专题5-4 用频率估计概率（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

本高中数学讲义聚焦“用频率估计概率”核心知识点，先阐释频率概念及与概率的关系，再通过频率计算方法搭建从试验数据到概率估计的学习支架，衔接随机事件概率的认知过程。 资料以大量生活实例（如抛掷硬币、植物生长高度）和经典问题（如《九章算术》米谷粒分）为载体，通过多样题型（选择、填空、解答）培养学生用数学眼光观察现实、用数据思维分析问题的能力，课中助力教师高效教学，课后便于学生巩固练习、弥补知识盲点。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-4用频率估计概率讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01频率的计算 5-4用频率估计概率 知识点01频率的概念，频率与概率的关系 题型02用频率估计概率 题型03概率的应用 知识点02用频率估计概率 教学目标、教学重难点 教学目标 理解频率与概率的关系，掌握频率的计算方法，能够用频率估计概率. 教学重难点 频率的计算方法，能够用频率估计概率， 教学难点 理解频率与概率的关系，用频率估计概率。 知识清单 知识点01频率概念，频率与概率的关系 1.设2是某个试验的样本空间，A是Q的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次， 则称F,A)=·次试验中A发生的次数是n次独立重复试验中事件A发生的频率 n 2.一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率Fn(A)也愈大： 反之，如果F(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大. 因此，频率与概率间应有紧密的联系 3.在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用F.(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增 加时，F.(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A),即F.(A)是P(A)的 估计 4.频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画， 但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性： 而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性： 因此频率不能完全反映概率， 【即学即练1-1】(24-25高一下新疆巴州期末)在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上"的 频数为48，则“反面朝上”的频率为() A.48 B.0.48 C.52 D.0.52 【即学即练1-2】（多选）(25-26高二上贵州遵义期末)把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正 面向上的次数，则下列说法正确的有() A.正面向上的次数是1012或1013B.正面向上的频率可能等于0.48 第1页共14页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 C.正面向上的频率一定等于0.5 D.若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 知识点02用频率估计概率 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率 频率本身是随机变化的，当很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率 2.用频率估计概率的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率 【即学即练2-1】(24-25高一下江西景德镇期中)《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送 米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约 为() A.361石 B.341石 C.314石 D.360石 【即学即练2-2】（多选）(25-26高一上·陕西渭南·期末)关于概率与频率，下列说法正确的是() A.频率是随机的，概率是确定的 B.随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C.某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D.在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 题型精讲 题型01频率的计算 【典例1-1】(23-24高一上全国课后作业)某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10,20) [20, 30) [30,40) [40,50) [50,60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30,40)内的频率是( ) A.0.80 B.0.65 C.0.40 D.0.25 【典例1-2】(24-25高一上四川成都开学考试)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行 质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有() A.1万件 B.18万件 C.19万件 D.20万件 【典例1-3】（多选）（2024全国·模拟预测)某校高三年级有(1)，(2)，(3)三个班，一次期末考试，统计 得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 (1) (2) (3) 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是() A.(2)班学生的数学成绩的优秀率最高 第2页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.(3)班的学生人数不一定最少 C.该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D.若把(1)班和(2)班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则(1)班人数多于(2)班人数 【典例1-4】（22-23高一下·湖南湘西·期末)“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自 利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在 随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键 盘侠”持反对态度的有人。 【变式1-1】(2023全国模拟预测)某商户收集并整理了2023年1月到8月线上和线下收入（单位：万元） 的数据，并绘制出如图所示的折线图，则下列结论错误的是() 收入/万元 1412.51211.5 12 10.512 10 10.510.5 49.5 6 /55657 ·线上收入 23534 55 +-线下收入 012345678月份 A.该商户这8个月中，收入最高的是7月 B.该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入 C.该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月 D.该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是 【变式1-2】(24-25高一下·贵州毕节·期中)某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 [0,80) [80,90) [90,100) [100,110) 人数 2 5 6 8 分数段 [110,120) [120,130) [130,140) [140,1501 人数 12 6 4 2 那么分数在[100,110)的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）() A.0.18,0.47 B.0.47,0.18 C.0.18,0.50 D.0.38,0.75 【变式1-3】(2023高一·全国专题练习)容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 y 4 5 6 7 8 频数10 13x 14 15 13 12 9 第三组的频数和频率分别是() A.14和0.14 B.0.14和14 C.和0.14 0.和 第3页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-4】(24-25高二上四川期末)某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300 株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活() A.1000株 B.1200株 C.1500株 D.1800株 【变式1-5】（多选）(24-25高一下·全国·课后作业)下列说法中，正确的是() A.某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8 B.某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7 C.某人射击10次，击中靶心的频率是影，则他应击中靶心5次 D.某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次 【变式1-6】（22-23高三上·新疆阿克苏·期末)“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私 自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查： 在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键 盘侠”持反对态度的有 人 题型02用频率估计概率 【典例2-1】(23-24高一下浙江温州期末)气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨 概率为70%”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是() A.整个城市明天的平均降雨概率为50% B.明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C.只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D.如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 【典例2-2】（24-25高一下·天津河西·期末)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球， 若千个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球 的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球() A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 【典例2-3】（多选）（19-20高一上辽宁葫芦岛期末)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参 加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为 事件C,则() A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 c.P(C)=0.27 D.P(BUC)=0.55 第4页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2-4】（25-26高一上辽宁锦州期末)在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除 颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸 球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为，盒子中大约有白球 个 【变式2-1】（24-25高一下，贵州黔南·期末)某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高 年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查， 并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 2 3 5 6 观看人数所占百分比 7% 18% 15% 11u% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为() A. 估计观看比赛场数的极差为6 B.估计观看比赛场数的众数为2 C.估计观看比赛不低于4场的学生约为200人D.估计观看比赛不超过2场的学生概率为0.4 【变式2-2】(24-25高一下·广东潮州期末)某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数 如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是() 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A.0.61 B.0.63 C.0.625 D.0.66 【变式2-3】(25-26高一下·天津期末)盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚"四个字，有放回地从中任 取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概 率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“笔墨纸砚"这四个字，以每三个 随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 343432314134234132243331112324 342241244342124431233214344434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为() A品 C. D. 【变式2-4】(21-22高二下·吉林长春·期末)敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要 使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密例如对学生在大型考试中有过抄袭，现有如下调查方案： 在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题被调查者从一个罐子中随机抽一只球， 看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A;若抽到红球，则回答问题B,且罐中只有白球和红球 第5页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题A:你的生日是否在7月1日之前？（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B:你是否在大型考试中有过抄袭？ 已知一次实际调查中，罐中放有红球30个，白球20个，调查结束后共收到1583张有效答卷，其中有389 张回答“是”，如果以频率替代概率，问该校该年级学生有过抄袭的概率是()（四舍五入精确到0.01） A.0.06 B.0.07 C.0.08 D.0.09 【变式2-5】（多选）(25-26高一上江西期末)教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛， 收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 328 329 3'30 331 3'32 335" 3'37 340" 325 327 3'301 330 333 335" 338 345 若比赛成绩在330”以下（含330”）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是( A. 乙比赛成绩优秀的概率为 B.甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C.甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D.为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【变式2-6】(24-25高一上广西崇左·开学考试)下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果. 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率” 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 (精确到0.1). 题型03概率的应用 【典例3-1】(23-24高二上·上海阶段检测)如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现 反面朝上的概率是() A 8. C.8 99 D.7 【典例3-2】(24-25高二下·浙江-阶段检测)某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨15%或下跌 20%(两种情况概率各50%).若需在当前和下个月各购买1件（共2件)，有两种策略： 策略P:按需购买，当前买1件(100元)，下个月按当时价格买1件： 策略Q:当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为2×100×0.95=190元）. 不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？() A.策略P B.策略Q C.平均总成本相同 D.需根据价格波动幅度判断 第6页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例3-3】（多选）（25-26高一上·陕西渭南·期末)下列说法错误的有() A.设一批产品的次品率为品，从中任取100件，则必有10件次品 B.明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C.连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D.连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 【典例3-4】(2024高一下·全国.专题练习)有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的： ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖： ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为0 ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品 其中错误说法的序号是 【变式31】1.(23-24高一下·青海海南·期末)某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一 次抽奖机会，中奖的概率为15%，则下列说法正确的是() A.某人抽奖100次，一定能中奖15次B.某人抽奖200次，至少能中奖3次 C.某人抽奖1次，一定不能中奖 D.某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【变式32】(25-26高三上·上海期中)小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是影一次点球训练 中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为() A B. C.1 D.介于和1之间的某个实数 【变式33】(25-26高二上海南省直辖县级单位阶段检测)下列说法正确的是() A.某种福利彩票的中奖概率为0。那么买1000张这种彩票一定能中奖。 B.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30% 认为不降水 【变式34】(23-24高一下·河南许昌·期末)小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是() A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D.小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 第7页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式35】(24-25高二上山东青岛阶段检测)每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风 的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为() A.5% B.10% C.15% D.45% 【变式36】(22-23高一下·新疆喀什·期末)下列说法正确的是() A.随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B。某种福利彩票的中奖概率为。买1000张这种彩票一定能中奖 C.连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为妈 100 D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30% 认为明天不会降水 强化训练 一、单选题 1.(23-24高一上·全国课后作业)经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某 市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有() A.64个B.640个 c.16个 D.160个 2.（25-26高一下.全国·课堂例题)下列说法正确的是() ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A=咒； ③含百分比的数是频率，但不是概率： ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值： ⑤概率是频率的稳定值， A.①④⑤ B.①② c.②③ D.②③⑤ 3.(24-25高一下·河北邯郸阶段检测)下列说法错误的是（) A.为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C.抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D.某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 4.（23-24高一下山西长治·期末)下列说法正确的是() A.甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为好则比赛4场，甲一定胜3场 第8页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.概率是随机的，在试验前不能确定 C.事件A,B满足A∈B,则P(A)<P(B) D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 5.(21-22高二上贵州黔南阶段检测)下列四个命题中正确的是() A.设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是 100 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是9 -50 6.（20-21高三下山西晋中阶段检测)某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当 天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25C,需求量为600瓶：如果最高气温位于区间[20℃，25C) 内，需求量为300瓶：如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前 三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [15,20j[20,25) [25,30 [30,35) [35,40 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x 瓶的概率估计值为0.1，则x=（) A.100 B.300 C.400 D.600 7.（2024四川绵阳·模拟预测)某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每 天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了 下列结论，其中正确的是() 个频率/组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 011.52253354455完成作业时间/小时 A.估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B.估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C.估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D.估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 第9页共14页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26高二上江苏苏州期末)某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出 的400名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题A:你的手机尾号是否是偶数？问题B:你是否经 常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红 球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A,摸 到红球的学生如实回答问题B,每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题.己知手机 尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为 () A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.3 二、多选题 9.（21-22高一湖南课后作业)（多选）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是() A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 10.（23-24高三上·湖南衡阳·阶段检测)高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100 名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随 机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是() 个频率 组距 0.030 0.020--- 0.015 0.010 0V405060708090100成绩（分） A.学生成绩众数估计为75分 B.考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C.在[90,100]内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D.从[40,50)和[90,100]内各抽1名学生，[70,80)抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则 这2人来自不同组的概率为0.13 11.(2025河南信阳·模拟预测)若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面向 上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面(1枚硬币可重复翻面)，若经过次上述操作后， 所有硬币均为反面向上，则n的值可以为() 第10页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.45 B.54 C.63 D.72 三、填空题 12.（23-24高一下·甘肃临夏·期末)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中 每辆车的赔付结果统计如表所示， 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 在样本车辆中，车主是新 司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中， 获赔金额为4500元的概率为 13.（2021高一，全国课后作业)李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示： 李明 张健 投中数 30 25 未中数 20 15 上表数据显示，李明投中的频数是 ；投中的频率是 ；张健投中的频数是 投中的频率是 两人中投中率更优秀的是 14.(22-23高二下·广东揭阳期中)为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门 在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口时你是 否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答 第二个问题被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者 本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366 人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是 四、解答题 15.(25-26高一上·重庆云阳·开学考试)“校园手机"现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查 了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： 学生及家长对中学生 家长对中学生带 带手机的态度统计图 手机的态度统计图 从数 280 210--------- 140 140 口学生 赞成 0 80 家长 反对 无所谓 20% O赞成无所谓反对类别 图① 图② 第11页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图① (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②， (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 16.(25-26高一上·全国.单元测试)随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高.某牛奶企业 针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查.现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得 到下表（单位：人） 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率： (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度 提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值. 第12页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(22-23高二上广东佛山·阶段检测)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每 枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理 (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不 少于75元的概率 18.(25-26高一上.北京.阶段检测)随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要为此北京市 第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的 学生进行了测试现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[50,60)，[60,70)，，[90,100] 分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）， ◆频率/组距 0.03--- 0.01 o 5060708090100分数 (1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组 区间的中点值代表，中位数请用分数表示)： (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数： (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参 加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 第13页共14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(24-25高一下.贵州安顺期末)“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福 感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要.”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民 对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分 100分)，按照市民的打分从高到低划定A,B,C,D,E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是[86,100]： B表示比较满意，分数区间是[71,85]；C表示满意，分数区间是[56,70]：D表示不满意，分数区间是[41,55]： E表示非常不满意，分数区间是[0,40].现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布 直方图如图所示. ◆频率/组距 0.025 0.015 0.010 0.005 O 405060708090100分数 (1)求图中α的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表)： (2)若80%的市民达到C(即满意)及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整.用本次样本 的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真 实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被 调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球 的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做.由于问 题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实 际情况的答案.己知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民 对“创建文明城市”工作满意的百分比. 第14页共14页 5-4 用频率估计概率 讲义 教学目标 理解频率与概率的关系，掌握频率的计算方法，能够用频率估计概率. 教学重难点 频率的计算方法，能够用频率估计概率. 教学难点 理解频率与概率的关系，用频率估计概率. 知识点01 频率概念，频率与概率的关系 1.设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次， 则称Fn(A)= 是n次独立重复试验中事件A发生的频率. 2.一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率Fn(A)也愈大； 反之，如果Fn(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大. 因此，频率与概率间应有紧密的联系. 3.在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，Fn(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A)，即Fn(A)是P(A)的估计. 4.频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画， 但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性； 而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性； 因此频率不能完全反映概率. 【即学即练1-1】（24-25高一下·新疆巴州·期末）在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】结合题意，由频率等于频数比总数可得. 【详解】由题意可得反面朝上的频数为52，所以其频率为. 故选：D 【即学即练1-2】（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（   ） A．正面向上的次数是1012或1013 B．正面向上的频率可能等于0.48 C．正面向上的频率一定等于0.5 D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算频率、辨析概率与频率的关系 【分析】正面向上的频率是随机的，故AC说法过于绝对，对于B，若频率为0.48，经计算正面朝上972次时满足条件，对于D，由于0.4与0.5差距较大，则有可能满足D中描述的硬币质量分布可能不均匀. 【详解】对于A，正面向上的次数是随机的，A的说法过于绝对，故A错误； 对于B，因为是整数，正面朝上的次数有可能是972次，故B正确； 对于C，正面向上的频率是随机的，只不过随着样本量的增加，频率应趋近于0.5，C的说法过于绝对，故C错误； 对于D，随着样本量的增加，正面向上的频率应趋近于0.5，0.4与0.5差距较大，故有硬币质量分布不均匀（即正面朝上的概率）的可能，故D正确. 故选：BD. 知识点02 用频率估计概率 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 2.用频率估计概率的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率. 【即学即练2-1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石. 故选：A 【即学即练2-2】（多选）（25-26高一上·陕西渭南·期末）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 题型01 频率的计算 【典例1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　） A．0.80 B．0.65 C．0.40 D．0.25 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解. 【详解】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在内的频率. 故选：C. 【典例1-2】（24-25高一上·四川成都·开学考试）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】确定这类产品的合格率是95%，然后利用样本估计总体的思想，即可求出该厂这20万件产品中合格品的件数． 【详解】因为某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格， 所以合格的有95件， 所以合格率为， ∴估计该厂这20万件产品中合格品约为万件， 故选C. 【典例1-3】(多选)（2024·全国·模拟预测）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班的学生人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】由题目表格中的数据，逐一判断选项，可得答案. 【详解】选项A：显然（2）班学生的数学成绩的优秀率最高，故A正确； 选项B：只根据优秀率的大小，无法比较每个班人数的多少，故B正确； 选项C：该年级全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比， 由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C错误； 选项D：设（1）班、（2）班数学成绩优秀的人数分别为x，y，（1）班、（2）班人数分别为a，b， 则，，得，，又（1）班和（2）班放在一起统计的优秀率为83%， 即，即，即，得，则，故D错误． 故选:AB. 【典例1-4】（22-23高一下·湖南湘西·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有___人. 【答案】6720 【难度】0.65 【知识点】计算频率 【分析】先求得样本持反对态度的频率，进而可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数. 【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为， 则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有（人）. 故答案为：6720 【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）某商户收集并整理了2023年1月到8月线上和线下收入（单位：万元）的数据，并绘制出如图所示的折线图，则下列结论错误的是（    ）    A．该商户这8个月中，收入最高的是7月 B．该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入 C．该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月 D．该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算频率、根据折线统计图解决实际问题 【分析】依次计算收入得到A正确，计算线下线上收入知B错误，根据图像知C正确，月收入不少于17万元的有4个月，D正确，得到答案. 【详解】对于选项A：该商户1月到8月的收入依次为16万元、13.5万元、16万元、17万元、17万元、16万元、20万元、17.5万元，A正确； 对于选项B：该商户这8个月的线上总收入为72万元，线下总收入为61万元，B错误； 对于选项C：根据折线图可知，该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月，C正确； 对于选项D：该商户这8个月中，月收入不少于17万元的有4个月，频率为，D正确． 故选：B 【变式1-2】（24-25高一下·贵州毕节·期中）某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算频率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据频数与总数的比为频率，由此能求出结果． 【详解】分数在的频率为：． 分数不满110分的频率为：． 故选：A． 【变式1-3】（2023高一·全国·专题练习）容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 第三组的频数和频率分别是（    ） A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】根据所给数据结合频率的含义直接计算，即得答案. 【详解】第三组的频数， 频率为， 故选：A 【变式1-4】（24-25高二上·四川·期末）某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（   ） A．1000株 B．1200株 C．1500株 D．1800株 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】由题意求出存活率后列式求解即可. 【详解】第一次试种植物的存活率为， 故若第一次试种2000株，则可存活2000×0.6=1200株. 故选：B 【变式1-5】(多选)（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8 B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7 C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次 D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】利用频率与频数之间的关系，对选项逐一分析即可. 【详解】某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是，故正确； 某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是，故错误； 某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心次，故正确； 某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心次，故正确. 故选：. 【变式1-6】（22-23高三上·新疆阿克苏·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有_________人． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】求出在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，即可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数. 【详解】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人， 故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有. 故答案为：. 题型02 用频率估计概率 【典例2-1】（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系、确定性事件与随机事件的概率 【分析】由概率的定义即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误； 对于B，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确； 对于C，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误； 对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D错误. 故选：B. 【典例2-2】（24-25高一下·天津河西·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4，进而分析求解. 【详解】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 【典例2-3】(多选)（19-20高一上·辽宁葫芦岛·期末）中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据古典概型概率公式，结合和事件、对立事件的概率公式计算可得. 【详解】由题意可知，，故A，B正确； 事件为事件的对立事件，且事件两两互斥， ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 【典例2-4】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 【答案】 /0.7 14 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据随机事件的概率计算公式计算即可. 【详解】由题意可知摸球100次，其中30次摸到黑球， 所以其中70次摸到白球，故一次试验中摸到白球的概率为， 设不透明的盒子里，装有6个黑球和个白球， 则摸到白球的概率为，解得. 故答案为：；14. 【变式2-1】（24-25高一下·贵州黔南·期末）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据频率分布表解决实际问题、计算几个数据的极差、方差、标准差、补全频率分布表、用频率估计概率 【分析】A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项. 【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一下·广东潮州·期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率 【分析】根据频率和概率的关系即可判断. 【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一下·天津·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】用频率估计概率、整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率 【详解】根据题意，在组随机数中，恰好第三次结束时就停止有、、、、，共有组， 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 则恰好第三次结束时就停止的概率，故C正确. 【变式2-4】（21-22高二下·吉林长春·期末）敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.例如对学生在大型考试中有过抄袭，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题.被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题；若抽到红球，则回答问题，且罐中只有白球和红球. 问题：你的生日是否在7月1日之前？（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题：你是否在大型考试中有过抄袭？ 已知一次实际调查中，罐中放有红球30个，白球20个，调查结束后共收到1583张有效答卷，其中有389张回答“是”，如果以频率替代概率，问该校该年级学生有过抄袭的概率是（    ）(四舍五入精确到0.01) A．0.06 B．0.07 C．0.08 D．0.09 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、用频率估计概率 【分析】根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题的人数，从而可分别计算出回答问题的人中答 “是” 的人数以及比例. 【详解】从袋子中随机抽一个球, 抽到红球的概率为 , 抽到白球的概率为, 所以回答问题的人数是（人） 回答问题的人数是 （人）, 回答问题的人中答 “是” 的人数是 , 所以回答问题的人中答 “是” 的人数是 , 所以估计该校该年级学生有过抄袭的比例为 .(四舍五入精确到0.01). 故选：C. 【变式2-5】(多选)（25-26高一上·江西·期末）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算几个数的平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A，应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差，比较它们的大小即可判断BCD. 【详解】对于A：比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为， 故A正确； 对于B：为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可， 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误； 对于C：甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确； 对于D：由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时较少说明跑得快）， 并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误. 故选：AC. 【变式2-6】（24-25高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_________（精确到0.1）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得； 【详解】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数， 在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率； 观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在附近，进而求解即可. 故答案为： 题型03 概率的应用 【典例3-1】（23-24高二上·上海·阶段检测）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】游戏的公平性 【分析】根据每次试验出现正反面的概率是相等的即可得到结果. 【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为. 故选：D. 【典例3-2】（24-25高二下·浙江·阶段检测）某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨或下跌（两种情况概率各）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略： 策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件； 策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为元）． 不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（   ） A．策略P B．策略Q C．平均总成本相同 D．需根据价格波动幅度判断 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】决策中的概率思想 【分析】分别计算出两种策略的平均总成本，进行比较即可判断． 【详解】先分析策略（分两次购买）：当前成本：100元（第1件）． 下个月价格：上涨后为元，下跌后为元， 概率各，则下月购买第2件的平均成本为元； 所以总平均成本：元． 再看策略（一次性囤货2件）：无论下个月价格如何波动，总成本固定为元（享受折扣后无价格风险）． 所以策略平均总成本197.5元＞策略固定成本190元，尽管价格波动非对称，但策略通过固定折扣直接降低了总成本，且折扣后的单价（95元／件）低于策略P的预计单价（97.5元／件），因此策略更优， 故选：B． 【典例3-3】(多选)（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法错误的有（    ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系、抽奖、彩票的概率解释、其他问题中的概率解释 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可． 【详解】对于A，次品率是一个概率值，表示的是统计意义上的平均结果，不是必然结果， 抽取100件产品，次品数是一个随机变量，可能是10件，但不是“必有”10件，故A错误； 对于B“明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨”概率为90%表示降雨的可能性很大， 但不是100%，所以仍然存在不下雨的可能，故B正确； 对于C，“连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件”每次投骰子出现1的概率是， 连续10次出现1的概率是，虽然概率很小，但仍然是可能发生的，故C错误； 对于D，概率是理论上的稳定值，不能通过一次有限的试验结果（5次中1次）来直接确定，这只是这次试验的频率，不是概率，故D错误． 本题选择不正确的，故选：ACD． 【典例3-4】（2024高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是________. 【答案】①②③ 【难度】0.94 【知识点】其他问题中的概率解释、抽奖、彩票的概率解释、天气预报中的概率解释、辨析概率与频率的关系 【分析】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【详解】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③ 【变式3-1】1．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抽奖、彩票的概率解释 【分析】中奖概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 【变式3-2】（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】其他问题中的概率解释 【分析】根据概率的概念与意义求解. 【详解】他踢点球进门的概率是，所以他第3次踢进门的概率为. 故选：A 【变式3-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系、抽奖、彩票的概率解释、天气预报中的概率解释 【分析】由概率、频率的概念逐个判断即可. 【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误. 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错. 故选：B 【变式3-4】（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】游戏的公平性、计算古典概型问题的概率 【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 【变式3-5】（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】天气预报中的概率解释 【分析】根据概率公式直接得出结论. 【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为. 故选:B 【变式3-6】（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】抽奖、彩票的概率解释、天气预报中的概率解释、用频率估计概率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：A 一、单选题 1.（23-24高一上·全国·课后作业）经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为，经调查，某市市场上的食用油大约有个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】先求出市场上食用油不合格率，再根据频数样本容量频率可得结果. 【详解】因为市场上食用油合格率为，所以市场上食用油不合格率为， 又市场上的食用油大约有个品牌，所以不合格的食用油品牌大约有个. 故选：C 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算频率、辨析概率与频率的关系、用频率估计概率 【分析】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A 3.（24-25高一下·河北邯郸·阶段检测）下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系、随机数表法、抽签法 【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解. 【详解】我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，应采取抽样调查，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 4.（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】天气预报中的概率解释、辨析概率与频率的关系 【分析】根据概率的定义及性质判断即可. 【详解】对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为， 则比赛场，甲可能胜场、3场、2场、1场、0场，故A错误； 对于B，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误； 对于C：事件，满足，则，故C错误； 对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确. 故选：D 5.（21-22高二上·贵州黔南·阶段检测）下列四个命题中正确的是（    ） A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系、计算频率 【分析】依据频率与概率的基本知识进行判断即可. 【详解】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误； 对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误； 对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误； 对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确. 故选：D 6.（20-21高三下·山西晋中·阶段检测）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则（    ） A．100 B．300 C．400 D．600 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率 【详解】命题意图  本题考查用样本频率估计总体的概率． 解析  由表格数据知，最高气温低于的频率为，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1． 7.（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、用频率估计概率、根据频率分布直方图计算众数 【分析】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解. 【详解】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：天，故A错误； 对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，故B错误； 对于C，的频率为，的频率为， 则该学生每日完成作业时间的中位数为，故C正确； 对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为，故D错误； 故选：C 8.（25-26高二上·江苏苏州·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】总体与样本、用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A 二、多选题 9.（21-22高一·湖南·课后作业）(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率 【分析】求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解. 【详解】解：对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的； 对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平； 对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的； 对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的. 故选：ACD 10.（23-24高三上·湖南衡阳·阶段检测）高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）    A．学生成绩众数估计为75分 B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算众数 【分析】根据频率分布直方图估计出众数，第75百分位数可判断AB；利用频率估计概率，古典概型等知识可判断CD. 【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确； 因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确； 因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误； 记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c,d,则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为 ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种， 其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种， 所以这2人来自不同组的概率为，故D错误； 故选：AB. 11.（2025·河南信阳·模拟预测）若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面向上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面（1枚硬币可重复翻面），若经过次上述操作后，所有硬币均为反面向上，则的值可以为（   ） A．45 B．54 C．63 D．72 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据开始时有8枚硬币反面向上，任选其中3枚硬币翻面，得出要使100枚硬币均为反面向上，至少需要进行32次操作即可解题. 【详解】考虑92个正面向上的硬币，将其编号为1，2，…，92，通过30次操作可将编号1~90的硬币翻至反面向上， 第31次操作时将编号为91（或92）以及任意另外两枚反面向上的硬币翻面， 则此时恰有3枚硬币正面向上，第32次操作时将3枚正面向上硬币翻面，即可保证所有硬币均为反面向上. 因此，要使100枚硬币均为反面向上，至少需要进行32次操作. 当所有硬币反面向上后，若将其中3枚硬币连续进行两次操作，所有硬币仍反面向上. 因此，若要保证所有硬币反面向上，操作的次数必然为偶数次. 故选：BD. 三、填空题 12.（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为______；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为______． 【答案】 0.21/ 0.18/ 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率. 【详解】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 故答案为：0.21，0.18 13.（20-21高一·全国·课后作业）李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示： 李明 张健 投中数 30 25 未中数 20 15 上表数据显示，李明投中的频数是 ____________ ；投中的频率是 ____________ ；张健投中的频数是 ____________，投中的频率是 ____________，两人中投中率更优秀的是 ____________ . 【答案】 张健 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【分析】根据表格中给出的数据，求得频数和频率值，进而得到两人在投中率上谁更优秀一些. 【详解】根据表格中的数据，可得李明投中的频数是 ，频率是， 张健投中的频数是，频率是， 所以张健更优秀一些. 故答案为：；；；；张健. 14.（22-23高二下·广东揭阳·期中）为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是__________. 【答案】132 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，由此可知第一个问题被问到600次，在被问到的600人中300人学号是奇数，比300人多出来的人数就是闯过红灯的人数，可以求出该组样本的频率，最后利用样本频率估计总体的方法即可求解. 【详解】被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同， 所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”， 所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为， 用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为人. 故答案为：132. 四、解答题 15.（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 【答案】(1)400；(2)；(3) 【难度】0.85 【知识点】补全扇形统计图、用频率估计概率、根据条形统计图解决实际问题 【分析】（1）（2）（3）根据条形图和扇形统计图中的信息，计算相关比例，进行计算即可. 【详解】（1）由条形图可知，无所谓的家长有80人，根据扇形统计图可知，无所谓的家长占，家长总人数为人；反对的人数为人. 如图所示： （2）表示“赞成”所占圆心角的度数为：； （3）由样本知，持“无所谓”态度的学生人数有30人，所以抽到的概率为：. 16.（25-26高一上·全国·单元测试）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 【答案】(1)；(2)；(3)青年人 【难度】0.85 【知识点】分层抽样的概率、计算古典概型问题的概率、用频率估计概率 【分析】（1）由题干可知总人数为，对酸奶满意的人数为，由此可得结果； （2）用样本频率估计总体概率，可得该地区青年人对酸奶满意的概率.青年人共人，满意的人数为，即可得结果； （3）根据消费群体中满意的人数与总人数的比值，计算出各人群的满意度，再计算提高后各个群体增加的满意人数，增加的人数更多的即为所选. 【详解】（1）设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A， 样本总人数为500，其中对酸奶质量满意的人数为， 所以 ． （2）用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率 ． （3）青年人消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大. 理由如下： 老年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 中年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 青年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1， 人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大. 17.（22-23高二上·广东佛山·阶段检测）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位:枝，)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 【答案】(1) ；(2)0.7 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算频率、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据所给条件，列出分段函数，注意自变量的取值范围； （2）利用对立事件的概率公式计算可得． 【详解】（1）当时，， 当时， 则 . （2）由，解得，即当日需求量为枝或枝时利润小于元， 设当天利润不少于元为事件，则. 18.（25-26高一上·北京·阶段检测）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 【答案】(1)； 平均数为74（分）；中位数为分；(2)288；(3) 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得，根据频率分布直方图估计平均数，中位数； （2）由频率估计概率可得高一年级480名学生中成绩不低于70分的频率后可得人数； （3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故， 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）. 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分. （2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为. （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 从中任取3人的可能结果为， ， ， ，，，，，，，，，，，，，，， ； 共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种， 故后两组中至少有1人被抽到的概率为. 19.（24-25高一下·贵州安顺·期末）“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 【答案】(1)，71；(2)不需要调整，理由见解析；(3)82% 【难度】0.65 【知识点】决策中的概率思想、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并根据平均数的定义进行求解； （2）计算出区间内的频率，和0.8比较后得到结论； （3）约有500人回答了第一个问题，这500人中约有250人回答了“是”，从而求出约有410人在第二个问题中回答了“是”，第二个问题被问到的人数也约为500，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得， 解得， ， 估计该市市民打分的平均数为71； （2）该市“创建文明城市”工作不需要调整，理由如下： 区间内的频率为 ， 所以该市“创建文明城市”工作不需要调整； （3）两个问题被问的概率相等，故约有500人回答了第一个问题， 由于手机尾号是奇数和偶数的概率相等，故这500人中约有250人回答了“是”， 所以约有人在第二个问题中回答了“是”， 第二个问题被问到的人数也约为500， 故估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比为=82%. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-4用频率估计概率讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01频率的计算 5-4用频率估计概率 知识点01频率的概念，频率与概率的关系 题型02用频率估计概率 题型03概率的应用 知识点02用频率估计概率 教学目标、教学重难点 教学目标 理解频率与概率的关系，掌握频率的计算方法，能够用频率估计概率. 教学重难点 频率的计算方法，能够用频率估计概率， 教学难点 理解频率与概率的关系，用频率估计概率。 知识清单 知识点01频率概念，频率与概率的关系 1.设Q是某个试验的样本空间，A是Q的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次， 则称F,A)=·次试验中A发生的次数是n次独立重复试验中事件A发生的频率 n 2.一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率Fn(A)也愈大： 反之，如果F(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大. 因此，频率与概率间应有紧密的联系。 3.在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用F.(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增 加时，F.(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A),即F.(A)是P(A)的 估计 4.频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画， 但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性： 而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性： 因此频率不能完全反映概率， 【即学即练1-1】(24-25高一下新疆巴州期末)在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上"的 频数为48，则“反面朝上”的频率为() A.48 B.0.48 C.52 D.0.52 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】结合题意，由频率等于频数比总数可得 第1页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由慰意可得反面朝上的频数为52，所以其频率为品-052 故选：D 【即学即练1-2】（多选）(25-26高二上·贵州遵义期末)把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正 面向上的次数，则下列说法正确的有() A.正面向上的次数是1012或1013 B.正面向上的频率可能等于0.48 C.正面向上的频率一定等于0.5 D.若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算频率、辨析概率与频率的关系 【分析】正面向上的频率是随机的，故AC说法过于绝对，对于B,若频率为0.48，经计算正面朝上972次 时满足条件，对于D,由于0.4与0.5差距较大，则有可能满足D中描述的硬币质量分布可能不均匀. 【详解】对于A,正面向上的次数是随机的，A的说法过于绝对，故A错误： 对于B,因为0.48×2025=972是整数，正面朝上的次数有可能是972次，故B正确： 对于C,正面向上的频率是随机的，只不过随着样本量的增加，频率应趋近于0.5，C的说法过于绝对，故Cc 错误： 对于D,随着样本量的增加，正面向上的频率应趋近于0.5,0.4与0.5差距较大，故有硬币质量分布不均匀 (即正面朝上的概率≠0.5)的可能，故D正确. 故选：BD 知识点02用频率估计概率 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率， 频率本身是随机变化的，当很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率 2.用频率估计概率的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率 【即学即练2-1】(24-25高一下江西景德镇期中)《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送 米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约 为() A.361石 B.341石 C.314石 D.360石 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，可计算出夹谷的频率，从而可解。 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 则样本中夹谷的频率为器=吉 则这批米内夹谷约为1805×号-361（句， 故选：A 【即学即练2-2】（多选）(25-26高一上·陕西渭南期末)关于概率与频率，下列说法正确的是() 第2页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.频率是随机的，概率是确定的 B.随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C.某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D.在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可」 【详解】对于A:频率是指在n次重复试验中，某事件发生的次数m与总试验次数n的比值，即f=严由于每 次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数故A正确。 对于B:大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率故B正确， 对于C:概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生故C错误. 对于D:随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确 故选：ABD 题型精讲 题型01频率的计算 【典例1-1】(23-24高一上全国课后作业)某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,601 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30,40)内的频率是( A.0.80 B.0.65 C.0.40 D.0.25 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解， 80 【详解】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在[30,40)内的频率20+30+80+0+30=0.40. 故选：C 【典例1-2】(24-25高一上四川成都开学考试)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行 质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有() A.1万件 B.18万件 C.19万件 D.20万件 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】计算频率 第3页共29页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】确定这类产品的合格率是95%，然后利用样本估计总体的思想，即可求出该厂这20万件产品中合 格品的件数 【详解】因为某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格， 所以合格的有95件， 所以合格率为95÷100=95%， ∴.估计该厂这20万件产品中合格品约为20×95%=19万件， 故选C 【典例1-3】（多选）（2024全国模拟预测)某校高三年级有(1)，(2)，（3)三个班，一次期末考试，统计 得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 (1) (2) (3) 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是() A.(2)班学生的数学成绩的优秀率最高 B.(3)班的学生人数不一定最少 C.该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D.若把(1)班和(2)班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则(1)班人数多于(2)班人数 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】由题目表格中的数据，逐一判断选项，可得答案。 【详解】选项A:显然(2)班学生的数学成绩的优秀率最高，故A正确： 选项B:只根据优秀率的大小，无法比较每个班人数的多少，故B正确： 选项C:该年级全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比， 由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C错误： 选项D:设(1)班、(2)班数学成绩优秀的人数分别为x,y,(1)班、(2)班人数分别为a,b, 则=80%，若=85%，得x=80%a,y=85%b,又(1)班和(2)班放在一起统计的优秀率为83%， 即=83%，即0%a+85%=83%,即80a+85b=83a+83b,得2b=3a,则a<b,故D错误. atb atb 故选：AB 【典例1-4】(22-23高一下·湖南湘西·期末)“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自 利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在 随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键 盘侠”持反对态度的有人。 【答案】6720 【难度】0.65 【知识点】计算频率 第4页共29页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先求得样本持反对态度的频率，进而可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数 【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1-品=品 则可估计该地区对健盘快"特持反对态度的有9600×品=6720（人）， 故答案为：6720 【变式1-1】(2023全国模拟预测)某商户收集并整理了2023年1月到8月线上和线下收入（单位：万元） 的数据，并绘制出如图所示的折线图，则下列结论错误的是() 收入/万元 1412.51211.5 12 0.512 10 8 10.510.599.5 6 5657 线上收入 23.534 5.5 ·-线下收入 012345678月份 A. 该商户这8个月中，收入最高的是7月 B.该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入 C.该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月 D. 该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算频率、根据折线统计图解决实际问题 【分析】依次计算收入得到A正确，计算线下线上收入知B错误，根据图像知C正确，月收入不少于17万 元的有4个月，D正确，得到答案 【详解】对于选项A:该商户1月到8月的收入依次为16万元、13.5万元、16万元、17万元、17万元、 16万元、20万元、17.5万元，A正确： 对于选项B:该商户这8个月的线上总收入为72万元，线下总收入为61万元，B错误： 对于选项C:根据折线图可知，该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月，C正确： 对于选项D:该商户这8个月中，月收入不少于17万元的有4个月，频率为，D正确。 故选：B 【变式1-2】(24-25高一下.贵州毕节期中)某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 [0,80) [80,90) [90,100) [100,110) 人数 2 5 6 8 分数段 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 人数 12 6 4 2 那么分数在[100,110)的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）() A.0.18,0.47 B.0.47,0.18 C.0.18,0.50 D.0.38,0.75 【答案】A 第5页共29页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】计算频率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据频数与总数的比为频率，由此能求出结果 【详解】分数在[100,110)的频率为：2+5+6+8+12+6叶4+2 8 ≈0.18. 2+5+6+8 分数不满110分的频率为：245+8+2+中心0.47. 故选：A. 【变式1-3】(2023高一.全国.专题练习)容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 14 15 13 12 9 第三组的频数和频率分别是() A.14和0.14 B.0.14和14 C.和0.14 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】根据所给数据结合频率的含义直接计算，即得答案。 【详解】第三组的频数x=100-(10+13+14+15+13+12+9)=100-86=14, 频率为4=0.14， 100 故选：A 【变式1-4】(24-25高二上四川期末)某研究所进行新型作物种植实验，己知在第一次的试种中，种植300 株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活() A.1000株 B.1200株 C.1500株 D.1800株 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】由题意求出存活率后列式求解即可. 【详解】第一次试种植物的存活率为器=06， 故若第一次试种2000株，则可存活2000×0.6=1200株. 故选：B 【变式1-5】（多选）(24-25高一下·全国课后作业)下列说法中，正确的是() A.某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8 B.某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7 C.某人射击10次，击中靶心的频率是影，则他应击中靶心5次 D.某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次 【答案】ACD 第6页共29页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】利用频率与频数之间的关系，对选项逐一分析即可. 【详解】某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是8=0.8，故A正确： 10 某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是10=0.3，故B错误： 10 某人射击10次，击中靶心的频率是影，则他应击中靶心10×=5次，故C正确： 某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心10×(1-0.6)=4次，故D正确. 故选：ACD 【变式1-6】（22-23高三上新疆阿克苏·期末)“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私 自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查： 在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键 盘侠"持反对态度的有 人 【答案】5472 【难度】0.85 【知识点】计算频率 【分析】求出在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，即可估计该地区对“键盘侠"持反对态度的人数 【详解】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人， 故可估计该地区对健盘侠"持反对态度的约有7600×碧=5472 故答案为：5472. 题型02用频率估计概率 【典例2-1】(23-24高一下·浙江温州·期末)气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨 概率为70%”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是() A.整个城市明天的平均降雨概率为50% B.明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C.只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D.如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系、确定性事件与随机事件的概率 【分析】由概率的定义即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A,中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故 A错误： 对于B,明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确： 对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误： 对于D,降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的 第7页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面积)会影响降雨量，故D错误。 故选：B 【典例2-2】(24-25高一下·天津河西·期末)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球， 若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球 的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球() A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4，进而分析求解。 【详解】设袋中黑球有x个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：=0.4，解得x=8, 8+4+x 所以袋中约有黑球8个 故选：C 【典例2-3】（多选）（1920高一上·辽宁葫芦岛期末)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参 加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为 事件C,则() A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27 D.P(BUC)=0.55 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据古典概型概率公式，结合和事件、对立事件的概率公式计算可得. 【详解】由题意可知PA)=品=0.55，P(8)=品=01B,故A,B正确： 事件AUB为事件C的对立事件，且事件A,B,C两两互斥， P(C)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)=0.27,故C正确： P(BUC)=P(B)+P(C)=0.45,故D错误. 故选：ABC 【典例2-4】（25-26高一上·辽宁锦州·期末)在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除 颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸 球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为，盒子中大约有白球 个 第8页共29页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 07 14 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据随机事件的概率计算公式计算即可。 【详解】由题意可知摸球100次，其中30次摸到黑球， 所以其中0次摸到白球，故一次试验中摸到白球的概率为品 设不透明的盒子里，装有6个黑球和x个白球， 则摸到白球的概率为÷=品解得x=14 故答案为：0：14， 【变式2-1】(24-25高一下·贵州黔南·期末)某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高 一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查， 并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 5 6 > 观看人数所占百分比 7% 18% 15% % 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为() A. 估计观看比赛场数的极差为6 B.估计观看比赛场数的众数为2 C.估计观看比赛不低于4场的学生约为200人D.估计观看比赛不超过2场的学生概率为0.4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据频率分布表解决实际问题、计算几个数据的极差、方差、标准差、补全频率分布表、用频 率估计概率 【分析】A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出m=16,比较频率得到众数为1：C选项，求 出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人：D选项，计算出观看比赛不超过2 场的学生频率，进而判断D选项. 【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为7一0=7，A错误： B选项，由频率分布表的性质，得m=100-7-18-15-10-14-15-5=16. 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误： c选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为10%+14%+15%+5%=44%， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为500×44%=220（人），C错误： D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为7%+18%+15%=40%=0.4，D正确. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一下·广东潮州·期末)某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数 如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是() 第一组 第二组 第三组 合计 第9页共29页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A.0.61 B.0.63 C.0.625 D.0.66 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率 【分析】根据频率和概率的关系即可判断， 【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适 故选：C 【变式2-3】（25-26高一下·天津期末)盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任 取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概 率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个 随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 343432314134234132243331112324 342241244342124431233214344434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为() A品 B. c 【答案】c 【难度】0.75 【知识点】用频率估计概率、整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率 【详解】根据题意，在20组随机数中，恰好第三次结束时就停止有314、134、234、243、324，共有5 组， 343432314134234132243331112324 342241244342124431233214344434 则恰好第三次结束时就停止的概率P=品=子故C正确， 【变式2-4】(21-22高二下·吉林长春·期末)敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要 使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.例如对学生在大型考试中有过抄袭，现有如下调查方案： 在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题被调查者从一个罐子中随机抽一只球， 看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A:若抽到红球，则回答问题B,且罐中只有白球和红球 问题A:你的生日是否在7月1日之前？（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题B:你是否在大型考试中有过抄袭？ 已知一次实际调查中，罐中放有红球30个，白球20个，调查结束后共收到1583张有效答卷，其中有389 张回答“是”，如果以频率替代概率，问该校该年级学生有过抄袭的概率是()（四舍五入精确到0.01） 第10页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0.06 B.0.07 C.0.08 D.0.09 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、用频率估计概率 【分析】根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题A、B的人数，从 而可分别计算出回答问题A、B的人中答“是”的人数以及比例 【详解】从袋子中随机抽一个球，抽到红球的概率为30十0= 303 抽到白球的概率为，”。=号所以回答问题A的人数是1583×=63.2≈633（人） 回答问题B的人数是1583×=949.8≈950（人）， 回答问题A的人中答“是”的人数是633×1=316.5≈317 所以回答问题B的人中答“是”的人数是389-317=72， 所以估计该校该年级学生有过抄袭的比例为品≈0075789≈008（四合五入精确到00. 故选：C 【变式2-5】（多选）(25-26高一上江西期末)教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛， 收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 328 329 3'30 331 3'32 335" 337 340° 乙 325 327 3'30 330 333" 335" 3'38 345 若比赛成绩在330”以下（含3'30”）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是( A. 乙比赛成绩优秀的概率为号 B.甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C.甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D.为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算几个数的平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度、计算几个数据 的极差、方差、标准差 【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A,应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差， 比较它们的大小即可判断BCD 【详解】对于A:比赛成绩在330以下（含330）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为- 故A正确； 对于B:为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可， 甲的平均数x甲=(28+29+30+31+32+35+37+40)-22=32.75， 8 乙的平均数x2=(25+27+30+30+33+35+38+45)=23=32.875, 8 第11页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误： 对于C:甲的方差 1 =8×[28-32.75}+(29-32.75)}2+(60-3275)2+(31-32.75)2+32-32.75) +(35-32.75)2+(37-32.75)2+(40-32.75)21=15.4375. 乙的方差 1 $=a×[25-32.8752+(27-32.875)2+(30-32875)+30-32.875)2+(33-32.875) +(35-32.875)2+(38-32.875)2+(45-32.875)]≈36.31，则s2<s2,C正确： 对于D:由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时较少说明跑得快）， 并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误。 故选：AC 【变式2-6】(24-25高一上·广西崇左·开学考试)下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果. 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率” 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 (精确到0.1). 【答案】0.9 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得： 【详解】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数， 在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率： 观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在0.9附近，进而求解即可. 故答案为：0.9 题型03概率的应用 【典例3-1】(23-24高二上·上海.阶段检测)如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现 反面朝上的概率是() A员 B.9 c D. 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】游戏的公平性 【分析】根据每次试验出现正反面的概率是相等的即可得到结果 【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为 第12页共29页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：D. 【典例3-2】(24-25高二下·浙江阶段检测)某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨15%或下跌 20%(两种情况概率各50%).若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略： 策略P:按需购买，当前买1件(100元)，下个月按当时价格买1件： 策略Q:当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为2×100×0.95=190元）. 不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？() A.策略P B.策略Q C.平均总成本相同 D.需根据价格波动幅度判断 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】决策中的概率思想 【分析】分别计算出两种策略的平均总成本，进行比较即可判断 【详解】先分析策略P(分两次购买)：当前成本：100元（第1件）. 下个月价格：上涨15%后为100×(1+15%)=115元，下跌20%后为100×(1-20%)=80元， 概率各50%，则下月购买第2件的平均成本为115×0.5+80×0.5=97.5元： 所以总平均成本：100+97.5=197.5元. 再看策略Q(一次性囤货2件)：无论下个月价格如何波动，总成本固定为2×100×0.95=190元（享受 折扣后无价格风险). 所以策略P平均总成本197.5元>策略Q固定成本190元，尽管价格波动非对称，但策略Q通过固定折扣直接 降低了总成本，且折扣后的单价(95元/件)低于策略P的预计单价(97.5元/件)，因此策略Q更优， 故选：B. 【典例3-3】（多选）(25-26高一上·陕西渭南·期末)下列说法错误的有() A.设一批产品的次品率为六从中任取100件，则必有10件次品 B.明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C.连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D.连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系、抽奖、彩票的概率解释、其他问题中的概率解释 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【详解】对于A,次品率品是一个概率值，表示的是统计意义上的平均结果，不是必然结果， 抽取100件产品，次品数是一个随机变量，可能是10件，但不是“必有”10件，故A错误： 对于B“明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨”概率为90%表示降雨的可能性很大， 但不是100%，所以仍然存在不下雨的可能，故B正确： 第13页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于C,“连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件"每次投骰子出现1的概率是君 连续10次出现1的概率是（得） 0 ,虽然概率很小，但仍然是可能发生的，故C错误： 对于D,概率是理论上的稳定值，不能通过一次有限的试验结果(5次中1次)来直接确定，这只是这次试 验的频率，不是概率，故D错误。 本题选择不正确的，故选：ACD. 【典例3-4】（2024高一下·全国.专题练习)有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的： ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖： ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为0： ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品， 其中错误说法的序号是 【答案】①②③ 【难度】0.94 【知识点】其他问题中的概率解释、抽奖、彩票的概率解释、天气预报中的概率解释、辨析概率与频率的 关系 【分析】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可 【详解】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误： ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会 中奖，故②错误： ®中正面朝上的频率为品概率仍5故③错误： ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件.50次品，故④正确。 故答案为：①②③ 【变式31】1.(23-24高一下·青海海南期末)某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一 次抽奖机会，中奖的概率为15%，则下列说法正确的是() A.某人抽奖100次，一定能中奖15次 B.某人抽奖200次，至少能中奖3次 C.某人抽奖1次，一定不能中奖 D.某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抽奖、彩票的概率解释 【分析】中奖概率为15%，只能说有15%中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为15%，与抽的次数无关，只是有15%中奖的可能性， 故选：D 【变式3-2】(25-26高三上.上海.期中)小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是， 一次点球训练 中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为() 第14页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A青 B. C.1 D.介于和1之间的某个实数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】其他问题中的概率解释 【分析】根据概率的概念与意义求解 【详解】他踢点球进门的概率是所以他第3次踢进门的概率为 故选：A 【变式33】(25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测)下列说法正确的是() A.某种福利彩票的中奖概率为。那么买100张这种彩票一定能中奖。 B.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30% 认为不降水 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】辨析概率与频率的关系、抽奖、彩票的概率解释、天气预报中的概率解释 【分析】由概率、频率的概念逐个判断即可 【详解】对于A,中奖概率为0是指买一次彩票，可能中奖的概率为 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误： 对于B,试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确： 对于C,某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，是指一位病人被治愈的概率为10%， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误。 对于D,“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D错。 故选：B 【变式3-4】（23-24高一下河南许昌·期末)小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是() A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D.小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】游戏的公平性、计算古典概型问题的概率 【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此 得到选项。 第15页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A,抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率 为号所以游戏公平： 对于B,同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为两枚都正面向上的概率为好所以游戏不公平： 对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为 ,扑克牌是黑色的概率为三，所以游戏 公平： 对于D,小明、小华两人各写一个数字6或8，共(6,6)，(6,8)，(8,6)，(8,8)四种情况， 两人写的数字相同的概率为两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平. 故选：B. 【变式35】(24-25高二上山东青岛阶段检测)每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风 的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为() A.5% B.10% C.15% D.45% 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】天气预报中的概率解释 【分析】根据概率公式直接得出结论 【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%+20%-35%=10%. 故选：B 【变式36】(22-23高一下，新疆喀什.期末)下列说法正确的是() A.随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B。某种福利彩票的中奖概率为品。买100张这种彩票一定能中奖 C.连续10次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为品 D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30% 认为明天不会降水 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】抽奖、彩票的概率解释、天气预报中的概率解释、用频率估计概率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解。 【详解】对于A,随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是 频率的稳定值，故A正确， 对于B,某种福利彩票的中奖概率为买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C,连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面 的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为好，故C错误， 1001 第16页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D,某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：A 强化训练 一、单选题 1.(23-24高一上·全国·课后作业)经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某 市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有() A.64个 B.640个 C.16个D.160个 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】计算频率 【分析】先求出市场上食用油不合格率，再根据频数=样本容量×频率可得结果 【详解】因为市场上食用油合格率为80%，所以市场上食用油不合格率为1-80%=20%， 又市场上的食用油大约有80个品牌，所以不合格的食用油品牌大约有80×20%=16个. 故选：C 2.（25-26高一下.全国课堂例题)下列说法正确的是() ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)=咒； ③含百分比的数是频率，但不是概率： ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值： ⑤概率是频率的稳定值 A.①④⑤ B.①② c.②③ D.②③⑤ 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算频率、辨析概率与频率的关系、用频率估计概率 【分析】根据频率与概率的概念逐个判断即可。 【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误： 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误： 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确. 故选：A 3.(24-25高一下河北邯郸·阶段检测)下列说法错误的是() A.为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C.抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 第17页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系、随机数表法、抽签法 【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解。 【详解】我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，应采取抽样调查，故A正确： 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确： 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确： 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前9人未治愈不影响第10人的概率，治 愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 4.(23-24高一下山西长治·期末)下列说法正确的是() A.甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为2，则比赛4场，甲一定胜3场 B.概率是随机的，在试验前不能确定 C.事件A,B满足ASB,则P(A)<P(B) D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】天气预报中的概率解释、辨析概率与频率的关系 【分析】根据概率的定义及性质判断即可 【详解】对于A,甲、乙二人比赛，甲胜的概率为是指每场比赛，甲胜的可能性为 则比赛4场，甲可能胜4场、3场、2场、1场、0场，故A错误： 对于B,随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误： 对于C:事件A,B满足AcB,则P(A)≤P(B),故C错误： 对于D,天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%，故D正确， 故选：D 5.（21-22高二上·贵州黔南阶段检测)下列四个命题中正确的是() A.设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是51 -100 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的慨率 D.抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是易 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系、计算频率 第18页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】依据频率与概率的基本知识进行判断即可 【详解】对于A,次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误： 对于6，抛硬币出现正面的概率是号而不是品故B错误： 对于C,频率与概率不是同一个概念，故C错误： 对于D,利用频率计算公式求得频率，故D正确。 故选：D 6.(20-21高三下山西晋中阶段检测)某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当 天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25°℃，需求量为600瓶：如果最高气温位于区间[20℃，25℃) 内，需求量为300瓶：如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，统计了前 三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [15,20[20,25) [25,30】 [30,35) [35,40 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x 瓶的概率估计值为0.1，则x=() A.100 B.300 C.400 D.600 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率 【详解】命题意图本题考查用样本频率估计总体的概率， 解析由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为=0.1，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300 瓶的概率估计值为0.1. 7.（2024四川绵阳·模拟预测)某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每 天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了 下列结论，其中正确的是() 个频率/组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 11.522.533.544.55完成作业时间/小时 A.估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B.估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C.估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D.估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 第19页共29页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、用 频率估计概率、根据频率分布直方图计算众数 【分析】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解， 【详解】对于A,该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：0.5×0.5×100=25天，故A 错误： 对于B,估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为(0.3+0.2+0.1+0.1)×0.5=0.35，故B错误； 对于C,[1,2.5)的频率为(0.1+0.3+0.5)×0.5=0.45，[1,3)的频率为0.45+0.4×0.5=0.65， 则该学生每日完成作业时间的中位数为2.5+505×0.5=2.625，故C正确： 0.2 对于D,估计该学生每日完成作业时间的众数为2=225，故D错误： 故选：C 8.(25-26高二上江苏苏州·期末)某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出 的400名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题A:你的手机尾号是否是偶数？问题B:你是否经 常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红 球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A,摸 到红球的学生如实回答问题B,每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题.已知手机 尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为 () A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】总体与样本、用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】先确定回答“是"的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为号， 回答A问题“是“的学生人数为400××=100， 所以回答B问题"是”的学生人数为130-100=30， 所以男大学生吸烟人数的比例约为3 =0.15. 400× 故选：A 二、多选题 9.(21-22高一·湖南·课后作业)（多选）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是() A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 第20页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】用频率估计概率 【分析】求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解 【详解】解：对于选项A,甲胜和乙胜的概率都是子，所以游戏是公平的： 对于选项B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所 以游戏不公平： 对于选项C,甲胜和乙胜的概率都是=， 52=2 所以游戏是公平的： 对于选项D,甲胜的概率是影乙胜的概率是 ,所以游戏是公平的. 故选：ACD 10.(23-24高三上·湖南衡阳·阶段检测)高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100 名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随 机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是() 个频率 组距 0.030--- 0.020 0.015 0.010- 0V405060708090100成绩（分） A.学生成绩众数估计为75分 B.考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C.在[90,100]内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D.从[40,50)和[90,100]内各抽1名学生，[70,80)抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则 这2人来自不同组的概率为0.13 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算 众数 【分析】根据频率分布直方图估计出众数，第75百分位数可判断AB:利用频率估计概率，古典概型等知识 可判断CD 【详解】由频率分布直方图得，成绩在[70,80)的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确： 因为0.010×10+0.015×10+0.020×10+0.030×10=0.75，所以估计第75百分位成绩为80分，故B 第21页共29页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正确： 因为成绩在[90,100]内的人数为100×0.010×10=10，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为0.1， 故C错误； 记从[40,50)抽取的1名学生为a,从[90,100]抽取的1名学生为b,从[70,80)抽取的2名学生为c,d,则从这 4人中抽取2人，所有的可能结果为 ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种， 其中不同组的有ab,ac,ad,bc,bd,共5种， 所以这2人来自不同组的概率为，故D错误： 故选：AB. 11.（2025河南信阳模拟预测)若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面向 上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面(1枚硬币可重复翻面)，若经过次上述操作后， 所有硬币均为反面向上，则n的值可以为() A.45 B.54 C.63 D.72 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、辨析概率与频率的关系 【分析】根据开始时有8枚硬币反面向上，任选其中3枚硬币翻面，得出要使100枚硬币均为反面向上， 至少需要进行32次操作即可解题 【详解】考虑92个正面向上的硬币，将其编号为1,2，，92，通过30次操作可将编号190的硬币翻至 反面向上， 第31次操作时将编号为91（或92）以及任意另外两枚反面向上的硬币翻面， 则此时恰有3枚硬币正面向上，第32次操作时将3枚正面向上硬币翻面，即可保证所有硬币均为反面向上. 因此，要使100枚硬币均为反面向上，至少需要进行32次操作. 当所有硬币反面向上后，若将其中3枚硬币连续进行两次操作，所有硬币仍反面向上. 因此，若要保证所有硬币反面向上，操作的次数必然为偶数次， 故选：BD 三、填空题 12.（23-24高一下.甘肃临夏·期末)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中 每辆车的赔付结果统计如表所示 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新 司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在己投保的新司机中， 获赔金额为4500元的概率为 第22页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 021/品 0.18/ 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新 司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在己投保的新司机中，获赔金额为4500 元的概率。 【详解】赔付金额大于投保金额的频率为 120+90 =0.21, 00+80+110+120+90 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为15/0×(600+80+110+120+90)=150， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即90×30/0=27人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为品=0.18。 故答案为：0.21,0.18 13.(20-21高一，全国·课后作业)李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示： 李明 张健 投中数 9 25 未中数20 15 上表数据显示，李明投中的频数是 投中的频率是 ；张健投中的频数是 投中的频率是 两人中投中率更优秀的是 【答案】 30 60% 25 62.5% 张健 【难度】0.85 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【分析】根据表格中给出的数据，求得频数和频率值，进而得到两人在投中率上谁更优秀一些。 【详解】根据表格中的数据，可得李明投中的频数是30，频率是0=60%， -50 张健投中的频数是25，频率是需=62.596， 所以张健更优秀一些 故答案为：30；60%：25：62.5%：张健 14.(22-23高二下·广东揭阳·期中)为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门 在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口时你是 否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答 第二个问题被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者 本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366 人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是 【答案】132 第23页共29页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，由此可知第一个问题被问到600次，在被问 到的600人中300人学号是奇数，比300人多出来的人数就是闯过红灯的人数，可以求出该组样本的频率， 最后利用样本频率估计总体的方法即可求解。 【详解】被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同， 所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”， 所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为0.11， 用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为1200×0.11=132人. 故答案为：132. 四、解答题 15.(25-26高一上重庆云阳开学考试)“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查 了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： 学生及家长对中学生 家长对中学生带 带手机的态度统计图 手机的态度统计图 人数 280 210--------- 140 口学生 140 赞成 80 家长 反对 无所谓 200 O赞成无所谓反对类别 图① 图② (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图① (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图② (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 【答案】(1)400：(2)36°：(3)0.15 【难度】0.85 【知识点】补全扇形统计图、用频率估计概率、根据条形统计图解决实际问题 【分析】(1)(2)(3)根据条形图和扇形统计图中的信息，计算相关比例，进行计算即可， 【详解】(1)~由条形图可知，无所谓的家长有80人，根据扇形统计图可知，无所谓的家长占20%，家长 总人数为80÷20%=400人：反对的人数为400-40-80=280人： 如图所示： 学生及家长对中学生 带手机的态度统计图 从数 280 280 210 140 ☐学生 140 80 70 ☐家长 O赞成无所谓反对类别 第24页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)表示"赞成"所占圆心角的度数为：品×360°=36： 家长对中学生带 手机的态度统计图 106 反对 无所谓 70% 20% (3)由样本知，持“无所谓"态度的学生人数有30人，所以抽到的概率为：恐=015。 16.(25-26高一上全国·单元测试)随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高.某牛奶企业 针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查.现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得 到下表（单位：人）. 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率： (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度 提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值. 【答案】（路(2(）青年人 【难度】0.85 【知识点】分层抽样的概率、计算古典概型问题的概率、用频率估计概率 【分析】(1)由题干可知总人数为500，对酸奶满意的人数为370，由此可得结果： (2)用样本频率估计总体概率，可得该地区青年人对酸奶满意的概率青年人共200人，满意的人数为150， 即可得结果： (3)根据消费群体中满意的人数与总人数的比值，计算出各人群的满意度，再计算提高0.1后各个群体增 加的满意人数，增加的人数更多的即为所选 【详解】(1)设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A, 样本总人数为500，其中对酸奶质量满意的人数为100+120+150=370， 所以P)=器=哥 (2)用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的既率？=5。=是 (3)青年人消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大. 理由如下： 第25页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 老年人满意度为，”0=0.8，满意度提高01后增加的满意人数为150×0.9-150×0.8=15（人）： 中年人满意度为≈067，满意度提高01后增加的满意人数为150×07-150×067=16（人）： 青年人满意度为”0=06，满态度提高01后增加的满意人数为200×0,7-200×06-20（人）： 所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1， 人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大， 17.（22-23高二上广东佛山·阶段检测)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干千枝玫瑰花，然后以每 枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理 (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈WN)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不 少于75元的概率. 【答案】(1y= 85, n≥17 10m-85,n<17 (n∈N):(2)0.7 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算频率、分段函数模型的应用 【分析】(1)根据所给条件，列出分段函数，注意自变量的取值范围： (2)利用对立事件的概率公式计算可得 【详解】(1)当n≥17时，y=17×5=85, 当n<17时，y=5n+(17-n)×(-5)=10n-85 则-8n-527ae0 n≥17 (2)由10n-85<75,解得n<16,即当日需求量为14枝或15枝时利润小于75元， 设当天利润不少于75元为事件A,则P(=1-品一品=0.7 18.(25-26高一上北京阶段检测)随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要为此北京市 第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的 学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为[50,60)，[60,70)，，[90,100] 分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. ◆频率/组距 0.03 0.01 5060708090100分数 (1)求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组 第26页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 区间的中点值代表，中位数请用分数表示)： (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数： (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参 加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率， 【答案】(x=0.02:平均数为74（分）：中位数为分：(228：6唱 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方 图估计平均数 【分析】(1)由频率分布直方图中频率和为1求得x,根据频率分布直方图估计平均数，中位数： (2)由频率估计概率可得高一年级480名学生中成绩不低于70分的频率后可得人数： (3)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率. 【详解】(1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2，故x=0.02, 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95× 0.01)×10=74(分).由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为01+0.3+0.3=0.7， 放中位数在第3组中.设中位数为t分，则有c-70)×003=01,所以t=9,即所求的中位数为0分。 (2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，由以上样本的频率，可 以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为480×0.6=288. (3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1， 记成绩在[70,80)这组的3名学生分别为a,b,c,成绩在[80,90)这组的2名学生分别为d,e,成绩在[90,100] 这组的1名学生为f, 从中任取3人的可能结果为(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f)，(a,c,d),(ac,e),(a,c,f月，(a,d,e) (a,df),(a,e,f,(b,c,d),(b,c,e),(b,c,fD,(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(d,e,f): 共20种 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为(a,b,c),只有1种， 故后两组中至少有1人被抽到的概率为P=1一六器 19.(24-25高一下.贵州安顺期末)“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福 感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要.”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民 对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分 100分)，按照市民的打分从高到低定A,B,C,D,E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是[86,100]： B表示比较满意，分数区间是[71,85]：C表示满意，分数区间是[56,70]：D表示不满意，分数区间是[41,55]： E表示非常不满意，分数区间是[0,40].现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布 直方图如图所示. 第27页共29页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆频率/组距 @h-------------- 0.025 0.015 0.010 0.005 0405060708090100分数 (1)求图中α的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表)： (2)若80%的市民达到C(即满意)及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整.用本次样本 的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真 实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被 调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球 的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做.由于问 题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实 际情况的答案.已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民 对“创建文明城市”工作满意的百分比 【答案】(1)a=0.030,71;(2)不需要调整，理由见解析：(3)82% 【难度】0.65 【知识点】决策中的概率思想、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本 容量、总体容量、补全频率分布直方图 【分析】(1)根据频率之和为1得到方程，求出a=0.030,并根据平均数的定义进行求解： (2)计算出[56,100]区间内的频率，和0.8比较后得到结论： (3)约有500人回答了第一个问题，这500人中约有250人回答了“"是”，从而求出约有410人在第二个问 题中回答了“是”，第二个问题被问到的人数也约为500，从而得到答案 【详解】(1)由题意得10(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)=1, 解得a=0.030, 45×0.01+55×0.015+65×0.015+75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=71, 估计该市市民打分的平均数为71： (2)该市“创建文明城市”工作不需要调整，理由如下： [56,100]区间内的频率为 (70-56)×0.015+10×0.030+10×0.025+10×0.005=0.81>0.8, 第28页共29页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以该市“创建文明城市”工作不需要调整： (3)两个问题被问的概率相等，故约有500人回答了第一个问题， 由于手机尾号是奇数和偶数的概率相等，故这500人中约有250人回答了“是”， 所以约有660-250=410人在第二个问题中回答了“是”， 第二个问题被问到的人数也约为500， 故估计该社区市民对创建文明城市”工作满意的百分比为品82%。 第29页共29页 5-4 用频率估计概率 讲义 教学目标 理解频率与概率的关系，掌握频率的计算方法，能够用频率估计概率. 教学重难点 频率的计算方法，能够用频率估计概率. 教学难点 理解频率与概率的关系，用频率估计概率. 知识点01 频率概念，频率与概率的关系 1.设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次， 则称Fn(A)= 是n次独立重复试验中事件A发生的频率. 2.一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率Fn(A)也愈大； 反之，如果Fn(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大. 因此，频率与概率间应有紧密的联系. 3.在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，Fn(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A)，即Fn(A)是P(A)的估计. 4.频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画， 但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性； 而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性； 因此频率不能完全反映概率. 【即学即练1-1】（24-25高一下·新疆巴州·期末）在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 【即学即练1-2】（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后，统计正面向上的次数，则下列说法正确的有（   ） A．正面向上的次数是1012或1013 B．正面向上的频率可能等于0.48 C．正面向上的频率一定等于0.5 D．若正面向上的频率等于0.4，则硬币质量分布可能不均匀 知识点02 用频率估计概率 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 2.用频率估计概率的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率. 【即学即练2-1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【即学即练2-2】（多选）（25-26高一上·陕西渭南·期末）关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 题型01 频率的计算 【典例1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　） A．0.80 B．0.65 C．0.40 D．0.25 【典例1-2】（24-25高一上·四川成都·开学考试）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 【典例1-3】(多选)（2024·全国·模拟预测）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示： 班级 （1） （2） （3） 优秀率 80% 85% 75% 则下列说法一定正确的是（    ） A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高 B．（3）班的学生人数不一定最少 C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80% D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数 【典例1-4】（22-23高一下·湖南湘西·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有___人. 【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）某商户收集并整理了2023年1月到8月线上和线下收入（单位：万元）的数据，并绘制出如图所示的折线图，则下列结论错误的是（    ）    A．该商户这8个月中，收入最高的是7月 B．该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入 C．该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月 D．该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是 【变式1-2】（24-25高一下·贵州毕节·期中）某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 【变式1-3】（2023高一·全国·专题练习）容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 第三组的频数和频率分别是（    ） A．14和0.14 B．0.14和14 C．和0.14 D．和 【变式1-4】（24-25高二上·四川·期末）某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（   ） A．1000株 B．1200株 C．1500株 D．1800株 【变式1-5】(多选)（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8 B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7 C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次 D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次 【变式1-6】（22-23高三上·新疆阿克苏·期末）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有_________人． 题型02 用频率估计概率 【典例2-1】（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 【典例2-2】（24-25高一下·天津河西·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【典例2-3】(多选)（19-20高一上·辽宁葫芦岛·期末）中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-4】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 【变式2-1】（24-25高一下·贵州黔南·期末）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【变式2-2】（24-25高一下·广东潮州·期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【变式2-3】（25-26高一下·天津·期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（21-22高二下·吉林长春·期末）敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.例如对学生在大型考试中有过抄袭，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题.被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题；若抽到红球，则回答问题，且罐中只有白球和红球. 问题：你的生日是否在7月1日之前？（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为） 问题：你是否在大型考试中有过抄袭？ 已知一次实际调查中，罐中放有红球30个，白球20个，调查结束后共收到1583张有效答卷，其中有389张回答“是”，如果以频率替代概率，问该校该年级学生有过抄袭的概率是（    ）(四舍五入精确到0.01) A．0.06 B．0.07 C．0.08 D．0.09 【变式2-5】(多选)（25-26高一上·江西·期末）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【变式2-6】（24-25高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_________（精确到0.1）． 题型03 概率的应用 【典例3-1】（23-24高二上·上海·阶段检测）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25高二下·浙江·阶段检测）某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨或下跌（两种情况概率各）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略： 策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件； 策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为元）． 不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（   ） A．策略P B．策略Q C．平均总成本相同 D．需根据价格波动幅度判断 【典例3-3】(多选)（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法错误的有（    ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 【典例3-4】（2024高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是________. 【变式3-1】1．（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【变式3-2】（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 【变式3-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【变式3-4】（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【变式3-5】（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-6】（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 一、单选题 1.（23-24高一上·全国·课后作业）经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为，经调查，某市市场上的食用油大约有个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 3.（24-25高一下·河北邯郸·阶段检测）下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 4.（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 5.（21-22高二上·贵州黔南·阶段检测）下列四个命题中正确的是（    ） A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是 6.（20-21高三下·山西晋中·阶段检测）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则（    ） A．100 B．300 C．400 D．600 7.（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ）    A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时 D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时 8.（25-26高二上·江苏苏州·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 二、多选题 9.（21-22高一·湖南·课后作业）(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 10.（23-24高三上·湖南衡阳·阶段检测）高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（    ）    A．学生成绩众数估计为75分 B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分 C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01 D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13 11.（2025·河南信阳·模拟预测）若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面向上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面（1枚硬币可重复翻面），若经过次上述操作后，所有硬币均为反面向上，则的值可以为（   ） A．45 B．54 C．63 D．72 三、填空题 12.（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为______；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为______． 13.（20-21高一·全国·课后作业）李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示： 李明 张健 投中数 30 25 未中数 20 15 上表数据显示，李明投中的频数是 ____________ ；投中的频率是 ____________ ；张健投中的频数是 ____________，投中的频率是 ____________，两人中投中率更优秀的是 ____________ . 14.（22-23高二下·广东揭阳·期中）为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是__________. 四、解答题 15.（25-26高一上·重庆云阳·开学考试）“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 16.（25-26高一上·全国·单元测试）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 17.（22-23高二上·广东佛山·阶段检测）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位:枝，)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 18.（25-26高一上·北京·阶段检测）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 19.（24-25高一下·贵州安顺·期末）“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $