第一章集合与常用逻辑用语测试卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语，以"概念理解-关系推理-综合应用"为主线，通过分层题型系统训练数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合基础|3题|列举法/元素互异性分析|从集合表示到元素个数判定，构建集合概念体系| |集合关系|4题|子集分类讨论/参数范围确定|子集、交集运算与参数问题的逻辑推导| |常用逻辑用语|6题|充要条件判定/命题否定规则|条件判断与命题逻辑的形式化表达| |新定义综合|5题|概念迁移/抽象建模|集合创新题型中的数学语言转化与应用|

高考总复习效果监测——人教A版高中数学必修一第一章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，则A中元素个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．已知集合，，若，则实数a的值为 A． B．1 C．0或 D．0或1 3．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是复数，且，则“”是“方程有两个不相等的实根”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、多选题 9．下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 10．已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 11．（多选）若非空实数集满足任意，都有， ，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（ ） A．是优集 B．是优集 C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集 三、填空题 12．给定下列四个命题：其中为真命题的是 ．（填上正确命题的序号） ①“”是“”的充分不必要条件； ②若“”为真，则“”为真； ③已知，则“”是“”的充分不必要条件； ④“若，则”的逆否命题为真命题． 13．设命题，命题且，若是的必要条件，则的取值范围是____________. 14．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______． 四、解答题 15．设，命题p：，满足，命题q：x，. （1）若命题是真命题，求a的范围； （2）为假，为真，求a的取值范围. 16．已知，设，成立； 成立．如果假真时，求的取值范围． 17．已知命题：不等式对任意恒成立.命题：集合满足. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 18．设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件： ①，且Q中至少有两个元素； ②对于任意，当，都有； ③对于任意，若，则； 则称集合Q为集合P的“耦合集”． (1)若集合，求集合P1的“耦合集”； (2)集合，且，若集合存在“耦合集”． （i）求证：对于任意，有； （ii）求集合的“耦合集”的元素个数． 19．对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合． (1)若，求的存在共轭集合； (2)若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：； (3)若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值． 《高考总复习效果监测——人教A版高中数学必修一第一章测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D A C D A BC ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】由列举法即可判断 【详解】，共有9个元素. 故选：B 2．C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【解析】根据子集的定义，分类讨论进行求解即可. 【详解】因为，所以. 当时，说明方程没有实数根，所以有； 当时，说明是方程有唯一实数根，显然不成立，一定不是方程的实数根； 当时，说明是方程有唯一实数根，所以，解得； 当时，因为方程最多有一个实数根，所以不存在这种情况. 综上所述：实数a的值为0或. 故选：C 【点睛】本题考查了根据子集关系求参数的取值问题，属于基础题. 3．B 【知识点】并集的概念及运算 【分析】先求得集合B，再根据并集运算即可得解. 【详解】集合 解得 由并集运算可得 故选:B 【点睛】本题考查了并集的简单运算，属于基础题. 4．D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】根据题意,举出特例即可说明充分必要性. 【详解】是复数,且 当时,满足,但此时方程的两个根为不是实数根; 当时,方程的两个实数根为,但是此时 综上可知, “”是“方程有两个不相等的实根”的既非充分也非必要条件 故选:D 【点睛】本题考查了复数与一元二次方程的综合应用,方程的根与判别式关系,属于基础题. 5．A 【知识点】必要条件、充分条件 【解析】首先将化简可得，然后根据充分条件和必要条件即可得到答案 【详解】由得， 因为在上单调递增，所以，而，所以， 故充分性成立； 而当时，且， 故必要性不成立． 故选：A． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题． 6．C 【知识点】充要条件的证明 【分析】依题意找到成立的等价条件，再由充要条件的定义即可判断. 【详解】因， 对于，，当且仅当时等号成立. 则由可得，由可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．D 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，从而分析原命题求出其否定． 【详解】存在量词命题“”的否定为全称量词命题“”， 命题“，”的否定是：，． 故选：D． 8．A 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据题目中给的新定义，对于或，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】∵对于，定义， ∴对于①，例如集合是正奇数集合，是正偶数集合，，，故①正确； 对于②，若，则，则且，或且，或且；； 若，则，则且； ； ∴任取的两个不同子集，对任意都有；正确，故②正确； 对于③，例如：，当时，；；； 故③错误； ∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A． 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．BC 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 10．ABD 【知识点】集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足. 同理，中含个元素的子集也不满足. 综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确. 若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确. 若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为. 又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可. 11．ACD 【知识点】集合新定义 【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解. 【详解】对于A中，任取， 因为集合是优集，则，则 ， ，则，所以A正确； 对于B中，取， 则或， 令，则，所以B不正确； 对于C中，任取，可得， 因为是优集，则， 若，则，此时 ； 若，则，此时 ， 所以C正确； 对于D中，是优集，可得，则为优集； 或，则为优集，所以是优集，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 12．①④ 【知识点】判断“且”命题的真假、判断命题的充分不必要条件、写出原命题的逆否命题及真假判断、判断命题的真假 【详解】试题分析：①当时；当时或，所以“”是“”的充分不必要条件，所以①为真命题； ②若“”为真，则至少有一个为真．当一真一假时“”为假；当均为真时“”为真．所以②为假命题； ③因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．所以③为假命题； ④“若，则”的逆否命题为“若，则”是真命题，所以④为真命题． 综上可得真命题为①④． 考点：命题的真假． 【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中也可以根据原命题与其逆否命题同真假进行等价转化． 13． 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】先求出命题相应的集合，根据是的必要条件，列出相应的不等式，即可求得答案. 【详解】由命题知：时，， 则为26的正因数，即为1，2，13，26， 当时，，不合题意舍；当时，； 当时，；当时，； 故命题； 由于是的必要条件，故， 只需满足，即， 即的取值范围是， 故答案为： 14． 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 15．（1）；（2）. 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假 【分析】（1）由命题是真命题，则需命题p为真命题且q为真命题，建立关于a的不等式组，可得答案； （2）由为假，为真、q同时为假或同时为真，分p假q假和p真q真，建立关于a的不等式组，可得a的取值范围； 【详解】（1）命题p真时，则或， 得； q真，则，得，所以真，； （2）由为假，为真、q同时为假或同时为真， 若p假q假，则，得， 若p真q真，则，所以，， 综上或. 故a的取值范围是. 【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数的范围的问题，属于基础题. 16．m． 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】由不等式恒成立问题，构造函数，，用配方法求函数最小值，由存在性问题，求，，利用单调性求最大值，再由假真，列不等式组求解． 【详解】解：当命题为真时，即：，成立， 即恒成立，， 即， 又，， 当时，， 解得：， 当命题为真时， 即：， 成立， 即：，， 即：，， 即，， 当时，， 即， 当假真时，， 所以． 【点睛】本题考查了恒成立问题及存在性问题及复合命题及其真假，属于中档题． 17．(1)； (2)R. 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据或且非的真假求参数、绝对值三角不等式 【分析】（1）直接由三角不等式可得； （2）由两集合的交集为空集，对一元二次方程的根的情况进行分类讨论，进而可得所求结果. 【详解】（1）因命题：不等式对任意恒成立，而， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 所以实数的取值范围为 （2）若命题为真命题，由，，， ①当，即，，符合； ②当，即或， 当时，，不符合； 当时，，符合； ③当，即或，设方程的两根为. 当时，，所以，，此时，所以不符合题意； 当时，，所以，，此时，所以符合题意； 综上可得，命题为真命题时，. 所以命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为. 所以实数的取值范围为R. 18．(1)或或 (2)（i）证明见详解；（ii）5 【知识点】集合新定义 【分析】（1）根据题意直接运算求解即可； （2）（i）根据②可得的可能元素，再结合③分析证明；（ii）根据题意分析可知，同理可得，结合题意分析求解即可. 【详解】（1）由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10； 检验可知均满足条件③，所以， 检验可知：或也符合题意， 所以或或. （2）（ⅰ）因为，， 由已知条件②得的可能元素为：， 由条件③可知，且， 可得， 同理可得， 所以对于任意，有； （ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：， 则，即， 同理可得：，则， 又因为的可能元素为：， 即， 假设还存在其他元素， 因为，可知， 由集合性质可知：或， 则或， 即或，假设不成立， 所以不存在其他元素，所以共5个元素. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，对于本题解题关键是正确理解“耦合集”的定义. 19．(1)； (2)证明见详解； (3)4. 【知识点】集合新定义、集合元素互异性的应用、根据两个集合相等求参数、列举法表示集合 【分析】（1）根据共轭集合的定义，以及，可知，再说明集合中没有第4个元素即可得解； （2）设，假设，由条件①结合条件②推出矛盾，假设不成立，即可得证； （3）由题意设，由条件①和条件②逐步分析得即可由得解. 【详解】（1）因为，由题意可得：，即， 此时，满足题意； 假设集合中还有第4个元素，则由题意知： 若，即或，此时，故不成立， 若，则，所以或4或8，这与元素的互异性矛盾， 综上所述，集合中没有第4个元素，所以的共轭集合. （2）不妨设，恰有个元素的共轭集合为， 假设，即，则，，且， 由条件②，因为，故有，即， 所以，则. 因为集合有4个元素，故设， 若，则或，此时，矛盾. 若，则，所以或或， 即或或，这与集合元素的互异性矛盾. 故假设不成立，即. （3）不妨设，的共轭集合为，. 所以，，又因为，所以. 同理. 若，由（2）可知：，从而. 对于任意的，有，即， 所以，解得. 若，即，， 故， 所以， 故，从而， 对任意的，必有， 即， 所以，解得. 综上所述，的最大值为4. 当时，，符合题意. 【点睛】思路点睛：在理解相关新概念、新定义时，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，此题的落脚点仍然是集合中元素的互异性，确定性，无序性. 学科网（北京）股份有限公司 $