第25章一元二次方程小结与复习 学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦九年级上册第25章一元二次方程复习，涵盖概念、解法（开平方法、配方法等）、根的判别式、根与系数关系及应用。通过知识结构图梳理脉络，考点讲练从概念辨析到解法应用层层递进，搭建学习支架帮助学生构建知识体系。 资料亮点在于考点讲练结合例题与针对训练，实际应用问题联系生活情境（如病毒传染、销售额增长），培养数学建模与应用意识。通过根的判别式推理及根与系数关系运算，提升逻辑推理能力，课堂检测全面，助力巩固知识，发展数学思维与抽象能力。

人教版九年级数学上册第25章一元二次方程 第25章 一元二次方程小结与复习学案 一、素养目标 1.灵活运用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元－二次方程，掌握根的判别式及根与系数关系的运算； 2.运用一元二次方程解决简单的实际问题； 3.通过复习，培养学生数学抽象、逻辑推理能力，能准确解一元二次方程，用方程模型解决实际问题，提升数学建模与应用意识。 二、教学重点、难点 重点：根据一元二次方程的特征，灵活选用解法，以及应用一元二次方程知识解决实际问题. 难点：灵活选用恰当方法解一元二次方程以及列方程. 三、教学过程 知识结构图 考点讲练 考点一 一元二次方程及其相关概念 例1 若关于x的方程(m－1)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是( ) A.m≠1 B.m＝1 C.m≥1 D.m≠0 针对训练 1.将方程5x2－3＝x(x＋2)化成一元二次方程的一般形式为_____________，它的二次项系数是____，一次项系数是____，常数项是____. 2.当k＝_____时，关于x的方程(k－3)x|k|－1＋2x＋1＝0是一元二次方程. 例2 若x＝1是关于x的一元二次方程x2－bx－2＝0的一个解，则b的值为( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 针对训练 3.若x＝1是关于x的一元二次方程x2－mx＝0的一个根，则m的值为( ) A.2 B.－2 C.1 D.－1 4.已知n是一元二次方程x2－x＋3＝0的一个根，则代数式n2－n＋2029的值为______. 考点二 一元二次方程的解法 例3 分别用公式法和配方法解方程：x2－4x－1＝0 解：公式法：a＝1，b＝－4，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20＞0 方程有两个不等的实数根 即 x1＝2＋，x2＝2－. 解：配方法：移项，得 x2－4x＝1 配方，得 x2－4x＋22＝1＋22 (x－2)2＝5 由此可得 x－2＝ ∴ x1＝2＋，x2＝2－. 针对训练 5.用配方法解方程x2－2x－5＝0时，应变为( ) A. (x－1)2＝6 B.(x＋2)2＝9 C. (x＋1)2＝6 D.(x－2)2＝9 6.若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是( ) A.x2＋3x＋1＝0 B.x2＋3x－1＝0 C.x2－3x－1＝0 D.x2－3x＋1＝0 7.用适当的方法解下列方程： (1) x2－6 x＋5＝0 (2) 2(x＋3)2＝x(x＋3) (3) 3x 2－7 x＋4＝0 ( 解：( 1 )移项，得 x 2 － 6 x ＝－ 5 配方，得 x 2 － 6 x ＋ 32 ＝－ 5 ＋ 3 2 ( x － 3 ) 2 ＝ 4 由此可得 x － 3 ＝ ± 2 ∴ x 1 ＝ 5 ， x 2 ＝ 1 ) ( 解：( 2 ) 移项，得 2 ( x ＋ 3 ) 2 － x ( x ＋ 3 )＝ 0 左边分解因式，得 ( x ＋ 3 )[ 2 ( x ＋ 3 )－ x ]＝ 0 ( x ＋ 3 )( x ＋ 6 )＝ 0 于是 x ＋ 3 ＝ 0 ，或 x ＋ 6 ＝ 0 即 x 1 ＝－ 3 ， x 2 ＝－ 6 ) ( 解：( 3 ) ∵ a ＝ 3 ， b ＝－ 7 ， c ＝ 4 ∴ Δ ＝ b 2 － 4 ac ＝(－ 7 ) 2 － 4 × 3 × 4 ＝ 1 ＞ 0 方程有两个不相等的实数根 即 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ ) 考点三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 例4 已知关于x的一元二次方程x2－3m＝4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A.m＜0 B.m＜2 C.m≥0 D. 针对训练 8.下列所给方程中，没有实数根的是( ) A.x2＋x＝0 B.5x2－4x－1＝0 C.3x2－4x＋1＝0 D.4x2－5x＋2＝0 9.若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－6x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是__________. 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m、n，不解方程求m2－mn＋n2的值. 解：∵ m、n是方程x2－4x－3＝0的两根 ∴ m＋n＝4，mn＝－3 ∴ m2－mn＋n2＝m2＋2mn＋n2－3mn＝(m＋n)2－3mn＝42－3×(－3)＝25 针对训练 10.不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2＋2x－6＝0：x1＋x2＝_____，x1x2＝_____； (2) 2x2－6x－1＝0：x1＋x2＝_____，x1x2＝_____； 11.α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是( ) A.3 B.1 C.3或－1 D.－3或1 考点四 一元二次方程的应用 例6 诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等.如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有64人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得 1＋x＋x(1＋x)＝64 解方程，得 x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去) 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人. 针对训练 12.某奶茶店今年7月份销售额为8000元，9月份销售额增长到9680元.设该店每月销售额的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是( ) A.8000(1－x)2＝9680 B.8000(1＋x)2＝9680 C.8000(1＋2x)2＝9680 D.8000x2＝9680 13.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31.若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是(　　) A.(1＋x)2＝31 B.1＋x2＝31 C.1＋x＋x2＝31 D.x＋x2＝31 14.某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区 (如图)，原空地一边减少了4m，另一边减少了2m，剩余空地为起飞区.设原正方形空地的边长为xm. (1)起飞区的边AB的长为_______m(用含x的代数式表示)； (2)若起飞区的面积为120m2，求原正方形空地的边长. 解：(2)根据题意，得 (x－2)(x－4)＝120 解方程，得 x1＝14，x2＝－8(不合题意，舍去) 答：原正方形空地的边长为14m. 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 6、 课堂检测 1、选择题 （1） 关于x的一元二次方程是一元二次方程，则满足（ ） A. B. C. D.为任意实数 （2）已知一元二次方程已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 （3）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A． B． C． D． （4）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B。 且 C.。 D。且 （5）．关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 （6）．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 2、解方程(1) (x+2)2-3(x+2)+2=0 （2）3（用配方法解） （3） （4） 3、，某超市在销售中发现：奥运会吉祥物— “福娃”平均每天可售出20套，每件盈利40元。为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每套降价4元，那么平均每天就可多售出8套。要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？ ( A B C D 墙 )4、如图：利用一面墙（墙的长度不超过45 m），用80m长的篱笆围一个矩形ABCD场地。 （1）怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2? (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2,为什么？ 5.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？ 6.某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3:2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元，扩和宽应分别是多少米？ 参考答案： 1、(1)C (2)B (3)B (4)B (5)C (6) C 2、(1)-1,0 (2)(3)(4)-9.5,-0.4 3、解：每套应降价x元，列方程为：（20+2x）(40-x)=1200解得x=10,或20为了尽快减少库存，x=20.答：略 4、 解：设垂直于墙的一边为xm,另一边为（80-2x）m,列方程为：x(80-2x)=750,解得x=15或者25 由题意得：长为30米，宽为25米，答：略 5、解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得 5(1-x)2=3.2 解得 x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20% 答：平均每次下调的百分率是20%. 6、解：设扩充后广场的长为3x米，宽为2x米. 根据题意得 3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000 解得x1=30，x2=-30(舍去) 所以3x=90，2x=60 学科网（北京）股份有限公司 $