内容正文:
第2讲 图形的旋转
知识导航
知识点梳理
难易度
知识点 1:旋转现象
知识点 2:旋转的三大要素
知识点 3:旋转的性质
知识点 4:在方格纸上画旋转图形
知识点精讲
知识点 1:旋转现象
1. 定义
在平面内,将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角。
2. 生活中的实例
(1)顺时针旋转:钟表指针的运动、拧紧瓶盖、风车叶片的转动。
(2)逆时针旋转:松开瓶盖、倒回钟表指针。
3. 平移与旋转的区别
(1)平移:物体沿直线运动,本身方向不发生改变。
(2)旋转:物体绕某一点或轴运动,本身方向发生改变,但形状和大小不变。
【典型例题】下列( )的运动是旋转。
A.汽车在公路上笔直地行驶 B.拨算珠
C.自行车车轮的运动 D.拉抽屉
【答案】C
【分析】在平面内,将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫作图形的旋转;把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离,图形的这种移动,叫作平移;据此分析解答。
【详解】A.汽车在公路上笔直地行驶,车身沿直线运动,方向不变,属于平移现象,此选项错误;
B.拨算珠,算珠沿杆直线上下来回运动,方向不变,属于平移现象,此选项错误;
C.自行车车轮的运动,车轮绕着车轴转动,方向发生改变,属于旋转现象,此选项正确;
D.拉抽屉,抽屉沿轨道直线运动,方向不变,属于平移现象,此选项错误。
【对应练习】停车场的出口和入口处都有起落杆。如图,这根起落杆完成这次升起运动,它的运动方式是( )时针旋转。
【答案】逆
【分析】在平面内,把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程,称为旋转。
【详解】以左下角的固定轴为旋转中心,起落杆从水平向右转到竖直向上,这个转动方向和钟表指针的转动方向相反。所以这根起落杆完成这次升起运动,它的运动方式是逆时针旋转。
知识点 2:旋转的三大要素
要准确描述一个旋转过程,必须明确以下三个要素,缺一不可:
1. 旋转中心(点)
(1)图形是绕着哪一个点进行旋转的。
(2)注意:旋转中心可以在图形上,也可以在图形外。在方格纸练习中,通常指定某个顶点或方格的交点为旋转中心。
2. 旋转方向
(1)顺时针方向:与时钟指针走动的方向一致。
(2)逆时针方向:与时钟指针走动的方向相反。
3. 旋转角度
(1)图形转过的度数。
(2)常见的旋转角度为 90°(直角)。
(3)判断方法:观察对应边之间的夹角。例如,一条水平边旋转后变成垂直边,则旋转角度为90°。
示例描述:
“将三角形ABC绕点A顺时针旋转90°。”
① 旋转中心:点A
② 旋转方向:顺时针
③ 旋转角度:90°
【典型例题】把三角形绕点O逆时针旋转,正确的是( )。
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据旋转的特征,把三角形绕O点逆时针旋转90°,点O位置不变,其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数,据此判断各选项。
【详解】A.根据旋转的方向判断,是顺时针旋转,不符合要求;
B.旋转过程中点O位置变动了,所以不是绕O点旋转,不符合要求;
C.旋转过程中点O位置变动了,所以不是绕O点旋转,不符合要求;
D.点O位置不变,旋转方向也是逆时针90°,符合要求。
故答案为:D
【对应练习】星期天,亮亮一家人去游乐园坐摩天轮。摩天轮的旋转方向如图中箭头所示。他们从登舱点①进入摩天轮,当他们到达最高点③时,正好是绕着摩天轮中心点( )方向(“顺时针”或“逆时针”)旋转了( )°。
【答案】 顺时针 180
【分析】观察摩天轮的旋转箭头方向,从登舱点①到最高点③,是按照箭头所指的方向旋转的,这个方向是顺时针方向。 整个摩天轮可以看作是一个周角,为360°,从登舱点①进入摩天轮,到达最高点③时刚好是这个周角的一半,即是一个平角180°。
【详解】根据分析可知,他们从登舱点①进入摩天轮,当到达最高点③时,正好是绕着摩天轮中心点顺时针方向旋转了180°。
知识点 3:旋转的性质
图形在旋转过程中,具有以下重要性质(即“变”与“不变”):
1. “不变”的性质
(1)形状不变:旋转前后的图形全等。
(2)大小不变:对应线段的长度相等,对应角的大小相等。
(3)距离不变:对应点到旋转中心的距离相等。
2. “变”的性质
(1)位置改变:图形在平面内的位置发生了变化。
(2)方向改变:图形的朝向发生了改变。
【典型例题】旋转和平移改变了图形的位置,但形状和大小不会发生变化。( )
【答案】√
【详解】平移是图形沿直线运动,旋转是图形绕某点转动。两者共同特征是只改变位置,不改变形状和大小。
故答案为:√
【对应练习】把一个图形旋转后,它的( )和( )不会发生变化,只是( )发生了改变。
【答案】 形状 大小 位置
【分析】图形的旋转是指在平面内,将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转。其性质是:旋转前后的图形,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段长度、对应角大小相等,图形的形状和大小都没有发生变化,只是位置发生了改变。
【详解】把一个图形旋转后,它的形状和大小不会发生变化,只是位置发生了改变。
知识点 4:在方格纸上画旋转图形
在方格纸上画出简单图形旋转90°后的图形,是本章的操作重点。以下是标准操作步骤:
步骤一:定中心
确定旋转中心(通常为图形的一个顶点或方格交点),该点在旋转过程中位置保持不动。
步骤二:找关键线段
找出与旋转中心相连的关键线段(通常是图形的边)。
技巧:优先选择水平或垂直的线段,因为它们在旋转90°后会变为垂直或水平,易于在方格纸上定位。
步骤三:画对应线段
根据旋转方向和角度,画出关键线段旋转后的位置。
数格子法:
(1)看原线段占几个格(长度)。
(2)确定新方向(顺时针/逆时针转90°)。
(3)从旋转中心出发,在新方向上数相同的格数,标出端点。
(4)连接旋转中心与新端点。
步骤四:补全图形
依据原图形的其他顶点与关键线段的相对位置关系,找出其他顶点的对应点,并顺次连接各对应点。
步骤五:检查验证
(1)检查对应点到旋转中心的距离是否相等(数格子验证)。
(2)检查对应线段之间的夹角是否为90°。
(3)检查图形的形状和大小是否与原图一致。
【典型例题】画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°后的图形,标出对应点。
【答案】
【分析】根据旋转的特征,这个图形绕着点C顺时针旋转90°后,点C的位置不变,其余各部分均绕着此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形,最后标上对应点即可。
【详解】根据分析进行作图即可。
【对应练习】画出下面图形绕点O逆时针旋转90°后的图形。
【答案】
【分析】根据旋转的特征,点O的位置不动,先找出梯形除O点之外的三个点所在的位置,再根据对应点逆时针旋转90°,对应线段长度不变来找出除O点之外旋转后的对应点,再顺次连接所画出的对应点,就能得到旋转后的图形。
【详解】略
巩固提升
一、填空题
1.如图①,图形A绕点O( )得到图形B。如图②,图形C绕点O( )得到图形D。
【答案】 顺时针旋转90° 逆时针旋转90°
【分析】观察图形位置变化,判断绕点O旋转的方向和角度。
【详解】图①中图形A从水平变为竖直,是绕点O顺时针旋转90°得到图形B;图②中图形C是绕点O逆时针旋转90°得到图形D。
2.下图中的平行四边形绕A点按( )时针方向旋转了( );图中的三角形绕B点按( )时针方向旋转了( )。
【答案】 逆 90° 顺 90°
【分析】根据旋转的特征;一个图形绕某点按一定的方向旋转一定的度数,某点的位置不动,其余各部分均绕某点按相同的方向旋转相同的度数,据此解答。
【详解】由图可知:
图中的平行四边形绕A点按逆时针方向旋转了90°;
图中的三角形是绕B点按顺时针方向旋转了90°。
3.高铁检票闸机如图所示,当有人进入时,左侧挡板绕点A按( )时针方向旋转,右侧挡板绕点( )按( )时针方向旋转。
【答案】 逆 B 顺
【分析】在平面内,把一个图形围绕某一固定点按顺时针或者逆时针的方向转动一定角度的过程,称为旋转,当有人进入时,两侧挡板同时向中间通道收起,留出通行空间,此时左侧挡板需要按逆时针方向旋转,右侧挡板需要按顺时针方向旋转。
【详解】分析可知,当有人进入时,左侧挡板绕点A按逆时针方向旋转,右侧挡板绕点B按顺时针方向旋转。
4.如图是一种电风扇的调速开关,电风扇目前处于关闭状态。要想把电风扇的转速调到3档状态,应该将开关按( )时针方向旋转( )°。
【答案】 顺 90
【分析】指针按钟表指针旋转的方向旋转为顺时针方向旋转,反方向旋转为逆时针旋转,据此判断,由电风扇关闭状态(水平方向)旋转到3档状态(竖直方向),形成直角,即90°。
【详解】由分析可知:如图是一种电风扇的调速开关,电风扇目前处于关闭状态。要想把电风扇的转速调到3档状态,应该将开关按顺时针方向旋转90°。
5.钟面的时针从“12”绕O点顺时针旋转60°到“( )”;时针从“6”绕O点顺时针旋转( )°到“9”。
【答案】 2 90
【分析】时针转一圈是360°,有12个大格,即每个大格就是30°。
时针顺时针旋转60°就是2个大格,即到了“2”;
时针从“6”绕O点顺时针到“9”就是转动了3个大格,一个大格是30°,三个大格就是90°。
【详解】360°÷12=30°
60°÷30°=2(个)
9-6=3(个)
30°×3=90°
钟面的时针从“12”绕O点顺时针旋转60°到“2”;时针从“6”绕O点顺时针旋转90°到“9”。
6.为了丰富人们的娱乐活动,某政府在游乐园增设了一个巨大的摩天轮(如右图),它的旋转方向如图中箭头所示。摩天轮以固定的速度旋转,转一圈约用时16分钟。从登舱点P到位置Q,摩天轮绕点M按( )时针方向旋转了( );如果从登舱点P进入摩天轮,12分钟后将到达点( )处。
【答案】 逆 90°/90度 S
【分析】观察图可知:摩天轮是按逆时针方向旋转,摩天轮旋转一圈是360°,P、Q、R、S四个点将摩天轮所在圆平均分成4份,每份就是90°;
摩天轮以固定速度旋转,转一圈正好16分钟,从登舱点P进入摩天轮,P、Q、R、S四个点将摩天轮平均分成4份,从点P开始到下一个点需要16÷4=4(分钟),12÷4=3(份),刚好到达点S处。
【详解】16÷4=4(分钟)
12÷4=3(份)
摩天轮以固定的速度旋转,转一圈约用时16分钟。从登舱点P到位置Q,摩天轮绕点M按逆时针方向旋转了90°;如果从登舱点P进入摩天轮,12分钟后将到达点S处。
二、判断题
7.图形经过旋转后,位置和方向都改变,但形状和大小不变。( )
【答案】√
【详解】把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转,旋转时图形位置和方向发生变化,大小不变,形状不变。
如下图:
风车绕着中心旋转,每个扇叶旋转时位置和方向变了,但是形状和大小没有变。
故答案为:√
8.顺时针旋转90°,得到的图形是。( )
【答案】×
【分析】旋转时图形位置发生变化,大小不变,形状不变;作旋转一定角度后的图形步骤:根据题目要求,确定旋转中心、旋转方向和旋转角;分析所作图形,找出构成图形的关键点;找出关键点的对应点:按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点;作出新图形,顺次连接作出的各点即可;将这个图形顺时针旋转90°得到的图形先画出来,再对比判断即可。
【详解】
根据分析:顺时针旋转90°,得到的图形应该是。原题说法错误。故答案为:×
三、选择题
9.下面的运动中,属于旋转的是( )。
A.推拉抽屉 B.升国旗 C.拧开水龙头 D.拉动窗帘
【答案】C
【分析】平移是指物体或图形沿着直线运动的现象,形状、大小、方向都不变,只变位置;旋转是指物体或图形绕着一个点或一条轴转动的现象,形 状、大小不变,位置和方向改变。
【详解】A.推拉抽屉是沿着直线运动,属于平移;
B. 升国旗是沿着直线运动,属于平移;
C. 拧开水龙头是绕着轴转圈,是旋转;
D.拉动窗帘是沿着直线运动,属于平移。
所以,属于旋转的是拧开水龙头。
10.福建省石狮市的八卦街由众多老街古巷纵横交错构成。街道上有一块长方形宣传牌被风吹倒了(如图),要想将这块宣传牌扶正,应该将宣传牌绕点A( )。
A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90°
C.顺时针旋转180° D.逆时针旋转180°
【答案】B
【分析】顺时针是与钟表指针旋转方向相同,逆时针是与钟表指针旋转方向相反,根据题意,要扶正后要与图中虚线部分重合,逐项分析。
【详解】
A.顺时针旋转90°,如图:没有与原图重合,不符;
B.逆时针旋转90°,如图:,与原图重合,符合题意;
C.顺时针旋转180°,如图,没有与原图重合,不符;
D.逆时针旋转180°,如图:,没有与原图重合,不符。
11.将下图的直角三角形绕点O逆时针旋转后,正确的是( )。
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】解题时需紧扣旋转三要素:旋转中心(点O)、旋转方向(逆时针)、旋转角度(90°)。观察原图,直角三角形的长直角边、短直角边分别为“竖直方向”和“水平方向”;绕点O逆时针旋转90°后,原本竖直的长直角边应逆时针转动90°变为水平方向,原本水平的短直角边应逆时针转动90°变为竖直方向,且旋转前后的长直角边以及短直角边之间的夹角为90°,据此分析各选项。
【详解】A.图形中短直角边为水平方向,长直角边为竖直方向,旋转后的方向不符合“绕点O逆时针旋转90°”的规律。
B.图形为顺时针旋转90°,不符合题目中逆时针旋转的要求。
C.图形旋转中心(点O)、旋转方向(逆时针)、旋转角度(90°)均正确。
D.由于旋转角度为90°,所以旋转前的长直角边与旋转后的长直角边之间的角度应该为90°,由此排除D选项。
故答案为:C
12.“俄罗斯方块”是一个益智游戏。如图所示,要让即将落下的方块填满下面两行,下面操作正确的是( )。
A.绕点顺时针旋转,再向下平移
B.绕点顺时针旋转,再向下平移
C.绕点逆时针旋转,再向下平移
D.绕点逆时针旋转,再向下平移
【答案】C
【分析】通过观察题目所给图形下面两行的空缺位置,确定即将落下的方块需要进行的旋转方向和角度,使得其形状与空缺位置匹配,然后再进行向下平移操作。
【详解】观察题目中的图形下面两行空缺位置的形状,要使即将落下的方块填满这两行,即将落下的方块需要改变方向。因为将方块绕点O逆时针旋转90°后,其形状能与空缺位置的形状一致。所以旋转操作是绕点O逆时针旋转90°。
故答案为:C
四、作图题
13.按要求画图。
(1)画出长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°后的图形。
(2)画出将直角三角形EFG绕点G逆时针旋转90°后的图形。
【答案】见详解
【分析】(1)根据旋转的特征,将长方形绕点D顺时针旋转90°,点D的位置不变,其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数,即可画出旋转后的图形。
(2)根据旋转的特征,将直角三角形绕点G逆时针旋转90°,点G的位置不变,其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数,即可画出旋转后的图形。
【详解】(1)(2)画图如下:
14.填一填,画一画。
(1)画出将三角形AOB绕点O逆时针旋转后得到的图形,标上①。
(2)梯形②绕点( )按( )方向旋转( )才能与梯形③重合。
【答案】(1)
(2) O 顺时针/逆时针 180
【分析】旋转前后图形的形状、大小不变,仅位置改变;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。
【详解】(1)以点O为中心,将OA、OB分别逆时针旋转90°,找到A、B的对应点,再连接成三角形即可,如图所示:
(2)观察梯形②和③的位置关系,它们以点O为中心,顺时针(或逆时针)旋转180°后可完全重合。
15.按要求答题。
(1)填一填:将图形A绕O点( )方向旋转( ),得到图形B。
(2)画一画:将图形A绕O点逆时针旋转,得到图形C。
【答案】(1)顺时针;90
(2)见详解
【分析】(1)决定旋转后图形的位置的要素:一是旋转中心或轴,二是旋转方向(顺时针或逆时针),三是旋转角度。
(2)作旋转一定角度后的图形步骤:根据题目要求,确定旋转中心、旋转方向和旋转角;分析所作图形,找出构成图形的关键点;找出关键点的对应点:按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点;作出新图形,顺次连接作出的各点即可。
【详解】(1)将图形A绕O点顺时针方向旋转90,得到图形B。
(2)
试卷第1页,共3页
第 1 页 共 13 页
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第2讲 图形的旋转
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知识点梳理
难易度
知识点 1:旋转现象
知识点 2:旋转的三大要素
知识点 3:旋转的性质
知识点 4:在方格纸上画旋转图形
知识点精讲
知识点 1:旋转现象
1. 定义
在平面内,将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角。
2. 生活中的实例
(1)顺时针旋转:钟表指针的运动、拧紧瓶盖、风车叶片的转动。
(2)逆时针旋转:松开瓶盖、倒回钟表指针。
3. 平移与旋转的区别
(1)平移:物体沿直线运动,本身方向不发生改变。
(2)旋转:物体绕某一点或轴运动,本身方向发生改变,但形状和大小不变。
【典型例题】下列( )的运动是旋转。
A.汽车在公路上笔直地行驶 B.拨算珠
C.自行车车轮的运动 D.拉抽屉
【对应练习】停车场的出口和入口处都有起落杆。如图,这根起落杆完成这次升起运动,它的运动方式是( )时针旋转。
知识点 2:旋转的三大要素
要准确描述一个旋转过程,必须明确以下三个要素,缺一不可:
1. 旋转中心(点)
(1)图形是绕着哪一个点进行旋转的。
(2)注意:旋转中心可以在图形上,也可以在图形外。在方格纸练习中,通常指定某个顶点或方格的交点为旋转中心。
2. 旋转方向
(1)顺时针方向:与时钟指针走动的方向一致。
(2)逆时针方向:与时钟指针走动的方向相反。
3. 旋转角度
(1)图形转过的度数。
(2)常见的旋转角度为 90°(直角)。
(3)判断方法:观察对应边之间的夹角。例如,一条水平边旋转后变成垂直边,则旋转角度为90°。
示例描述:
“将三角形ABC绕点A顺时针旋转90°。”
① 旋转中心:点A
② 旋转方向:顺时针
③ 旋转角度:90°
【典型例题】把三角形绕点O逆时针旋转,正确的是( )。
A. B.
C. D.
【对应练习】星期天,亮亮一家人去游乐园坐摩天轮。摩天轮的旋转方向如图中箭头所示。他们从登舱点①进入摩天轮,当他们到达最高点③时,正好是绕着摩天轮中心点( )方向(“顺时针”或“逆时针”)旋转了( )°。
知识点 3:旋转的性质
图形在旋转过程中,具有以下重要性质(即“变”与“不变”):
1. “不变”的性质
(1)形状不变:旋转前后的图形全等。
(2)大小不变:对应线段的长度相等,对应角的大小相等。
(3)距离不变:对应点到旋转中心的距离相等。
2. “变”的性质
(1)位置改变:图形在平面内的位置发生了变化。
(2)方向改变:图形的朝向发生了改变。
【典型例题】旋转和平移改变了图形的位置,但形状和大小不会发生变化。( )
【对应练习】把一个图形旋转后,它的( )和( )不会发生变化,只是( )发生了改变。
知识点 4:在方格纸上画旋转图形
在方格纸上画出简单图形旋转90°后的图形,是本章的操作重点。以下是标准操作步骤:
步骤一:定中心
确定旋转中心(通常为图形的一个顶点或方格交点),该点在旋转过程中位置保持不动。
步骤二:找关键线段
找出与旋转中心相连的关键线段(通常是图形的边)。
技巧:优先选择水平或垂直的线段,因为它们在旋转90°后会变为垂直或水平,易于在方格纸上定位。
步骤三:画对应线段
根据旋转方向和角度,画出关键线段旋转后的位置。
数格子法:
(1)看原线段占几个格(长度)。
(2)确定新方向(顺时针/逆时针转90°)。
(3)从旋转中心出发,在新方向上数相同的格数,标出端点。
(4)连接旋转中心与新端点。
步骤四:补全图形
依据原图形的其他顶点与关键线段的相对位置关系,找出其他顶点的对应点,并顺次连接各对应点。
步骤五:检查验证
(1)检查对应点到旋转中心的距离是否相等(数格子验证)。
(2)检查对应线段之间的夹角是否为90°。
(3)检查图形的形状和大小是否与原图一致。
【典型例题】画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°后的图形,标出对应点。
【对应练习】画出下面图形绕点O逆时针旋转90°后的图形。
巩固提升
一、填空题
1.如图①,图形A绕点O( )得到图形B。如图②,图形C绕点O( )得到图形D。
2.下图中的平行四边形绕A点按( )时针方向旋转了( );图中的三角形绕B点按( )时针方向旋转了( )。
3.高铁检票闸机如图所示,当有人进入时,左侧挡板绕点A按( )时针方向旋转,右侧挡板绕点( )按( )时针方向旋转。
4.如图是一种电风扇的调速开关,电风扇目前处于关闭状态。要想把电风扇的转速调到3档状态,应该将开关按( )时针方向旋转( )°。
5.钟面的时针从“12”绕O点顺时针旋转60°到“( )”;时针从“6”绕O点顺时针旋转( )°到“9”。
6.为了丰富人们的娱乐活动,某政府在游乐园增设了一个巨大的摩天轮(如右图),它的旋转方向如图中箭头所示。摩天轮以固定的速度旋转,转一圈约用时16分钟。从登舱点P到位置Q,摩天轮绕点M按( )时针方向旋转了( );如果从登舱点P进入摩天轮,12分钟后将到达点( )处。
二、判断题
7.图形经过旋转后,位置和方向都改变,但形状和大小不变。( )
8.顺时针旋转90°,得到的图形是。( )
三、选择题
9.下面的运动中,属于旋转的是( )。
A.推拉抽屉 B.升国旗 C.拧开水龙头 D.拉动窗帘
10.福建省石狮市的八卦街由众多老街古巷纵横交错构成。街道上有一块长方形宣传牌被风吹倒了(如图),要想将这块宣传牌扶正,应该将宣传牌绕点A( )。
A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90°
C.顺时针旋转180° D.逆时针旋转180°
11.将下图的直角三角形绕点O逆时针旋转后,正确的是( )。
A. B.
C. D.
12.“俄罗斯方块”是一个益智游戏。如图所示,要让即将落下的方块填满下面两行,下面操作正确的是( )。
A.绕点顺时针旋转,再向下平移
B.绕点顺时针旋转,再向下平移
C.绕点逆时针旋转,再向下平移
D.绕点逆时针旋转,再向下平移
四、作图题
13.按要求画图。
(1)画出长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°后的图形。
(2)画出将直角三角形EFG绕点G逆时针旋转90°后的图形。
14.填一填,画一画。
(1)画出将三角形AOB绕点O逆时针旋转后得到的图形,标上①。
(2)梯形②绕点( )按( )方向旋转( )才能与梯形③重合。
15.按要求答题。
(1)填一填:将图形A绕O点( )方向旋转( ),得到图形B。
(2)画一画:将图形A绕O点逆时针旋转,得到图形C。
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