专题04 图形的性质(三角形)10大考点（云南专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦三角形图形性质，涵盖10大核心考点，精选云南各地2026年二模真题，题型多样且情境贴近生活与文化，如光线折射、古埃及直角三角形制作等，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|多题量覆盖|平行线性质、三角形全等、勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等|结合现实情境（如圆锥风铃模型）和文化素材（九宫格、古埃及结绳法），注重逻辑推理与实际应用|

专题04 图形的性质（三角形） 10大考点概览 考点01利用平行线的性质求角度 考点02与三角形有关的角度计算 考点03 三角形全等的判定 考点04全等三角形判定与性质综合 考点05 利用垂直平分线/角平分线的性质求解 考点06 利用特殊三角形的性质与判定求解 考点07 勾股定理 考点08 利用平行线分线段成比例求解 考点09 利用相似三角形的性质与判定求解 考点10 锐角三角函数 利用平行线的性质求角度 考点01 1．（2026·云南昆明·二模）如图，直线，直线与直线，分别相交，，那么的度数为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行内错角相等即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴. 2．（2026·云南楚雄·二模）如图，直线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得到，根据对顶角相等可知的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·云南临沧·二模）如图，直线，被直线所截，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据邻补角定义求得，再根据两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·云南昆明·二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从某无色透明液体中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，在无色透明液体中是平行的，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线，经过无色透明液体与空气的界面折射形成的光线示意图，界面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：液体的界面与玻璃杯的底面平行， ， ， ． 5．（2026·云南楚雄·二模）已知直线，将正五边形按如图所示的位置摆放，顶点在直线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出正五边形的内角度数，进而得到的度数，再根据平行线的性质解答即可求解． 【详解】解：如图， ∵是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·云南文山·二模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键． 如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：如图：延长相交于点E， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 与三角形有关的角度计算 考点02 1．（2026·云南丽江·二模）如图，等腰中，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合的性质得出既是高也是顶角平分线，因此． 【详解】解：，， 平分（等腰三角形三线合一）， ， 又， ． 2．（2026·云南昆明·二模）如图，为的外角，已知，，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，进行解得，即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．（2026·云南临沧·二模）如图， 已知，的垂直平分线交于点D，则_______ 度． 【答案】30 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质， 先根据“等边对等角”求出，再根据线段垂直平分线的性质得，然后结合“等边对等角”求出，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30． 4．（2026·云南楚雄·二模）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，最后利用角平分线的定义求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 5．（2026·云南昆明·二模）如图，在等腰中，，，是的垂直平分线，交于点，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，进而可得，根据线段垂直平分线的性质可得，即得，再利用角的和差求解. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴. 6．（2026·云南文山·二模）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，由作图可知为的角平分线，即得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，即可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 三角形全等的判定 考点03 1．（2026·云南曲靖·二模）如图，．求证：． 【答案】见详解 【分析】先结合平行线的性质，得出，根据，运用线段的差的关系得出，又因为，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】证明：在和中 ， 【分析】根据题干的条件，由“边角边”证明两三角形全等即可． 【详解】略． 3．（2026·云南临沧·二模）如图，点A，F，E，B在同一条直线上，与相交于点M，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先利用等腰三角形的性质，由推出，再结合已知的、，利用证明。 【详解】证明：， ， 在和中， ， （）． 4．（2026·云南临沧·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由可得，进而可证明． 【详解】略 5．（2026·云南曲靖·二模）与按如图所示摆放，边分别与，交于点M，O，边与交于点N，若，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证，再运用“ASA”证明两个三角形全等． 【详解】证明：∵，， ∴，即， 在和中， ∴． 全等三角形判定与性质综合 考点04 1．（2026·云南玉溪·二模）如图：已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知由可得，故． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 2．（2026·云南昭通·二模）如图，已知于B，于E，，，求证：． 【答案】证明：于B，于E， ． ∵在和中， ， ． 【分析】通过“”证明即可得出结论． 【详解】略 3．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两边及其夹角相等证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 4．（2026·云南楚雄·二模）如图，是的中线，E是上一点，延长至点F，使得，连接，，求证：． 【答案】证明：∵是的中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据中线的定义得到，证明，即可得到． 【详解】略 5．（2026·云南楚雄·二模）如图，已知是锐角三角形，过点作于点，延长至点，使，点在边上，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先由得到直角，结合，利用等角的余角相等推出，再结合已知，，通过证明，最后根据全等三角形对应边相等证得． 【详解】证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 利用垂直平分线/角平分线的性质求解 考点05 1．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，则的周长为______． 【答案】5 【分析】证明的周长即可解决问题． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 2．（2026·云南昭通·二模）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得，  可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 3．（2026·云南西双版纳·二模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，过点P作于H，由作图方法可得，平分，由角平分线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于H， 由作图方法可得，平分， ∵，， ∴， ∴点到的距离为3， 故选：C． 4．（2026·云南临沧·二模）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是作出辅助线．过作交于点，根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合，平分得到即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， ∵是等腰三角形底边上的中线， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 5．（2026·云南大理·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为________． 【答案】26 【分析】根据作图痕迹可得是的平分线，过点作于点，根据角平分线的性质可得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分，如图，过点作于点． ， . 平分，， ， ， ． 利用特殊三角形的性质与判定求解 考点06 1．（2026·云南昆明·二模）如图，在等腰三角形中，，若腰，则的底边长为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，即可求出的度数，的长，再根据勾股定理即可求出的长，于是得出的长． 【详解】如图，过点A作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得 ， ， 故答案为：． 2．（2026·云南楚雄·三模）如图，在等边三角形中，D，E，F分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为___． 【答案】6 【分析】根据等边三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，是的中位线， ∴， ， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 3．（2026·云南昆明·二模）如图，学校有一块空地形状为等边三角形． 已 知 D，E 分别是的中点，测得，现在后勤部打算将四边形用篱笆围成一个四边形菜地来种青菜，则需要篱笆的长是______m． 【答案】25 【分析】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得到，由三角形中位线定理得到，即可解决问题． 【详解】解：∵三角形是等边三角形， ∴， 又∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴需要篱笆的长是， 故答案为：． 4．（2026·云南文山·二模）圆规是尺规作图必不可少的工具之一，图1是我们生活中常见的一种圆规样式．图2是根据圆规结构构造的特殊“圆规”图形．当“圆规”合拢时，点A和点E重合，点C落在线段上，，，当“圆规”展开一定角度，直立在纸面上时，和的度数固定不变，（如图），则此时以点A为圆心，长为半径所作圆的面积为______（结果保留根号和） 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．连接，过E作于H，依题意得点B，C，E在同一条直线上，，，则，进而得，在中，可求出，，则，进而得，然后再由圆的面积公式可求出以长为半径所作圆的面积． 【详解】解：连接，过点E作于H，如图所示： 依题意得：点B，C，E在同一条直线上，，， ， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 以长为半径所作圆的面积为： 故答案为： 5．（2026·云南楚雄·二模）如图，在中，，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，掌握性质是解题的关键．根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 6．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，D、E分别为的中点，，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质及三角形周长公式，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理得出，根据直角三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：， ， ，分别是，的中点， ，， ， 即的周长为14． 故选：C． 勾股定理 考点07 1．（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，是的中点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟记性质和定义是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据勾股定理求得，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】解：∵，是边上的中线，， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 2．（2026·云南楚雄·二模）正三角形是一种具有独特美感的几何图形．它在设计、艺术和自然界中都有广泛的应用．正三角形的美在于它的对称、稳定、简洁与和谐．它不仅是一种数学图形，更是一种美学符号，能够为我们的生活带来更多的美好与乐趣．已知一个正三角形的边长为，则它的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正三角形三线合一性质得到底边一半长度，再用勾股定理求出高，最后代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵一个正三角形的边长为， ∴底边上的高平分底边，底边一半的长度为， ∴正三角形的高为． ∴正三角形的面积为． 3．（2026·云南楚雄·二模）如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线的交点，与相交于点O，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，证明是解答本题的关键．根据网格线的特点易得，证明，由勾股定理求出，推出． 【详解】解：根据网格线的特点易得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（2026·云南红河·一模）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 5．（2026·云南玉溪·二模）如图，小明在综合实践活动课上用木块制作了一个底面半径为6，高为8的圆锥形实物模型，则这个圆锥形实物模型的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥母线长，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长计算扇形弧长，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可． 【详解】解：圆锥底面半径为6，高为8， 圆锥的母线长为：， 圆锥的底面周长为：， 圆锥的侧面积为：， 故选：D ． 6．（2026·云南昆明·二模）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7．（2026·云南·二模）云南丽江古城随处可见的风铃，代表着每一个游客美好的愿望．某同学想用卡纸制作风铃作为毕业礼物送给朋友，风铃其铃托形似圆锥，测得其母线长10厘米，高为6厘米，则铃托侧面展开图的弧长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】本题考查了求圆锥的底面半径，圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面的周长是解题的关键．先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，进而得到底面的周长，最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面的周长即可得到答案． 【详解】解：母线长为10厘米，高为6厘米， 底面半径为（厘米）， 底面圆的周长为（厘米）， 圆锥侧面展开图的弧长等于其底面圆周长， 铃托侧面展开图的弧长为厘米． 故选：B． 利用平行线分线段成比例求解 考点08 1．（2026·云南楚雄·二模）如图，，若，，则的长为（） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可求出未知线段的长度． 【详解】解：∵， ∴， 将已知条件，，代入上式，得： 化简，得： ∴ 2．（2026·云南昆明·二模）如图，、分别是、边的中点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由中点推出为的中位线，利用中位线性质判定A、B选项，再由中点分得两段相等，比值均为1，判定C选项，最后利用中位线性质及相似三角形面积比等于相似比的平方判定D选项． 【详解】解：∵、分别是、边的中点， ∴是的中位线， ∴且， 故选项A、B不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， 故选项C不符合题意， ∵, ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项D符合题意． 3．（2026·云南·二模）如图，在中，，分别交，于，，若：：2，，则的长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】首先，依据平行线分线段成比例定理确定线段间的比例关系；接着，代入已知的和的值求出；最后，通过计算出的长度． 【详解】， ． ，且， 代入得到． 解得：． ． 4．（2026·云南西双版纳·二模）如图，在中，，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】题目主要考查平行线分线段成比例，理解题意，结合图形求解是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 5．（2026·云南保山·二模）如图，，且，则________． 【答案】 /0.5 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 利用相似三角形的性质与判定求解 考点09 1．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 【答案】/0.5 【分析】由平行得到，那么得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 2．（2026·云南曲靖·二模）如图，在中，分别是上的点，且．若的周长为，的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合夹角相等，两边成比例，得证，再根据的周长为，的周长为，相似三角形的周长比等于相似比，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 3．（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 4．（2026·云南楚雄·二模）的三边长分别为3，4，5，另有一个与它相似的，其最长边为15，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据相似三角形的性质确定相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵∽，的最长边长为，的最长边长为， ∴两三角形的相似比为， ∵的周长为，且相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为． 5．（2026·云南普洱·二模）如图，，那么与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需求出的值即可得到答案. 【详解】， ， ． 又， ， 与的相似比为． 故选：D. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，求出的值是解题的关键. 6．（2026·云南昆明·二模）如图，与相交于点，，，则______________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 7．（2026·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边、对应高成比例直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，和分别是和的高， ∴， ∴， 故选：D． 8．（2026·云南大理·二模）如图，的中线与交于点，连接，若的周长为8，则的周长为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意，是中位线，得到，得到，根据相似三角形的性质，得，解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是中位线， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴， 故选：B． 锐角三角函数 考点10 1．（2026·云南丽江·二模）在中，所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A选项错误，不符合题意； ，B选项错误，不符合题意； ，C选项正确，符合题意； ，D选项错误，不符合题意 ． 2．（2026·云南昆明·二模）如图，点A是直线l外一点，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交直线l于点M、N；分别以点M、N为圆心，以的长为半径画弧．两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧），作直线交直线l于点O，连接，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线段垂直平分线的性质定理的逆定理推出垂直平分，得到、，即可求出的值． 【详解】解：由题意得到：、， 点和点P都在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 、， 在中，． 3．（2026·云南大理·二模）如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆周角定理求出，然后根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵，弦， ∴， 由圆周角定理得：， ∴. 4．（2026·云南昆明·二模）如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 5．（2026·云南保山·二模）如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由可求出，由可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 6．（2026·云南曲靖·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，某数学书籍发行现场，将四本新书按照如图方式摆放在书架的一个格挡中（图中个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角恰好落在格挡边沿．若已知，则值为______． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形和矩形，通过证明三角形全等将线段转化为，利用平行线的性质和三角形外角性质求出 的度数，最后解直角三角形求出的值． 【详解】解：作，交的延长线于点，交的延长线于点， 由题意，可得四边形为矩形， ，， 四个完全相同的矩形是书的侧面， ，，， ， ， 又， ， 延长交于点， ， 由题意，， ， ， ， ， 在中， 7．（2026·云南楚雄·二模）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则______． 【答案】3 【分析】本题考查角的正切值．作于点，根据正切的定义求解，即可解题． 【详解】解：作于点， ∵的顶点都是正方形网格中的格点，记正方形网格边长为1，    ∴，， ∴， 故答案为：3． 8．（2026·云南玉溪·二模）某校在美丽校园建设中，计划在一块如图所示的三角形空地上种植草坪．已知米，米，，则这块三角形草坪的面积为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．48平方米 【答案】A 【分析】本题考查了正弦．熟练掌握正弦是解题的关键． 如图，作的延长线于，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作的延长线于， ∴， ∴， ∴（平方米）， 故选：A． 40/40 39/40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的性质（三角形） 10大考点概览 考点01利用平行线的性质求角度 考点02与三角形有关的角度计算 考点03 三角形全等的判定 考点04全等三角形判定与性质综合 考点05 利用垂直平分线/角平分线的性质求解 考点06 利用特殊三角形的性质与判定求解 考点07 勾股定理 考点08 利用平行线分线段成比例求解 考点09 利用相似三角形的性质与判定求解 考点10 锐角三角函数 利用平行线的性质求角度 考点01 1．（2026·云南昆明·二模）如图，直线，直线与直线，分别相交，，那么的度数为（   ）. A． B． C． D． 2．（2026·云南楚雄·二模）如图，直线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南临沧·二模）如图，直线，被直线所截，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·云南昆明·二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从某无色透明液体中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，在无色透明液体中是平行的，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线，经过无色透明液体与空气的界面折射形成的光线示意图，界面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·云南楚雄·二模）已知直线，将正五边形按如图所示的位置摆放，顶点在直线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南文山·二模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 与三角形有关的角度计算 考点02 1．（2026·云南丽江·二模）如图，等腰中，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·二模）如图，为的外角，已知，，则_____________． 3．（2026·云南临沧·二模）如图， 已知，的垂直平分线交于点D，则_______ 度． 4．（2026·云南楚雄·二模）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是________． 5．（2026·云南昆明·二模）如图，在等腰中，，，是的垂直平分线，交于点，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·云南文山·二模）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 三角形全等的判定 考点03 1．（2026·云南曲靖·二模）如图，．求证：． 2．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 3．（2026·云南临沧·二模）如图，点A，F，E，B在同一条直线上，与相交于点M，，，．求证：． 4．（2026·云南临沧·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 5．（2026·云南曲靖·二模）与按如图所示摆放，边分别与，交于点M，O，边与交于点N，若，，．求证：． 全等三角形判定与性质综合 考点04 1．（2026·云南玉溪·二模）如图：已知，．求证：． 2．（2026·云南昭通·二模）如图，已知于B，于E，，，求证：． 3．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，．求证：． 4．（2026·云南楚雄·二模）如图，是的中线，E是上一点，延长至点F，使得，连接，，求证：． 5．（2026·云南楚雄·二模）如图，已知是锐角三角形，过点作于点，延长至点，使，点在边上，连接，，，．求证：． 利用垂直平分线/角平分线的性质求解 考点05 1．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，则的周长为______． 2．（2026·云南昭通·二模）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 3．（2026·云南西双版纳·二模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 4．（2026·云南临沧·二模）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 5．（2026·云南大理·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为________． 利用特殊三角形的性质与判定求解 考点06 1．（2026·云南昆明·二模）如图，在等腰三角形中，，若腰，则的底边长为______． 2．（2026·云南楚雄·三模）如图，在等边三角形中，D，E，F分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为___． 3．（2026·云南昆明·二模）如图，学校有一块空地形状为等边三角形． 已 知 D，E 分别是的中点，测得，现在后勤部打算将四边形用篱笆围成一个四边形菜地来种青菜，则需要篱笆的长是______m． 4．（2026·云南文山·二模）圆规是尺规作图必不可少的工具之一，图1是我们生活中常见的一种圆规样式．图2是根据圆规结构构造的特殊“圆规”图形．当“圆规”合拢时，点A和点E重合，点C落在线段上，，，当“圆规”展开一定角度，直立在纸面上时，和的度数固定不变，（如图），则此时以点A为圆心，长为半径所作圆的面积为______（结果保留根号和） 5．（2026·云南楚雄·二模）如图，在中，，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 6．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，D、E分别为的中点，，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 勾股定理 考点07 1．（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，是的中点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南楚雄·二模）正三角形是一种具有独特美感的几何图形．它在设计、艺术和自然界中都有广泛的应用．正三角形的美在于它的对称、稳定、简洁与和谐．它不仅是一种数学图形，更是一种美学符号，能够为我们的生活带来更多的美好与乐趣．已知一个正三角形的边长为，则它的面积为（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·云南楚雄·二模）如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线的交点，与相交于点O，则的值为________． 4．（2026·云南红河·一模）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2026·云南玉溪·二模）如图，小明在综合实践活动课上用木块制作了一个底面半径为6，高为8的圆锥形实物模型，则这个圆锥形实物模型的侧面积是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南昆明·二模）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·云南·二模）云南丽江古城随处可见的风铃，代表着每一个游客美好的愿望．某同学想用卡纸制作风铃作为毕业礼物送给朋友，风铃其铃托形似圆锥，测得其母线长10厘米，高为6厘米，则铃托侧面展开图的弧长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 利用平行线分线段成比例求解 考点08 1．（2026·云南楚雄·二模）如图，，若，，则的长为（） A．14 B．12 C．10 D．8 2．（2026·云南昆明·二模）如图，、分别是、边的中点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·二模）如图，在中，，分别交，于，，若：：2，，则的长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 4．（2026·云南西双版纳·二模）如图，在中，，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2026·云南保山·二模）如图，，且，则________． 利用相似三角形的性质与判定求解 考点09 1．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 2．（2026·云南曲靖·二模）如图，在中，分别是上的点，且．若的周长为，的周长为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南临沧·二模）如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 4．（2026·云南楚雄·二模）的三边长分别为3，4，5，另有一个与它相似的，其最长边为15，则的周长是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·云南普洱·二模）如图，，那么与的相似比为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南昆明·二模）如图，与相交于点，，，则______________． 7．（2026·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·云南大理·二模）如图，的中线与交于点，连接，若的周长为8，则的周长为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 锐角三角函数 考点10 1．（2026·云南丽江·二模）在中，所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·二模）如图，点A是直线l外一点，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交直线l于点M、N；分别以点M、N为圆心，以的长为半径画弧．两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧），作直线交直线l于点O，连接，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2026·云南大理·二模）如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的值等于（     ） A． B． C． D． 4．（2026·云南昆明·二模）如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（2026·云南保山·二模）如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．（2026·云南曲靖·二模）在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，某数学书籍发行现场，将四本新书按照如图方式摆放在书架的一个格挡中（图中个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角恰好落在格挡边沿．若已知，则值为______． 7．（2026·云南楚雄·二模）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则______． 8．（2026·云南玉溪·二模）某校在美丽校园建设中，计划在一块如图所示的三角形空地上种植草坪．已知米，米，，则这块三角形草坪的面积为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．48平方米 14/15 15/15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $