2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册综合测试

**基本信息** 聚焦计数原理、概率与统计三大模块，以实际情境为载体，通过多样化题型考查知识内在逻辑与核心素养 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理|4题|二项式定理（系数比较）、排列组合（相邻不相邻）|概念（二项式系数）→推导（通项公式）→应用（排列计数）| |概率|8题|分布列、条件概率、全概率公式（芯片质检/摸球）|基础（事件概率）→原理（条件概率公式）→综合（全概率应用）| |统计|6题|相关系数、线性回归、正态分布、独立性检验|数据（散点图/表格）→分析（回归方程/相关系数）→推断（独立性检验）|

人教A版选择性必修三综合测试 一、单选题 1．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（     ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为0.2 3．某快递店每天的快递量（单位：个），记T表示200天内快递量介于420至540的天数，则T的均值约为（    ）（附：若随机变量，则，，） A．154 B．164 C．174 D．184 4．已知随机变量 的概率分布如下表，则（ ） x 1 2 3 P 其中 A．2 B．0.6 C．5 D．2.4 5．的展开式中的第项与第项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A．第项 B．第项或第项 C．第项 D．第项 6．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲乙不相邻，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 7．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 8．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值 C．数据2，7，4，5，16，1，21，11的下四分位数是2 D．若事件满足，且，则事件独立 11．某班组织由甲、乙、丙等名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是（） A． B． C． D． 三、填空题 12．某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下图所示： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为，则__________. 13．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________种. 14．现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是______. 四、解答题 15．已知 展开式共有11项. (1)求 以及 的值； (2)求 的值； 16．已知甲盒内有大小相同的3个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和2个黑球． (1)现从甲、乙两个盒内各任取2个球．求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (2)现从甲盒内任取2个球．求在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率； (3)现从甲盒内任取2个球放入乙盒．再从乙盒中任取一球．求取出的球为红球的概率. 17．某实验室利用基因编辑技术改良一种小麦品种，使其对锈病产生抗性．实验中将100株小麦分为两组：实验组50株接受基因编辑处理，对照组50株未处理，实验后统计各组抗病情况如下表： 抗病株数 易感病株数 合计 实验组 38 12 50 对照组 25 25 50 合计 63 37 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析该小麦品种抗锈病与接受基因编辑处理是否有关联； (2)用接受基因编辑后小麦抗锈病株数的频率估计基因编辑后单株小麦抗锈病的概率，从接受基因编辑的小麦中随机选取10株，记其中抗锈病的株数为，求的数学期望与方差． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． (1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； (2)记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 19．近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D A B D B ABD ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，． 2．D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 3．B 【详解】依题意，得，， 则 ， 所以估计200天内快递量介于420至540的天数大约是：. 4．D 【详解】 ， ， ， ， ， 故选项D正确. 5．A 【详解】的展开式的通项为，则，， 依题意有，解得， 所以的展开式中共有项，二项式系数最大的项为第项. 6．B 【详解】把丙、丁看作一个整体，内部排列有种.将这个整体与戊一起排列，共有种顺序. 排好后形成3个空位，将甲、乙插入其中两个空位，且不相邻，有种， 因此总排列数为种. 7．D 【详解】记“芯片为瑕疵芯片”为事件，“芯片被标记为合格”为事件，“芯片被标记为瑕疵”为事件. 则，，，. 所以. 即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为. 8．B 【详解】由题可知，， ， ， ， 则 ， 综上，选项B错误． 9．ABD 【详解】选项A，令 ，代入 ， 得，即 ，A正确； 选项B， ，是的系数，取 ， 则 ，B正确； 选项 C，令 ，则 ， 令 ，则 ， 两式相减， 得到 ， 解得 ，即 ，C错误； 选项D，对两边求导， 得到， 令 ，得到=，D正确. 10．ABD 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，因为随机变量，所以， 则 ， 所以为定值，故B正确； 对于C，将数据从小到大排序：1，2，4，5，7，11，16，21，由， 所以该组数据的下四分位数为，故C错误； 对于D，由，所以相互独立，因此也相互独立，故D正确． 11．ABD 【详解】总共有名同学，全排列总数为： 选项A：事件为丙第一个出场，丙固定第一个后，剩余人全排列，共种， 因此：，A正确； 选项B：用容斥原理计算的排列数：总排列甲第一排列乙最后排列甲第一且乙最后排列， 即， 因此：，B正确； 选项C：由条件概率公式： 发生时丙已经第一个出场，自然满足“甲不是第一个”，因此只需满足“乙不是最后一个”， ，：乙不能在最后，乙有个位置可选，剩余人全排列， 即，因此：，C错误； 选项D：根据条件概率公式，已知，， 因此：，D正确. 12．6 【详解】将，， 代入中可得，解得. 13．21 【详解】左侧并联部分有个开关，每个开关有开、闭种状态，总状态数为种， 其中线路断开的情况为个开关均断开，共种， 因此左侧线路接通的状态数为种. 右侧并联部分有个开关，每个开关有开、闭种状态，总状态数为种， 其中线路断开的情况为个开关均断开，共种， 因此右侧线路接通的状态数为种. 根据分步乘法计数原理，可得电路接通的开关开闭方式共有种. 14．/ 【详解】设“取出第个袋子”为事件， “从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件， 则，且两两互斥，，， 对于第个袋子，白球数为，从第个袋子中连续取出三个球（每个球取后不放回）， 因此第三次取出的球为白球. 所以，由全概率公式， . 令，解得. 所以第个袋子：个红球个白球；第个袋子：个红球个白球； 第个袋子：个红球个白球；第个袋子：个红球个白球； 第个袋子：个红球. 设前两次取出白球为事件，第三次取出白球为事件，则. 又因为. . 所以. 故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是. 15．(1)1;0 (2) 【详解】（1）二项式展开式的项数为， 由题知展开式共11项，因此，得， 令，得， 即， 令，代入等式得：， 因此； （2）展开式中， 通项公式为：，， 则均为正，均为负， 得． 16．(1) (2) (3) 【详解】（1）从甲、乙两个盒内各任取2个球的试验有个基本事件，它们等可能， 取出的4个球中恰有1个红球的事件有个基本事件， 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率. （2）从甲盒内任取2个球的试验含有的基本事件个数， 至少取出一个红球的事件为，两球颜色均为黑色相同的事件为， 则，因此， 所以在至少取出一个红球的前提条件下，两球颜色相同的概率. （3）令从甲盒内任取2个球中红球为的事件分别为，从乙盒中任取一球为红球的事件为， 则， ， 因此， 所以取出的球为红球的概率为. 17．(1)可以认为该小麦抗锈病与接受基因编辑处理有关联． (2)数学期望7.6；方差1.824 【详解】（1）零假设：小麦抗锈病与接受基因编辑处理无关联． 由列联表的数据，得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为该小麦抗锈病与接受基因编辑处理有关联． （2）由题意，估计经过基因编辑处理的单株小麦抗锈病的概率为， 随机变量的可能取值为0，1，2，…，10， 由题知，所以， ． 18．(1) (2) 【详解】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”， 则，， 所以． （2）由题意，的所有可能取值为，，，，则 ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 期望为：． 19．(1)，很强的线性正相关关系 (2) X 80 150 210 P 【详解】（1）由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $