（新课预习）第7讲 从结绳计数说起（讲义）-2026-2027学年四年级数学暑假衔接培优讲义（北师大版·新教材）

第7讲 从结绳计数说起 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：计数方法的演变与自然数的产生 知识点 2：自然数的认识与十进制计数法 知识点精讲 知识点 1：计数方法的演变与自然数的产生 1. 远古时代的计数方式 在文字和数字符号发明之前，古人为了记录猎物数量或物品多少，采用了以下原始计数方法： (1)实物计数：用石子、贝壳等实物对应物体个数。 (2)结绳计数：在绳子上打结，一个大结代表大数，小结代表小数，或通过结的位置区分数量。 (3)刻痕计数：在骨头、木头或石壁上刻画痕迹来记录数量。 (4)核心思想：一一对应。即一个计数符号（石子、结、痕）对应一个被计数的物体。 2. 符号计数的出现 随着社会发展，人们开始发明特定的符号来表示数： (1)古埃及象形数字：使用特定的图形符号表示1, 10, 100等。 (2)玛雅数字：使用点和横线组合表示数字，具有独特的二十进制特征（但在本课主要了解其符号多样性）。 (3)中国算筹数码：中国古代使用竹棍（算筹）摆放出不同形状来表示数字，体现了位值制的萌芽。 3. 印度-阿拉伯数字 (1)我们现在通用的 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这10个数字，最初由古印度人发明，后经阿拉伯人传入欧洲，故称为印度-阿拉伯数字。 (2)优势：只需10个符号，配合位值制，就可以表示任意大的数，书写和计算极其方便。 【典型例题】“结绳计数”：远古时期，人们通过在粗细不同的绳子上打结来计数，“满七进一”或“满八进一”（从右往左），如下图，“每个绳结”相当于我们现在的（    ）。 A．数级 B．数位 C．一个计数单位 D．自然数 【答案】C 【分析】根据题意，首先明确各选项概念：计数单位是计量数的大小的单位（如个，十，百等）；数位是数字所占的位置（如个位，十位等）；数级是便于读数的分级（如个级，万级等）；自然数是表示物体个数的数。以此作答即可。 【详解】根据分析可知： “满七进一”或“满八进一”的规则，类似于十进制中“满十进一”，每个绳结是用来计量数量的基本单位，符合计数单位的定义。而数位是位置，数级是分级，自然数是具体的数，均不符合。因此每个绳结相当于一个计数单位。 故答案为：C 【对应练习】远古时代，人们用结绳记录猎物数量（如图）：①号绳表示264，②号绳表示305，观察绳结规律（每段结对应数位），③号绳表示( )。 【答案】156 【分析】根据图示，①号绳表示的数是264，②号绳表示的数是305，即最上面有几个绳结就是几百，中间有几个绳结就是几十，下面有几个绳结就是几。据此数出③号绳上的绳结即可。 【详解】③号绳最上面有1个绳结，中间有5个绳结，下面有6个绳结，所以③号绳表示156。 知识点 2：自然数的认识与十进制计数法 1. 自然数的定义 (1)定义：表示物体个数的数叫自然数。 (2)包含范围： (3)关于0：一个物体也没有，用 0 表示。0也是自然数，且是最小的自然数。 (4)特征： ①　自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 ②　相邻的两个自然数相差1（后面的数总比前面的数多1）。 2. 十进制计数法 (1)计数单位：个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 (2)数位：各个计数单位所占的位置叫做数位。例如，“万位”、“十万位”。 (3)进率：每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。 ①　10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千…… ②　这种计数方法叫做十进制计数法。 (4)位值原理：同一个数字，在不同的数位上表示的大小不同。 ①　例如：数字“5”在百位上表示5个百（500），在万位上表示5个万（50000），在十万位上表示5个十万（500000）。 【典型例题】关于自然数，下列说法正确的是（ ）。 A. 自然数是从 1 开始的，所以 0 不是自然数。 B. 最小的自然数是 0，最大的自然数是 9999 亿。 C. 自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 D. 两个自然数之间一定相差 1。 【答案】C 【分析】本题考查自然数的定义、范围及基本性质。需明确 0 的地位、自然数的无限性以及相邻自然数的关系。 【详解】A 错误：根据现代数学定义及我国教材标准，0 也是自然数，表示“一个物体也没有”。 B 错误：自然数是无限的，不存在“最大”的自然数，无论多大的数，加 1 后都会得到更大的自然数。 C 正确：自然数集是无限集，没有尽头。 D 错误：只有“相邻”的两个自然数才相差 1。例如 1 和 3 都是自然数，但它们相差 2。 故选 C。 【对应练习】所有的自然数都是( )，最小的自然数是( )，没有最大的自然数。 【答案】 整数 0 【分析】根据题意，表示物体个数的1、2、3、4、5、6……都是自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。由此可知，所有的自然数都是整数，最小的自然数是0。没有最大的自然数。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 所有的自然数都是整数，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 巩固提升 一、填空题 1.远古时代，人们常用（ ）、（ ）或（ ）等方式来计数。这些方法都体现了（ ）的思想。 【答案】石子；结绳；刻痕；一一对应 【分析】考查对课文开头部分远古计数方式的记忆及核心数学思想的理解。 【详解】根据教材描述，古人用石子、结绳、刻痕计数，本质是一个符号对应一个物体，即一一对应。 2.表示物体个数的0，1，2，3，4，…都是（ ）数。最小的自然数是（ ），（ ）最大的自然数。（填“有”或“没有”） 【答案】自然；0；没有 【分析】考查自然数的定义及性质。 【详解】自然数包括0和正整数，0是最小的，因为自然数无限延伸，所以没有最大的。 3.在十进制计数法中，每相邻两个计数单位之间的进率是（ ）。万位的左边一位是（ ）位，右边一位是（ ）位。 【答案】10；十万；千 【分析】考查十进制的进率及数位顺序表。 【详解】十进制核心是满十进一，进率为10。数位顺序从右往左依次是个、十、百、千、万、十万……，所以万位左边是十万位，右边是千位。 4.数字“6”在6060中，左边的“6”在（ ）位上，表示（ ）；右边的“6”在（ ）位上，表示（ ）。 【答案】千；6个千；十；6个十 【分析】考查位值制原理，同一数字在不同数位意义不同。 【详解】6060中，高位6在千位，代表6000；低位6在十位，代表60。 5.找规律填数：2002，3003，4004，（ ），（ ），7007。 【答案】5005；6006 【分析】观察数列中数字的变化规律。 【详解】千位和个位数字相同，且依次递增1；百位和十位始终是0。4004后面是5005，再后面是6006。 6.我国古代使用的计算工具叫（ ），现在电子计算机广泛使用的是（ ）进制。 【答案】算筹（或算盘）；二 二、判断题 7.自然数中最小的数是1。 （ ） 【答案】× 【分析】考查对0是否属于自然数的认知。 【详解】0也是自然数，且是最小的自然数。所以最小的是0，不是1。 8.“万”、“十万”、“百万”都是计数单位。 （ ） 【答案】√ 【分析】区分“数位”和“计数单位”。 【详解】带有“位”字的是数位（如万位），不带“位”字的是计数单位（如万）。题目表述正确。 9.两个计数单位之间的进率都是10。 （ ） 【答案】× 【分析】考查十进制定义的严谨性，关键词是“相邻”。 【详解】必须是相邻的两个计数单位之间的进率才是10。例如“个”和“百”之间进率是100。 10.古埃及人、玛雅人和中国人发明的数字符号虽然不同，但都可以用来表示数。 （ ） 【答案】√ 【分析】考查对计数符号多样性的理解。 【详解】不同文明发明了不同的符号系统，但功能一致，都是为了记录和交流数量。 三、选择题 11.下面关于自然数的说法，错误的是（ ）。 A. 0是自然数 B. 自然数的个数是无限的 C. 最大的自然数是999999999 D. 相邻自然数相差1 【答案】C 【分析】综合考查自然数的性质。 【详解】A、B、D均正确。C错误，因为自然数没有最大值，可以无限大。 12.在计数器上，十万位上的5颗珠子比万位上的5颗珠子多（ ）。 A. 45000 B. 450000 C. 50000 D. 5000 【答案】B 【分析】考查位值计算及减法运算。 【详解】十万位上的5表示500000；万位上的5表示50000。差值 = 。 13.下列计数方法中，不属于远古时代原始计数方法的是（ ）。 A. 结绳记事 B. 刻痕记数 C. 使用阿拉伯数字书写 D. 石子计数 【答案】C 【分析】区分历史阶段，阿拉伯数字是后期发明的符号系统。 【详解】A、B、D均为课文提到的远古实物/痕迹计数法。C是后来形成的符号计数法，不属于“远古原始”范畴。 四、计算题 14.写出由下列各数组成的数： (1) 5个十万，3个万，6个百。 (2) 8个千万，2个十万，9个一。 【答案】(1) 530600； (2) 80200009 【分析】考查根据计数单位写数，注意中间空缺数位补0。 【详解】 (1) 十万位是5，万位是3，千位无（0），百位是6，十位无（0），个位无（0）。写作：530600。 (2) 千万位是8，百万位无（0），十万位是2，万位无（0），千位无（0），百位无（0），十位无（0），个位是9。写作：80200009。 15.计算下面各题，并说说你发现了什么规律： (1) (2) (3) 【答案】(1) 10； (2) 100； (3) 1000 【分析】通过乘法直观感受十进制的进率。 【详解】 (1) 1个十是10。 (2) 10个十是100。 (3) 100个十是1000。 规律：一个数乘10，相当于把这个数向左移动一位（或末尾添一个0），体现了十进制“满十进一”的原理。 五、解答题 16.小明在博物馆看到一根古老的绳子，上面打了3个大结和5个小结。讲解员说：“大结代表10，小结代表1。”请问这根绳子表示的数字是多少？如果用现在的数字表示，怎么写？ 【答案】35 【分析】将原始计数方式转化为现代数字，考查位值概念的雏形。 【详解】3个大结表示 ，5个小结表示 。合起来是 。用现在数字写作35。 17.在数字 555555 中，从右往左数，第一个“5”和第六个“5”表示的意义有什么不同？请具体说明。 【答案】第一个“5”表示5个一（5）；第六个“5”表示5个十万（500000）。 【分析】深入理解位值制，同一数字在不同位置数值差异巨大。 【详解】从右往左： 第1位是个位，5表示5； 第2位是十位，5表示50； ... 第6位是十万位，5表示500000。 两者相差 。 18.我们知道时间计时中，1小时=60分，1分=60秒。这是六十进制。 (1) 在六十进制中，“分”和“秒”之间的进率是多少？ (2) 如果现在是 1时59分60秒，下一秒时间应该怎么表示？ 【答案】(1) 60； (2) 2时0分0秒（或2:00:00） 【分析】结合生活实际，理解非十进制的计数规则，迁移应用能力。 【详解】 (1) 60秒进1分，进率是60。 (2) 60秒满60进1到分，59分+1分=60分；60分满60进1到时，1时+1时=2时。所以是2时0分0秒。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 从结绳计数说起 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：计数方法的演变与自然数的产生 知识点 2：自然数的认识与十进制计数法 知识点精讲 知识点 1：计数方法的演变与自然数的产生 1. 远古时代的计数方式 在文字和数字符号发明之前，古人为了记录猎物数量或物品多少，采用了以下原始计数方法： (1)实物计数：用石子、贝壳等实物对应物体个数。 (2)结绳计数：在绳子上打结，一个大结代表大数，小结代表小数，或通过结的位置区分数量。 (3)刻痕计数：在骨头、木头或石壁上刻画痕迹来记录数量。 (4)核心思想：一一对应。即一个计数符号（石子、结、痕）对应一个被计数的物体。 2. 符号计数的出现 随着社会发展，人们开始发明特定的符号来表示数： (1)古埃及象形数字：使用特定的图形符号表示1, 10, 100等。 (2)玛雅数字：使用点和横线组合表示数字，具有独特的二十进制特征（但在本课主要了解其符号多样性）。 (3)中国算筹数码：中国古代使用竹棍（算筹）摆放出不同形状来表示数字，体现了位值制的萌芽。 3. 印度-阿拉伯数字 (1)我们现在通用的 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这10个数字，最初由古印度人发明，后经阿拉伯人传入欧洲，故称为印度-阿拉伯数字。 (2)优势：只需10个符号，配合位值制，就可以表示任意大的数，书写和计算极其方便。 【典型例题】“结绳计数”：远古时期，人们通过在粗细不同的绳子上打结来计数，“满七进一”或“满八进一”（从右往左），如下图，“每个绳结”相当于我们现在的（    ）。 A．数级 B．数位 C．一个计数单位 D．自然数 【对应练习】远古时代，人们用结绳记录猎物数量（如图）：①号绳表示264，②号绳表示305，观察绳结规律（每段结对应数位），③号绳表示( )。 知识点 2：自然数的认识与十进制计数法 1. 自然数的定义 (1)定义：表示物体个数的数叫自然数。 (2)包含范围： (3)关于0：一个物体也没有，用 0 表示。0也是自然数，且是最小的自然数。 (4)特征： ①　自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 ②　相邻的两个自然数相差1（后面的数总比前面的数多1）。 2. 十进制计数法 (1)计数单位：个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 (2)数位：各个计数单位所占的位置叫做数位。例如，“万位”、“十万位”。 (3)进率：每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。 ①　10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千…… ②　这种计数方法叫做十进制计数法。 (4)位值原理：同一个数字，在不同的数位上表示的大小不同。 ①　例如：数字“5”在百位上表示5个百（500），在万位上表示5个万（50000），在十万位上表示5个十万（500000）。 【典型例题】关于自然数，下列说法正确的是（ ）。 A. 自然数是从 1 开始的，所以 0 不是自然数。 B. 最小的自然数是 0，最大的自然数是 9999 亿。 C. 自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 D. 两个自然数之间一定相差 1。 【对应练习】所有的自然数都是( )，最小的自然数是( )，没有最大的自然数。 巩固提升 一、填空题 1.远古时代，人们常用（ ）、（ ）或（ ）等方式来计数。这些方法都体现了（ ）的思想。 2.表示物体个数的0，1，2，3，4，…都是（ ）数。最小的自然数是（ ），（ ）最大的自然数。（填“有”或“没有”） 3.在十进制计数法中，每相邻两个计数单位之间的进率是（ ）。万位的左边一位是（ ）位，右边一位是（ ）位。 4.数字“6”在6060中，左边的“6”在（ ）位上，表示（ ）；右边的“6”在（ ）位上，表示（ ）。 5.找规律填数：2002，3003，4004，（ ），（ ），7007。 6.我国古代使用的计算工具叫（ ），现在电子计算机广泛使用的是（ ）进制。 二、判断题 7.自然数中最小的数是1。 （ ） 8.“万”、“十万”、“百万”都是计数单位。 （ ） 9.两个计数单位之间的进率都是10。 （ ） 10.古埃及人、玛雅人和中国人发明的数字符号虽然不同，但都可以用来表示数。 （ ） 三、选择题 11.下面关于自然数的说法，错误的是（ ）。 A. 0是自然数 B. 自然数的个数是无限的 C. 最大的自然数是999999999 D. 相邻自然数相差1 12.在计数器上，十万位上的5颗珠子比万位上的5颗珠子多（ ）。 A. 45000 B. 450000 C. 50000 D. 5000 13.下列计数方法中，不属于远古时代原始计数方法的是（ ）。 A. 结绳记事 B. 刻痕记数 C. 使用阿拉伯数字书写 D. 石子计数 四、计算题 14.写出由下列各数组成的数： (1) 5个十万，3个万，6个百。 (2) 8个千万，2个十万，9个一。 15.计算下面各题，并说说你发现了什么规律： (1) (2) (3) 五、解答题 16.小明在博物馆看到一根古老的绳子，上面打了3个大结和5个小结。讲解员说：“大结代表10，小结代表1。”请问这根绳子表示的数字是多少？如果用现在的数字表示，怎么写？ 17.在数字 555555 中，从右往左数，第一个“5”和第六个“5”表示的意义有什么不同？请具体说明。 18.我们知道时间计时中，1小时=60分，1分=60秒。这是六十进制。 (1) 在六十进制中，“分”和“秒”之间的进率是多少？ (2) 如果现在是 1时59分60秒，下一秒时间应该怎么表示？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $