25.2.1（第2课时）配方法（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，以印度古算术问题情境导入，引导学生从实际问题抽象出方程，通过移项、配方等步骤探究方法，从二次项系数为1到不为1逐步递进，搭建知识学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过合作探究与步骤分解发展数学思维，结合物理、几何等多情境典例强化数学语言表达。如用小球高度问题构建模型，帮助学生提升运算能力与应用意识，教师可借助系统流程与多样化例题提高教学效率。

人教版 (新教材) 九年级上册 25.2.1 (第2课时) 配方法 第二十五章 一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 印度古算术中有这样一首诗：一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？ 大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 怎样解方程 x2+6x+4=0？ 要把方程 x2+6x+4=0转化为像 (x+3)2=5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式. 对方程 x2+6x+4=0移项，得 x2+6x=4. 由 a2+2ab+b2= (a+b)2， 将上述方程两边同时加 方程左边就可以配成 x2+2mx+m2形式的完全平方式，即 x2+6x+9=4+9， 左边写成完全平方形式，得 (x+3)2=5， 解这个方程，得 x1=x2= 可以验证，是方程 x2+6x+4=0的两个根. 配方法 像上面这样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 基本思路 把方程化为 (x + n)2 = p 的形式，再运用直接开平方法降次，转化为两个一元一次方程求解． 把握二次项系数为 1 的完全平方式的特点：常数项等于一次项系数一半的平方. 关键方法 x2 + px + ( )2 = ( x + )2. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 为什么在方程x2+6x=4两边加9？加其他数行吗？ (1)x2＋8x＋ = (x＋ )2 (2)x2−4x＋ = (x− )2 (3)x2−6x＋ = (x− )2 4² 4 2² 2 3² 3 提示 根据完全平方公式a2+2ab+b2= (a+b)2， 方程的两边都加上 一次项系数一半的平方. 填空 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解方程： x2+8x−9=0 移项得： x2+8x=9 配方得：x2+8x+16=9+16 写成完全平方式： (x+4)2=25 开方得：x+4= ±5 ∴ x+4=5 x+4=5 x1=1 x2=9 二次项和一次项在等号左边， 常数项移到等号右边. 两边同时加上一次项系数一半的平方. 注意：正数的平方根有两个. 配方法的步骤 1.将方程变为一般形式． 2.移项，把常数项移到等号的右边． (变号) 3.配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方． (等式的性质) 4.写成完全平方的形式． 5.利用直接开平方法进行开方求得两根． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解: (1)移项，得 x2 8x=1 配方，得 x2 8x+42=42 (x4)2=15 由此可得 x4=± x1= 4+x2= 4 解下列方程： (1)x2 8x+1= 0; (2)2x2 1= 3x; (3)3x2 6x+4= 0. 1.将方程变为一般形式． 2.移项，把常数项移到等号的右边． 3.配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方． 4.写成完全平方的形式． 5.利用直接开平方法进行开方求得两根． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解下列方程： (1)x2 8x+1= 0; (2)2x2 1= 3x; (3)3x2 6x+4= 0. 解: (2)移项，得 2x2 3x=1 二次项系数化为1，得 x2 x= 配方，得 x2 x+=+ (x)2 = 由此可得 x=± x1= 1x2= 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解下列方程： (1)x2 8x+1= 0; (2)2x2 1= 3x; (3)3x2 6x+4= 0. 解: (3)移项，得 3x2 6x=4 二次项系数化为1，得 x2 x= 配方，得 x2 x+=+ (x)2= 因为实数的平方根不会是负数，所以x取任何实数时， (x)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 配方法 ①当 p > 0 时，方程 (Ⅱ)有两个不等的实数根 ②当 p = 0 时，方程 (Ⅱ)有两个相等的实数根 x1 = x2 = −n. ③当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 (x + n)2≥0，所以方程 (Ⅱ)无实数根. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x + n)2 = p. (Ⅱ) 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解方程： x2−6x−40=0 解：移项，得 x2−6x= 40 方程两边都加上32 (一次项系数一半的平方)，得 x2−6x+32=40+32 即 (x−3)2=49 开平方，得 x−3 =±7 即 x−3=7或x−3=−7 所以 x1=10,x2=−4 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解方程3x2+8x−3=0 解：方程两边都除以3，得 移项，得 配方，得 所以 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知代数式 x2 + 1 的值与代数式 2x + 4 的值相等，求 x 的值. 解：根据题意，得 x2 + 1 = 2x + 4. 整理，得 x2 − 2x = 3. 配方，得 (x − 1)2 = 4. 解得 x1 = −1，x2 = 3. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 − x2 − x −1 的值总是负数，并求出它的最大值. 解：− x2 − x −1 = − ( x2 + x + ) + −1 ∴ − x2 − x −1 的值总是负数. 当 时，− x2 − x −1有最大值 配方法求最值 ①当 a > 0 时，代数式S有最小值，最小值为 k； ②当 a <0 时，代数式S有最大值，最大值为 k. 一般地，如果一个二次代数式S=ax2+bx+c(a≠0)， 通过配方转化成 S=a(x + h)2 + k(a≠0)的形式后，可以很容易看出， 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系:h=15t−5t2,小球何时能达到10m的高度？ 解：根据题意得 15t−5t2=10 方程两边都除以−5，得 t2−3t=−2 配方，得 因此，小球在第1秒或第2秒能达到10m的高度. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知直角△ABC两条边长分别是方程 的两根，则△ABC的周长为__________． 解：解方程 ， 整理可得 ， 即 ，解得 ， ， 当两个根是两条直角边时，斜边长为 ， ∴此时△ABC的周长为 ； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为 ， ∴此时的周长为 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？ 解：设总共有x只猴子，根据题意得 答:一共有猴子48只或者16只. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若a、b、c是三个不为零的实数，且 ，则 的最小值为____． 解：∵ ，且a,b,c都不为0， ， 设 则t>0，原式 ， ∵ ，∴ ， 当 时，原式取得最小值 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 应用 配方法 一移常数项，并将二次项系数化为 1； 二配完全平方式 [配上 ]； 三写成 (x + n)2 = p； 四直接开平方法解方程. 通过配完全平方式解一元二次方程的方法 概念 步骤 求代数式的最值或字母值 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 用配方法解方程 ，变形后结果正确的是 (     ) A． B． C． D． 解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 原方程为x2−4x=1，一次项系数为−4，一半的平方为 (−2)2=4， ∴方程两边同时加4，得x2−4x+4=1+4， 整理得(x−2)2=5. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是 (　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解：班长： ， 甲：两边同除以3，得 ，正确， 乙：配方，两边加1，得 ，即 ， 但乙写成了 ，错误，∴开始出现错误的是对应选项为B． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 用配方法解方程 时，将原方程转化为 的形式可得____． 解：∵ ， 移项得 ， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： 整理得 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 设方程x2−2x−4=0的正根介于整数m与m+1之间，则________． 解：x2−2x−4=0得 ， ， 可知方程x2−2x−4=0的正根为1+． ， ， ， 则m=3． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 将方程 化成 (a,b为常数)的形式，则 ______． 解：原方程为 ，移项得 x2−2x=1， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 即 ，整理为 的形式得 ， ， ， 则 ， 因此 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (1)x2＋10x＋ = (x＋ )2 (2)x2− x＋ = (x− )2 填空: 5² 5 ()² 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若 ，则A的最小值是______． 解:对 进行配方，即 ， 对任意实数a，都有 ， ∴当 时，A取得最小值，即最小值为 ， 故答案为1． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解下列方程： 解： 解：配方，得 所以 由此可得 由此可得 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 配方，得 所以 解：移项，得 配方，得 所以 解：移项，得 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：移项，得 配方，得 所以 系数化为1，得 解：移项，得 配方，得 所以 系数化为1，得 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 用配方法求最值. (1) 2x2 − 4x + 5 的最小值； (2) −3x2 + 6x − 7 的最大值. 解： (1)原式 = 2 (x −1)2 + 3 当 x = 1 时，有最小值 3. (2) 原式= −3 (x − 1)2 −4 当 x = 1 时，有最大值− 4.