整理，得-6t+8=0.解 得有=2，=4.当=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的3 -52 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 基础过关 1.D2.63.解：设每个人一节课教会了x名同学.根据题意，得1十x十x(1十x)= 49.解得x1=6,x2=一8（不符合题意，舍去）.答：每个人一节课教会了6名同学，4.C 5.20%6.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x,根据题意，得1200(1一x) =972.解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年 平均下降率为10%. 能力提升 7.C8.69.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200× (1-20%)(1十x)=193.6.解得1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去).答： 11,12这两个月销售额的月平均增长率为10%.10.解：(1)根据题意，得1十x十x2= 111.解得x1=10,x2=一11（不符合题意，舍去）.∴.x的值为10.(2)经过三轮转发之 后，参与人数为1十10十100十1000=1111（人），四轮转发之后，参与人数为1十10十 100十1000+10000=11111（人）.：11111>10000，.再经过两轮转发后，参与人数 会超过10000人. 思维拓展 11,解：(1)10000(1+2x)10000(1+x)2(2)根据题意，得10000(1十x)2-10000 (1十2x)=25.解得x1=0.05=5%,x2=-0.05(不符合题意，舍去).答：该理财产品的 年利率为5%， 第3课时循环、数字与销售问题 基础过关 1.C【变式题】112.解：设全班有x名学生，根据题意，得x(x-1)=1640.解得 x1=41,x2=-40(不符合题意，舍去).答：全班有41名学生，3.B4.325.解：设 这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十1).根据题意，得x(x十1)=72.解得 x1=8,x2=一9（不符合题意，舍去）.答：这个两位数为98.6.137.解：(1)400 8000(2)设每件文创商品应降价x元.根据题意，得(80-50-x)(200十20x)= 7500.解得x1=5,x2=15..商店要减少库存，降价越多，销售量越大，库存越少， .x=15.答：每件文创商品应降价15元. 能力提升 8.C9.3610.解：(1)设参加聚会的人数为x.根据题意，得2x(x-1)=28.解得 x1=8,x2=-7(不符合题意，舍去).答：参加聚会的人数为8.(2)根据题意，得 (m+2)(m十1)=21.解得m=5,m=-8(不符合题意，舍去).∴m的值为5.(3)根 1 据题意，得2n-3)十9=2(m十1D(m十1-3).解得n=10.∴边数n的值为10. 思维拓展 11,解：（任务1）设从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为 x.根据题意，得1500(1十x)2=2160.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍 去).答：从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为20%.（任 务2)设下调后每人的用费为y元，根据短意：得(30十909。产)=3200.解得1二 400,y2=800.y≥750，∴.y=800.答：下调后每人的团费为800元. 阅读与思考一元二次方程与黄金分割数 1.A2.解：(1)设AC=a,则BC=AB-AC=1-a.:AC=AB·BC,.a=1-a,解 得a=5a=有（不符合题意，含去.∴AC=5.(2)设AC=则BC=: 2 -2.∴.AB=AC十BC=2x-2.,AC=AB·BC,∴x2=(2x-2)(x-2).解得x1=3 十√5，x2=3-√5（不符合题意，舍去）.∴.AB=2x-2=4十25.3.解：【实践操作】 ,1【实践探索】：二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，“千斤”下面一截 2 琴弦长为80×5,1=405-40(cm. 数学活动探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 1解：)r-x+1-(-号)+子>0，a+6叶c=0.(2a+b+c=0b=-a -c..ax2-bx十c=0可化为ax2十(a十c)x十c=0..A=(a十c)2-4ac=(a-c)2>0. x=二a法0n=台=-1.2解将a20+c代入2+名=号 2a 2 得方千十+方=心2c十(2b十c)c=(26+c)6.化简，得2b-36c一c2=0.把c看作常 数，利用求根公式进行计算，得6=3±四.：b>c>0,b=3士亚。.a= 53 5士亚。.a:6:c=5十厘：3士应：1，答案不唯一，取满足这个比例式的正数 2 4 值即可，如：a=10十2√17，b=3十√17，c=4, 第二十五章章末复习 思维导图 一 整式2不相等相等无一bC aa 考点整合 1.B2.C3.x2-3x=0(答案不唯一)4.45.A6.D7.解：(1)整理，得(x-2)2 =24.由此可得x-2=士2√6，x-2=2√6，或x-2=-2V6,即x1=2+2√6，x2= 2-2√6.(2)整理，得(x十1)(x-2)十2(x一2)=0.左边分解因式，得(x-2)(x十1十2) =0.于是x-2=0,或x十3=0，即x1=2,x2=-3.(3)方程化为2x2十2√2x十1=0，此 时a=2,b=2√2，c=1,∴.△=b2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0.方程有两个相等的实数 根1==一名 三6=_22=，一号.8.C9.一110.解：(1)根据题意，得4= [-2(m十1)]2-4(m2十5)>0，解得m>2.(2)由根与系数的关系，得十x2= 2(m十1)，x1x2=m2+5.(x1-1)(x2-1)=7,x1x2-(x1十x2)十1=7，即m2+5- 2(m十1)十1=7，解得m1=3,m2=-1.由(1)知m>2,.m=3.(3):x1≠x2,∴.7是方 程的一个根.将x=7代入原方程，得49-14(m十1)十m2十5=0，解得m1=4,m2=10.当 m=4时，方程的另一个根为3，此时三边长分别为7,7,3，符合三边关系；当m=10时， 方程的另一个根为15，此时三边长分别为7,7,15，不能构成三角形，舍去.∴.这个三角 形的周长为7十7十3=17.11，B12.-2或113.解：(1)设该店11、12月份销量的 月增长率为x.根据题意，得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍 去).答：该店11、12月份销量的月增长率为20%.(2)设每箱的售价应定为m元.根据 题意，得(-60)[300+(100-m)×10]=12000.解得m1=100,m2=90.:要尽可能 让顾客得到优惠，.m=90.答：每箱的售价应定为90元. 聚焦课标 14.解：(1)①相等②1(2)设矩形花圃的一边AB的长为ym,则BC的长为(150-3y)m. :水池长70m,150-3y≤70，解得≥26号.根据题意，得y(150-3y)=180.解 得y=30,y2=20(不符合题意，舍去).答：矩形花圃的一边AB的长为30m. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 基础过关 1.B2.y=5x2-5x5-53.-24.A5.y=-2x2+8x6.y=-10x2+560x -735021x≤25.2 能力提升 7.C8.B9.y=60十60(1十x)十60(1十x)10.解：(1)由题意，得y=x[30-x-(x -2)]=-2x十32x.自变量x的取值范围是2<x<16.(2)由题意，得y=-2x2十32x =56,解得x1=2(不合题意，舍去)x2=14..x的值为14. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 基础过关 1.D2.A3.解：(1)如图所示 6 (2)开口向上，对称轴为y轴，顶点 -6-4-20246x -2 -4 -6 坐标为(0,0).(3)当x>2时，y>1.4.B5.D6.<【变式题】<7.解：(1)将(2， 一2)代入y=a2,得-2=4a,解得a=一合这个二次函数的解析式为y=一号. (2)这个二次函数的最大值为0.(3)当x<0时，函数值y随x的增大而增大.8.士4 能力提升 9.B10.2(答案不唯一)11.a>b>c>d12.解：(1)根据题意，得k十20，且k2十k 一4=2，解得k=一3.(2)由(1)，得k=一3，则y=x2..函数图象的顶点坐标为 (0,0),对称轴为y轴.(3)一1≤x≤2，-1<0，∴.当x=0时，y有最大值，最大值为 0:当x=2时，y有最小值，最小值为-2=-4.13.解：(1)1.8(2)由题意，得CE= 0.2m,则z=0.2-1.8=-16.令y=-1.6,则-号r=-1.6,解得x=士E.EF =√2-(-J2)=22(m) 54