暑假作业05 概率初步常考类型题（巩固培优，6大题型巩固+能力培优+创新拓展）七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以概率概念为基础，通过4大知识点+6类题型构建“概念-计算-应用”逻辑链，强化分类讨论与模型思想，培养数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件分类|4题（含跨学科情境）|定义辨析法|从确定事件到随机事件，构建概率取值范围认知| |概率计算|9题（公式/几何）|列举法/面积比法|直接公式法（n/m）与几何概型（区域占比）递进| |综合应用|18题（游戏/频率）|频率估计概率/公平性判断|从理论计算到实验验证，体现“用数学语言表达现实世界”|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 概率初步常考类型题 【知识点1 事件的分类】 事件类型 概率 确定 事件 必然事件 1 不可能事件 0 随机事件 0～1之间 【知识点2 频率估计概率】 一般地在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p. 【知识点3 直接公式法】 事件A发生的概率为P(A)＝，其中n为结果总数，m为事件A发生的结果数； 【知识点4 几何概型】 P(A)＝； 【题型1 事件的分类】 1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）中华民族历经浩浩汤汤五千年璀璨历史，其中对民族发展和历史进程做出重要贡献的伟人多如繁星．若你穿越回唐朝，则以下哪一件是不可能事件（     ） A．从岭南为杨贵妃运送荔枝 B．与元稹、白居易参加科举考试，荣登三甲 C．与李太白金龟换酒、舞剑赋诗 D．和王安石共商国是，探讨青苗法、募役法 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．买一张彩票，中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，正面向上 C．从四大名著中随机抽取一本书，抽到的是《三国演义》 D．将花生油滴入水中，油会浮在水面上 3．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）下列说法正确的是（   ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．太阳从东方升起是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．掷一次骰子，向上一面的点数是2是随机事件 4．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸出一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出装球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件． 【题型2 可能性的大小】 5．（25-26六年级下·上海虹口·期末）如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① 6．（2026·贵州铜仁·一模）肇兴侗寨被誉为“侗族文化活态博物馆”．小星去肇兴侗寨旅游时，想从一组盲盒（外观和重量完全相同）中随机购买一个作纪念品，已知这组盲盒中有5个鼓楼、2个花桥、1个吊脚楼，则下列说法正确的是（     ） A．小星一定能拿到鼓楼纪念品 B．小星拿到花桥纪念品的可能性最大 C．小星拿到吊脚楼纪念品的可能性最小 D．小星拿到三种纪念品的可能性相同 7．（2026·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） 8．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． (1)转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针指向红色区域是 事件； （填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)转动转盘，指针指向哪种颜色的可能性最大？指向哪种颜色的可能性最小？ (3)能否通过改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？请写出你的方案． 【题型3 用列举法求概率】 9．（2026·河南南阳·模拟预测）在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·宁夏银川·三模）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响、小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是_____． 12．（2026·江苏南京·二模）某校九年级共5个班，计划开展足球对抗赛．先确定一个班级轮空，剩余班级再通过抽签确定对阵双方． (1)若安排五班轮空，求一班与二班对阵的概率； (2)若随机抽取一个班轮空，则一班与二班对阵的概率是________． 【题型4 几何概率】 13．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止后，可获得指针所指区域对应的奖品，则获得三等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·四川成都·期中）七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，则小球停留在阴影部分的概率为 _____________________ ． 15．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，一个正六边形转盘被分成 6个全等三角形，任意转动这个转盘1次， 当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是____． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是三个可以自由转动的转盘．转动转盘，分别计算转盘停止时，指针落在红色区域的概率． 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小南发现操场上有一个不规则的封闭图形，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在投掷点处向封闭图形内掷石子，（若石子落在图形以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内含圆周上的次数m ．．．．．． 石子落在阴影内含外边界的次数n ．．．．．． 0.61 0.47 0.52 0.51 ．．．．．． 请根据以上信息，解答以下问题： (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 （结果精确到0.1）； (2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在 附近（结果用分数表示）； (3)根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留）． 【题型5 游戏公平性问题】 18．（2026七年级下·山东济南·专题练习）从一副52张（没有大王和小王）的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，所得的部分数据如表： 试验次数 40 80 120 160 200 出现方块的次数 11 18 a 40 49 出现方块的频率 试验次数 240 280 320 360 400 出现方块的次数 63 68 80 90 100 出现方块的频率 b (1)求a，b的值； (2)由上表估计出现方块的概率； (3)将这幅扑克牌中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张）取出，将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出1张．若摸出的这张牌的牌面数字为奇数，则甲方赢；若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢．你认为这个游戏对甲、乙双方是公平的吗？请说明理由． 19．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图1和图2均是一个大小相同的可以自由转动的转盘．图1被平均分成9等份，图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是． (1)设计转盘：请在图1的转盘中将扇形填涂黑色，要求转动转盘，当转盘停止后，使指针指向白色区域的概率是，（当指针恰好指在分界线上时重转）． (2)转动图2的转盘（当指针恰好指在分界线上时重转），当转盘停止后，求指针指向绿色的概率． (3)现有一张电影票，小明和小亮都想要，小明和小亮想通过转盘决定胜负，获胜的一方获得电影票．于是在完成第（1）题的基础上，小明转动图1的转盘，若指针指向黑色区域则获胜；小亮转动图2的转盘，若转出的颜色是绿色则获胜，那么游戏对双方公平吗？说明理由， 20．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 334 537 670 2010 摸到白球的频率 0.645 0.69 0.668 0.671 0.670 0.670 (1)填空：___________，___________，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为___________．（精确到0.01） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是___________． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5； B．某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏， ①根据试验结果，盒子中最有可能有___________个白球： ②由①的结果，约定游戏规则：拿出17个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 21．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）某校举行数学竞赛活动，晓晨和阿进两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可获得准备好的2件奖品中的一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，数学小组长设计了一个趣味性游戏，游戏规则：将如图1所示的四张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，晓晨从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2所示的是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6，阿进掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数．若晓晨记下的牌面数字大于4，则晓晨先挑取奖品，若阿进记下的点数大于4，则阿进先挑取奖品．（结果相同则再来一次） (1)晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？ (2)请用所学知识说明这个游戏对双方是否公平． 22．（2026·安徽池州·二模）【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【题型6 用频率估计概率的综合】 23．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 24．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）在一个不透明的口袋中，红色，黑色，白色的小球共有50个，这些小球除颜色外其它完全相同，小明每次摸球前先将口袋里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回口袋，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.36和0.22，则可估计口袋中白色球的个数可能为________个． 25．（25-26七年级下·广东佛山·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 26．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）九年级某班跳绳兴趣小组为了解全校九年级学生的跳绳情况，对该校九年级学生每分钟跳绳个数（单位：个/分）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成组，下面是不完整的频数分布表： 组别 跳绳个数（个/分） 频数（人数） 频率 1 2 3 4 5 3 根据表中的信息，回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)写出表中，的值：________；________； (3)该校九年级有名学生，估计这些学生中每分钟跳绳个数不少于个的学生有多少人？ 27．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开紫色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 【试验设计】由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 试验的植株总数 255 229 20 300 287 开紫花的植株数量 74 71 1 91 86 出现紫花的频率（保留两位小数） 0.29 0.31 a b 0.30 (1)表中_____，______； (2)【理论分析】我们知道，在大量重复的试验中，可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第______组的数据不适合用频率估计概率，理由是____________．经过对数据的分析，你认为一株该植物开出紫花的概率是___________．（结果保留两位小数） (3)【实际应用】某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开紫花的该植株有1080棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 28．（25-26九年级下·安徽六安·阶段检测）如果一组三个字中任意两个相邻文字的笔画数之差的绝对值不超过4，则称该词组为“完美词”．用“中国梦”这三个字随机组成一个无重复文字的词组，恰好是“完美词”的概率为（   ） A． B． C． D． 29．（2026·江西抚州·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 30．（2026·广东广州·三模）如图1，欢欢将自己的微信付款码打印在边长为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，记录该点落在黑色部分上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计图中黑色部分面积约为（     ）． A． B． C． D． 31．（25-26七年级下·广东佛山·期中）一只不透明的袋子中有3个红球，4个黄球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球． (1)________（填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； (2)求摸到白球的概率； (3)利用一只不透明的口袋和12个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是，摸到白球的概率是． 32．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为____（精确到0.01）； (2)盒子里约有白球____个； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你求出x可能是多少？ 33．（2026·安徽阜阳·三模）某校为了解七年级学生上下学的交通方式，随机抽取了100名学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)若将此调查结果绘制成扇形统计图，求“公交”所对应的扇形圆心角的度数． (2)若该校七年级共有500名学生，估计其中“步行”上下学的学生有多少人． (3)淇淇说：“从被抽查的100人中随机抽取25人，一定会抽到2人骑车．”淇淇的说法正确吗？请简要说明理由． 34．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； (2)估计袋中黑球的个数为__________只； (3)若袋中黑、白两种颜色球的个数与（2）中估计完全相同，小明又将一些除颜色外都相同的红球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，要使得从中摸出红球的概率最大则小明至少放进__________个红球． 35．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数 29 60 93 122 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到） (3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？ 36．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 37．（2026·北京·二模）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如表： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 38．（2026·安徽安庆·三模）如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 39．（2026·重庆北碚·模拟预测）西葫芦村的某蛋糕店推出了蛋糕盲盒，现在有草莓蛋糕盲盒8个，巧克力蛋糕盲盒12个，抹茶蛋糕盲盒7个，芒果蛋糕盲盒9个，提拉米苏蛋糕盲盒4个，所有蛋糕盲盒包装外形完全相同．若小懂和小颖两人各自随机抽取一个蛋糕盲盒，则两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒的概率为_____． 40．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为喜迎五一劳动节，大润发超市特别推出感恩回馈活动．活动期间，顾客累计购物满200元，即可获得一次免费转动幸运转盘的机会，指针指向对应奖项区域，即可赢取相应好礼，多买多转，惊喜不停．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．某顾客购物210元． (1)则他获得购物券的概率是________； (2)他获得哪种购物券的概率最大？并说明理由？ 41．（2026·江苏南京·一模）有一种卡牌游戏，其游戏规则如下： 规则 ①先将六张卡牌分别标上数字1，2，3，4，5，6，再分为甲、乙两个牌组，标有数字1，3，5的卡牌在甲牌组，剩余卡牌在乙牌组； ②两位选手各抽取一个牌组进行游戏，整场游戏共三轮，每位选手每一轮都从自己的牌组中选取一张牌和对方比大小，数字大的获胜，已经选取过的牌不再放回牌组；③在三轮游戏中，获胜两轮及以上者，赢得整场游戏． A，B两位同学玩游戏时，A抽到了甲牌组，B抽到了乙牌组．B为了在第一轮中获得胜利，选取了标有数字6的卡牌． (1)A在第一轮中选取标有数字_______的卡牌，才有可能赢得整场游戏； (2)在（1）的条件下，求A赢得整场游戏的概率． 42．（24-25七年级下·全国·课后作业）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________． (2)下列说法正确的是____________． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关    B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏                  D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 43．（2026·湖南长沙·二模）在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： （1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； （2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； （3）A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域．若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域___________（填A，B，C即可）． 试卷第2页，共34页 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 概率初步 【知识点1 事件的分类】 事件类型 概率 确定 事件 必然事件 1 不可能事件 0 随机事件 0～1之间 【知识点2 频率估计概率】 一般地在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p. 【知识点3 直接公式法】 事件A发生的概率为P(A)＝，其中n为结果总数，m为事件A发生的结果数； 【知识点4 几何概型】 P(A)＝； 【题型1 事件的分类】 1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）中华民族历经浩浩汤汤五千年璀璨历史，其中对民族发展和历史进程做出重要贡献的伟人多如繁星．若你穿越回唐朝，则以下哪一件是不可能事件（     ） A．从岭南为杨贵妃运送荔枝 B．与元稹、白居易参加科举考试，荣登三甲 C．与李太白金龟换酒、舞剑赋诗 D．和王安石共商国是，探讨青苗法、募役法 【答案】D 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，结合历史常识判断各事件能否在唐朝发生即可得到答案． 【详解】解：∵不可能事件是一定不会发生的事件，王安石是北宋时期人物，青苗法、募役法是北宋王安石变法的内容，不可能出现在唐朝， ∴ D选项描述的事件是不可能事件. 其余选项中，杨贵妃、元稹、白居易、李白均为唐代人物，对应的事件都可能在唐朝发生，不符合要求． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．买一张彩票，中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，正面向上 C．从四大名著中随机抽取一本书，抽到的是《三国演义》 D．将花生油滴入水中，油会浮在水面上 【答案】D 【详解】解：A选项，买一张彩票中奖，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求． B选项，掷一枚质地均匀的硬币，正面向上可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求． C选项，从四大名著中随机抽取一本书，抽到《三国演义》可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求． D选项，花生油密度小于水的密度，∴将花生油滴入水中，油一定会浮在水面上，是必然事件，符合要求． 3．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）下列说法正确的是（   ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．太阳从东方升起是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．掷一次骰子，向上一面的点数是2是随机事件 【答案】D 【分析】必然事件指一定会发生的事件，不可能事件指一定不会发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件，据此判断即可． 【详解】解：∵两个负数相乘，积一定是正数，因此该事件是必然事件，A错误； ∵太阳一定从东方升起，因此该事件是必然事件，B错误； ∵射击运动员射击一次，可能命中十环也可能不命中十环，因此该事件是随机事件，C错误； ∵掷一次骰子，向上一面的点数可能是2，也可能是其它数字，因此该事件是随机事件，D正确． 4．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸出一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出装球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件． 【答案】(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）； (2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）； (3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）． 【分析】（1）要使“摸到的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可； （2）要使“摸到红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球； （3）要使“摸到2个黄球”是随机事件，即可能摸到2个黄球，也可能摸不到2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸到2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸到2个黄球． 【详解】（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件； （2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件； （3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件． 【题型2 可能性的大小】 5．（25-26六年级下·上海虹口·期末）如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① 【答案】B 【分析】指针落在阴影区域内的可能性是：，比较灰色部分的面积即可． 【详解】解：由图可知：①“指针落在灰色区域内”的可能性为；②“指针落在灰色区域内”的可能性为；③“指针落在灰色区域内”的可能性为； 因为， 所以指针落在灰色区域内的可能性从大到小的顺序为：②①③． 6．（2026·贵州铜仁·一模）肇兴侗寨被誉为“侗族文化活态博物馆”．小星去肇兴侗寨旅游时，想从一组盲盒（外观和重量完全相同）中随机购买一个作纪念品，已知这组盲盒中有5个鼓楼、2个花桥、1个吊脚楼，则下列说法正确的是（     ） A．小星一定能拿到鼓楼纪念品 B．小星拿到花桥纪念品的可能性最大 C．小星拿到吊脚楼纪念品的可能性最小 D．小星拿到三种纪念品的可能性相同 【答案】C 【分析】先计算盲盒总数量，再根据不同类型盲盒的数量比较拿到对应纪念品的可能性大小，盲盒数量越多，拿到的可能性越大，据此判断各选项正误． 【详解】解：盲盒总个数：， ∵鼓楼盲盒共5个，花桥盲盒共2个，吊脚楼盲盒共1个，且， ∴拿到鼓楼纪念品的可能性最大，拿到吊脚楼纪念品的可能性最小，无法保证一定拿到鼓楼纪念品，三种纪念品被拿到的可能性不相同， 因此选项A、B、D错误，C正确． 7．（2026·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据可能性大小的判断规则，某种颜色球的数量越少，摸出该颜色球的可能性越小，因此要使摸出红球可能性最小，红球数量需小于袋中其他任一颜色球的数量，结合n为正整数即可求解． 【详解】解：白球数量为，黄球数量为3，红球数量为n， 要使摸出红球的可能性最小，需满足， 又n是正整数， n的值为1或2（答案填写一个即可）． 8．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． (1)转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针指向红色区域是 事件； （填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)转动转盘，指针指向哪种颜色的可能性最大？指向哪种颜色的可能性最小？ (3)能否通过改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？请写出你的方案． 【答案】(1)随机； (2)指针指向红色的可能性最大，指向黄色的可能性最小； (3)将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【分析】（1）根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答； （2）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】（1）解：第7次转动时指针指向红色区域是随机事件； （2）解：∵指针都指向红色区域的概率为， 指针都指向蓝色区域的概率为：， 指针都指向黄色区域的概率为：， ∴指针指向红色的可能性最大，指向黄色的可能性最小； （3）略． 【题型3 用列举法求概率】 9．（2026·河南南阳·模拟预测）在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据物理变化的定义判断出4种图案中属于物理变化的有2种，然后列出所有等可能的结果，找出抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵镁条燃烧生成氧化镁，面包发霉生成新物质，均属于化学变化；玻璃破碎、钢条折弯只是形状改变，均属于物理变化， ∴4张卡片中，属于化学变化的有2张，属于物理变化的有2张，设2张化学变化的卡片分别为，2张物理变化的卡片分别为 ， 从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果有：共6种， 其中抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的结果只有这1种， ∴抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率． 10．（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先列举出从4个素数中随机选取两个不同的数所有等可能结果，再找出和小于的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：∵不超过10的素数为，，，，共4个，随机选取两个不同的数，所有等可能的结果为：，，，，，，共6种，其中和小于10的结果有：，，，，共种， ∴所求概率为． 11．（2026·宁夏银川·三模）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响、小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查用列举法求概率，先找出抽取两张卡片的所有等可能结果，再统计出含“指南针”的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针、火药四张卡片分别记为，，，，从四张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，，，，共种，其中两张卡片中含有“指南针”的结果为：，，，共种； ∴根据概率公式可得，所求概率为． 12．（2026·江苏南京·二模）某校九年级共5个班，计划开展足球对抗赛．先确定一个班级轮空，剩余班级再通过抽签确定对阵双方． (1)若安排五班轮空，求一班与二班对阵的概率； (2)若随机抽取一个班轮空，则一班与二班对阵的概率是________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）列举出所有可能的情况和一班与二班对阵的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：∵安排五班轮空， ∴可能与一班对阵的有二班，三班，四班， ∴一班与二班对阵的概率为； （2）解：若安排一班轮空，可能与二班对阵的有三班，四班，五班，共3种情况； 若安排二班轮空，可能与一班对阵的有三班，四班，五班，共3种情况； 若安排三班轮空，可能与二班对阵的有一班，四班，五班，共3种情况，其中一班与二班对阵的情况有1种； 若安排四班轮空，可能与二班对阵的有一班，三班，五班，共3种情况，其中一班与二班对阵的情况有1种； 若安排五班轮空，可能与二班对阵的有一班，三班，四班，共3种情况，其中一班与二班对阵的情况有1种； ∴共有15种等可能的情况，其中一班与二班对阵的情况有3种， ∴一班与二班对阵的概率是． 【题型4 几何概率】 13．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止后，可获得指针所指区域对应的奖品，则获得三等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心角度数，然后求出几何概率． 【详解】解：三等奖的圆心角度数为， ∴获得三等奖的概率为． 14．（25-26七年级下·四川成都·期中）七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，则小球停留在阴影部分的概率为 _____________________ ． 【答案】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：如图， 设七巧板中最小的等腰直角三角形的面积为， 则根据七巧板，可得正方形的总面积为，阴影部分面积为 飞镖落在阴影部分的概率是． 15．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，一个正六边形转盘被分成 6个全等三角形，任意转动这个转盘1次， 当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是____． 【答案】 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵一个正六边形转盘被分成 6个全等三角形，阴影区域占个三角形， ∴任意转动这个转盘1次， 当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是三个可以自由转动的转盘．转动转盘，分别计算转盘停止时，指针落在红色区域的概率． 【答案】 三个转盘指针落在红色区域的概率分别为，， 【分析】利用红色区域扇形所对应的圆心角的度数除以即可求出指针落在红色区域的概率． 【详解】解：（1）图形中红色区域扇形所对应的圆心角度数为， （1）图形中指针落在红色区域的概率为； （2）图形中红色区域扇形所对应的圆心角度数为， （2）图形中指针落在红色区域的概率为； （3）图形中红色区域扇形所对应的圆心角度数为， （3）图形中指针落在红色区域的概率为， 三个转盘指针落在红色区域的概率分别为，，． 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小南发现操场上有一个不规则的封闭图形，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在投掷点处向封闭图形内掷石子，（若石子落在图形以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内含圆周上的次数m ．．．．．． 石子落在阴影内含外边界的次数n ．．．．．． 0.61 0.47 0.52 0.51 ．．．．．． 请根据以上信息，解答以下问题： (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 （结果精确到0.1）； (2)若以小石子落在有效区域内的次数为总数，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在 附近（结果用分数表示）； (3)根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为平方米． 【分析】（）根据提供的和的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （）大量试验时，频率可估计概率； （）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：根据表格数据得，当投掷的次数很大时，的值越来越接近； （2）解：观察表格得：； 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右，即小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右； （3）解：设封闭图形的面积为， 根据题意得， 解得， 则（平方米） 答：阴影部分的面积为平方米． 【题型5 游戏公平性问题】 18．（2026七年级下·山东济南·专题练习）从一副52张（没有大王和小王）的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，所得的部分数据如表： 试验次数 40 80 120 160 200 出现方块的次数 11 18 a 40 49 出现方块的频率 试验次数 240 280 320 360 400 出现方块的次数 63 68 80 90 100 出现方块的频率 b (1)求a，b的值； (2)由上表估计出现方块的概率； (3)将这幅扑克牌中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张）取出，将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出1张．若摸出的这张牌的牌面数字为奇数，则甲方赢；若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢．你认为这个游戏对甲、乙双方是公平的吗？请说明理由． 【答案】(1)30， (2) (3)不公平， 在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个， 甲方赢的概率为、乙方赢的概率为， 由于， ∴这个游戏对双方不公平． 【分析】【分析】（1），； （2）由出现方块的频率稳定在了可估计概率； （3）在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个，根据概率公式求出甲乙获胜的概率，即可判断． 【详解】（1）解：， ； （2）解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率为； （3）略 19．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图1和图2均是一个大小相同的可以自由转动的转盘．图1被平均分成9等份，图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是． (1)设计转盘：请在图1的转盘中将扇形填涂黑色，要求转动转盘，当转盘停止后，使指针指向白色区域的概率是，（当指针恰好指在分界线上时重转）． (2)转动图2的转盘（当指针恰好指在分界线上时重转），当转盘停止后，求指针指向绿色的概率． (3)现有一张电影票，小明和小亮都想要，小明和小亮想通过转盘决定胜负，获胜的一方获得电影票．于是在完成第（1）题的基础上，小明转动图1的转盘，若指针指向黑色区域则获胜；小亮转动图2的转盘，若转出的颜色是绿色则获胜，那么游戏对双方公平吗？说明理由， 【答案】(1)填涂的扇形如图所示： 当转盘使指针指向白色区域的概率是； (2) (3)公平；理由如下： ∵转动图1的转盘，指针指向黑色区域的概率； 转动图2的转盘，转出的颜色是绿色的概率， 两者的概率相等， ∴游戏对双方公平. 【分析】（1）根据题意，只要填涂3个黑色扇形区域即可； （2）用绿色部分扇形的圆心角除以360度可得答案； （3）先计算两个事件的概率，若二者相等则公平，不相等则不公平，据此即可判断. 【详解】（1）略； （2）解：∵转盘中绿色部分扇形的圆心角是， ∴转盘停止后，指针指向绿色的概率是． （3）略. 20．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 334 537 670 2010 摸到白球的频率 0.645 0.69 0.668 0.671 0.670 0.670 (1)填空：___________，___________，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为___________．（精确到0.01） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是___________． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5； B．某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏， ①根据试验结果，盒子中最有可能有___________个白球： ②由①的结果，约定游戏规则：拿出17个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)A (3)①67； ②不公平，理由如下： 拿出个白球后，盒子里一共有黑球个，盒子里一共有白球个， 则小红胜的概率为，则小亮胜的概率为， ， ∴不公平． 【分析】（1）根据频率频数总数可得、的值，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值； （2）求出、、三个选项中事件发生的概率即可得到答案； （3）①利用总数乘以频率即可解答； ②分别计算小红胜和小亮胜的概率，再对比即可． 【详解】（1）解：； ； 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近， 故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为； （2）解：掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5的概率为； 某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为． 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为； 故符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是A； （3）解：①根据试验结果，盒子中最有可能有个白球； ②略 21．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）某校举行数学竞赛活动，晓晨和阿进两位同学得分相同，获并列第一名，于是每人可获得准备好的2件奖品中的一件，为了决定谁先选择奖品，并同时检验学生所学的数学知识，数学小组长设计了一个趣味性游戏，游戏规则：将如图1所示的四张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，晓晨从中随机抽取一张，记下牌面数字；如图2所示的是一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6，阿进掷一次骰子，记下骰子朝上一面的点数．若晓晨记下的牌面数字大于4，则晓晨先挑取奖品，若阿进记下的点数大于4，则阿进先挑取奖品．（结果相同则再来一次） (1)晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是多少？ (2)请用所学知识说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）分别求出晓晨先挑取奖品的概率和阿进先挑取奖品的概率，即可得到结论． 【详解】（1）解：因为四张扑克牌为方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5， 所以晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张，牌面数字是5的概率是； （2）解：这个游戏对双方不公平．理由如下： 因为晓晨先挑取奖品的概率，阿进先挑取奖品的概率， 所以晓晨先挑取奖品的概率阿进先挑取奖品的概率，所以这个游戏对双方不公平． 22．（2026·安徽池州·二模）【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【答案】(1)3 (2)1；4 (3)；先手；6 【分析】（1）观察表中的数据，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）分析题目所给条件：当时，不论先手取几颗，后手都可以直接取到最后一颗，故后手有必胜的策略；当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗，先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1；因为时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，所以当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）由（1）（2）的结论可得若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；由这个结论和可得，当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择先手，你第一次取6颗． 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 【题型6 用频率估计概率的综合】 23．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 【答案】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可解答． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为． 24．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）在一个不透明的口袋中，红色，黑色，白色的小球共有50个，这些小球除颜色外其它完全相同，小明每次摸球前先将口袋里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回口袋，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.36和0.22，则可估计口袋中白色球的个数可能为________个． 【答案】21 【分析】先根据频率之和为求出摸到白色球的频率，再根据“总数频率频数”计算白色球的个数． 【详解】解：摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和， 摸到白色球的频率为. 口袋中白色球的个数为（个）． 25．（25-26七年级下·广东佛山·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 26．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）九年级某班跳绳兴趣小组为了解全校九年级学生的跳绳情况，对该校九年级学生每分钟跳绳个数（单位：个/分）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成组，下面是不完整的频数分布表： 组别 跳绳个数（个/分） 频数（人数） 频率 1 2 3 4 5 3 根据表中的信息，回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)写出表中，的值：________；________； (3)该校九年级有名学生，估计这些学生中每分钟跳绳个数不少于个的学生有多少人？ 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（1）利用频数分布表中第二组数据结合抽样人数频数频率列式计算即可； （2）利用抽样人数频数频率计算即可； （3）用频率估计概率，找出样本中的频率，列式计算即可． 【详解】（1）解：第二组频数，频率， 在这次调查中，一共抽取了名学生； （2）解：， ； （3）， 抽查的数据中的频率为， 估计全校学生中每分钟跳绳个数不少于个的学生有人． 27．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开紫色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 【试验设计】由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 试验的植株总数 255 229 20 300 287 开紫花的植株数量 74 71 1 91 86 出现紫花的频率（保留两位小数） 0.29 0.31 a b 0.30 (1)表中_____，______； (2)【理论分析】我们知道，在大量重复的试验中，可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第______组的数据不适合用频率估计概率，理由是____________．经过对数据的分析，你认为一株该植物开出紫花的概率是___________．（结果保留两位小数） (3)【实际应用】某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开紫花的该植株有1080棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】(1), (2)三, 试验的植株数量太少, (3)估计该公园此植物植株的总数量为3600棵. 【分析】（1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】（1）解：表中，； （2）解：第三组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数量太少； 利用频率估计概率可知一株该植物开出紫花的概率是0.30； （3）解：（棵）， 答：估计该公园此植物植株的总数量为3600棵． 28．（25-26九年级下·安徽六安·阶段检测）如果一组三个字中任意两个相邻文字的笔画数之差的绝对值不超过4，则称该词组为“完美词”．用“中国梦”这三个字随机组成一个无重复文字的词组，恰好是“完美词”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定“中”“国”“梦”三个字的笔画数，列举出所有无重复排列，再根据“完美词”的定义筛选符合条件的排列，最后代入概率公式计算即可． 【详解】解：首先确定三个字的笔画数：中为4画，国为8画，梦为11画． 用这三个字组成无重复文字的词组，所有等可能的结果为：中国梦，中梦国，国中梦，国梦中，梦中国，梦国中，共6种． 根据定义逐个判断： ∵中国梦：，符合； 中梦国：，不符合； 国中梦：，不符合； 国梦中：，不符合； 梦中国：，不符合； 梦国中：，符合； ∴符合条件的结果共2种， ∴恰好是“完美词”的概率． 29．（2026·江西抚州·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据七巧板的结构特点，设最小的等腰直角三角形面积为，分别表示出七巧板的总面积和阴影部分（小猫头部）的面积，再利用几何概率公式计算即可． 【详解】解：设七巧板中最小的等腰直角三角形面积为， ∵七巧板由个小等腰直角三角形、个正方形、个平行四边形、个中等腰直角三角形和个大等腰直角三角形组成， ∴正方形面积为，平行四边形面积为，中等腰直角三角形面积为，大等腰直角三角形面积为， ∴七巧板拼成的小猫图案总面积为， ∵小猫头部（阴影部分）由个小等腰直角三角形和个正方形组成， ∴阴影部分的面积为， ∴小球停在阴影部分的概率． 30．（2026·广东广州·三模）如图1，欢欢将自己的微信付款码打印在边长为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，记录该点落在黑色部分上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计图中黑色部分面积约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据频率估计概率得到点落在黑色部分上的概率为，利用正方形纸的面积乘以即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，点落在黑色部分上的频率约为，即点落在黑色部分上的概率为， ∴图中黑色部分面积约为． 31．（25-26七年级下·广东佛山·期中）一只不透明的袋子中有3个红球，4个黄球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球． (1)________（填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； (2)求摸到白球的概率； (3)利用一只不透明的口袋和12个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率是，摸到黄球的概率是，摸到白球的概率是． 【答案】(1)不能 (2) (3)在不透明口袋中放入6个红球、2个黄球、4个白球，搅匀后任意摸出1个球（设计合理即可） 【分析】（1）根据随机事件结果的不确定性即可解答； （2）用白球数量除以总球数，即可得到摸到白球的概率； （3）先根据给定概率和总球数，计算出各颜色球的数量，据此设计符合要求的摸球游戏即可． 【详解】（1）解：任意摸球的结果是随机事件，结果不确定，因此不能事先确定摸到的球的颜色． （2）解：袋子中球的总个数为：，白球的个数为5， 因此摸到白球的概率为． （3）解：已知总共有12个球，分别计算各颜色球的个数： 红球个数：；黄球个数：；白球个数：， 因此设计方案为：把6个红球、2个黄球、4个白球放入不透明口袋，搅匀后从中任意摸出1个球． 32．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为____（精确到0.01）； (2)盒子里约有白球____个； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你求出x可能是多少？ 【答案】(1)0.60 (2)24 (3)x可能是12 【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得； （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案； （3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近， ∴摸到白球的概率约为0.60； （2）解：∵盒子中共有40个球，摸到白球的概率约为0.6， ∴盒子里约有白球（个）； （3）解：∵加入x个球后，总球数变为，白球个数变为，且摸到白球的概率为， 故可列方程得， 解得， 答：x可能是12． 33．（2026·安徽阜阳·三模）某校为了解七年级学生上下学的交通方式，随机抽取了100名学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)若将此调查结果绘制成扇形统计图，求“公交”所对应的扇形圆心角的度数． (2)若该校七年级共有500名学生，估计其中“步行”上下学的学生有多少人． (3)淇淇说：“从被抽查的100人中随机抽取25人，一定会抽到2人骑车．”淇淇的说法正确吗？请简要说明理由． 【答案】(1) (2)160人 (3)不正确．   理由：“从被抽查的100人中随机抽取25人，抽到2人骑车”是随机事件，不是必然事件，故淇淇的说法不正确． 【分析】（1）用360度乘以公交所占的比例即可； （2）用总人数乘以步行所占的比例即可； （3）根据随机事件的定义判断即可． 【详解】（1）． 答：“公交”所对应的扇形圆心角的度数为． （2）（人）． 答：估计其中“步行”上下学的学生有160人． （3）略 34．（25-26八年级下·江苏常州·期中）一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； (2)估计袋中黑球的个数为__________只； (3)若袋中黑、白两种颜色球的个数与（2）中估计完全相同，小明又将一些除颜色外都相同的红球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，要使得从中摸出红球的概率最大则小明至少放进__________个红球． 【答案】(1) 0.5 (2) 20 (3) 21 【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为本题的答案； （2）根据（1）的值求得答案即可； （3）根据要使得从中摸出红球的概率最大则红球的数量最多，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察发现：随着试验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近， 故摸到黑球的频率会接近0.5． （2）解：∵摸到黑球的频率会接近0.5， ∴黑球数应为球的总数的一半， ∴估计袋中黑球的个数为20只． （3）解：∵袋中黑球的个数为20只， ∴袋中白球的个数为20只． ∵从中摸出红球的概率最大， ∴红球的数量最多． ∴红球的数量大于20， ∴小明至少放进21个红球． 35．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数 29 60 93 122 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到） (3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率和频数的关系求解即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵当转动次数时，落在“谢谢参与”区域的次数， ∴， ∵当转动次数时，落在“谢谢参与”区域的频率为， ∴， （2）解：观察表格中落在“谢谢参与”区域的频率数据：，随着转动次数n的增大，频率数值在附近摆动，并逐渐趋于稳定， ∴当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； （3）解：观察转盘图可知，转盘被平均分成了10等份． 统计各奖项所占的份数： “盲盒”区域有2份． “贴纸”区域有5份． “谢谢参与”区域有3份． ∴获得“盲盒”的概率是． 36．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 37．（2026·北京·二模）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如表： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】 B 181 【分析】根据表格得到每增加一台设备的利润增量，分类讨论所有分配情况，计算总利润后比较即可得到最大值． (1) 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台，只需比较各经销商分得第二台时的利润增量即可得到结果； (2) 将7台设备按分配的经销商数量分类讨论，分别计算不同分配情况下的最大总利润，比较后得到最大值． 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此一家分得2台，其余三家各分得1台． 计算各经销商第二台设备的利润增量： 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， ， 应向经销商分配2台设备． 解：按分配经销商的数量分类讨论： ① 分配给1家经销商：最大利润为经销商7台的利润，即（万元）； ② 分配给2家经销商：最大总利润为1台加6台，即（万元）； ③ 分配给3家经销商：最大总利润为1台，2台，4台，即（万元）； ④ 分配给4家经销商：四家各分1台，剩余3台选择增量最大的3台，总利润为（万元）； 比较所有情况的总利润：， 因此总利润最大值为万元． 38．（2026·安徽安庆·三模）如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 【答案】 【分析】先列举出所有满足取下吊灯前必须先取下吊灯这一条件的可能情况，然后找出吊灯第三个被取下的情况数，最后根据概率公式进行计算即可 【详解】解：由题意可知，取下吊灯前必须先取下吊灯， 所有可能的取下顺序为，共种等可能的结果， 其中吊灯第三个被取下的情况有，共种， 清洗时吊灯第三个被取下的概率是 ． 39．（2026·重庆北碚·模拟预测）西葫芦村的某蛋糕店推出了蛋糕盲盒，现在有草莓蛋糕盲盒8个，巧克力蛋糕盲盒12个，抹茶蛋糕盲盒7个，芒果蛋糕盲盒9个，提拉米苏蛋糕盲盒4个，所有蛋糕盲盒包装外形完全相同．若小懂和小颖两人各自随机抽取一个蛋糕盲盒，则两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，能够正确计算各事件发生的次数是解题的关键． 先求出所有蛋糕盲盒的总数量，再分别计算两人选到每种同种口味的概率，利用不放回模型计算最终结果． 首先计算所有蛋糕盲盒的总数量（盒）， 【详解】设两人恰好选同一种口味蛋糕盲盒为事件，小懂有40种选择，则小颖有剩下的39种可能，所有等可能的结果数为， 两人选同一种口味的所有等可能结果数为， 则概率为． 40．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为喜迎五一劳动节，大润发超市特别推出感恩回馈活动．活动期间，顾客累计购物满200元，即可获得一次免费转动幸运转盘的机会，指针指向对应奖项区域，即可赢取相应好礼，多买多转，惊喜不停．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．某顾客购物210元． (1)则他获得购物券的概率是________； (2)他获得哪种购物券的概率最大？并说明理由？ 【答案】(1) (2)他获得20元购物券的概率最大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）由概率公式求出分别获得50元、30元、20元的购物券的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，他获得购物券的概率是； （2）解：他获得20元购物券的概率最大，理由如下： ∵指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券， ∴获得50元的概率，获得30元的概率，获得20元的概率， ∵， ∴他获得20元购物券的概率最大． 41．（2026·江苏南京·一模）有一种卡牌游戏，其游戏规则如下： 规则 ①先将六张卡牌分别标上数字1，2，3，4，5，6，再分为甲、乙两个牌组，标有数字1，3，5的卡牌在甲牌组，剩余卡牌在乙牌组； ②两位选手各抽取一个牌组进行游戏，整场游戏共三轮，每位选手每一轮都从自己的牌组中选取一张牌和对方比大小，数字大的获胜，已经选取过的牌不再放回牌组；③在三轮游戏中，获胜两轮及以上者，赢得整场游戏． A，B两位同学玩游戏时，A抽到了甲牌组，B抽到了乙牌组．B为了在第一轮中获得胜利，选取了标有数字6的卡牌． (1)A在第一轮中选取标有数字_______的卡牌，才有可能赢得整场游戏； (2)在（1）的条件下，求A赢得整场游戏的概率． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：A在第一轮中选取标有数字1的卡牌，才有可能赢得整场游戏； （2）解：在（1）的条件下， A第一轮用1，B第一轮用6(B赢)； 剩下的牌：A组是3、5；B组是2、4， 后续两轮的出牌顺序组合： 1、A出3、B出2(A赢)，A出5、B出4(A赢)→A赢两场，整体获胜； 2、A出3、B出4(B赢)，A出5、B出2(A赢)→A赢1场，整体失败； 3、A出5、B出2(A赢)，A出3、B出4(B赢)→A赢1场，整体失败； 4、A出5、B出4(A赢)，A出3、B出2(A赢)→A赢两场，整体获胜； 总共有4种等可能的出牌顺序，其中A赢得整场游戏的有2种． 所以概率为：． 42．（24-25七年级下·全国·课后作业）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________． (2)下列说法正确的是____________． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关    B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏                  D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 【答案】(1)3 (2)D 【分析】（1）通过图2的折叠与分割，确定区域⑥的边长和区域⑦的边长关系，进而推出两者的周长关系； （2）根据概率与区域面积的关联，逐一判断各选项的正确性． 【详解】（1）解：由图2可知，区域⑥是平行四边形，该平行四边形相邻两边中，较短的边长是区域⑦斜边长的一半，较长的边长是区域⑦直角边的长， ∴区域⑦的周长等于区域⑥的周长： ∵区域⑥对应的周长为3， ∴区域⑦对应的周长为3. 故答案为：． （2）解：A：找到宝藏的概率与区域面积有关，与形状无关，故错误，不符合题意； B：区域③是存在的区域，有找到宝藏的可能，故错误，不符合题意； C：宝藏藏在哪个区域是随机的，区域①不一定能找到，故错误，不符合题意； D：区域④⑥⑦的面积相等，因此找到宝藏的概率相同，故正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形折叠的性质、周长计算及概率的概念，掌握利用折叠的全等性分析线段长度，以及概率与区域面积相关的特点是解题的关键． 43．（2026·湖南长沙·二模）在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： （1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； （2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； （3）A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域．若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域___________（填A，B，C即可）． 【答案】A 【分析】分别计算A，B，C三个区域的方格总数和地雷数，利用概率公式求出在各区域点击一格踩到地雷的概率，比较大小即可得出结果． 【详解】解：雷区总方格数为个，地雷总数为颗， A区域方格数为个，地雷数为颗， 则在A区域随机点击一格，踩到地雷的概率， B区域方格数为个，地雷数为颗，则在B区域随机点击一格，踩到地雷的概率， A，B两个区域重叠个方格， 则A，B区域覆盖的未翻开方格总数为个， 已翻开的方格和②共个，且无雷， 所以C区域的方格数为个， 设A，B重叠的方格内地雷数为（为或）， 则A，B区域内的地雷总数为，即颗或颗， 所以C区域的地雷数为颗或颗， 则在C区域随机点击一格，踩到地雷的概率或， 因为，，且， 所以最大，故答案为 试卷第2页，共34页 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $