暑假作业08 认识三角形（8大巩固提升题型+能力培优练+创新题型练）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（北师大版2024）

完成时间： 月 日 天气： 作业08 认识三角形 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：三角形内角和的证明】 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 2．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． 3．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)见解析 【详解】（1）证明：已知：如图3，． 求证：． 证明：如图3，过点A作， ， （两直线平行，内错角相等）， 同理， ， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换． （2）证明：如图，过点作，延长到， ∴，， ∵， ∴． 4．李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一定理，剪了一个三角形纸片，如图1，将∠1撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该定理． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来证明“三角形内角和等于”这一定理，过程如下： 已知： 如图，． 求证：． 证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（ 已作） ∴ （ ） ∴ （ ） 又∵______（平角的定义） ∴（等量代换） 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 【答案】作图见解析，；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【详解】证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（ 已作）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（平角的定义）， ∴（等量代换）， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 5．追本溯源 我们知道，三角形三个内角的和等于，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 推论证明 （1）已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 知识应用 （2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数． 【答案】（1）见解析（2） 【详解】（1）证明：如图1中，∵，， ∴． （2）如图2中，∵， ∴； ∵， ∴， 【题型二：直角三角形的内角】 6．如题图，，于点E，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵于点E， ∴， 故选：B 7．如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵线段和线段垂直于点Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【答案】；相等的锐角有： 【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； ∴相等的锐角有：． 9．如图，其中图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度． 【答案】155 【详解】解∶如图，延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：155 10．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 【答案】/15度 【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，   根据直角三角形两锐角之和为，得：   ， 解得：， 所以较小锐角的度数为． 故答案为：． 【题型三：与平行线有关的三角形内角和问题】 11．如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 【答案】(1)平行 (2) 【详解】（1）结论：平行， ∵， ， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 12．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 13．如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 14．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴③正确； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分， ∴①不正确； ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴ ∴， 即， ∴④正确； 综上，正确的结论为②③④， 故答案为：②③④． 【题型四：三角形中角的折叠问题】 15．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 16．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【答案】/74度 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．如图，在中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与的一条边平行，若，则的度数为 °．（结果用含的代数式表示） 【答案】或 【详解】解：当时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 18．如图，将沿着翻折，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴； 19．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 【题型五：三角形的角平分线的性质应用】 20．如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 21．在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 【答案】/15度 【详解】解：∵， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 22．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∴， 故选：． 23．如图，在中，，垂足为D，点E在的延长线上，，垂足为F，与相交于点G，．求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明，（已知）， （垂直定义）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， （等量代换）， 即平分 24．如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 【题型六：三角形的高的性质的应用】 25．用三角板画点到所在直线的垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据画垂线段的步骤知，选项A符合题意； 故选：A． 26．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【详解】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 27．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 【答案】28或8 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高在三角形内与三角形外，根据题意求得，则由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当高在三角形内时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当高在三角形外时，如图， 则， ∴； 综上，的面积为28或8． 故答案为：28或8． 28．如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为： 29．如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：∵， ∴， ∴点到直线的距离是线段的长度． 【题型七：三角形中线的性质与应用】 30．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 31．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 32．如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【详解】解：如图，连接． ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 故选：C． 33．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ． 【答案】4 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型八：三角形三边关系的应用】 34．已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【详解】∵三角形三边的长度分别为，，， ∴， ∴， ∴第三边长不可能是2． 故选：A． 35．已知三角形的两边长满足，那么第三边的长不可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：， ，， 第三边长满足：， 得， 第三边不可能为， 故选：A． 36．一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 【答案】A 【详解】解：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4， 分两种情况讨论： 若腰长为4时，则底边长为， 此时，不能构成三角形，不符合题意； 若底边长为4时，则腰长为， 此时，能构成三角形，符合题意； 即它的底边为4， 故选：A． 37．已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 38．若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为、． (1)求、的值； (2)求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2)7或8 （2）根据、，分两种情况求出该等腰三角形的周长． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与无关， ∴， 解得：； （2）解：当3是等腰三角形的腰时，三边为3，3，2，此时周长； 当2是等腰三角形的腰时，三边为2，2，3，周长． ∴该等腰三角形的周长为7或8． 39．如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：A．当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； B． 当时，第三段长为，由，得 4，4，6能组成三角形，故该选项正确； C． 当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； D． 当时，第三段长为，由，得 2，4，8不能组成三角形，故该选项错误； 故选B． 40．在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：∵，， ∴， ①如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ③如下图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：或或． 41．如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【答案】 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 42．如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    【答案】6 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：6． 43．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 44．如图1，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D． (1)①若，则_____； ②与之间的等量关系是_____． (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点F． ①求证：； ②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值． 【答案】(1)①110；② (2)①见解析；②所有符合条件的旋转角度α的值是或 【详解】（1）解：①在中，， ∴， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴， ∴， ∴； 故答案为：110； ②在中，， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：①∵，， ∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②由①得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转一定角度后得， ∴， 如图， ∵， ∴， ∴， 即此时的旋转角为； 如图， ∵， ∴， ∴； 综上所述，所有符合条件的旋转角度的值为或． 45．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①或；②，，， 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：①若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 46．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如：，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，的“系数补角”是　　　；的“系数补角”是　　　； 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，请解答下面（2）（3）题； 【初步认识】 （2）如图1，点是直线内一点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图2，连接,若点为直线右边平面内一动点（点不在直线上），与两个角的平分线交于点，若，是的“系数补角”，请直接写出的度数（用含和的代数式表示）． 【答案】（1）;（2）（3）或或 【详解】解：（1）， 的“系数补角”； 的“系数补角”； 故答案为：； （2）根据题意得， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， （3）如图，当点在直线内部时， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线下方时， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线上方时， 同理可得， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 综上所述，的度数为或或． 47．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【答案】B 答案． 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 48．在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】如图1中，①当    由折叠得， ②当时，如图2 ， 由折叠得， ∴的度数为或； 故选：B． 49．如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ． 故选：C． 50．如图，，，，G是上一点．若，，甲，乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙： A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】A 【详解】∵，， ∴ ． ∵， ∴ ，所以甲的结论正确． 在中，已知，， ∴ ． ， ， ， 所以与不平行，乙的结论错误． 综上，只有甲的正确， 故选：A． 51．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】2 【详解】∵，分别是的边，的中点，的面积为6， ∴，． ∵是中点，是中点，的面积为，的面积为， ∴， ∴ ． ∴，即， 解得． 故答案为：2． 52．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”． 例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”． (1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______； (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点． ①若，且和互为“幸福角”，则________； ②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数． 【答案】(1) (2)① ；②或 【分析】（1）根据题意得①，②，加减消元法求解即可； （2）①设，求得，根据三角形内角和定理求得，根据和互为“幸福角”，再列式计算即可求解； ②设，利用平行线的性质和三角形的外角性质分别求得，，，再根据与互为“幸福角”，分两种情况列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵和互为“幸福角”，且， ∴①， ∵和互补， ∴②， 得，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵和互为“幸福角”，且， ∴，即， ∴， 解得； ②设，同理，， 则， ∵，， ∴， ， ∵与互为“幸福角”， 分两种情况， 当， ∴， 解得， ∴； 当， ∴， 解得， ∴； 综上，的度数为或． 试卷第52页，共55页 2 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业08 认识三角形 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：三角形内角和的证明】 1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 2．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 3．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 4．李老师在讲授“认识三角形”一课时，为验证“三角形内角和等于”这一定理，剪了一个三角形纸片，如图1，将∠1撕下，按图2方式进行摆放，然后学生经过分析得到了该定理． 学习过尺规作图之后，小华同学想要借助无刻度的直尺和圆规作图代替撕纸，来证明“三角形内角和等于”这一定理，过程如下： 已知： 如图，． 求证：． 证明：如图3，以为边，在其右侧用尺规作． 延长至点 E． ∵（ 已作） ∴ （ ） ∴ （ ） 又∵______（平角的定义） ∴（等量代换） 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 5．追本溯源 我们知道，三角形三个内角的和等于，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 推论证明 （1）已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 知识应用 （2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数． 【题型二：直角三角形的内角】 6．如题图，，于点E，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 9．如图，其中图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度． 10．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 【题型三：与平行线有关的三角形内角和问题】 11．如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 12．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 13．如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 14．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ． 【题型四：三角形中角的折叠问题】 15．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 17．如图，在中，，，点在边上，将沿着翻折，点落在点处，若恰好与的一条边平行，若，则的度数为 °．（结果用含的代数式表示） 18．如图，将沿着翻折，若，求的度数． 19．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【题型五：三角形的角平分线的性质应用】 20．如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 21．在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 22．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，垂足为D，点E在的延长线上，，垂足为F，与相交于点G，．求证：平分． 24．如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【题型六：三角形的高的性质的应用】 25．用三角板画点到所在直线的垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 26．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 27．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 28．如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 29．如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 【题型七：三角形中线的性质与应用】 30．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 31．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 32．如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 33．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ． 【题型八：三角形三边关系的应用】 34．已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 35．已知三角形的两边长满足，那么第三边的长不可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 36．一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 37．已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 38．若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为、． (1)求、的值； (2)求该等腰三角形的周长． 39．如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 40．在中，，点，分别是，边两个动点．将沿折叠得到，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与的一条边平行，，则的度数为 ． 41．如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 42．如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    43．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 44．如图1，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D． (1)①若，则_____； ②与之间的等量关系是_____． (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点F． ①求证：； ②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值． 45．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 46．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如：，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，的“系数补角”是　　　；的“系数补角”是　　　； 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，请解答下面（2）（3）题； 【初步认识】 （2）如图1，点是直线内一点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图2，连接,若点为直线右边平面内一动点（点不在直线上），与两个角的平分线交于点，若，是的“系数补角”，请直接写出的度数（用含和的代数式表示）． 47．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 48．在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 49．如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 50．如图，，，，G是上一点．若，，甲，乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙： A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 51．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 52．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“幸福角”，其中一个角叫做另一个角的“幸福角”． 例如：，，，则和互为“幸福角”，即是的“幸福角”，也是的“幸福角”． (1)已知和互为“幸福角”，且，若和互补，则_______； (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交、于D、E两点． ①若，且和互为“幸福角”，则________； ②如图2所示，过点C作的垂线，垂足为F，相交于点N．若与互为“幸福角”，求的度数． 试卷第52页，共55页 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$