25.2.1配方法（第1课时直接开平方法）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，通过回顾一元二次方程定义及一般形式，联系一元一次方程转化目标，引出“降次”核心思想，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以“探究-讨论-小结”为主线，从x²=4到(x+3)²=5的探究培养抽象能力，分情况讨论解的情况发展推理意识，规范步骤表达强化模型意识。实例涵盖复合型方程及新运算问题，助力学生掌握转化方法，教师可借层次训练提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 学 习 目 标 1 2 3 理解“降次”是解一元二次方程的核心思想，掌握直接开方法的基本原理. 能熟练运用直接开方法解形如和 ()的一元二次方程. 经历从解到解的探究过程，体会“转化”和“整体”的数学思想. 新课引入 解一元二次方程时，需要先将其转化为一次方程，这个过程叫做降次。今天我们就来学习第一种降次的方法 —— 直接开方法. 思考 上节课我们学习了一元二次方程的概念，你还记得一元二次方程的定义和一般形式吗？ 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数是 2 的整式方程； 一般形式： （）. 我们之前学习解一元一次方程的最终目标是转化为 “” 的形式，其实解一元二次方程也不例外. 3 新知探究 解形如的一元二次方程 我们先来看看形式比较简单的方程， 探究 根据我们学过的平方根的知识，你能求出这个方程的解吗？ 根据平方根的意义，得 即 注：不能漏掉负根，这是一元二次方程和一元一次方程解的重要区别. 如果把换成任意实数，方程的解会有几种情况？ 小组讨论 4 知识小结 对于方程 （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根：，； （2）当时，方程有两个相等的实数根：； （3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根。 注：只有当时，方程才有实数根 5 知识小结 直接开方法的定义： 利用平方根的定义直接求一元二次方程的根的方法叫直接开方法. 6 新知巩固 解形如的方程 【分析】分根据平方根的意义．用直接开平方法求解即可. 一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【详解】解：， ， ， ∴，， 故选：C． 7 新知探究 解形如 的一元二次方程 我们再来看看形式比较简单的方程， 探究 对照上面解方程 的过程，你认为应怎样解方程 ？ 由方程 得 即 于是，方程 的两个根为 你能总结解这类方程的一般步骤吗？ 思考 8 知识小结 直接开方法解一元二次方程的本质与步骤： 1.本质：实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 2.步骤： 先判断右边的数是否非负； 开平方后得到两个一元一次方程； ③分别求解，写出两个根. 9 新知巩固 解形如的方程 方程的一个较小的根为______. 【分析】本利用直接开方法解方程，通过比较即可知该方程的较小的根. 【详解】解：由原方程，得 ， 解得，，. ，即 ，即方程的一个较小的根为. 故答案为：. 10 直接开方法解一元二次方程 教材例题 【分析】：两题均适合用直接开平方法，将方程变形为 “平方项 = 常数” 的形式，再开方求解. 解下列方程： （1）； （2）． 解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得 由此可得 即 （2）移项，得 由此可得 即 11 巩固训练1 解形如的一元二次方程 【分析】运用直接开平方法解方程，先移项再系数化1，最后开方，即可作答． 1.用直接开方法解下列方程： (1) (2) 解：（1）由 得 两边直接开平方，得． 原方程的解是，． （2） 解： 移项得 化系数为1得 ，． 12 巩固训练1解形如的一元二次方程 变式题 用直接开方法解下列方程： (1) (2) 解： (1)系数化 1： 开方： 解得：， (2) 移项： 系数化 1： 开方： 解得：， 13 巩固训练 巩固训练2解形如的方程 【分析】先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解. 方程的解是________________. 【详解】解： 解得： 故答案为： 14 变式题 巩固训练2解形如的方程 1.解方程： （ （2） 解:(1)移项，得 开平方，得 解得：, (2)移项，得 开平方，得 解得：, 15 巩固训练3用直接开平方法解复合型方程 【分析】利用直接开方法求解，将两边的括号同时开方，降次求解即可. 方程的根是（　　） A. B. 4 C. 或4 D. 无解 解： 开方得： 即或 解得：，． 16 巩固训练3用直接开平方法解复合型方程 变式题 解方程： (1) (2) 解：（1）开方得 ① ，解得 ② ，解得 （2）开方得 ① ，解得 ② ，解得 17 【分析】根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 巩固训练4 由一元二次方程的解求参数 对于实数 , , 定义新运算 “&”；如下：, 例如：, 若 , 则 的值为（　　） A. B. C. D. 解： 由题意得： 整理得： 解得： 18 变式题 巩固训练4 由一元二次方程的解求参数 对于实数 ，定义新运算 “”：，例如：。若 ，则 的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 解：根据定义， 由题意得： 系数化 ： 直接开方： ① ，解得 ② ，解得 19 课堂总结 本节课你学到了什么？ 20 感谢聆听! 21 $