暑假专项作业：三角形- 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦三角形核心概念与综合应用，通过分类讨论、构造全等、转化思想等方法体系，构建从基础到进阶的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1/10|三角形高/中线/角平分线定义辨析|从基本概念到性质判定，形成概念-性质-应用逻辑| |性质应用|填空11/16|等腰三角形分类讨论、全等判定条件添加|结合图形特征，强化边角关系推理| |综合探究|解答17/21|延长中线构造全等、动点问题分类转化|通过构造法与转化思想，提升复杂问题解决能力|

暑假专项作业：三角形-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 2．等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（     ） A．8 B． C．8或 D．8或或4 3．如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 4．已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 5．若、、为的三边长，且满足，则的值可以为（     ） A． B． C． D． 6．如图，点D为内一点，点P为外一点，连接，，，，且，平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 8．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 9．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 10．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 12．如果等腰三角形一边长为3，周长为13，那么此三角形的腰长为______． 13．如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是________．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 14．如图，，边与边、边与边分别是对应边．如果，那么_______． 15．如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分面积为_____________． 16．如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 三、解答题 17．如图，已知：在中，点D在边上，点E在线段上，，．求证：． 18．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．（友情提醒：请在你画的图中标出已知角和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹） (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图2中用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由； (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为 ”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个，请分别在图3中把图作出来．（一种情况分别画一个图） 19．已知的三边长分别是a，b，c． (1)若a、b、c满足．判断的形状； (2)若，且为等腰三角形．求的周长． 20．【操作发现】 (1)如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2），那么图2中的阴影部分的面积为： （用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出之间的等量关系是 ． 【灵活应用】 (2)运用你所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值； 【拓展迁移】 (3)将两块全等的特制直角三角板按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接．若，求阴影部分的面积． 21．【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：三角形-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C C A B B A A 1．D 【分析】本题考查了三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，解题的关键是找准顶点和对应的底边． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，的边上的高，应是过顶点向边所在的直线作垂线段． 过点作延长线的垂线，垂足为． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 2．D 【分析】分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，计算出底边长后根据三角形三边关系验证，即可得到结果． 【详解】解：若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若，即已知两边都是腰， 解得，此时两腰长均为， 则底边长为， 三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 综上，底边长度可以为或或． 3．A 【分析】先证，再求出长，根据面积公式可得的面积． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ， ， 又点为中点 ， ， ， ． 4．C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 5．C 【分析】利用非负数的性质求出a,b的值,再根据三角形三边关系得到c的取值范围,即可判断选项； 【详解】解：∵ , , 且 ∴ , ， 解得 , ∵ , , 是的三边长 ∴ 根据三角形三边关系得 即 , 整理得 选项中只有满足 故选 C； 6．A 【分析】利用证明 ，得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 在和中 ， ． 7．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为，表示出、、的长，根据，分和两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时， ，， ∴，， 解得， ∴； ②当时， ∴，， ∴，， 解得， ∴； 综上所述，点的运动速度为或． 故选B． 8．B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 9．A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 10．A 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义，以及三角形相关交点的名称，逐一判断每个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：对四个说法逐一判断： ① 三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，角平分线是三角形内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段，高是三角形顶点到对边所在直线的垂线段，因此三者都是线段，故①正确； ② ∵钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高在三角形的边上，∴②错误； ③ ∵直角三角形有三条高，两条直角边本身就是两条高，还有一条斜边上的高，∴③错误； ④ ∵三角形三条中线的交点叫做重心，三条角平分线的交点不是重心是内心，∴④错误； 综上，只有1个说法正确，故选A． 11． 【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形的判定定理寻找包含足够条件的碎片． 【详解】第块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小； 第块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小； 第块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 带第块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具． 12． 【分析】由于条件未明确该边是腰还是底边，因此需要分情况讨论，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形即可． 【详解】解：分两种情况： 当边长为腰长时，底边长为， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； 当边长为底边长时，腰长为， 此时满足三角形三边关系，能构成三角形， 因此腰长为． 13． （或或） 【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：添加， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， 又， ∴； 添加， ∵， ∴，即， 又， ∴， 添加， ∵， ∴，即， 又， ∴. 14． 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据角度转换即可解答． 【详解】解：， ， ，即． 15． 【分析】先根据三角形中线的性质推出，，，再根据三角形重心的性质推出，，最后根据进行等量代换计算即可求解． 【详解】∵，，为中边的中线， ∴，，， ∴，，， ∵三边的中线，，的公共点为， ∴为的重心， ∴， ∴，，即，， ∴，， ∵ 即，解得：， ∴． 16． 【分析】延长到点，使，连接，作于点H，可得，进而得出，从而得到是以、、的长度为三边长，然后根据当时，最大求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接，作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是以、、的长度为三边长． ∴． ∵， ∴当时，最大为：， ∴以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于6． 17．证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先证明可得，再证明，进一步求解即可． 【详解】略 18．(1)如图，取，在上截取，在上截取，连接，即为所求． (2)根据题意作，在上截取，以为圆心以长为半径画弧交于点，连接，如图，即为所求． (3)以已知角为两线段的夹角，可画出一个三角形， 以长的边作角的对边，可画出两个满足条件的三角形， 以长的边作为角的对边，可画出一个满足条件的三角形， ∴满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个． 【分析】（1）确定的边和角正常尺规作图即可． （2）和（1）相同的条件，作不全等三角形，角度位置不变，改变长边位置即可． （3）需要分类讨论角度对应的边长，角度对应边不同三角形就不同，共有4个不同三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 19．(1) 是等边三角形 (2) 的周长为或 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵为等腰三角形，， ∴或， 当时，三角形的三边为3，3，5， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 当时，三角形的三边为5，5，3， 由，此时能构成三角形，此时的周长为； 综上，的周长为或． 20．(1)或；； (2)； (3) 【分析】（1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系； （2）利用（1）中关系，整体代入求值即可； （3）根据两块全等的特制直角三角板可得，进而得到，设，根据已知条件、列方程求得y，进而求得阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：图2中，方法1：阴影部分的边长为的正方形，因此面积为， 方法2：从边长为的正方形面积减去图1的面积，即 ∴ 故答案为：或；； （2）解：由（1）可得， ∴， 解得：； （3）解：∵两块直角三角板全等， ∴， ∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ∴， 设， ∴， ∵，即 ∴ ∵， ∴，解得：， ∴, ∴阴影部分的面积为． 21．(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $