暑假作业15 全等三角形压轴题专练-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）

完成时间： 月 日 天气： 作业15 全等三角形压轴题专练 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点运动 秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： (1)【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． (2)【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 【操作发现】已知在中，，点为平面内任意一点，连接，，将绕点顺时针旋转得到． （1）如图1，点为内任意一点，请判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，若，点在内，连接，若，，求的长； （3）如图3，若，点在外，连接，若，当，，在一条直线上时，求的长． 6．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，、、三点在坐标轴上，，，，且，满足． (1)________，________； (2)如图2，为线段上一点，为外角平分线上一点，连接、，且，求证：； (3)如图3，点从点出发沿轴负半轴向左运动，连接，以为边在第二象限内作等边，连接并延长交轴于点，在运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化范围． 7．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且． (1)求证： (2)若，求的值 (3)若为直角三角形时，求的值 8．（21-22八年级上·辽宁大连·期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝kCA，延长BC至点D，使CD＝CA，AM⊥AB，且D，M在AB的异侧，AM＝AB，连接DM与AC交于点N． (1)如图1，当k＝1时，请直接写出＝ ，＝ ； (2)如图2，当0＜k＜1时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并证明； (3)若AN＝mCN（m＞0且m≠1），请直接写出k的值为 ．（用含m的代数式表示） 9．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图1，，点A、D在射线上，点B、C在直线上，平分与交于D点． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，如图3，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 11．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 12．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在中，，点D在边上．    (1)如图1，将线段绕着点A顺时针旋转，得到线段，连接，判断线段的数量关系，并证明； (2)在图2中，在线段取一点F，使得，以为斜边向外做等腰直角三角形，连接． ①补全图形； ②判断线段与的数量关系，并证明． 13．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，与相交于点，，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，两点同时出发，当点回到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，请直接写出的值． 14．（24-25八年级上·天津河东·期末）如图，在直角坐标系中，点，点为轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点在第一象限内． (1)如图，若，求点的坐标； (2)如图，过点向轴上方作，且，在点的运动过程中，探究点，之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由； (3)如图，过点向轴下方作，且，连结交轴于点，当的面积是的面积的倍时，求的长． 15．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图若于垂直轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足， 请直接写出的值； 求点的坐标； (2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请直接写出与的数量关系． 16．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，下面是他们二人的作图痕迹，请你观察思考，解决问题． (1)你认为他们的做法是否正确？________（请把你认为正确的选项填写在横线上） A．小明和小华的做法都正确    B．小明的做法正确，小华的做法不正确 C．小明的做法不正确，小华的做法正确    D．小明和小华的做法都不正确 (2)①如图，已知，请你借助尺规，以为一边，在的左侧作，使（不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的基础上，若为的平分线，求的度数． 17．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称．    (1)请直接写出B，C两点的坐标； (2)如图1，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交x轴于点M，连接，求证：； (3)如图2，点F为y轴上一动点，点在直线上，若连接E，F，G三点（按逆时针顺序排列）恰好围成一个等腰直角三角形，请直接写出符合要求的m的值为__________． 试卷第36页，共37页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业15 全等三角形压轴题专练 1．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点运动 秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等． 【答案】或或或 【详解】解：分四种情况讨论： ①当在线段上，时， 则， ， ， ， 点的运动时间为（秒； ②当在上，时， 则， ， ， ， 点的运动时间为（秒； ③当在线段上，时， 则， 这时在点未动，因此运动时间为秒； ④当在上，时， 则， ， ∴点的运动时间为（秒； 综上，当点运动或或或秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等， 故答案为：或或或． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在四边形中，，，连接，在射线上存在两动点，满足，若，当的值最小时，则 （用，表示） 【答案】/ 【详解】解：如图，在上截取，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图，若在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若在延长线上时， 同理可得：， 综上可知：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图，在中，点是边上的一点，，连接、，交于点． 【问题探究】 (1)如图1，若，试说明平分； (2)如图2，若点为的中点，作，且，，连接，试说明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴平分； （2）证明：如图2： 点为中点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： (1)【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． (2)【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：在上截取一点E，使得， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在上截取一点E，使得， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 【操作发现】已知在中，，点为平面内任意一点，连接，，将绕点顺时针旋转得到． （1）如图1，点为内任意一点，请判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，若，点在内，连接，若，，求的长； （3）如图3，若，点在外，连接，若，当，，在一条直线上时，求的长． 【答案】（1）结论：．证明见解析部分（2）（3） 【详解】解：（1）结论：， 理由：延长交于O，交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）如图2中，连接． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴A，D，E共线， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图3中， 由（1）可知，，， 设， ∴，， ∴， 解得： 或 （舍弃）， ∴． 6．（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，、、三点在坐标轴上，，，，且，满足． (1)________，________； (2)如图2，为线段上一点，为外角平分线上一点，连接、，且，求证：； (3)如图3，点从点出发沿轴负半轴向左运动，连接，以为边在第二象限内作等边，连接并延长交轴于点，在运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化范围． 【答案】(1)，2(2)见解析(3)的值不变，定值为8 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，2． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由E为外角平分线上一点， ∴， ∴； 过点D作交于点F， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ． （3）证明：的值不变，定值为8．理由如下： ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴； ∴； ∴； ∴ ． ． 7．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且． (1)求证： (2)若，求的值 (3)若为直角三角形时，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)为直角三角形时，为8或． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 结合（2）可得， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形时，为8或． 8．（21-22八年级上·辽宁大连·期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝kCA，延长BC至点D，使CD＝CA，AM⊥AB，且D，M在AB的异侧，AM＝AB，连接DM与AC交于点N． (1)如图1，当k＝1时，请直接写出＝ ，＝ ； (2)如图2，当0＜k＜1时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并证明； (3)若AN＝mCN（m＞0且m≠1），请直接写出k的值为 ．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)(2)成立，证明见解析(3)或 【详解】（1）解：如图1，当k＝1时，, ∴， ∴； ∵∠ACB＝90°，∠DNB＝90°， ∴， ∴ ∵AM＝AB， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如下图所示，延长 CA，过点 M 作 ME⊥ CA，垂足为 E， ∵， ∴， ∵， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当时，如图2所示， ∵AN＝mCN， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如下图所示，延长 CN，过点 M 作 ME⊥ CN，垂足为 E， ∵AN＝mCN， ∴， 根据（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴的值为或． 9．（24-25八年级上·山西长治·期末）如图1，，点A、D在射线上，点B、C在直线上，平分与交于D点． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，如图3，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析(2)8(3)，证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：过D作于N点，如图， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 证明：同（2）可得， 在x轴的负半轴上取，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 (3)或或 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：或或，理由如下： ， 如图③，在上截取，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； ， 如图④，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ； 由（1）、（2）可知，； 如图，点在延长线上，点在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上，线段、、之间的数量关系为：或或． 11．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【详解】解：（1）∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴，， ∴，， ∴． （3）同（2）可证， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴与的面积之和为8． 12．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在中，，点D在边上．    (1)如图1，将线段绕着点A顺时针旋转，得到线段，连接，判断线段的数量关系，并证明； (2)在图2中，在线段取一点F，使得，以为斜边向外做等腰直角三角形，连接． ①补全图形； ②判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析(2)①见解析；②，证明见解析 【详解】（1）解：,证明如下： ∵， ∴； ∵线段绕着点A顺时针旋转，得到线段，连接， ∴,, ∴,即 在和中，，，， ∴, ∴， ∴, 在中，; 在中，; ∴． （2）解：①：画图如图所示：    ②,证明如下： 如图：将逆时针旋转得到,则， ∴,, 连接    ∵等腰直角三角形， ∴ ∴,, ∵， ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴,, ∴在同一直线上， ∴,, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∵ ∴为的中点， ∴, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴,即． 13．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，与相交于点，，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，点从点出发，在线段上沿以的速度运动，两点同时出发，当点回到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)或(3)或 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点先从点到点运动时：； 当点再从点到点运动时：， 综上所述：的长为或． （3）解：连接连接，且过点， 由（1）得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或． 14．（24-25八年级上·天津河东·期末）如图，在直角坐标系中，点，点为轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点在第一象限内． (1)如图，若，求点的坐标； (2)如图，过点向轴上方作，且，在点的运动过程中，探究点，之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由； (3)如图，过点向轴下方作，且，连结交轴于点，当的面积是的面积的倍时，求的长． 【答案】(1)(2)是定值，(3) 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：点，之间的距离是定值，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即：点，之间的距离是定值； （3）解：如图，连接，过点作轴于点， 由（）可知：， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵是与的高， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图若于垂直轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足， 请直接写出的值； 求点的坐标； (2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，；；(2)． 【详解】（1） ∵，，， ∴，， ∴，； 由可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）结论： . 理由：如图中，延长交于点， ∵轴平分，轴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴． 16．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在探究用尺规作一个与相等的时，小明和小华分别提出了自己的想法，下面是他们二人的作图痕迹，请你观察思考，解决问题． (1)你认为他们的做法是否正确？________（请把你认为正确的选项填写在横线上） A．小明和小华的做法都正确    B．小明的做法正确，小华的做法不正确 C．小明的做法不正确，小华的做法正确    D．小明和小华的做法都不正确 (2)①如图，已知，请你借助尺规，以为一边，在的左侧作，使（不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的基础上，若为的平分线，求的度数． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【详解】（1）解：小明的做法：， ∴， ∴，即， 小华的做法：， ∴， ∴，即， 综上所述，小明和小华的做法都正确， 故答案为：A． （2）解：如图所示 （任选一种方法即可） ②如图所示 ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称．    (1)请直接写出B，C两点的坐标； (2)如图1，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交x轴于点M，连接，求证：； (3)如图2，点F为y轴上一动点，点在直线上，若连接E，F，G三点（按逆时针顺序排列）恰好围成一个等腰直角三角形，请直接写出符合要求的m的值为__________． 【答案】(1)，(2)见解析(3)1或2或3 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 又点C与点A关于y轴对称， ∴； （2）证明：如图，作，交轴于点，则，   点A、关于轴对称， ∴轴是线段的垂直平分线， ， ∵与是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ，，且， ， ， ，又 ， ，又 ， ， ∵， ∴． （3）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， 如图，作轴于点，则，   ，， ∴， ，， ， ，； ①当时，如图2， ∵为等腰直角三角形，点为y轴上一动点，点在直线上， ∴此时点F与点B重合，点G与点C重合， ∴； ②当时，点F与点B重合，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C为B、G的中点， ∴， 解得：； ③当时，过点E作轴于点M，过点G作轴于点N，如图所示：    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为1或2或3， 故答案为：1或2或3． 试卷第36页，共37页 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$