第01课 探索三角形内角和（导学案）-2026年新五年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第01课 探索三角形内角和 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）掌握结论：知道三角形的内角和等于180°。 （2）应用计算：能运用“三角形内角和是180 °”这一规律，已知两个角的度数求第三个角的度数，或判断三角形的形状（如直角、钝角、锐角三角形）。 （3）理解概念：明确“内角”和“内角和”的含义，纠正“大三角形内角和大”的错误直觉。 2、重难点。 重点： （1）探究并验证结论： 引导学生通过多种方法（测量、剪拼、折叠）验证三角形内角和是180 °。 （2）灵活运用：熟练利用内角和定理解决简单的角度计算问题（如“猜角游戏”环节）。 难点： （1）理解“转化”的数学思想： 如何引导学生从“量角器测量有误差”过渡到“剪拼成平角更准确”，深刻理解把三个角拼在一起就是一个平角（180°）的逻辑关系。 （2）处理测量误差：学生在实际测量时，结果往往不是精准的180°（可能是179°或181°）（3）如何引导学生正确看待这种误差，不因此否定结论，而是寻求更严谨的验证方法（剪拼法），是本课的思维难点。 模块二 预习引导 一、核心概念与结论： 1、三角形的内角：三角形内部的三个角叫做三角形的内角。 2、三角形内角和定理（核心结论）：任意三角形的三个内角和都等于180°。 3、重要辨析：三角形内角和的大小与三角形的形状（锐角、直角、钝角）、大小（大三角形、小三角形）无关。无论三角形多大或多小，其内角和永远是180°。 二、探究与验证方法（从感性到理性）： 1、测量法（初步感知）： 操作：用量角器分别量出三角形三个内角的度数，然后相加。 2、撕拼法（转化思想）： 操作：把三角形的三个角撕下来，将它们的顶点重合拼在一起。 3、折叠法（转化思想）： 操作：将三角形的三个角向内折叠，使三个顶点重合在底边上的一点。 三、知识的应用（解决问题）： 1、求未知角的度数： 已知两个角求第三个角：第三个角=180°-角1-角2 。 2、结合特殊三角形的性质推理： 等边三角形： 三个角都相等，每个角都是180°÷3=60°。 等腰三角形： 两个底角相等。如果知道顶角，可以求底角：(180°−顶角)÷2 ；如果知道底角，可以求顶角：180°−底角×2 。 直角三角形： 两个锐角的和是90°（因为 180°−90°=90°）。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．把一个三角形的三个角剪下来，可以拼成一个（    ）。 A．周角 B．平角 C．直角 D．锐角 【答案】B 【分析】根据三角形的内角及平角的含义：三角形的内角和是180度，而180度的角就是平角，据此解答。 【详解】把一个三角形的三个角剪下来，可以拼成一个平角。 故答案为：B 2．如图的线段表示到一个三角形中两个内角度数之和在点处，这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据题图可知，0°和180°中间是90°，点P在0°和90°之间，那么这个三角形两个内角的度数和小于90°。根据三角形的内角和为180度可知，第三个角的度数应大于90度，是一个钝角，则该三角形就是钝角三角形。 【详解】由分析可知，这个三角形是钝角三角形。 故答案为：C 3．如图是一块三角形玻璃破碎后的碎片，它原来是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等边 【答案】C 【分析】三角形内角和是180°，180°减去30°再减去40°，可以算出第三个角的度数。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形三个角的度数都相等，都是60°。 【详解】180°－30°－40° ＝150°－40° ＝110° 110°的角是钝角，这个三角形原来是钝角三角形。 故答案为：C 4．一张三角形纸片正好可以剪成2个同样的小三角形，其中一个小三角形的内角和是（    ）。 A．90° B．180° C．360° D．无法确定 【答案】B 【分析】任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状无关，据此作答。 【详解】剪成的图形依旧还是三角形，所以其中一个小三角形的内角和是180°。 故答案为：B 5．下列各组三个角不可能在同一个三角形内的是（    ）。 A．60°、60°、60° B．120°、55°、5° C．14°、88°、78° D．105°、90°、15° 【答案】D 【分析】由题意可得，根据三角形的内角和为180°解答即可。 【详解】A． 60°＋60°＋60°＝180°，选项中的三个角在同一个三角形中； B． 120°＋55°＋5°＝180°，选项中的三个角在同一个三角形中； C． 14°＋88°＋78°＝180°，选项中的三个角在同一个三角形中； D． 105°＋90°＋15°＝210°，选项中的三个角不可能在同一个三角形中； 故答案为：D。 【点睛】此题考查了三角形的应用，关键是明确：三角形的内角和为180°。 6．等边三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】等边三角形的三个角都相等，三角形的内角和是180°，所以等边三角形每个角的度数是180°÷3＝60°，再根据三角形的分类进行解答即可。 【详解】180°÷3＝60°，60°＜90°，即等边三角形一定是锐角三角形，也是等腰三角形，据此解答。 故答案为：A 【点睛】本题考查三角形的分类，及三角形内角和，先计算出等边三角形每个内角的度数，再解答。 7．三角形的一个角是65°，另外的两个角可能是（    ）。 A．35°、60° B．45°、70° C．45°、90° 【答案】B 8．有一大一小两个三角形，小冬把较小的三角形的三个角撕下来，拼成的情况如图，如果把另一个较大的三角形的三个角也撕下来，拼在一起的图是（    ）。    A．  B．  C．   D．都有可能 【答案】B 【分析】任意三角形的内角和都是180°。把较大的三角形的三个角撕下来，拼在一起，∠1、∠2和∠3拼成一个平角。 【详解】 A．  ∠1、∠2和∠3拼成的角小于平角； B．  ∠1、∠2和∠3拼成的角是平角； C．  ∠1、∠2和∠3拼成的角大于平角。 如果把另一个较大的三角形的三个角也撕下来，拼在一起的图是  。 故答案为：B 【点睛】熟记三角形内角和是180°是解题关键。 二、填空题 9．等腰三角形的一个底角是75°，它的另一个底角和顶角的度数分别是( )和( )。 【答案】 75° 30° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，因为三角形的内角和是180°，因此用180°分别减去这个等腰三角形的两个底角就是顶角的度数。 【详解】180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° 【点睛】解答此题除了需要熟记三角形的内角和度数外，还需要掌握等腰三角形的特点。 10．如果一个等腰三角形的顶角是100°，两个底角分别是( ) °和( ) °。 【答案】 40 40 【分析】等腰三角形的两个底角相等，据三角形的内角和是180°，减去顶角度数，就是底角度数之和，再除以2，即可求出一个底角的度数。 【详解】（180°-100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 所以：如果一个等腰三角形的顶角是100°，两个底角分别是40°和40°。 【点睛】熟练掌握等腰三角形的特征，明确三角形的内角和是180°是本题解答的关键。 11．我们的红领巾按边分是( )三角形，其中一个底角是30°，它的顶角是( )。 【答案】 等腰 120° 【分析】红领巾有两条边相等，所以按边分是等腰三角形，等腰三角形两个底角相等，底角是30°，则顶角为180°－30°－30°＝120°。 【详解】我们的红领巾按边分是等腰三角形，其中一个底角是30°，它的顶角是120°。 【点睛】熟练掌握三角形的分类及三角形内角和知识是解答本题的关键。 12．在一个直角三角形中，其中一个锐角是20°，另一个锐角是( )。 【答案】70°/70度 【分析】直角三角形的两个锐角的和是90°，90°减去一个锐角的度数，即可求出另一个锐角的度数。 【详解】90°－20°＝70° 所以在一个直角三角形中，其中一个锐角是20°，另一个锐角是70°。 13．如图，被挡住的角是( )度，这个三角形是( )三角形。    【答案】 70 锐角 【分析】三角形的内角和是180度，利用180度减去已知的两个角即可求出第三个角，根据角的特征判断三角形的种类。代入数据计算即可。 【详解】180°－40°－70°＝140°－70°＝70° 被挡住的角是70度，三个角都是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。 【点睛】本题考查了三角形内角和的应用及三角形的分类方法。 14．一个三角形中，一个角是70°，另一个角是80°，第三个角的度数是( )°，这是一个( )三角形。 【答案】 30 锐角 【分析】180°减两个已知角的度数等于第三个角的度数，再根据三个角的度数判断是什么三角形，据此即可解答。 【详解】180°－80°－70° ＝100°－70° ＝30° 70°、80°、30°都是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。 【点睛】本题主要考查学生对三角形内角和和三角形的分类知识的掌握。 15．一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是( )°，这是一个( )角三角形。 【答案】 70 锐角 【分析】已知等腰三角形的三个内角度数和是180°，一个底角是55°，因为两个底角相等，则用180°减去2个55°即得到顶角的度数70°；再根据三个角都是锐角，确定这是一个锐角三角形。据此解答。 【详解】180°－55°×2 ＝180°－110° ＝70° 所以，它的顶角是70°； 因为三个内角的度数为55°、55°、70°，都是锐角，所以这是一个锐角三角形。 16．一个三角形中，一个角是45°，另一个角是95°，第三个角的度数是( )，这是一个( )三角形。 【答案】 40° 钝角 17．求下面各角的度数。 ∠A＝( )         ∠B＝( ) ∠C＝( ) 【答案】 77° 115° 55° 【分析】1直角＝90°，三角形的内角和是180°，图中三角形的两个角度已知，用180°减这两个角的度数即可求得第三个角的度数。 【详解】∠A＝180°－75°－28°＝105°－28°＝77°； ∠B＝180°－45°－20°＝135°－20°＝115°； ∠C＝180°－90°－35°＝90°－35°＝55°。 【点睛】此题重点考查学生对三角形内角和的应用情况。 18．把一个大三角形剪成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是( )。 【答案】180°/180度 【分析】三角形的内角和为180°，可根据题意画图来分析。 【详解】如下图：大三角形的内角和为180°。 虽然剪成了两个小三角形，但是小三角形内部增加了一个角，其内角和依旧为180°。 故把一个大三角形剪成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是180°。 三、解答题 19．如图，用两把完全相同的三角尺分别拼出一个四边形和一个三角形。 （1）想一想，它们的内角和分别是多少？与同伴交流你是怎样想的。 （2）量一量，算算它们的内角和。 【答案】（1）四边形360°；三角形180° 想法见详解 （2）四边形360°；三角形180° 【分析】（1）已知三角形的内角和是180°，当用两把完全相同的三角尺拼成一个四边形时，四边形的内角和等于两个三角尺所有内角度数的和，即180°×2；当拼成一个三角形时，三角形内角和仍是180°。 （2）通过测量，拼成的四边形4个内角的度数都是90°，则它的内角和是90°×4；拼成的三角形的3个内角的度数分别是90°、45°、45°，则它的内角和是90°＋45°＋45°。据此计算。 【详解】（1）180°×2＝360° 所以，拼成的四边形的内角和是360°，拼成的三角形的内角和是180°。 想法：因为三角形的内角和是180°，四边形由2个三角形拼成，则拼成的四边形的内角和等于2个三角形的内角和；拼成的三角形的内角和仍是180°。 （2）90°×4＝360° 90°＋45°＋45° ＝135°＋45° ＝180° 所以，拼成的四边形的内角和是360°，拼成的三角形的内角和是180°。 20．在三角形ABC中，∠A＝30°，∠C比∠B多10°，∠B和∠C各是多少度？ 【答案】∠B=70°；∠C＝80° 【分析】三角形内角和是180°。 【详解】因为∠C比∠B多10°，所以∠C＝∠B＋10°，因 为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所 以∠A＋∠B＋∠B＋10°＝180°，即∠A＋2∠B＋10°＝30°＋2∠B＋10°＝40°＋2∠B＝180°，所以∠B＝70°，所以∠C＝70°＋10°＝80°。 【点睛】掌握三角形的内角和是180°是本题的解题关键。 21．学校举行风筝比赛，奇思做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形。其中有一个角是40°，其它两个角各是多少度？ 【答案】70°，70°或40°，100° 【分析】三角形的内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等，该题主要分两种情况，一种情况是顶角是40°，用180°减去顶角的度数，再除以2即可求出底角的度数；另一种情况是当底角是40°，用180°减去两个底角的度数，即可求出顶角的度数，据此解答即可。 【详解】当顶角是40°时： （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 当底角是40°时： 180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 答：其它两个角都是70°或一个角是40°，另一个角是100°。 【点睛】解答此题的关键是熟练掌握三角形的内角和的知识以及等腰三角形的性质。 22．如图，三角形ABC是直角三角形，∠1和∠2各是多少度？ 【答案】∠1＝85°；∠2＝40° 【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。 【详解】因为三角形ABC是直角三角形，所以∠BAC＝90° 则：∠1＝180°－50°－（90°－45°） ＝130°－45° ＝85° ∠2＝180°－90°－50° ＝90°－50° ＝40° 答：∠1和∠2各是85°、40°。 【点睛】熟练掌握三角形的内角和，是解答此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01课 探索三角形内角和 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）掌握结论：知道三角形的内角和等于180°。 （2）应用计算：能运用“三角形内角和是180 °”这一规律，已知两个角的度数求第三个角的度数，或判断三角形的形状（如直角、钝角、锐角三角形）。 （3）理解概念：明确“内角”和“内角和”的含义，纠正“大三角形内角和大”的错误直觉。 2、重难点。 重点： （1）探究并验证结论： 引导学生通过多种方法（测量、剪拼、折叠）验证三角形内角和是180 °。 （2）灵活运用：熟练利用内角和定理解决简单的角度计算问题（如“猜角游戏”环节）。 难点： （1）理解“转化”的数学思想： 如何引导学生从“量角器测量有误差”过渡到“剪拼成平角更准确”，深刻理解把三个角拼在一起就是一个平角（180°）的逻辑关系。 （2）处理测量误差：学生在实际测量时，结果往往不是精准的180°（可能是179°或181°）（3）如何引导学生正确看待这种误差，不因此否定结论，而是寻求更严谨的验证方法（剪拼法），是本课的思维难点。 模块二 预习引导 一、核心概念与结论： 1、三角形的内角：三角形内部的三个角叫做三角形的内角。 2、三角形内角和定理（核心结论）：任意三角形的三个内角和都等于180°。 3、重要辨析：三角形内角和的大小与三角形的形状（锐角、直角、钝角）、大小（大三角形、小三角形）无关。无论三角形多大或多小，其内角和永远是180°。 二、探究与验证方法（从感性到理性）： 1、测量法（初步感知）： 操作：用量角器分别量出三角形三个内角的度数，然后相加。 2、撕拼法（转化思想）： 操作：把三角形的三个角撕下来，将它们的顶点重合拼在一起。 3、折叠法（转化思想）： 操作：将三角形的三个角向内折叠，使三个顶点重合在底边上的一点。 三、知识的应用（解决问题）： 1、求未知角的度数： 已知两个角求第三个角：第三个角=180°-角1-角2 。 2、结合特殊三角形的性质推理： 等边三角形： 三个角都相等，每个角都是180°÷3=60°。 等腰三角形： 两个底角相等。如果知道顶角，可以求底角：(180°−顶角)÷2 ；如果知道底角，可以求顶角：180°−底角×2 。 直角三角形： 两个锐角的和是90°（因为 180°−90°=90°）。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．把一个三角形的三个角剪下来，可以拼成一个（    ）。 A．周角 B．平角 C．直角 D．锐角 2．如图的线段表示到一个三角形中两个内角度数之和在点处，这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 3．如图是一块三角形玻璃破碎后的碎片，它原来是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等边 4．一张三角形纸片正好可以剪成2个同样的小三角形，其中一个小三角形的内角和是（    ）。 A．90° B．180° C．360° D．无法确定 5．下列各组三个角不可能在同一个三角形内的是（    ）。 A．60°、60°、60° B．120°、55°、5° C．14°、88°、78° D．105°、90°、15° 6．等边三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 7．三角形的一个角是65°，另外的两个角可能是（    ）。 A．35°、60° B．45°、70° C．45°、90° 8．有一大一小两个三角形，小冬把较小的三角形的三个角撕下来，拼成的情况如图，如果把另一个较大的三角形的三个角也撕下来，拼在一起的图是（    ）。    A．  B．  C．   D．都有可能 二、填空题 9．等腰三角形的一个底角是75°，它的另一个底角和顶角的度数分别是( )和( )。 10．如果一个等腰三角形的顶角是100°，两个底角分别是( ) °和( ) °。 11．我们的红领巾按边分是( )三角形，其中一个底角是30°，它的顶角是( )。 12．在一个直角三角形中，其中一个锐角是20°，另一个锐角是( )。 13．如图，被挡住的角是( )度，这个三角形是( )三角形。    14．一个三角形中，一个角是70°，另一个角是80°，第三个角的度数是( )°，这是一个( )三角形。 15．一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是( )°，这是一个( )角三角形。 16．一个三角形中，一个角是45°，另一个角是95°，第三个角的度数是( )，这是一个( )三角形。 17．求下面各角的度数。 ∠A＝( )        ∠B＝( )∠C＝( ) 18．把一个大三角形剪成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是( )。 三、解答题 19．如图，用两把完全相同的三角尺分别拼出一个四边形和一个三角形。 （1）想一想，它们的内角和分别是多少？与同伴交流你是怎样想的。 （2） 量一量，算算它们的内角和。 20．在三角形ABC中，∠A＝30°，∠C比∠B多10°，∠B和∠C各是多少度？ 21．学校举行风筝比赛，奇思做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形。其中有一个角是40°，其它两个角各是多少度？ 22．如图，三角形ABC是直角三角形，∠1和∠2各是多少度？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $