整式乘除与因式分解综合练习2025-2026学年青岛版七年级数学下册

**基本信息** 以整式乘除与因式分解为核心，通过概念辨析、运算应用、实际建模及思想方法渗透，构建“概念-运算-应用-拓展”的完整知识链，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|解答题17-19|直接考查幂运算、因式分解及化简求值|整式乘除法则与因式分解方法的互逆应用| |概念辨析|单选1-3、填空12|判断运算正误、因式分解定义及公式适用条件|从定义本质到法则应用的逻辑递进| |实际应用|单选4、9、10，填空16|结合单位换算、新定义“豫数”、密码学情境|用数学语言表达现实问题，体现应用意识| |思想方法|单选7、21-23|面积法验证公式、整体思想因式分解|通过几何直观与抽象思维融合，深化公式推导逻辑|

《整式乘除与因式分解综合练习2025-2026学年青岛版七年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B A C C A D 1．B 【分析】运用完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的除法法则逐一判断选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项正确； C、，故该选项错误； D、与次数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误． 2．D 【分析】将等式两边化为同底数幂，结合幂的乘方和同底数幂的乘法法则化简，即可求出的值． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 3．B 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否为将多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解定义，故A不符合题意． ∵选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，故B符合题意． ∵选项C中，变形是整式乘法，是将整式的积化为多项式，不属于因式分解，故C不符合题意． ∵选项D中，右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，故D不符合题意． 4．B 【分析】本题主要考查了单位换算与科学记数法的运用，科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数．根据题干给出的单位进率推导微和寸的换算关系，再计算得到结果即可． 【详解】解：根据题意，单位进率满足：寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微， 寸微， 微寸， 微寸． 5．B 【分析】利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，先判断各数的正负，再分别在正数和负数范围内比较大小，即可得到排序结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 比较负数部分：， ，即， 比较正数部分：， ，即， 综上可得 ． 6．A 【分析】根据同底数幂的除法的逆运算法则可以判断①；根据同底数幂的乘法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断②；根据根据同底数幂的乘法的逆运算法则、同底数幂的除法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断③；根据根据同底数幂的乘法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断可以判断④． 【详解】解：∵， ，     故①正确，符合题意； ， ∴，故②正确，符合题意； ∵， ， ， ∴，故③正确，符合题意； ， ， ∴，故④错误，不符合题意； 综上所述正确的有：①②③． 7．C 【分析】逐个方案用两种不同方法表示阴影部分的面积,然后进行辨别即可解答． 【详解】解：方案①:阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即,符合题意； 方案②:阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即,符合题意； 方案③:阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即,符合题意； 方案④：阴影部分的面积为第一种表示方法为，另一种方法为，即，不符合题意； 综上，符合题意的是①②③． 8．C 【分析】本题主要考查的知识点为完全平方公式的应用以及因式分解．通过观察式子的结构，对化简后的式子进行因式分解，得到，因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，所以推导出，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 因为一个数的平方等于 0，所以这个数为 0，即， 所以， 故选：C． 9．A 【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、，是奇数，且，符合“豫数”定义，选项正确； B、，是偶数，不符合“豫数”定义，选项错误； C、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； D、最小豫数为，选项错误． 10．D 【分析】先对多项式因式分解，代入已知，得到三个因式的结果，密码由这三个结果排列得到，对比选项即可得到不可能的密码． 【详解】解：∵ ∴将，代入各因式得，，， ∴三个因式的结果为，，，密码由这三个数按不同顺序排列得到， 对比选项，只有选项包含，缺少，不符合题意． 11． 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，对原方程左边进行变形，再根据同底数幂相等的性质得方程求解即可． 【详解】解：， ， 则， ，则，即， ，解得． 12． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ，即. 13．16 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，先根据的表达式得到的值，再利用完全平方公式结合已知条件求出的值，最后将变形为的代数式，代入计算即可． 【详解】解：，，， ，，， ，， ， 解得， ∴． 14．9 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求解，完全平方公式的非负性等知识．根据题意得到，进一步变形为，求出，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以． 故答案为：9 15． 【分析】先根据已知给出的式子总结出一般规律，再将所求式子对照规律变形计算，即可得到结果． 【详解】解：根据已知各式，总结规律得：， 令，，代入规律得：， ∴． 16．192 【分析】本题考查了完全平方公式的应用， 用每辆车可坐人数乘10辆，减去空余座位数，分别表示出；计算、、的值；利用公式 代入计算． 【详解】解：因为每种车型租10辆，A路线每辆坐人，空余14个座位， 所以； B路线每辆坐人，空余16个座位， 所以； C路线每辆坐人，空余18个座位， 所以， ∴； ； ； 所以 ． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂和化简绝对值，再算加减即可； （2）先算积的乘方，再算乘除，最后算加法即可； （3）根据完全平方公式和多项式乘以多项式展开，再合并同类项即可； （4）先运用平方差公式，再运用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 18．(1) (2) (3) (4) 【分析】首先观察多项式各项，确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式；因为因式分解提公因式法的规则是将公因式提取到括号外，所以用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，整理后完成分解；如果多项式首项系数为负，那么先提取负号，使括号内首项系数为正，再对剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 19．(1)化简为，值为 (2)化简为，值为 【详解】（1）解：原式 ． 当时，原式． （2）解：原式 ． 当时，原式． 20．(1) (2) ． 【分析】（1）第1步中完全平方公式展开错误； （2）先根据单项式乘多项式和完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； 21．(1) (2)①1；② 【分析】（1）图①中的阴影部分面积用大正方形面积减小正方形面积表示，图②中的阴影部分面积用长方形面积公式表示，即可得解； （2）运用（1）中所得到的公式计算即可． 【详解】（1）解：图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为， 可以得到乘法公式； （2）解：① ； ② 22．(1) (2) 因式分解结果为，当时，代数式的值为 【分析】（1）把看作整体，利用完全平方公式分解因式； （2）首先把看作整体，利用多项式乘多项式的法则把展开，再利用完全平方公式进行因式分解，把代入化简后的结果计算求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时， 可得：原式． 23．(1)B (2)①；② 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可； ②利用平方差公式将原式变形即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以. （2）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的值为3； ② ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 整式乘除与因式分解综合练习2025-2026学年青岛版七年级数学下册 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若已知，则的值是（     ） A．2 B．4 C．1 D．3 3．下列式子从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．成语“福生于微”中的“微”，是我国古代量值极小的长度计量单位．《夏侯阳算经》中记载“忽，十微．”《孙子算经》中记载“度之所起，起于忽．欲知其忽，蚕所生，吐丝为忽，十忽为一秒，十秒为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸．”到了宋代，“秒”改成了“丝”．也就是说，寸分，1分厘，1厘毫，1毫丝，1丝忽，1忽微，足见“微”的量值真可谓“微乎其微”．某生物体长是“微”，则“微”换算成“寸”用科学记数法表示为（     ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 5．已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 6．我们知道下面的结论：若，则．利用这个结论解决下列问题：设，现给出关于m，n，p之间的关系式：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①② C．②③④ D．① 7．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（     ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 8．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 10．年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则_____________． 12．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是________． 13．设，，．若，则的值是________________． 14．若为实数，且满足，则_______． 15．观察下列各式： ． ， ， ， 根据上述规律计算的值为________． 16．为落实“双减”政策，我校八年级开展“无书面作业周”研学实践活动，本次活动共开设三条研学路线，参与三条路线的学生人数分别为；这三条路线分别租用三种不同型号的大巴车，每种车型各租10辆，已知路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人．活动结束后统计发现，A路线车辆共空余14个座位，B路线车辆共空余16个座位，C路线车辆共空余18个座位．则______． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．先化简，再求值． (1)，其中． (2)，其中． 20．下面是小颖化简整式的过程，请仔细阅读后解答所提出的问题． 解： 第1步 ．第2步 (1)小颖的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请写出此题正确的化简步骤． 21．看图完成各题： (1)如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）．通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ；（用含a、b的等式表示） (2)运用（1）中所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 22．阅读以下材料： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原， 得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)利用上述方法先因式分解：，再当时，求代数式的值． 23．如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 答案第10页，共11页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $