25.1一元二次方程的概念（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念，通过人体雕像比例、矩形铁皮制方盒、排球邀请赛赛制等实际情境引入，引导学生从具体问题中抽象方程，搭建从一元一次方程到一元二次方程的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过对比方程共同点抽象概念发展数学思维，典例与练习强化模型意识，如“波浪方程”新定义题提升应用能力。助力学生提升抽象与解决问题能力，为教师提供结构化教学资源。

人教版(新教材) 九年级上册 25.1(第3课时) 一元二次方程的概念 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以上的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足以下等量关系： AC：BC=BC：5，即BC²=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为x m，根据上述等量关系，就可以列出方程 ，整理得. 解这个方程就可以得出般像腰部以的身长. 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3000 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100 cm 50cm 3600 cm2 x 解：设切去的正方形的边长为 x cm， 则盒底的长为 (100 − 2x) cm， 化简，得 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场），根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他 (x一1)支球队各赛1场，则此次邀请赛共需 进行场，所以可列得方程 =28, 整理并化简，得 . 解以上方程可得应邀请的球队数. 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 以下三个方程有什么共同点？ (1) 方程的两边都是整式； (2) 都只含一个未知数； (3) 未知数的最高次数都是 2. 25.1 一元二次方程的概念 一元二次方程 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a≠0). ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项. 一元二次方程的一般形式是 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一元二次方程的一般形式： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？ (2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？ (3)一元二次方程3x2x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？ 一元二次方程的特殊形式： 当c=0时， 当b=0时， 当b=0,c=0时， 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 下列方程是一元二次方程吗? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) √ √ √ √ √ × × × × × 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和 常数项： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2=5x−1 (x+2)(x −1)=6 4−7x2=0 3x2−5x＋1＝0 x2 ＋ x−8＝0 3 −5 1 1 1 −8 −7 0 4 −7x2 ＋4＝0 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值. 解： 是一元二次方程， 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 常数项是 . 一次项系数是 ， 已知关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0. ⑴当m取什么值时，这个方程是一元一次方程？ ⑵当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？这时 它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？ 解： ⑴当m−2=0，即m=2时，这个方程是一元一次方程. ⑵当m−2≠0, 即m≠2时，这个方程是一元二次方程， 它的二次项系数是 , m−2 m −1 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ⑶若关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0的一个根是 2，你能求出m的值吗？ 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 例如：对于方程x2+5x+6=0， 将x=4代入原方程， 因此x=4不是原方程的根； 将x=3代入原方程， 因此x=3是原方程的根. 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ⑶若关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0的一个根是 2，你能求出m的值吗？ 解：∵关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0的一个根是 2， ∴将x=2代入原方程，得 4(m−2)+2m−1=0， 化简，得6m−9=0， 解得，m= 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式 的值为______． 解：把 代入方程得 ， 整理得 ， 等式两边同时除以3得 ， 可得 ， 所以 ． 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知 a 是方程 x2 + 2x − 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2027 的值. 解：由题意得 求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想 ——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解. 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若实数x满足x2−x−1=0，则 ______． 利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 解：∵x2−x−1=0， ， ∴ 25.1 一元二次方程的概念 先化简，再求值： ，其中x为方程 的解． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：原式 ∵x为方程 的解， ∴ ． ∴原式 =1． 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知m是关于x的一元二次方程x2−2026x+1=0的一个根，求代数式的值： ． 解：∵m是方程x2−2026x+1=0的一个根，∴ ． ∴ ， ， ∵m=0时，方程左边等于1，不等于右边，∴m≠0， 把 的两边都除以m得， ． ∴ ． 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 实际问题 审→设→找→列 一元二次方程 面积 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件 根(解) 使方程左右两边相等的未知数的值 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①x2−2x−1=0；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ． A．2 B．3 C．4 D．5 解： ∵①x2−2x−1=0满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵② 未说明a≠0，当a=0时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 详解 ∵③ 是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④ 满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤ 含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥ 展开整理原方程并化简得−4x+3=0，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 把一元二次方程 化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 解：原方程为 ， 展开左边得 ， 整理得 ， 移项合并同类项得 ． 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 方程 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．1,2,9， B．1,2,9 C．1,2,9 D．1,2,9 解：∵原方程为 ， ∴整理为一般形式得 ， ∴二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为9． 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若关于x的一元二次方程 的一个根为0，则k的值为（     ）． A．2 B．2 C．2或2 D．1或2 解：将 代入原方程， 得 ，解得 ， ∵已知方程是一元二次方程， ∴ ，即 ， ∴ ． 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知方程x2+bx+a=0有一根为−a，(a≠0) 则下列代数式的值恒为常数的是( ) A.ab B. C. a+b D.a−b 解：因为方程x2+bx+a=0有一根为−a， 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知a是方程 的解，则 ________． 解：∵a是方程 的解， ∴ 即 ， 则 ． 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1) ； (2) ． (1)解： ， ， ∴二次项系数为3，一次项系数为1，常数项8； (2)解： ， ， ∴二次项系数为3，一次项系数为1，常数项−11. 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知关于x的一元二次方程 ，如果a，b，c满足 ，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程 是否为波浪方程，并说明理由． (1)解：方程 为波浪方程，理由如下： 由题意得， ， ∴ ， ∴方程 为波浪方程; 25.1 一元二次方程的概念 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (2)已知关于x的波浪方程 的一个根是x=2，求a，b的值． (2)解：∵关于x的方程 为波浪方程， ∴ ，且 ， ∴ ， ∵x=2是关于x的方程 的一个根， ∴ ，联立①②解得 . 25.1 一元二次方程的概念 $