专题07 统计与概率6大考点（云南专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦统计与概率6大核心考点，精选2026年云南各地二模真题，以低空经济、非遗文化等时代情境为载体，实现基础巩固与能力提升的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约10题|从统计图获取信息、直方图分析、数据的集中趋势与波动|结合全民国家安全教育日、临沂旅游等真实场景，考查样本估计总体| |填空|约8题|频数分布直方图应用、方差与稳定性|以阅读时长调查、体育测试成绩为背景，强化数据处理能力| |解答|约12题|列表/树状图求概率、频率估计概率、游戏公平性|融入傣族泼水节、数学名著阅读等文化元素，设计跨学科综合问题（如化学实验气体概率）|

专题07 统计与概率 6大考点概览 考点01从统计图中获取信息 考点02直方图 考点03 数据的分析 考点04用列表法或树状图法求概率 考点05 用频率估计概率 考点06 游戏公平性 从统计图中获取信息 考点01 1．（2026·云南楚雄·二模）学校开设了“一人一球”的球类选修课，学生可以从乒乓球、足球、排球、篮球、羽毛球中选择一门课进行学习．数学兴趣小组对该校学生球类选修课的选择情况进行随机调查，将收集的数据进行整理并绘制成两幅统计图，下列说法正确的是（     ） A．此次调查的学生总数是80人 B．此次调查中，选择乒乓球的学生人数最多 C．在扇形统计图中，足球所对应的扇形圆心角的度数是 D．若该校共有学生1000人，则该校选择篮球的学生大约有240人 【答案】D 【分析】计算调查总人数：如果已知某类的人数和对应的占比，那么用该类人数除以对应占比即可得到总人数，可选择乒乓球的人数和其占比计算． 判断人数最多的项目：因为条形统计图中高度最高的项目对应人数最多，所以直接对比各项目的人数即可． 计算足球对应扇形圆心角：如果已知足球的占比，那么用占比乘以即可得到对应圆心角度数． 估算全校选篮球的人数：如果已知样本中篮球的占比，那么用全校总人数乘以该占比即可得到估算值． 【详解】选项A：已知选择乒乓球的人数为人，占总人数的，因此调查总人数为 人，不是人，A错误． 选项B：从条形图得各项目人数：乒乓球人、足球人、排球人、篮球人、羽毛球人，人数最多的是排球，不是乒乓球，B错误． 选项C：足球占比，对应扇形圆心角为 ，不是，C错误． 选项D：篮球占比为，因此人中选择篮球的人数约为 人，D正确． 2．（2026·云南临沧·二模）每年的4月15日是“全民国家安全教育日”．某校为了增强学生国家安全意识，在全校举行了国家安全知识竞赛活动．竞赛结束后，学校随机抽取了部分学生的成绩进行了整理和分析，将学生成绩分成A（合格）、B（良好）、C（优秀）、D（卓越）四个层级，将结果绘制成如下扇形统计图．若D层级的学生有8人，则B层级的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．12人 D．15人 【答案】B 【分析】先根据D层级的人数和占比，反推出抽取的学生数，再结合B层级所占的圆心角推算出占比，最后相乘即可得出B层级的学生数． 【详解】解：由统计图可知，D层级的占比为， ∴一共抽取了（名）学生的成绩， ∴B层级的学生有（人）． 3．（2026·云南玉溪·二模）“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（    ） A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B．2023年低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元 【答案】B 【分析】本题考查了条形统计图与折线统计图，根据统计图逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、2021至2026年低空经济市场规模逐年上升，说法正确，不符合题意； B、2022年低空经济市场规模增量（亿元）， 2023年低空经济市场规模增量（亿元）， 2024年低空经济市场规模增量（亿元）， 2025年低空经济市场规模增量（亿元）， 所以2025年低空经济市场规模增量最多，选项说法错误，符合题意； C、从2024年开始低空经济市场规模增长率变小，说法正确，不符合题意； D、2026年低空经济市场规模约亿元，将突破万亿元，说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．（2026·云南楚雄·二模）临沂古称琅琊，是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到临沂观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（    ）    A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．“其它”所表示的扇形的圆心角为 C．样本中选择公共交通出行的有2500人 D．若“五一”期间到临沂观光的游客有10万人，则选择自驾方式出行的有4万人 【答案】B 【分析】用自驾方式的人数除以它所占百分比可得样本容量，可判断选项A；用乘“其它”所占百分比可得其它”所表示的扇形的圆心角度数，可判断选项B；用样本容量乘选择公共交通出行的百分比可判断选项C；用样本估计总体可判断选项D． 【详解】解：A．本次抽样调查的样本容量是：，故选项A结论正确，不符合题意； B．“其它”所表示的扇形的圆心角为：，故选项B结论错误，符合题意； C．样本中选择公共交通出行的有：（人），故选项C结论正确，不符合题意； D．若“五一”期间到临沂观光的游客有10万人，则选择自驾方式出行的有：（万人），故选项D结论正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，熟悉样本容量、用样本估计总体是解题的关键，另外注意学会分析图表． 5．（2026·云南楚雄·二模）为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，学校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球）．某兴趣小组随机对该校部分学生的选择情况进行调查，将收集到的数据进行整理并绘制成如下两幅统计图，则此次调查的学生总数是___________． 【答案】 【分析】根据A组的人数和占比，反推样本容量即可． 【详解】解：由统计图可知，A组的学生人数为人，占比为， ∴调查的学生总数为（人）． 6．（2026·云南昆明·二模）2026年我国“全民阅读活动周”的主题为“共促全民阅读，共建书香社会”．某校九年级随机抽取了该年级30名学生平均每周阅读时长的数据（数据共分为5组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，其中x表示平均每周阅读时长，单位：小时），绘制了条形统计图．若九年级学生共有300人，根据本次调查结果，估计九年级学生中平均每周阅读时长不少于6小时的共有______人． 【答案】80 【分析】从条形统计图中读取D组和E组的人数（D组6人，E组2人，共8人），计算出这两组人数占样本的比例为，再用九年级总人数300乘以该比例，即可估计出平均每周阅读时长不少于6小时的人数． 【详解】解：（人）． 7．（2026·云南楚雄·二模）某学校开展了“让阅读成为习惯，让书香浸润生活”的主题活动．该学校对本校八年级3月份“阅读该主题书籍的读书量”（简称“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，统计图表（部分数据）如下．根据图中的信息，该校八年级500名学生中，3月份“读书量”不少于4本的学生大约有______名． 读书量（本） 人数（人） 1 5 2 10 3 □ 4 10 5 m 【答案】150 【分析】先求出抽查的人数，再根据百分比求出5本的人数，最后根据样本频数估计总体频数即可． 【详解】解：本次抽查的人数为（人）， ∴5本的人数为（人）， ∴3月份“读书量”不少于4本的学生大约有（人）． 直方图 考点02 1．（2026·云南西双版纳·二模）某校九年级男生进行掷实心球测试，并随机抽取了部分男生的成绩（单位：米）进行整理，绘制成如下频数分布直方图（第一组，第二组，依此类推至第五组），将成绩不低于8米的评为A等级，若该校共有300名男生参加了测试，则可评为A等级的男生大约有_______人． 【答案】90 【分析】先根据频数分布直方图求出抽取的学生人数，再利用样本估计总体思想求解． 【详解】解：由图可知，抽取的学生人数为， 300名男生可评为A等级的男生人数约为：． 2．（2026·云南临沧·二模）为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 【答案】 【分析】先求出样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生的频率，再用年级总人数乘以对应频率得到估计结果． 【详解】解：由频数分布直方图可得，抽取的样本容量为： 样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生频数为：（人） 样本中对应频率为： 因此估计该年级符合条件的学生人数为：（人）． 3．（2026·云南临沧·二模）为了解学生寒假期间参与社会实践活动时间的情况，某校对九年级部分学生参与社会实践活动时间的情况展开调查，并画出了相应的频数分布直方图（如图）（每组数据含最小值，不含最大值）．若该校九年级共有名学生，则该校九年级学生参与社会实践活动的时间不低于小时的人数是________． 【答案】 【分析】计算出样本中参与社会实践不低于小时的学生的占比，再乘以全校九年级的学生数即可． 【详解】解：由统计图可知，抽取的学生人数为（人），其中参与社会实践活动不低于小时的学生有（人）， ∴该校九年级学生中参与社会实践活动的时间不低于小时的人数为（人）． 4．（2026·云南红河·二模）某中学举行了“世界读书日”知识竞赛活动，七年级800名学生全部参赛．从中随机抽取50名学生的竞赛成绩（成绩用表示），按以下五组进行整理：；；C：；D：；E：．绘制如下频数分布直方图，已知C组的全部数据如下：71，73，70，75，76，78，76，77，76，77，79，则抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______． 【答案】 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数．根据频数分布直方图结合中位数的定义计算即可求出中位数． 【详解】解：将50名同学的成绩按从低到排列，则第25位，第26位的成绩的平均即为中位数． ，， 将C组的数据按从低到排列为70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79， ∴第25位，第26位的成绩为77，78， 则中位数为：． 故答案为：． 4．（2026·云南保山·二模）某班将安全知识竞赛成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组不包括最小值，包括最大值），图中从左至右前四组的百分比分别为，，，，且第五组的频数是8，下列结论不正确的是（   ） A．第五组的百分比为 B．该班有50名同学参赛 C．成绩在分的人数最多 D．80分以上的学生有14名 【答案】D 【分析】本题考查了从频数分布直方图获取信息． 根据“图中从左至右前四组的百分比分别为，，，，且第五组的频数是8”可判断A、B、D，根据频数分布直方图可判断C． 【详解】解：A．第五组的百分比为：； B．本班参赛的学生有：（名）； C．由频数分布直方图可知，成绩在分的人数最多； D．80分以上的学生有：（名）． 故选：D． 5．（2026·云南昆明·二模）2020年至今，每年的3月14日均为国际数学日，今年的国际数学日，某校举办了趣味数学竞赛活动，某班学生将竞赛成绩绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值）．下列说法错误的是（　　） A．频数分布直方图的组距为10 B．频数分布直方图的组数为5 C．成绩x在内的人数占总人数的 D．优秀（）的人数是22人 【答案】D 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，从直方图上获得所需信息是解题的关键．根据从直方图上获取的信息逐项判断即可解答． 【详解】解：A．由图可知，组距是10，故A选项正确，不合题意； B．由图可知按成绩分了5组，故B选项正确，不合题意； C．成绩x在内的人数占总人数的，故C选项说法正确，不符合题意； D．优秀（）的人数是（人），此选项错误，符合题意； 故选：D． 数据的分析 考点03 1．（2026·云南昆明·二模）为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（    ） 组别 参赛者成绩 频数 4 12 12 7 A．抽样数据的样本容量是60 B．E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 C．抽样数据的中位数落在组 D．抽样数据的平均值是96 【答案】C 【分析】本题考查了扇形统计图与频数分布表，从图表中获取信息是关键；根据图表中C的百分比及频数，可求得抽取的总人数，从而可判定A；由E的频数及样本数，求得其百分比，即可求得扇形统计图的圆心角，从而可判定B；根据中位数的意义可判定C；利用平均数的方法求出平均数即可判定D，最后获利问题的答案． 【详解】解：抽取的总人数为：，即样本容量为50，故选项A错误； ，故选项B错误； 由于，故中位数落在C组，故选项C正确； ， 平均数为：，故选项D错误； 故选：C． 2．（2026·云南昆明·二模）有甲，乙，丙，丁四台机床生产一种直径为的圆柱形零件，从各自生产的零件中任意抽取10件进行检测，得出四台机床生产的零件直径的平均数均为，方差如下表： 机床型号 甲 乙 丙 丁 方差 0.012 0.020 0.015 0.102 则这四台机床生产的零件直径最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】平均数相同时，方差越小，数据波动越小，生产的零件尺寸越稳定，只需比较四台机床的方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵四台机床生产零件直径的平均数相同， 又，甲的方差最小， ∴甲机床生产的零件直径波动最小，最稳定． 3．（2026·云南普洱·二模）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，随机抽取名学生的成绩进行统计分析，绘制的条形统计图如下： 这名学生成绩（单位：分）的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据众数的计算方法求解即可. 【详解】解：由条形统计图可知7分出现次数最多，即众数是分． 4．（2026·云南昆明·二模）某校举行“最美校园歌手”选拔赛，8名参赛选手成绩分别为9，8，5，7，8，9，6，8，则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．8，8 B．8，7.5 C．8，9 D．7，8 【答案】A 【详解】解：将这组数据从小到大排序： 5， 6， 7， 8， 8， 8， 9， 9， ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中8出现3次，出现次数最多， ∴众数为8． ∵这组数据共8个，为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数，中间两个数为第4个和第5个数，即8和8 ∴中位数为 因此这组数据的众数和中位数分别是8，8． 5．（2026·云南楚雄·二模）为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，学校从八年级学生中随机抽取了20名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数的情况如下表： 答对题数（道） 6 7 8 9 10 人数 1 8 6 3 2 本次参加测试学生答对题数的中位数和众数分别是（    ）． A．7和7 B．7和8 C．8和7 D．8和8 【答案】C 【分析】一组数据中出现次数最多的数是众数，将数据从小到大排列后，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数． 【详解】解：∵答对题数为7道的人数最多，有8人， ∴众数为7， 总共有20个数据，将数据从小到大排列后，中位数是第10个和第11个数据的平均数， ∵答对6题的有1人，答对7题的有8人，前个数据都不超过7道，因此第10和第11个数据都为8， ∴中位数为． 6．（2026·云南昆明·二模）某校计划从甲、乙、丙、丁四个人工智能小组中选出一组参加科技竞赛，下表记录了各组平时测试成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩优秀且状态稳定的小组，则应选择的小组是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 92 96 96 95 方差 1.4 0.9 1.5 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】平均数越大表示平均成绩越高，成绩越优秀，方差越小表示成绩波动越小，状态越稳定，先筛选平均成绩更高的小组，再比较方差得到结果． 【详解】解：∵成绩优秀要求平均成绩更高，即平均数越大越好，比较四个小组的平均数得， ∴乙、丙两组满足成绩优秀的要求， ∵状态稳定要求成绩波动小，即方差越小越稳定，比较乙、丙的方差得， ∴乙的方差更小，状态更稳定，因此应选择乙小组． 7．（2026·云南昆明·二模）某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（　　） A．投篮命中数量的平均数是4.8 B．样本为20名学生 C．投篮命中数量的中位数是3 D．投篮命中数量的众数是4 【答案】D 【分析】根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可． 【详解】解：A．投篮命中数量的平均数是，选项说法错误，不符合题意； B．样本为20名学生的定点投篮命中数量，选项说法错误，不符合题意； C．共20个数据，中位数为4，选项说法错误，不符合题意； D．投篮命中数量的众数是4，选项说法正确，符合题意． 8．（2026·云南临沧·二模）新课标要求“中小学生要学煮饭炖汤、种菜养禽、维修家电……”为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成统计图如图所示（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的定义，熟练掌握以上定义是解题的关键．分别根据平均数，中位数，众数，方差的定义，结合统计图的信息逐项判断能否计算得到即可． 【详解】解：根据统计图可知，每周平均家务劳动的时间3小时人数为5人，4小时人数为12人，不确定5小时和6小时的人数，所以平均数和方差无法计算； 因为随机抽查30名学生，可知5小时和6小时的总人数，所以无法确定众数；而中位数为第15和16的平均值，所以中位数为； 故选：B． 9．（2026·云南临沧·二模）昆明的春节历来给人一种温暖而从容的感觉．下列数据是2026年昆明市主城区春节假期连续9天的最高气温（单位：）：22，22，22，23，22，21，22，23，23，则这组数据的中位数是________． 【答案】 【分析】根据中位数的定义，先将这组数据按从小到大的顺序重新排列，再找出最中间的数，即可得到这组数据的中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列得：21，22，22，22，22，22，23，23，23，这组数据共有个，是奇数，根据中位数的定义，中位数为排序后第5个数，又第个数为， ∴这组数据的中位数是． 10．（2026·云南昆明·二模）云南省曲靖市罗平县是闻名全国的“油菜花之乡”，这里盛产的油菜花菜在国内外都享有盛誉．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，统计近三年这三个品种油菜花的亩产量平均数和方差如表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 505 520 520 方差 5.5 5.5 7.8 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择_______品种（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了平均数与方差的运用，理解平均数，方差表示的意义是关键． 根据平均数判定选择乙、丙，再根据方差选择乙即可． 【详解】解：∵甲的平均数小于乙、丙， ∴选择乙、丙， ∵乙的方差小于丙的方差，即乙的稳定性比甲的稳定性好， ∴应选择乙品种， 故答案为：乙 ． 7．（2026·云南楚雄·二模）在奥运会备战训练中，中国四位射击运动员10次练习的平均成绩均为环．他们这10次练习成绩的方差如下表所示，则这四位选手中，成绩最稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 【答案】甲 【分析】当各组数据平均数相等时，方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，据此即可解答． 【详解】解：四位运动员10次练习的平均成绩相等，且方差， 甲的方差最小，甲的成绩最稳定． 用列表法或树状图法求概率 考点04 1．（2026·云南临沧·二模）春节假期，不少市民选择走进影院观看贺岁片来迎接新年的到来，感受生活的美好．小新和小年决定从A《飞驰人生3》、B《镖人：风起大漠》、C《惊蛰无声》、D《熊出没·年年有熊》四部热映影片中选择2部共同观看． (1)小新先选，他选中观看A《飞驰人生3》的概率是________； (2)请用列表格或画树状图的方法，求小新和小年选中共同观看的2部影片中，含有动画片的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵ 总共有4部影片，A《飞驰人生3》是其中1部， ∴他选中观看A《飞驰人生3》的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能结果． ∵小新和小年选中共同观看的2部影片中，含有动画片的结果有6种，即：，，，，，． （2部影片含有动画片）． 3．（2026·云南曲靖·二模）在罗平花海马拉松赛事期间，赛道旁的两家特色补给站正在为选手提供专属补给： 补给站甲从花海能量包（A）、蜂蜜电解质水（B）两种补给品中，随机选一种作为当日主推款，且两种补给品被选中的可能性相等；补给站乙从花海能量包（A）、蜂蜜电解质水（B）、油菜花酥（C）三种补给品中，随机选一种作为当日主推款，且三种补给品被选中的可能性相等．记补给站甲的选择为，补给站乙的选择为． (1)请用列表法或画树状图法的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求两家补给站选择的主推款补给品互不相同的概率． 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1）解：列表法如下图所示： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） 所有可能出现的结果总数为． （2）解：∵根据列表法所有可能出现的结果总数为， 两家补给站选择的主推款补给品互不相同的可能有种， ∴． 4．（2026·云南昆明·二模）傣族泼水节是云南最具代表性的民族节日之一，泼水互动，龙舟体验，孔明灯祈福等活动热闹非凡．某校民俗兴趣小组在一次泼水节活动体验中，甲同学从泼水互动，龙舟体验，孔明灯祈福三项活动中随机选择一项参与体验，乙同学从泼水互动，孔明灯祈福两项活动中随机选择一项参与体验，每项活动被选取的可能性相同．记选择“泼水互动”为，选择“龙舟体验”为，选择“孔明灯祈福”为．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲，乙两位同学选择相同活动的概率． 【答案】(1)所有可能出现的结果有6种 (2)甲、乙两位同学选择相同活动的概率为 【分析】（1）根据题意列表解答即可； （2）根据列表法得出所有可能出现的结果数及甲、乙两位同学选择相同活动的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意列表如下：                        由表可知，所有可能出现的结果为：，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有6种． 答：所有可能出现的结果有6种； （用树状图法的参照列表法给分） （2）解：由表可知，所有可能出现的结果有6种，这些结果出现的可能性相等．其中甲、乙两位同学选择相同活动的结果有2种：，， ． 答：甲、乙两位同学选择相同活动的概率为． 4．（2026·云南玉溪·二模）数学文化是人类文化的一种，是现代文明的重要组成部分．为了解数学文化相关知识，甲、乙两位同学分别从《九章算术》《几何原本》《世界数学通史》（依次用A，B，C表示）三本数学名著中各自随机选择一本进行阅读．假设这两名同学选择阅读哪本名著不受任何因素影响，且每一本被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率． 【答案】(1)所有可能出现的结果共有种 (2) 【分析】（1）纵列为甲同学的选择为，横列为乙同学的选择为，所有可能出现的结果一共有种，它们出现的可能性相等； （2）甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的结果有种，故所求概率． 【详解】（1）解：列表如下： A B C A B C 由列表可知，所有可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有种． 答：所有可能出现的结果共有种． （2）解：由列表可知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等． 其中，甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的结果有：，，，共种， （甲、乙两位同学选择阅读同一本名著）． 5．（2026·云南曲靖·二模）地理课上，小云和小南复习了地球半球的划分规则：以赤道为界，赤道以北为北半球，以南为南半球；以(西经度)和(东经度)组成的经线圈为界，从向东到为东半球，其余为西半球．以下是小云和小南找出的四个著名城市及其大致经纬度坐标：．北京； ．纽约；．堪培拉； ．惠灵顿． (1)若小云从四个城市中随机选择一个，该城市位于北半球的概率是________； (2)若小云从四个城市中随机选择个城市，小南从后三个城市中随机选择个城市，请通过画树状图法或列表法求两人选择的城市均位于“东半球”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】先根据题干给出的半球划分规则，分别判断四个城市所在的南北半球、东西半球，再根据概率公式计算对应概率． （1）先找出北半球城市的数量，结合总城市数计算概率； （2）用列表法列出所有等可能结果，再找出满足条件的结果数，计算概率即可． 【详解】（1）解：根据赤道划分南北半球的规则，北纬(N)在北半球，南纬(S)在南半球． 四个城市中，北京、纽约为北纬，都在北半球，共2个，总城市数为4个． 因此随机选一个城市位于北半球的概率为． （2）解：根据东半球划分规则： 向东到为东半球，可得： 北京 ， ，位于东半球； 纽约的经度不在向东到的范围内，故位于西半球 堪培拉， ，位于东半球； 惠灵顿的经度不在向东到的范围内，故位于西半球 列出所有等可能结果，小云从四个城市选1个，小南从后三个城市、、选1个： 小云\小南 共有种等可能的结果，其中两人选的城市都位于东半球的结果有种，分别为、． 因此两人选择的城市均位于东半球的概率为． 6．（2026·云南楚雄·二模）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》．它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． (1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是____________． (2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或画树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）用列表法表示所有可能结果，再计算概率即可． 【详解】（1）解：∵共有4种等可能的结果， ∴抽到“孟子”书签的概率为； （2）解：根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由上表可知，共有12种等可能出现的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果共有2种， ∴随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率为． 7．（2026·云南丽江·二模）云南为我国非遗大省，为丰富学生课余生活，了解非遗文化，某校组织甲、乙两个班去本地区“彝族海菜腔”和“白族扎染”两个非遗社团学习，老师通过游戏方式确定去哪个非遗社团． 游戏规则如下： 制作如图所示的两个转盘，每个转盘分别等分为两部分和三部分，第一个转盘上的两种颜色记为a，b，第二个转盘上的三种颜色记为c，d，e，各转动两个转盘一次，第一个转盘的转动结果为x，第二个转盘的转动结果为y．已知红色和蓝色配成紫色，若最终两个转盘的结果配成紫色则甲班去“彝族海菜腔”社团，乙班去“白族扎染”社团，若不能配成紫色，则甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数． (2)求甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用树状图列举所有等可能结果，两个转盘分别有种和种结果，总数； （2）根据“红色+蓝色配成紫色”的规则，区分“配成紫色”与“不能配成紫色”两种情况，分别对应甲、乙去不同社团，用古典概型公式求概率． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果总数，即． （2）解：根据游戏规则判断：能配成紫色（红+蓝）的结果：，共种 不能配成紫色的结果：，共种， 不能配成紫色时，甲去“白族扎染”、乙去“彝族海菜腔”， ， ∴P（甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团）＝＝． 8．（2026·云南昆明·二模）化学课上，小丽学到：将一根带火星的木条放在实验结果会产生氧气（）的出气口，会使木条复燃：将一根燃着的木条放在实验结果会产生氢气（）的出气口，会产生淡蓝色火焰．以下是小丽做的四个化学实验： a．锌粒和稀硫酸制取氢气： b．双氧水（过氧化氢）制取氧气： c．一氧化碳还原氧化铁： d．电解水： (1)若小丽从四个实验中随机选择一个实验，实验产生的气体能使带火星的木条复燃的概率是 ； (2)若小丽从四个实验中随机选择1个实验，小丽的化学老师也从四个实验中随机选择1个实验，请通过画树状图法或列表法求两人选择的实验，其化学方程式中的气体生成物均能产生淡蓝色火焰的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列出表格得出共有16种等可能的结果，其中两人选择的实验产生的气体均能产生淡蓝色火焰的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（1）小丽从四个实验中随机选择一个实验，实验产生的气体能使带火星的木条复燃，即能产生氧气的实验有2个， 则概率为； （2）解：列表如下： a b c d a b c d 共有16种等可能的结果，其中两人选择的实验产生的气体均能产生淡蓝色火焰的结果有4种，即、、、， 则两人选择的实验产生的气体均能产生淡蓝色火焰的概率为． 9．（2026·云南保山·二模）为活跃班级文化，某班开展“趣味抽奖”活动，将学生分为甲、乙两队，并设置2个不透明的抽奖箱．第1个抽奖箱内放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外其余都相同）；第2个抽奖箱内放了分别标有数字1，2的两个小球（除标号外其余都相同）． 抽奖规则如下：老师先从第1个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为x，再从第2个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为y．若，则甲队中奖，否则乙队中奖． (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个抽奖规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪个队更容易中奖？ 【答案】(1)所有可能出现的结果总数为6 (2) 解：这个抽奖规则公平，理由如下： 由（1）可知共有6种等可能的结果，其中的结果有3种，的结果有3种， （甲队中奖）（乙队中奖），                         ∴这个抽奖规则公平． 【分析】（1）根据抽奖规则通过列表列出所有可能出现的结果即可； （2）利用概率公式计算出两队中奖的概率，即可判断． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 1 2                              由列表可知，共有6种等可能的结果，分别为，，，，，， 即所有可能出现的结果总数为6； （2）略 用频率估计概率 考点05 1．（2026·云南昆明·二模）一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.650 0.590 0.630 0.620 0.603 0.602 (1)根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位） (2)某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图法或列表法中的一种方法，求摸出的两个球的颜色不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值即可求解； （2）先根据题意画树状图，确定所有等可能结果数，并从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球的颜色不同的结果有4种， （摸出的两个球的颜色不同）． 2．（2026·云南·二模）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是______；（精确到） (2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【答案】(1) (2) (3)4个 【分析】本题考查频数分布表、用频率估计概率，根据概率公式求概率，一元一次方程的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用表格用频率估计概率即可解答； （2）根据概率公式计算即可；     （3）设取出个黑球，则放入个黄球，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：随着抽取彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在附近， 所以估计这批彩色弹力球“优等品”的概率是， 故答案为：； （2）解：从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有种， 因为除了颜色外都相同， 所以每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有种， 从袋子中摸出一个球是黄球的概率； （3）解：设取出个黑球，则放入个黄球，由题意得： ， 解得． 答：取出了个黑球． 3．（2026·云南昆明·二模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某数学学习兴趣小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______精确到，由此可估计出红球有______个． (2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求恰好摸到2个红球的概率． 【答案】(1)、2； (2) 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用频率估计概率求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是，由此可估计出红球有（个）， 故答案为：、2； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸到2个红球的有2种结果， 个球都是红球的概率为 游戏公平性 考点06 1．（2026·云南昆明·二模）为获得晋宁石寨山考古遗址公园的一张门票，甲、乙两位同学玩以下游戏：在不透明的A，B两个口袋中，各装有3个完全相同的小球，A口袋中小球标的数字分别是，2，；B口袋中小球标的数字分别是1，，3．现甲从A口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为x，乙从B口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为y．如果，则甲获得这张门票；如果，则乙获得这张门票． (1)请用画树状图或列表的方法求出甲乙摸到的所有可能结果； (2)这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)所有可能结果共9种，分别为 2 1 3 (2) 解：游戏公平，理由如下： 由（1）可知所有等可能的结果共9种， 其中，满足的结果有、、，共3种， 满足的结果有、、，共3种， 甲获得门票的概率： ， 乙获得门票的概率： ， ∵， ∴这个游戏公平． 【分析】（1）根据题意列表，即可得所有可能结果； （2）由所有可能结果，结合题意可得甲获得这张门票的概率和乙获得这张门票的概率，进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．（2026·云南楚雄·二模）小悦和同学们玩摸球游戏，在一个不透明的袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个（除颜色不同外，其他无差别），请回答下列问题． (1)小悦根据游戏规则画出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是：随机摸出　　　　个球后　　　（填“放回”或“不放回”），再随机摸出　　　个球； (2)袋中球的数量不变，若要使两次均摸出蓝球的概率为，应怎样改变游戏规则？ 【答案】(1)1，不放回，1 (2)随机摸出1个球后放回袋中，再随机摸出1个球 【分析】（1）根据树状图即可解答； （2）根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：根据树状图可知此次摸球的游戏规则是：随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1个球； （2）解：∵袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个， ∴随机摸出1个球是蓝球的概率为， 若要使两次均摸出蓝球的概率为，则树状图为： 游戏规则应该变为随机摸出1个球后放回袋中，再随机摸出1个球． 3．（2026·云南楚雄·二模）安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 【答案】(1)12种 (2)不公平；莹莹第一个出场的可能性更大 【分析】（1）画出树状图即可解答； （2）分别求出晶晶和莹莹第一个出场的概率，再进行比较即可解答． 【详解】（1）解：画树状图如答图： 由树状图可知，共有种等可能的结果． （2）这种规则对晶晶和莹莹不公平．     理由如下：由（1）可得，12种等可能的结果中，晶晶第一个出场的结果有4种，莹莹第一个出场的结果有8种， 晶晶第一个出场的概率为，莹莹第一个出场的概率为．， 这个规则对晶晶和莹莹不公平，莹莹第一个出场的可能性更大． 4．（2026·云南西双版纳·二模）新年余韵未散，元宵佳节又至，云南省各地精心策划元宵节特色活动，人们赏花灯、观社火、猜灯谜、品非遗、看演艺，在传统民俗与潮流体验深度融合的文化氛围中喜迎佳节．元宵节当天，小嘉想去赏花灯，小艺想去观社火，二人相持不下，决定采用游戏的方式确定去赏花灯还是观社火． 游戏规则如下：在一个不透明的盒子中装有分别标着数字，，的三个小球（除标号外，其余都相同），小嘉从盒子中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为；在另一个不透明的盒子中装有分别标着数字，的两张卡片（除标号外，其余都相同），小艺从盒子中任意摸出一张卡片，将卡片上的数字记为．然后计算的结果，若结果为奇数，则去赏花灯，若结果为偶数，则去观社火． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪种活动更可能被选中？ 【答案】(1)所有可能出现的结果总数共有6种 (2) 解：这个游戏公平，理由如下： 由（1）可知，共有6种等可能出现的结果，其中的结果为奇数的有，，，共3种；的结果为偶数的有，，，共3种． ∴， ∴这个游戏公平． 【分析】（1）根据题意，列表即可得出答案； （2）根据（1）中表格，分别求出结果为奇数和偶数的概率，比较即可得答案， 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 由表格可知，出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相同． （2）略 5．（2026·云南丽江·二模）数学老师用游戏的方式给甲、乙两个学习小组提供足球票观看比赛．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从该口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为．然后计算这两个数的积，即．若为奇数，则甲组获得足球票，否则，乙组获得足球票． (1)用列表或画树状图的方法，求甲组获得足球票的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有12种等可能的结果，其中为奇数的结果有4种，再由概率公式求解即可； （2）由（1）可知，甲组获得足球票的概率，共有12种等可能的结果，其中为偶数的结果有8种，再由概率公式求出乙组获得足球票的概率，然后比较即可． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中为奇数的结果有4种， 甲组获得足球票的概率； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，甲组获得足球票的概率，共有12种等可能的结果，其中为偶数的结果有8种， 乙组获得足球票的概率， ， 甲组获得足球票的概率乙组获得足球票的概率， 这个游戏不公平． 6．（2026·云南玉溪·二模）“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) 这个游戏对三人公平，理由如下： 由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率， ∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率， ∴这个游戏对三人公平． 【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种， ∴丙同学获胜的概率； （2）略 7．（2026·云南昆明·二模）春节期间小昆和小明玩游戏赢《哪吒2》的电影票，游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下小球的标号后再放回；再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用，表示．若能被3整除则小昆赢；若能被4整除，则小明赢． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)列表见解析，可能出现的结果一共有9种 (2)这个游戏是公平的，见解析 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键； （1）通过列表法即可得所有可能出现的结果数； （2）根据（1）的结果，分别找出能被3整除、能被4整除的结果数，利用概率公式分别求解后进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）列表如下， 1 2 3 1 2 3 由表可知，可能出现的结果一共有9种． （2）由列表法可知，在9种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等， 设能被3整除记为事件A，有3种情况： 即、、． ∴． 设能被4整除记为事件，有3种情况： 即、、． ∴． ∵ ∴这个游戏是公平的． 8．（2026·云南临沧·二模）一个不透明的箱子中装有4个除颜色外都相同的球，分别是2个红球，1个黑球和1个白球． (1)从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率为______． (2)小明和小贝按如下的规则做摸球游戏，你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 游戏规则： 小明先从箱子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再让小贝随机摸出一个球，记下颜色，若两人所摸球的颜色相同，则小明胜；反之，则小贝胜． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得出共有16种等可能的结果，其中两人所摸小球的颜色相同的有6种，两人所摸小球的颜色不同的有10种，进而求解即可． 【详解】（1）∵共有4个除颜色外都相同的球，有1个黑球， ∴从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率为； （2）不公平 列表如下： 　小贝小明 红1 红2 黑 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，黑） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，黑） （红2，白） 黑 （黑，红1） （黑，红2） （黑，黑） （黑，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，黑） （白，白） 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中颜色相同的有6种，颜色不同的有10种， 小明获胜的概率为，小贝获胜的概率为． ， 这个游戏不公平． 9．（2026·云南文水·二模）为了举荐九年级一班的小明和小亮代表班级在周一升旗时致辞，老师准备了如图所示的两个可以自由转动的转盘、 ，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．规定：同时转动两个转盘，但转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为奇数时，小明致辞；数字之和为偶数时，小亮致辞，如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． (1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断， （1）根据题意画出树状图，然后由树状图求得两个指针所指区域的数字之和即可； （2）根据（1）的结果并利用概率公式分别求得小明致辞、小亮致辞的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对小明、小亮双方是否公平； 解题的关键是掌握：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】（1）解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，分别为：、、、、、、、、、、、； （2）公平． 理由：∵两个指针所指区域的数字之和为奇数有种情况，数字之和为偶数有种情况， ∴（小明致辞），（小亮致辞）， ∴（小明致辞）＝（小亮致辞）， ∴这个游戏规则对小明、小亮双方公平． 20/36 21/36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 统计与概率 6大考点概览 考点01从统计图中获取信息 考点02直方图 考点03 数据的分析 考点04用列表法或树状图法求概率 考点05 用频率估计概率 考点06 游戏公平性 从统计图中获取信息 考点01 1．（2026·云南楚雄·二模）学校开设了“一人一球”的球类选修课，学生可以从乒乓球、足球、排球、篮球、羽毛球中选择一门课进行学习．数学兴趣小组对该校学生球类选修课的选择情况进行随机调查，将收集的数据进行整理并绘制成两幅统计图，下列说法正确的是（     ） A．此次调查的学生总数是80人 B．此次调查中，选择乒乓球的学生人数最多 C．在扇形统计图中，足球所对应的扇形圆心角的度数是 D．若该校共有学生1000人，则该校选择篮球的学生大约有240人 2．（2026·云南临沧·二模）每年的4月15日是“全民国家安全教育日”．某校为了增强学生国家安全意识，在全校举行了国家安全知识竞赛活动．竞赛结束后，学校随机抽取了部分学生的成绩进行了整理和分析，将学生成绩分成A（合格）、B（良好）、C（优秀）、D（卓越）四个层级，将结果绘制成如下扇形统计图．若D层级的学生有8人，则B层级的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．12人 D．15人 3．（2026·云南玉溪·二模）“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（    ） A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B．2023年低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元 4．（2026·云南楚雄·二模）临沂古称琅琊，是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到临沂观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是（    ）    A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．“其它”所表示的扇形的圆心角为 C．样本中选择公共交通出行的有2500人 D．若“五一”期间到临沂观光的游客有10万人，则选择自驾方式出行的有4万人 5．（2026·云南楚雄·二模）为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，学校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球）．某兴趣小组随机对该校部分学生的选择情况进行调查，将收集到的数据进行整理并绘制成如下两幅统计图，则此次调查的学生总数是___________． 6．（2026·云南昆明·二模）2026年我国“全民阅读活动周”的主题为“共促全民阅读，共建书香社会”．某校九年级随机抽取了该年级30名学生平均每周阅读时长的数据（数据共分为5组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，其中x表示平均每周阅读时长，单位：小时），绘制了条形统计图．若九年级学生共有300人，根据本次调查结果，估计九年级学生中平均每周阅读时长不少于6小时的共有______人． 7．（2026·云南楚雄·二模）某学校开展了“让阅读成为习惯，让书香浸润生活”的主题活动．该学校对本校八年级3月份“阅读该主题书籍的读书量”（简称“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，统计图表（部分数据）如下．根据图中的信息，该校八年级500名学生中，3月份“读书量”不少于4本的学生大约有______名． 读书量（本） 人数（人） 1 5 2 10 3 □ 4 10 5 m 直方图 考点02 1．（2026·云南西双版纳·二模）某校九年级男生进行掷实心球测试，并随机抽取了部分男生的成绩（单位：米）进行整理，绘制成如下频数分布直方图（第一组，第二组，依此类推至第五组），将成绩不低于8米的评为A等级，若该校共有300名男生参加了测试，则可评为A等级的男生大约有_______人． 2．（2026·云南临沧·二模）为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 3．（2026·云南临沧·二模）为了解学生寒假期间参与社会实践活动时间的情况，某校对九年级部分学生参与社会实践活动时间的情况展开调查，并画出了相应的频数分布直方图（如图）（每组数据含最小值，不含最大值）．若该校九年级共有名学生，则该校九年级学生参与社会实践活动的时间不低于小时的人数是________． 4．（2026·云南红河·二模）某中学举行了“世界读书日”知识竞赛活动，七年级800名学生全部参赛．从中随机抽取50名学生的竞赛成绩（成绩用表示），按以下五组进行整理：；；C：；D：；E：．绘制如下频数分布直方图，已知C组的全部数据如下：71，73，70，75，76，78，76，77，76，77，79，则抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______． 4．（2026·云南保山·二模）某班将安全知识竞赛成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组不包括最小值，包括最大值），图中从左至右前四组的百分比分别为，，，，且第五组的频数是8，下列结论不正确的是（   ） A．第五组的百分比为 B．该班有50名同学参赛 C．成绩在分的人数最多 D．80分以上的学生有14名 5．（2026·云南昆明·二模）2020年至今，每年的3月14日均为国际数学日，今年的国际数学日，某校举办了趣味数学竞赛活动，某班学生将竞赛成绩绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值）．下列说法错误的是（　　） A．频数分布直方图的组距为10 B．频数分布直方图的组数为5 C．成绩x在内的人数占总人数的 D．优秀（）的人数是22人 数据的分析 考点03 1．（2026·云南昆明·二模）为了解去年半程马拉松的比赛情况，数学兴趣小组对参赛选手进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整的统计图表．则下列说法正确的是（    ） 组别 参赛者成绩 频数 4 12 12 7 A．抽样数据的样本容量是60 B．E组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为 C．抽样数据的中位数落在组 D．抽样数据的平均值是96 2．（2026·云南昆明·二模）有甲，乙，丙，丁四台机床生产一种直径为的圆柱形零件，从各自生产的零件中任意抽取10件进行检测，得出四台机床生产的零件直径的平均数均为，方差如下表： 机床型号 甲 乙 丙 丁 方差 0.012 0.020 0.015 0.102 则这四台机床生产的零件直径最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2026·云南普洱·二模）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，随机抽取名学生的成绩进行统计分析，绘制的条形统计图如下： 这名学生成绩（单位：分）的众数是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·云南昆明·二模）某校举行“最美校园歌手”选拔赛，8名参赛选手成绩分别为9，8，5，7，8，9，6，8，则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．8，8 B．8，7.5 C．8，9 D．7，8 5．（2026·云南楚雄·二模）为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，学校从八年级学生中随机抽取了20名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数的情况如下表： 答对题数（道） 6 7 8 9 10 人数 1 8 6 3 2 本次参加测试学生答对题数的中位数和众数分别是（    ）． A．7和7 B．7和8 C．8和7 D．8和8 6．（2026·云南昆明·二模）某校计划从甲、乙、丙、丁四个人工智能小组中选出一组参加科技竞赛，下表记录了各组平时测试成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩优秀且状态稳定的小组，则应选择的小组是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 92 96 96 95 方差 1.4 0.9 1.5 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（2026·云南昆明·二模）某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（　　） A．投篮命中数量的平均数是4.8 B．样本为20名学生 C．投篮命中数量的中位数是3 D．投篮命中数量的众数是4 8．（2026·云南临沧·二模）新课标要求“中小学生要学煮饭炖汤、种菜养禽、维修家电……”为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成统计图如图所示（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 9．（2026·云南临沧·二模）昆明的春节历来给人一种温暖而从容的感觉．下列数据是2026年昆明市主城区春节假期连续9天的最高气温（单位：）：22，22，22，23，22，21，22，23，23，则这组数据的中位数是________． 10．（2026·云南昆明·二模）云南省曲靖市罗平县是闻名全国的“油菜花之乡”，这里盛产的油菜花菜在国内外都享有盛誉．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，统计近三年这三个品种油菜花的亩产量平均数和方差如表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 505 520 520 方差 5.5 5.5 7.8 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择_______品种（填“甲”“乙”或“丙”）． 7．（2026·云南楚雄·二模）在奥运会备战训练中，中国四位射击运动员10次练习的平均成绩均为环．他们这10次练习成绩的方差如下表所示，则这四位选手中，成绩最稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 用列表法或树状图法求概率 考点04 1．（2026·云南临沧·二模）春节假期，不少市民选择走进影院观看贺岁片来迎接新年的到来，感受生活的美好．小新和小年决定从A《飞驰人生3》、B《镖人：风起大漠》、C《惊蛰无声》、D《熊出没·年年有熊》四部热映影片中选择2部共同观看． (1)小新先选，他选中观看A《飞驰人生3》的概率是________； (2)请用列表格或画树状图的方法，求小新和小年选中共同观看的2部影片中，含有动画片的概率． 3．（2026·云南曲靖·二模）在罗平花海马拉松赛事期间，赛道旁的两家特色补给站正在为选手提供专属补给： 补给站甲从花海能量包（A）、蜂蜜电解质水（B）两种补给品中，随机选一种作为当日主推款，且两种补给品被选中的可能性相等；补给站乙从花海能量包（A）、蜂蜜电解质水（B）、油菜花酥（C）三种补给品中，随机选一种作为当日主推款，且三种补给品被选中的可能性相等．记补给站甲的选择为，补给站乙的选择为． (1)请用列表法或画树状图法的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求两家补给站选择的主推款补给品互不相同的概率． 4．（2026·云南昆明·二模）傣族泼水节是云南最具代表性的民族节日之一，泼水互动，龙舟体验，孔明灯祈福等活动热闹非凡．某校民俗兴趣小组在一次泼水节活动体验中，甲同学从泼水互动，龙舟体验，孔明灯祈福三项活动中随机选择一项参与体验，乙同学从泼水互动，孔明灯祈福两项活动中随机选择一项参与体验，每项活动被选取的可能性相同．记选择“泼水互动”为，选择“龙舟体验”为，选择“孔明灯祈福”为．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲，乙两位同学选择相同活动的概率． 4．（2026·云南玉溪·二模）数学文化是人类文化的一种，是现代文明的重要组成部分．为了解数学文化相关知识，甲、乙两位同学分别从《九章算术》《几何原本》《世界数学通史》（依次用A，B，C表示）三本数学名著中各自随机选择一本进行阅读．假设这两名同学选择阅读哪本名著不受任何因素影响，且每一本被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两位同学选择阅读同一本名著的概率． 5．（2026·云南曲靖·二模）地理课上，小云和小南复习了地球半球的划分规则：以赤道为界，赤道以北为北半球，以南为南半球；以(西经度)和(东经度)组成的经线圈为界，从向东到为东半球，其余为西半球．以下是小云和小南找出的四个著名城市及其大致经纬度坐标：．北京； ．纽约；．堪培拉； ．惠灵顿． (1)若小云从四个城市中随机选择一个，该城市位于北半球的概率是________； (2)若小云从四个城市中随机选择个城市，小南从后三个城市中随机选择个城市，请通过画树状图法或列表法求两人选择的城市均位于“东半球”的概率． 6．（2026·云南楚雄·二模）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》．它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． (1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是____________． (2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或画树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率． 7．（2026·云南丽江·二模）云南为我国非遗大省，为丰富学生课余生活，了解非遗文化，某校组织甲、乙两个班去本地区“彝族海菜腔”和“白族扎染”两个非遗社团学习，老师通过游戏方式确定去哪个非遗社团． 游戏规则如下： 制作如图所示的两个转盘，每个转盘分别等分为两部分和三部分，第一个转盘上的两种颜色记为a，b，第二个转盘上的三种颜色记为c，d，e，各转动两个转盘一次，第一个转盘的转动结果为x，第二个转盘的转动结果为y．已知红色和蓝色配成紫色，若最终两个转盘的结果配成紫色则甲班去“彝族海菜腔”社团，乙班去“白族扎染”社团，若不能配成紫色，则甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数． (2)求甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团的概率． 8．（2026·云南昆明·二模）化学课上，小丽学到：将一根带火星的木条放在实验结果会产生氧气（）的出气口，会使木条复燃：将一根燃着的木条放在实验结果会产生氢气（）的出气口，会产生淡蓝色火焰．以下是小丽做的四个化学实验： a．锌粒和稀硫酸制取氢气： b．双氧水（过氧化氢）制取氧气： c．一氧化碳还原氧化铁： d．电解水： (1)若小丽从四个实验中随机选择一个实验，实验产生的气体能使带火星的木条复燃的概率是 ； (2)若小丽从四个实验中随机选择1个实验，小丽的化学老师也从四个实验中随机选择1个实验，请通过画树状图法或列表法求两人选择的实验，其化学方程式中的气体生成物均能产生淡蓝色火焰的概率． 9．（2026·云南保山·二模）为活跃班级文化，某班开展“趣味抽奖”活动，将学生分为甲、乙两队，并设置2个不透明的抽奖箱．第1个抽奖箱内放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外其余都相同）；第2个抽奖箱内放了分别标有数字1，2的两个小球（除标号外其余都相同）． 抽奖规则如下：老师先从第1个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为x，再从第2个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为y．若，则甲队中奖，否则乙队中奖． (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个抽奖规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪个队更容易中奖？ 用频率估计概率 考点05 1．（2026·云南昆明·二模）一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.650 0.590 0.630 0.620 0.603 0.602 (1)根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位） (2)某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图法或列表法中的一种方法，求摸出的两个球的颜色不同的概率． 2．（2026·云南·二模）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 优等品频数 优等品频率 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是______；（精确到） (2)从这批彩色弹力球中选择个黄球、个黑球、个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 3．（2026·云南昆明·二模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某数学学习兴趣小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______精确到，由此可估计出红球有______个． (2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求恰好摸到2个红球的概率． 游戏公平性 考点06 1．（2026·云南昆明·二模）为获得晋宁石寨山考古遗址公园的一张门票，甲、乙两位同学玩以下游戏：在不透明的A，B两个口袋中，各装有3个完全相同的小球，A口袋中小球标的数字分别是，2，；B口袋中小球标的数字分别是1，，3．现甲从A口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为x，乙从B口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为y．如果，则甲获得这张门票；如果，则乙获得这张门票． (1)请用画树状图或列表的方法求出甲乙摸到的所有可能结果； (2)这个游戏公平吗？为什么？ 2．（2026·云南楚雄·二模）小悦和同学们玩摸球游戏，在一个不透明的袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个（除颜色不同外，其他无差别），请回答下列问题． (1)小悦根据游戏规则画出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是：随机摸出　　　　个球后　　　（填“放回”或“不放回”），再随机摸出　　　个球； (2)袋中球的数量不变，若要使两次均摸出蓝球的概率为，应怎样改变游戏规则？ 3．（2026·云南楚雄·二模）安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 4．（2026·云南西双版纳·二模）新年余韵未散，元宵佳节又至，云南省各地精心策划元宵节特色活动，人们赏花灯、观社火、猜灯谜、品非遗、看演艺，在传统民俗与潮流体验深度融合的文化氛围中喜迎佳节．元宵节当天，小嘉想去赏花灯，小艺想去观社火，二人相持不下，决定采用游戏的方式确定去赏花灯还是观社火． 游戏规则如下：在一个不透明的盒子中装有分别标着数字，，的三个小球（除标号外，其余都相同），小嘉从盒子中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为；在另一个不透明的盒子中装有分别标着数字，的两张卡片（除标号外，其余都相同），小艺从盒子中任意摸出一张卡片，将卡片上的数字记为．然后计算的结果，若结果为奇数，则去赏花灯，若结果为偶数，则去观社火． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪种活动更可能被选中？ 5．（2026·云南丽江·二模）数学老师用游戏的方式给甲、乙两个学习小组提供足球票观看比赛．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从该口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为．然后计算这两个数的积，即．若为奇数，则甲组获得足球票，否则，乙组获得足球票． (1)用列表或画树状图的方法，求甲组获得足球票的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 6．（2026·云南玉溪·二模）“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同． (1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率； (2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？ 7．（2026·云南昆明·二模）春节期间小昆和小明玩游戏赢《哪吒2》的电影票，游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下小球的标号后再放回；再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用，表示．若能被3整除则小昆赢；若能被4整除，则小明赢． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 8．（2026·云南临沧·二模）一个不透明的箱子中装有4个除颜色外都相同的球，分别是2个红球，1个黑球和1个白球． (1)从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率为______． (2)小明和小贝按如下的规则做摸球游戏，你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 游戏规则： 小明先从箱子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再让小贝随机摸出一个球，记下颜色，若两人所摸球的颜色相同，则小明胜；反之，则小贝胜． 9．（2026·云南文水·二模）为了举荐九年级一班的小明和小亮代表班级在周一升旗时致辞，老师准备了如图所示的两个可以自由转动的转盘、 ，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．规定：同时转动两个转盘，但转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为奇数时，小明致辞；数字之和为偶数时，小亮致辞，如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止． (1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)这个规则公平吗？请说明理由． 14/15 15/15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $