安徽蚌埠市2025-2026学年高二下学期期末考试自编模拟卷数学试题

**基本信息** 高二数学期末练习卷，覆盖选必全册核心知识，通过基础概念辨析、综合问题解决及创新情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量、函数奇偶性等|基础巩固，如集合运算、向量线性表示| |多选题|3/18|数列、解三角形、立体几何|能力提升，如数列性质判断、三角形面积最值| |填空题|3/15|递推数列、复数、随机变量|创新应用，如平方差递推数列求和| |解答题|5/77|三角函数、概率统计、椭圆、导数|综合探究，如概率误差比较、椭圆与直线位置关系、导数单调性讨论|

《2025-2026学年度第二学期期末考试练习卷高中二年级数学》参考答案 题号 1 2 4 6 6 8 9 10 11 答案 9 C C 0 0 A BC ABD BCD 1.C 【详解】解不等式x2-2x≤0，得0≤x≤2，则B={x|0≤x≤2}，而A={-2,-1,0,1,2, 所以AnB={0,1,2}. 2.A 【详解】由AB=2BD，得CB-CA=2(CD-CB), 31 所以cD=-1c+3cB=-1m+2元. 2 2 3.C 【详解】若ab>0,则>0,2>0，b+0≥2， b ≥2 b a =2,此时不可能满足≤-2. a a b 若ab<0,则二<0， <0,令x=-b>0,则2+= a b a b x+ x+1≥2，所以- x+ ≤-2，当且仅当x=1(即a=-b)时取等号. 因此，不等式2+≤-2成立的充要条件是b<0 a b A.ab>0:此时式子≥2，与题目矛盾，排除 B.αb<0:这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除 C.a>0,b<0:若a>0,b<0,则ab<0,一定能推出不等式成立（充分性成立）： 但不等式成立只要求ab<0,也可以是a(0,b)0,不一定是a>0,b<0(必要性不成立)，所 以这是充分不必要条件 D.a<0,b<0:此时ab>0,式子≥2，与题目矛盾，排除 4.C 【详解】当x>0时，fx=e-1>0, 0,可知，a<0,且由奇函数可知， 3 所以e-1=5,得a=ln 5.D 【详解】如图，设过点P的切线与圆的切点分别为A,B,连接 OA,OB, 易得∠APB=2∠APO,在Rt△PAO中， P sin∠APo=IOA_21 OP42剥∠4P0=名，故这两条切线的夹角为 ∠APB=2LAP0= 3 6.D 【详解】设甲击中为事件A,乙击中为事件B,丙击中为事件C, 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：P叫4=分不命中P(团= 乙：P川到=子不中P叫列= 丙：PC)=5不命中P(C)=5 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： 月-P4xPxG-g0 甲、丙击中，乙未击中概率为： -c 乙、丙击中，甲未击中概率为： B=P(A)xP(B)×P(C)=2X4X行40 1111 将三种情况的概率相加： 1.3,14.3,181 P=R+B+B=10+40+4040+4040405 7.D 【分析】结合函数的奇偶性和单调性求解， 【详解】f(x)=2x-sin2x的定义域为R, 因为f'(x)=2-2cos2x=2(1-cos2x)≥0，所以函数f(x)是R上的增函数， 因为f(-x)=-2x-sin-2x)=-(2x-sin2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数， 所以由fx2)+f(2x-3)<0得fx2)<-f(2x-3)=f(3-2x), 则x2<3-2x,解得-3<x<1. 所以不等式fx2)+f(2x-3)<0的解集为(-3,1)： 8.A 【详解】解法一：双曲线。-y b =1的渐近线方程为y=±2x. a2 b2 当4b>F,F,时，满足PF-PF=4b轨迹不存在，舍去： 当4b=F,F,时，满足PF-PF=4b轨迹为x轴挖去线段FF,与题意不符，舍去： 当4h<FF,时，满足PF-PF=4b轨迹为双曲线 y2 462a2-36=1. x2y2 联立方程 4b2 a3-362=1 ,得到x2= 4a2b2(a2-3b2） .b y=±2x a4-3a2b2-4b e 4a2b2(a2-3b2） 由x2= >0,解得a2>4b2或a2<3b2(舍去) a4-3a2b2-4b4 故c2=a2+h<a,解得1<S<5 故该双曲线离心率的取值范围是 4 2 解法二：上问社双面线亦。广衣=1的帝近线护为，： 2 Va2-3b2 X 2b 因为由题意可知y=士么x与双曲线 y2 a 4ha2-36=1相交， 所以由双曲线渐近线性质可知只需b<Va2-3 2,即b2<a,后仿照解法一即可求得 a 26 4 9.BC 【详解】选项A:S,=5×1+ +5×4d=5+10d=20,解得10d=15,d=-3+2,放A错误 2 选项B:a,=4,an1=2Van,计算得：a2=2V4=4,a=2V4=4,数列{an}为常数列 4,4,4,…,常数列是公差为0的等差数列，故B正确 选项C:等比数列前n项和公式：S,=a-9)(g≠》，代入得： 31,化简： 1-9 1 2 故C正 确 选顶D:若数列a}的公比g=1,则-10a-2,矛盾，故9+1， Ss 5a a1-g) 由已知 1-919°-1+g=0 32’9-- 、二，解得G=一一，9三一二≠二，故D错误 一丰 Sa1-9)1-g3 22 1-q 10.ABD 【详解】对于A选项，由正弦定理，0=b=C=2R,R是AABC的外接圆的半径， sinA sinB sinC 代入条件得a2+b2-c2=ab,由余弦定理，cosC=a2+2-c2-ab-1, 2ab 2ab 2 又C∈(0，，故C=元，故A正确： 3 对于B选项，将a=2b代入a2+b2-c2=ab,得c=V3b, 由余弦定理，C0SA= 6+c2-。_6+304价=0，故A=受m1=1,B正南： 2bc 2b.3b 对于C选项，若a+b=4,由基本不等式可得 4BC的面氨ssnC=abs5(a,=5, 2 4 4 2 当且仅当a=b=2时取等号，故ABC面积的最大值为√3，C错误； 对于D选项，由a=b sinA sinB 1 sin (2下A 得b sinB 3 -cosA+-sinA 51, a sinA sinA sinA 2tanA 2 ππ 省三交，得B= _2π-A,又ABC为锐角三角形，所以A∈ 3 62 所以tanA∈ 故 11.BCD 【详解】选项A,,因为M为C,D,中点，N为CC中点， DI 所以MN/IB,C/AB,所以MN与AB在同一平面 MNBA,所以AM和BN不是异面直线. 选项B,建立如图直角坐标系，设AD=2,易得 D A2,0,0),M(0,1,2）,B(2,2,0, 因此4M=V22+12+22=3, 因为AM=(-2,1,2),AB=(0,2,0),cos∠MAB= AM.AB 2 1 AM 3×23 所以in∠MB-25，,d=sin.∠MMB=2×22_45 3 33 选项C,设M(0,a,2),N(0,2,1,所以D,N=(0,2,-1),AM=(-2,a,2, 因为D,N⊥AM,所以D,N.AM=0,2a-2=0,解得a=1,即存在M(0,1,2)符合题意. 选项D,因为A2,0,2), 所以AB=(0,2,-2),AN=(-2,2,-1, 设平面A,BV法向量元=(a,b,c, 色 因为i·AB=0且iAN=0, D 则2b-2c=0且-2a+2b-c=0,令a=1可得b=c=2, 所以解得i=(1,2,2), 若AM/1平面A,BN,则AM五=0，-2+2a+4=0,解得a=-1,不满足条件，即不存在 符合题意的点M. 12.1 【详解】由题意可知b=b好-b2=12-12=0,b4=b-b=02-12=-1, b=b好-b好=(-1)2-02=1，b。=b-b好=12-(-12=0，b,=b6-b=02-12=-1, 所以数列{bn}是从第2项起，周期为3的数列. 则{bn}的前100项的和S1o=b+(b2+b+b4)+…+(bg+bg+b0)=1+33×0=1. 13.2 i+1+ii01-i+i1+0_1+i+-1+i_1+i+1-i=3-2i, 【详解】由1++行+1-可+P=2-12 =2-2 所以实部与虚部之差为 =2 14.4+2V5 【详解】因为随机变量X~N(2,3),正态分布的概率密度曲线关于均值4=2对称， 因为P(X≤3a+2)=P(X≥4b-1),根据正态分布的对称性性质得 3a+2+(4b-=2 2 化简得3a+4h=3a>0,b>0),所以3_30+46_30+4 bbb 所以3边+a+3-30+9+3-3b+0+30+4=36,40+4 4a b 4a bb 4a bb 4a b 根据基本不等式和+6≥2和 0.40=25,当且仅当北=时，等号成立， Aa b 此时3b=16a,结合a>0,b>0,3a+4h=3,得a=,35 12 b= 16+35? 16+3V3? 所以边++3≥2W5+4,当且仅当a 3V5 b=_ 12 4a b 16+3V5,016+3V3,等号成立， 所以36a+3 的最小值为4+25， 4a b 15.(1)2sinwcos(-co2x=sim2x-cos2x=2sim 令2r-名-+机人cZ,解得x骨+经eZ, 32 所以曲线y=fx)的对称轴方程为直线x=+,k∈Z: 32 (2)a>0,x∈[0，元]时，ax∈[0，aπ 由f(ax)+1=0可得sin 当a>0,xe0时，2m-若[2a-周 若方程fax)+1=0(a>0)在[0，元]上恰有2个解， 则7红≤2a-工<1红，得2≤a<1, 6 66 3 所以a的取值范围为忌，) 16.解：(1)连接BD,BD,并分别取BD,BD中点S,T,连接ST. 四棱台ABCD-A,B,C,D,→B,D /BD, 又B,B=DD→BD⊥ST, 四边形ABCD为菱形→BD⊥AC,ACST=T,AC,STC平面AACC, 所以BD⊥平面AA,CC,又AAC面AACC,所以BD⊥AA 又AA⊥AC,AC∩BD=T,AC,BDC平面ABCD, 所以AA⊥平面ABCD. x B (2)由(1)A,C,=AT=1,AC,/AC→四边形AACT为平行四边形， 所以AA,/1C,T,又AA,⊥平面ABCD,所以CT⊥平面ABCD 又TB⊥TC, 以T为原点，TB,TC,TC,分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设C1(0,0,m),m>0,B5,0,0,C(01,0), 则有CB=3,-1,0,CC=(0,-1,m). 设平面BCC,B,的一个法向量为元，=x,y,z, 所以 n.CB=3x-y=0 令z=√5，可得m=m,V3m,3 n.CC=-y+mz =0 又平面ACCA的一个法向量为2=(1,0,0)， n1·n2 由已知可得cosn,n2 √7 n n2 N=7,得m=1,所以m=3, m 所以一 万7 所以点M到平面BCC,B的距离为V2] 17.解：(1)：袋子中共有+3个球，一次摸出2个球的总情况数为C3,摸出2个红球的 情况数为C 由古典概型概率公式得 C=1 i-5 代入C=3,C2-+3n+2 +3n+2)5,整理得(u+3n+2)=30. 2,得 6 、1 2 即n2+5n-24=0,解得n=3或n=-8.又n>0,故n=3, (2)(i) 由(1)得袋子中共有6个球，其中绿球3个，故每次有放回摸球时，摸到绿球的概率为 31 62 X的可能取值为012，且X~B2 x=0=c9- x=-c88 rx=2=-4 故X的分布列为： 0 2 1 1 4 2 4 数学期望E(X)=1×二+2×二=1. 4 (i) 总体中绿球的比例为2=0.5，样本中绿球比例为（K为摸出的绿球个数，误差的笔对值不 6 超过0.2等价 k-0.5≤0.2 2 解不等式得0.6≤k≤1.4，又k为整数，故k=1. 时，所求柢率为PP ②不放回摸球时，Y服从超几何分布，PY=)=CC_9-3 Cg155 故所求概率为B= 5>2,故不放回摸球时误差绝对值不超过0.2的概率更大 31 实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估 计总体参数 18.解：1由题可知4-a,0),8a.0,D号0月 M(0,b),如下图所示： M MDl=5,即女+B=3, D/ 4 A O 因为MD1MB,所以knk6=-2次。-1，即ag=26, aa 所以联立解得a=4,=2,因此椭圆C的方程为：+ =1; 42 (2)由(1)可知A-2,0,B2,0,D-1,0, 设1的直线方程为x=my-1,Mx,),N(x2,y2)(y,>0,y2<0), x=my-1 联立 x2+2y2=4:可得(m2+2y2-2my-3=0, 2m 3 根据韦达定理可得y,+2= m2+2’hy2=- m2+2 因为0-号0N,所以=-兴 3 y+y2=- 5y2 出+y2>0 所以 ,即 5 1 4=-3分 》2=- 4+2 所以3 =-152m2」 m>0,解得m=2 2 m2+24(m2+2 因此直线I的方程为y=V2x+V2; M (3)图象如图所示： 0 由(2)可知，-+)=m, 3 直线AM的方程为y=上，x+2),所以P0,2%,即P0, 2y1 x1+2 ”x+2 (my+1 同理可得Q0,一 2y2 、my2-3 3 9 3 所以业=m,-3到-m+3y-2片+)+3y 2+2 yo（my+1)y2myy2+y2 2g+乃)+y 3山1y,3 S.PAD 所以S.0D ADH以=-l,故△PAD与△OBD的面积之比为1 DB Yo 3yol 19.解：(1)由f(1=1+(a-3)lnl 3a=1+3a=7,解得a=2, 则f(x)=x-1nx+。,求导得：代x)=1-6 xx, 则0=16，由点斜式得切线方程：y-7=6x 整理得：6x+y-13=0: (2)求导得：f(y)=1+a-3_30-+(a-3到x-3a_(x-3x+a x x2 x2 当a≥0时： 由f'(x)<0,解得x∈(0,3)，由f'(x)>0,解得x∈(3，+0)， 所以f(x)在(0,3)上单调递减；在(3，+o)上单调递增： 当0<-a<3,即-3<a<0时： 由f'x<0,解得x∈（-a,3),由f'(x)>0,解得x∈(0，-a)U(3,+o), 所以f(x)在(-a,3)上单调递减；在0，-a),(3,oo)上单调递增： 当a=-3时：川--30，故f)在0，+四)上羊调遥。 当a<-3时： 由f'(x)<0,解得x∈(3，-a),由f'(x)>0,解得x∈(0,3U(-a,+oo), 所以f(x)在(3，-a)上单调递减；在(0,3，(-a,+o)上单调递增： (3)已知a>0,由(2)结论：f(x)在(0,3)上单调递减；在(3，+∞)上单调递增； 故∫(x)最小值为f(3),要使∫(x)>0恒成立，只需f(3)>0, 则f)=3+a-3到ni+9=1+h)a+3-3n3>0, 解得a>-3+3n3 即正数a的取值范围是 -3+3ln3 1+ln3 、1+ln3,+o∞ 2025-2026学年度第二学期期末考试练习卷 高中二年级 数学 考试范围：选必全册（人教A版） 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知集合， ，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点是所在平面内一点，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义域为的奇函数，且当时，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别是，．若C的渐近线上存在一点P，满足，则C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 9．设数列的前n项和为．下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，且，，则公差为2 B．若，，则数列是等差数列 C．若是等比数列，且，公比，，则 D．若是等比数列，且，则公比为 10．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱上（含端点）的动点，为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若为的中点，则直线与直线是异面直线 B．若为的中点，点到直线的距离为 C．存在点，使得 D．不存在点，使得平面 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 13．复数的实部与虚部之差为______. 14．已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤。 15．（13分）已知函数 (1)求曲线的对称轴方程； (2)若关于x的方程 ()在上恰有2个解，求a的取值范围. 16．（15分）如图，在四棱台中，四边形为菱形.，，且. (1)证明：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为M为中点，求点到平面的距离. 17．（15分）一个袋子中有3个红球，个绿球，已知从中一次摸出的2个球都是红球的概率为． (1)求的值； (2)从袋中依次随机摸出2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的分布列与数学期望； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 18．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，线段的中点为，过的直线与交于，两点，在轴上方．当为的上顶点时，，且． (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)若，与轴分别交于，，求与的面积之比． 19．（17分）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论的单调性; (3)若，求正数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $