1.2菱形的性质与判定第2课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦菱形的判定定理，通过生活中菱形窗花制作的情境引入，先回顾菱形性质，再通过逆命题探究引出判定方法，构建从性质到判定的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过问题链引导推理证明发展数学思维，结合尺规作图和典例分析强化数学语言表达。课堂小结系统归纳判定方法，助力学生构建知识网络，既提升学生探究与推理能力，也为教师提供清晰教学流程和丰富例题，提高教学效率。

第一章 特殊平行四边形 1.2 菱形的性质与判定 第2课时 学 习 目 标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理;（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 几何语言：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD. A C B D 知识回顾 菱形的性质定理： 定理1：菱形的四条边 . 定理2：菱形的对角线 . 几何语言：∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD. 都相等 互相垂直 情境引入 菱形经常用于生活中，例如建筑、窗户、地板砖等.工匠制作菱形窗花时，如何在没有定义的情况下，通过测量或折叠的方法确保图形是菱形？” 例如：测量四条边是否相等； 测量对角线是否互相垂直平分； 先制作平行四边形框架，再调整对角线是否垂直。 这些生活中的操作方法，背后蕴含着怎样的数学原理？这就是我们今天要学习的菱形的判定。 新知探究 探究一：菱形的判定 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形? AB=AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. 几何语言： A B C D 定义法. 已知:如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形。 A B C D 新知探究 (1)由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗?为什么?与同伴进行交流。 四边相等的四边形一定是菱形。 证明:∵AB=BC=CD=DA, ∴AB = CD, BC=AD, ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 又∵ AB =BC, ∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 转化成几何语言 新知探究 知识归纳 菱形的判定定理1： 四边相等的四边形是菱形. 几何语言：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. AB=BC=CD=AD A B C D 菱形ABCD 四边形ABCD A B C D 新知探究 1.已知四边形ABCD，下列条件一定能判定它为菱形的是（ ） A. AB=BC B. AB=CD，AD=BC C. AB=BC=CD=DA D. ∠A=∠C，∠B=∠D C A B C O D 已知，如图所示，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD. 求证：四边形ABCD为菱形. 新知探究 (2)菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗?为什么?与同伴进行交流。 菱形的对角线互相垂直平分. 它的逆命题是：对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ∵OA=OC，AC⊥BD， ∴AB=BC. ∵OB=OD，AC⊥BD. ∴AB=AD. ∴AB=BC=CD=AD. ∴四边形ABCD为菱形(四边相等的四边形是菱形). 新知探究 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ 新知探究 验证猜想： 已知:如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD. 求证:□ABCD是菱形. 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ 直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴ BA＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形(菱形的定义). 新知探究 知识归纳 菱形的判定定理2： 几何语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. AC⊥BD A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 新知探究 2.下列结论正确的是（ ） A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线垂直且平分的四边形是菱形 C.对角线互相平分的平行四边形是菱形 D.对角线垂直且相等的四边形是菱形 B 新知探究 探究二：尺规作菱形 (1)如图，已知线段a，你能用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a. a 方法一：(1)如图所示，作线段AC=a， (2)分别以 A，C为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D. 则四边形ABCD是菱形. A M B D C 作图依据:四边相等的四边形是菱形. 新知探究 作图依据:对角线互相垂直平分的四边形是菱形. A E C 方法二： (1)如图所示，作线段AC=a， (2)作线段AC的垂直平分线MN交AC于点O, (3)分别在射线 OM,ON上截取 OB与OD,使 OB= OD,依次连接A，B，C，D. 则四边形ABCD是菱形. B D M N O 新知探究 (2)满足(1)中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流. 不唯一，如添加另一条对角线的长度等。 已知，如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形. 例1 A B C D O 典例分析 证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，连接BF，CE.求证:四边形 BECF是菱形。 例2 典例分析 证明:∵AB= AC，AD是 BC边上的中线, ∴AD垂直平分BC， ∴EB=EC，FB=FC. ∵CF // BE， ∴∠BED=∠CFD，∠EBD=∠FCD. 又∵DB = DC， ∴△EBD ≌△FCD(AAS), ∴BE= FC, ∴EB=BF=FC=EC,四边形BECF是菱形(四边相等的四边形是菱形 ). 2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （ 　） A. AC⊥BD，AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC，AD=CD，AC ⊥BD D. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD A B C O D 巩固练习 C 1.下列四边形中不一定为菱形的是（ ） A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 A 巩固练习 3.四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 D 4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是(　 　) A.菱形       B.长方形     C.正方形     D.以上都不对 A 5.如图所示，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为 .（只写出符合要求的一个即可） 巩固练习 AB=BC (AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等) 6.如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于__________cm2． 7.如图所示,□ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，AB=5，OA=4，OB=3。求证:□ABCD是菱形。 A D C O B 巩固练习 证明:∵AB=5，OA=4，OB=3, ∴AB2=25=16+9=OA2+OB2, ∴△AOB是直角三角形，∠AOB =90°， ∴AC⊥BD， ∴□ABCD是菱形. 巩固练习 8.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形.  A E D B F C O 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC， ∴ ∠EAC＝∠FCA. ∵ EF垂直平分AC， ∴ AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE ≌△COF（ASA）， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形. 又∵ EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 9.如图所示,在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE=DF. (1)求证:□ABCD是菱形； 巩固练习 (1)证明:∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC. ∵AE⊥BC，AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90°. 又∵BE= DF, ∴△AEB≌△AFD(ASA), ∴AB = AD, ∴ □ABCD是菱形. 巩固练习 (2)解:如图所示，连接 BD，交 AC于点 O, ∵四边形 ABCD 是菱形，AC=6, ∴AC⊥BD，AO=OC=AC=6=3，BD=2BO. 在Rt△AOB中，AB=5，AO=3, ∴BO==4, ∴BD=2BO=8， S菱形ABCD=AC·BD=×6×8=24. (2)若AB=5，AC=6，求□ABCD的面积。 O 课堂小结 菱形的性质与判定第2课时 菱形的判定 方法:定义法 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. 判定定理1：四边相等的四边形是菱形. 菱形的判定定理 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 菱形的其他判定方法 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 作业布置 1.必做题：习题1.2第6，7，10，11题。 2.探究性作业：习题1.2第12题。 感谢聆听! $