第3章 概率初步-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

8 第三章　概率初步 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 下列成语所描述的事件中,属于不可能事件 的是 ( ) A. 春暖花开 B. 水中捞月 C. 百步穿杨 D. 瓮中捉鳖 2. (徐州中考)下列属于必然事件的是 ( ) A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次,命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 3. 在一只不透明的布袋内,有红球5个,黄球 4个,白球1个,蓝球3个,它们除颜色外,大 小、质地都相同.若随机从袋中摸出一个球, 则摸中的可能性最大的是 ( ) A. 红球 B. 黄球 C. 白球 D. 蓝球 4. ★某超市在春节期间开展有奖促销活动,每 买100元商品,可参加抽奖一次,中奖的概 率为1 3 ,这期间小张在该超市购买商品获得 了三次抽奖机会,则小张 ( ) A. 能中奖一次 B. 能中奖两次 C. 至少能中奖一次 D. 中奖次数不能确定 5. (广东中考)长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀 文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从 上述四种区域文化中随机选择一种文化开 展专题学习,则选中“巴蜀文化”的概率是 ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4 6. 以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面 积相等的扇形,任意转动这4个转盘各1次. 转盘停止转动时,指针落在涂色区域的可能 性最大的转盘是 ( ) A B C D 7. (河北中考)有7张扑克牌如图所示,将其打 乱顺序后,背面朝上放在桌面上,若从中随 机抽取一张,则抽到的花色可能性最大的是 ( ) A. (黑桃) B. (红心) C. (梅花) D. (方块) 第7题 第9题 8. 小刚将某个二维码打印在面积为16的正方 形纸片上,他在纸内随机掷点,经过大量试 验,发现点落在黑色涂色部分的频率稳定在 0.7左右,则据此估计此二维码中白色部分 的面积为 ( ) A. 9.6 B. 11.2 C. 4.8 D. 0.3 9. ★在如图所示的大正方形纸片上做随机扎针试 验,则针头扎在涂色区域内的概率为 ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 9 答案讲解 10. 如图,每个图案中只在最下面的正 方形上写“心”字,寓意“不忘初 心”.其中图①有1个正方形,图② 有3个正方形,图③有6个正方形……按照 此规律,从图􀃊􀂏􀂘􀂢中随机抽取1个正方形,抽 到带“心”字的正方形的概率是 ( ) 第10题 A. 1 100 B. 1 20 C. 1 101 D. 2 101 二、 填空题(每题3分,共15分) 11. 新考向 传统文化 估计下列俗语描述的 事件发生的可能性大小:① 瞎猫碰到死耗 子;② 煮熟的鸭子飞了;③ 种瓜得瓜,种豆 得豆.将这些俗语的序号按发生的可能性 从小到大的顺序排列为 . 12. ★2024年3月12日是我国第46个植树节, 某林业部门为了考察某种幼树在一定条件 下的移植成活率,在同等条件下,对这种幼 树进行大量移植,并统计成活情况,这种幼 树移植过程中的一组统计数据如下表: 幼树移植 棵数 幼树移植 成活棵数 幼树移植 成活的频率 100 87 0.870 1000 893 0.893 5000 4485 0.897 8000 7224 0.903 10000 8983 0.898 15000 13443 0.896 20000 18044 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率 是 (结果精确到0.1). 13. 飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都 相同.若向如图所示的游戏板投掷飞镖一 次(假设飞镖落在游戏板上),则停留在涂 色区域上的概率是 . 第13题 第15题 14. 小兰和小青两人做游戏,若小兰掷出的骰 子的点数是偶数,则小兰赢;若小青掷出的 骰子的点数是3的倍数,则小青赢.这个游 戏对小兰和小青 (填“公平”或“不 公平”), 获胜的概率大,概率是 . 答案讲解 15. 如图,将一个棱长为3的正方体的 表面涂色,再把它分割成棱长为1 的小正方体,从中任取一个小正方 体,则取得的小正方体恰有两个面涂色的 概率为 . 三、 解答题(共55分) 16. (9分)一个不透明的口袋中放有只有颜色 不同的10个球,其中有5个白球、3个黑 球、2个红球,下列事件哪些是随机事件? 哪些是必然事件? 哪些是不可能事件? (1) 从口袋中任取5个球,全是白球; (2) 从口袋中任取6个球,没有白球; (3) 从口袋中任取9个球,白、黑、红三种颜 色的球都有. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 10 17. (10分)如图,地面上有一个不规则的封闭 图形ABCD,为求得它的面积,小明设计了 如下方法:① 在此封闭图形内画出一个半 径为2米的圆.② 在此封闭图形旁边闭上 眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子 近似地看成点),记录如表: 小石子落在圆内 (含圆上)的次数m 20 61 123 206 小石子落在圆外 的涂色部分(含 外缘)的次数n 30 89 177 294 m∶n的值 0.6670.6850.6950.701 (1) 可以发现投掷的次数越大,m∶n的值 越接近 (结果精确到0.1); (2) 估计整个封闭图形ABCD 的面积是多 少平方米(结果保留π). 第17题 18. (10分)(1) 如图①所示为一个可以自由转 动的转盘,转动转盘,当转盘停止时,指针 落在红色区域和白色区域的概率分别是 多少? (2) 请在图②中设计一个转盘,使其满足条 件:自由转动这个转盘,当它停止转动时, 指针落在红色区域的概率为3 8 ,落在白色区 域的概率为3 8 ,落在黄色区域的概率为1 4. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 11 19. (12分)某市准备为青少年举行一次网球知 识讲座,小明和妹妹都是网球迷,但爸爸只 买回一张门票,那么谁去就成了问题.小明 想到一个办法:他拿出一个装有质地、大小 相同的2x 个红球与3x 个白球的袋子(x 为正整数),让爸爸从中摸出一个球,如果 摸到的是红球,那么妹妹去听讲座;如果摸 到的是白球,那么小明去听讲座. (1) 爸爸说这个办法不公平,请你用概率的 知识解释原因; (2) 若爸爸从袋中取出3个白球,再用小明 提出的办法来确定谁去听讲座就公平了, 求原来袋子中红球、白球的个数. 答案讲解 20. ★(14分)如图,某商场为了吸引顾 客,设立了可以自由转动的转盘 (转盘被等分成20个扇形),并规 定:顾客每购买200元的商品,就能获得一 次转动转盘的机会.如果转盘停止后,指针 正好对准红色、黄色或绿色区域,那么顾客 就可以分别获得200元、100元、50元的购 物券,凭购物券可以在该商场继续购物.如 果顾客不愿意转动转盘,那么可以直接获 得30元的购物券. (1) 求转动一次转盘获得购物券的概率; (2) 转动转盘和直接获得购物券,你认为哪 种方式对顾客更合算? 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 3 判断两直线是否平行的方法 要判断两直线是否平行,首先要找到两直线的截 线(有时需要构造截线),若是多条,可逐条观察,再寻 找同位角或内错角或同旁内角,最后根据平行线的判 定进行判断. 21. (1) 两直线平行,内错角相等;如果两条直线都与第 三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;∠BEF; ∠CEF.(2) 过点E 作EF∥AB.因为AB∥CD,所以 AB∥CD∥EF.所以∠B+∠BEF=180°,∠C+∠CEF= 180°.所以∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°.所以 ∠B+∠C+∠BEC=360°.所以∠B+∠C=360°- ∠BEC.(3) 如图,过点E 作EG∥AB,过点F 作FH∥ CD.因为AB∥CD,所以EG∥AB∥FH∥CD.所以∠B= ∠1,∠2=∠3.所以∠1+∠2=∠B+∠3.所以∠BEF= ∠B+∠3,即∠3=∠BEF-∠B.因为∠4+∠D=180°, 所以∠4=180°-∠D.所以∠3+∠4=∠BEF-∠B+ 180°-∠D.所以∠EFD=∠BEF-∠B+180°-∠D,即 ∠B+∠D+∠EFD-∠BEF=180°. 第21题 第三章　概率初步 一、 1. B 2. A 3. A 4. D 因对概率的意义理解不透彻而导致错误 本题容易按确定事件计算,误认为中奖的次数 为3×13=1 ,从而错选A.对于随机事件,得出确定性 结论,是易犯的错误,究其原因是对概率的意义理解不 透彻.注意:随机事件具有不确定性,不论可能性(概 率)有多大,都不能得到确定性结论,这是随机事件的 属性使然. 5. A 6. A 7. B 8. C 9. A 几何概型概率的计算方法 计算几何概型的概率,一般是将面积进行转化,化 不规则的图形面积为规则的图形面积,再利用几何概 型 的 计 算 公 式 “P (A ) = 事件A 所有可能结果所组成的图形面积 所有可能结果所组成的图形面积 ”进行计算. 10. D 二、 11. ②①③ 12. 0.9 频率与概率的关系 在进行大量试验时,随着试验次数的增加,一个随 机事件发生的频率逐渐稳定到某一个数值,在这个数 值附近摆动,这个数值便是概率.因此可利用平稳时的 频率来估计这个事件发生的概率.注意:频率是变化 的,概率是固定的,虽然多次试验的频率逐渐稳定于其 理论概率,但是无论做多少次试验,试验频率仍然是概 率的一个近似值,而不能等同于概率,两者之间存在着 一定的偏差. 13. 1 3 14. 不公平 小兰 12 15. 4 9 三、 16. (1) 是随机事件;(2) 是不可能事件;(3) 是必然 事件. 17. (1) 0.7.(2) 观察表格得,随着投掷次数的增加,小石 子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在0.4.设封闭图形的 面积为a 平方米.根据题意,得4πa=0.4 ,解得a=10π, 所以估计整个封闭图形ABCD 的面积是10π平方米. 18. (1) P(红色)=120360= 1 3 ,P(白色)=360-120360 = 2 3. (2) 设计方案不唯一,如图所示. 第18题 19. (1) 因为P(摸到白球)= 3x2x+3x= 3 5 ,P(摸到红 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 球)= 2x2x+3x= 2 5 ,所以P(摸到白球)≠P(摸到红 球).所以这个办法不公平.(2) 根据题意,得3x-3=2x, 解得x=3.所以2x=6,3x=9,即原来袋子中红球有 6个,白球有9个. 20. (1) 因为转盘被等分成20个扇形,转动一次转盘获得 购物券有10种情况,所以P(转动一次转盘获得购物 券)=1020= 1 2. (2) P(获得200元购物券)=120 ,P(获得 100元购物券)=320 ,P(获得50元购物券)=620= 3 10 , 200×120+100× 3 20+50× 3 10=40 (元).因为40>30, 所以选择转动转盘对顾客更合算. 利用概率进行选择 在现实生活中,对于随机事件我们无法得出确定 性的结论,但随机事件发生的概率却是我们进行选择 的重要参考依据.如本题中的第(2)小题,我们需要对 每购买200元的商品“直接获得购物券的金额”与“转 动转盘获得的购物券金额的平均值”进行比较,选择其 中较大值.其中“转动转盘获得的购物券金额的平均 值”需要用概率计算,其平均值等于转动一次转盘,转 出的各颜色的概率与其获得的购物券的金额的积的 和.其他类似问题,可同理利用概率进行计算,从而进 行正确的选择. 第四章　三 角 形 一、 1. B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. A 解析:因 为∠BAC=∠DAE,所 以∠BAC- ∠DAC=∠DAE-∠DAC.所以∠1=∠CAE.在△BAD 和△CAE 中, AB=AC, ∠1=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△BAD≌△CAE.所 以∠ABD=∠2=30°.因为∠1=25°,所以∠ADB=180°- 30°-25°=125°.所以∠3=180°-125°=55°. 10. C 解析:如图,延长DE交AB的延长线于点F.因为E 为BC的中点,所以BE=EC.因为AB∥CD,所以∠F= ∠CDE.在△BEF 和△CED 中, ∠F=∠CDE, ∠BEF=∠CED, BE=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △BEF≌△CED.所以EF=DE,BF=CD=3.所以 AF=AB+BF=8.因为AE⊥DE,EF=DE,所以AF= AD=8. 第10题 二、 11. 稳定 12. 锐角 13. 18 14. 2 15. ①②④ 解析:因为∠AOB=∠COD=40°,所以 ∠AOB+ ∠AOD = ∠COD + ∠AOD,即 ∠AOC = ∠BOD.在△AOC 和△BOD 中, OA=OB, ∠AOC=∠BOD OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,所 以△AOC≌△BOD.所以∠OCA=∠ODB,AC=BD, ∠OAC=∠OBD.所 以①正 确.因 为 易 得∠AMB+ ∠OAC=∠AOB+∠OBD,所以∠AMB=∠AOB= 40°.所以②正确.如图,过点O 作OG⊥MC 于点G,作 OH⊥MB 于点H,则∠OGC=∠OHD=90°.在△OCG 和 △ODH 中, ∠OCA=∠ODB, ∠OGC=∠OHD, OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △OCG ≌ △ODH.所以OG=OH.所以易得 MO 平分∠BMC. 所以④正确.因为∠AOB=∠COD,所以当∠DOM= ∠AOM 时,OM 才 平 分 ∠BOC.假 设 ∠DOM = ∠AOM.因 为∠AOB=∠COD,所 以 易 得∠COM = ∠BOM.因 为 MO 平 分 ∠BMC,所 以 ∠CMO = ∠BMO. 在 △COM 和 △BOM 中, ∠COM=∠BOM, OM=OM, ∠CMO=∠BMO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△COM≌△BOM.所以OB= OC.因为OA=OB,所以OA=OC.与OA>OC 矛盾, 所以③错误.所以正确的有①②④. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈