25.2.1（第1课时）直接开平方法（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法”解一元二次方程，通过“油漆刷正方体盒子”情境引入，结合“\(x^2=9\)”等思考问题，以平方根概念为基础，引导学生通过合作探究不同方程（如\(x^2 - 0.81=0\)、\(x^2=0\)）总结规律，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融入数学眼光、思维与语言素养，如用实际问题培养抽象能力，通过\((x+3)^2=5\)的降次转化发展推理意识，以规范符号表达强化模型观念。采用情境导入、合作探究、典例精析等方法，小结明确步骤与思路，助力学生提升运算能力，也为教师提供结构清晰的教学资源。

人教版(新教材) 九年级上册 25.2.1(第1课时) 直接开平方法 第二十五章 一元二次方程 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程 10×6x2 = 1500， 即 x2 = 25． 根据平方根的意义得 x = ±5， 即 x1 = 5，x2 = －5． ∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 求 x2 = 9 中 x 的值. 开平方，得 x = ± x = ±3 所以直接开平方就可求得方程 x2 = 9 的两个根： x1 = 3，x2 = –3. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1) x2– 0.81 = 0 x2 = 0.81 x = ± x1 = 0.9，x2 = –0.9 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义， 得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义， 得 x2=1, 因为负数没有平方根， 所以原方程无解. 求下列方程中 x 的值. 解: 直接开平方法 (2) 当 p = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 一般的，对于可化为 x2 = p (I) 的方程， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 对照前面解方程x2 = 9 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2 = 5？ 在解方程x2 = 9 时，由方程x2 = 9得x = ±3, 由此想到：由方程： (x+3)2 = 5①， 得x+3= ±，即 x+3= ，或x+3= 于是，方程 (x+3)2 = 5的两个根为 x1= 或x2= 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在解方程x2 = 9 时，由方程x2 = 9 得x = ±3, 由此想到：由方程： (x+3)2 = 5①， 得x+3= ±，即 x+3= ，或x+3= 于是，方程 (x+3)2 = 5的两个根为 x1= 或x2= 在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样我们就把方程①转化为我们会解的方程了. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解:(1)移项，并将二次项系数化为1，得 x2 = . 由此可得 x = , 即 x1= x2= 解下列方程：(1)4x2 = 9; (2)4x2 3= 0; (2)移项，并将二次项系数化为1，得 x2 = . 由此可得 x = , 即 x1= x2= 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解:(3)移项，并将二次项系数化为1，得 (x+1)2=16. 由此可得 x +1= , 即 x1= x2= (4)移项，并将二次项系数化为1，得 (x2)2= . 由此可得 x2= , 即 x1=2+x2= 解下列方程：(3)3(x+1)2 = 48; (4)2(x2)24= 0. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 对于实数a，b，定义运算“※”如下： ，例如 ． 若 ，求x的值． 解：根据定义的运算规则 ，将 转化为方程： ， 解得x=1． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果 是关于x的一元二次方程 的一个根，求n的值及方程的另一个根． 解：∵ 是关于x的一元二次方程 的一个根， ∴将 代入得： ，解得： ， ∴方程为： ， ∴ ， 解得： ， ∴另一根为： ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 ． 解：原方程可变形得 ． 直接开平方并整理，得 ， ． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程： ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 请用“平均数法”解方程： ． 解： ， 原方程变形，得 由平方差公式，得 ， 即 ， 开方，得 ， ∴ ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 (1)第7个图案中盆景的盆数为____________； (2)第n个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含n的式子表示）； 【规律应用】 (3)若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （1）解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； ... 第7个图案有盆景的盆数为8； （2）解：第1个图案有花卉的盆数为1+1=2； 第2个图案有花卉的盆数为 ； 第3个图案有花卉的盆数为 ； 第4个图案有花卉的盆数为 ； ... 第n个图案有花卉的盆数为 ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （3）解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为 ，则根据题意， 得 ， 即 ， 解得 或 （不合题意，舍去）， 则 ， ， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 基本思路 直接开平方法 降次 关键要把方程化成 x2 = p (p≥0) 或 (x + n)2 = p (p≥0) 的形式 一元二次方程 利用平方根的定义求方程的根的方法 概念 步骤 两个一元一次方程 直接开平方法 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 解： ， 化简得 ， 两边直接开平方，得 ， 解得 x1= x2= ． 故选：D． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若分式 的值为0，则x的值为（     ） A．2 B．2 C．±2 D．没有符合要求的值 解：∵ 分式 的值为0， ∴ 分子 ，且分母 ． 解方程 ，移项，得 ，化简得 ， 解得x=2或 ， 又∵ ，即x≠2，∴ ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B. C. D. 解：原方程为 ， 对等式两边开平方可得， 或 ， 故另一个方程为 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若关于x的一元二次方程 的一个根为1，则方程 的根是（     ）A．1或1 B．1或2 C．2或4 D．1或4 解：由题意得 ，即m+n=0，∴n=−m，且m≠0， 将n=−m代入方程，得 ， ∵m≠0，两边同除以m得 ，即 ， 开方得 或 ， 解得x=2或x=， 即方程的根为x=或x=． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 方程4x4= 的根是________． 解：4x4= ， ∴x4= ∴x2= 或 x2= （舍去） ∴x ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 方程 的根是__________． 解：∵ ， ∴ 或 ， 解得 ，x2=−1． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解:(1)将二次项系数化为1，得、 . 由此可得 , 即 x1= x2= 解下列方程：(1) ; (2) ; (2)移项，并将二次项系数化为1，得 . 由此可得 即 x1=4x2=