5.4 随机事件的独立性-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦随机事件的独立性核心知识点，系统梳理事件独立性的定义（P(A∩B)=P(A)P(B)）、性质（独立事件的对立事件也独立）及n个事件独立的推广公式，通过判断、计算、综合应用题型递进，结合古典概型构建从概念到应用的学习支架。 采用拓展融通的习题讲评式教学，以选学生、取球等实例引导学生用数学眼光观察现实，通过思维建模培养逻辑推理与运算能力的数学思维，针对训练强化数学语言表达。课中助力教师高效讲练，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

5.4　随机事件的独立性(教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学) [课时目标]　了解两个事件独立性的含义,结合古典概型,会利用事件的独立性计算概率. 1.事件的独立性 设A,B为两个事件,若P(A∩B)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称独立. 2.独立事件的概率公式 若事件A,B独立,则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B). 3.相互独立事件的性质 若事件A,B相互独立,则A与;与B,与也独立. 4.推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2,n∈N+)个事件的相互独立性,即若事件A1,A2,…,An相互独立,则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 题型(一)　相互独立事件的判断 [例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”. 解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件. (2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件. |思|维|建|模|　相互独立事件与互斥事件的关系 A,B关系 概率记法 A,B互斥 A,B相互独立 至少 一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P() 同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B) 都不发生 P( ) 1-[P(A) +P(B)] P()P() 恰有 一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) P(A)P()+ P()P(B) 至多 一个发生 P(B+A + ) 1 1-P(A)P(B) 　　[针对训练] 1.判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件. (1)掷一枚骰子一次,事件M：“出现的点数为奇数”;事件N：“出现的点数为偶数”. (2)掷一枚骰子一次,事件A：“出现偶数点”;事件B：“出现3点或6点”. 解：(1)∵二者不可能同时发生,∴M与N是互斥事件. (2)样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6}, ∴P(A)==,P(B)==,P(AB)==×,即P(AB)=P(A)P(B).故事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B可以同时发生,因此,A,B不是互斥事件. 题型(二)　相互独立事件概率的计算 [例2]　甲、乙两位队员进行棒球对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜,则对抗赛结束.不论谁发球,每个球必有输赢.已知甲发球时甲赢的概率为,乙发球时乙赢的概率为,每次发球的结果互不影响,已知某局甲先发球. (1)求该局至多打4个球且甲赢的概率; (2)求该局恰好打6个球结束的概率. 解：(1)该局至多打4个球且甲赢的情况有3种,甲赢前2个球;甲输第1个球再连赢球;甲赢第1个球输第2个球再连赢2个球. 故该局至多打4个球且甲赢的概率为×+××+×××=. (2)若甲胜,则甲在6个球的胜负情形为胜负胜负胜胜,则甲胜的概率P1=×××××=. 若乙胜,则甲在6个球的胜负情形为负胜负胜负负,则乙胜的概率P2=×××××=. 所以该局恰好打6个球结束的概率P=P1+P2=+=. |思|维|建|模| (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤： ①首先确定各事件之间是相互独立的; ②确定这些事件可以同时发生; ③求出每个事件的概率,再求积. (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们同时发生. 　　[针对训练] 2.某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队,要求选拔过程分前后两次进行,当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔,两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平,第一次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4;第二次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6,0.5,0.5. (1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率; (2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后,恰有一人合格的概率. 解：(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1,B1,设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格, 则P(E)=P(A1)=0.5×0.4=0.2. (2)分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A,B,C,事件F表示经过前后两次选拔后,恰有一人合格,则P(A)=0.5×0.6=0.3,P(B)=0.6×0.5=0.3,P(C)=0.4×0.5=0.2,所以P(F)=P(A　)+P(B)+P(　C)=0.3×0.7×0.8+0.7×0.3×0.8+0.7×0.7×0.2=0.434. 题型(三)　相互独立事件概率的综合应用 [例3]　为了庆祝“五四”青年节,某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛,由甲、乙两队参与竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且两队各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率; (2)求甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率. 解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B, 甲队得3分,即三人都回答正确,其概率为P(A)=××=. 甲队得1分,即三人中只有1人回答正确,其余两人回答错误, 其概率为P(B)=××+××+××=. 故甲队总得分为3分与1分的概率分别为,. (2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D, 事件C即甲队有2人答对,其余1人答错, 则P(C)=××+××+××=. 事件D即乙队只有1人答对,其余2人答错, 则P(D)=××+××+××=. 由题得事件C与事件D相互独立, 所以甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率为P(CD)=P(C)P(D)=×=. |思|维|建|模| 求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示. (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率. 　　[针对训练] 3.某停车场临时停车按停车时长收费,收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费,超过半小时的部分每小时收费3元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人在该停车场临时停车,两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时. (1)若甲停车的时长在不超过半小时,半小时以上且不超过1.5小时,1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同,乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同,求甲、乙两人停车付费之和为6元的概率; (2)若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为,,停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为,,求甲、乙两人临时停车付费不相同的概率. 解：(1)设甲停车付费a元,乙停车付费b元,其中a,b∈{0,3,6}. 所以甲、乙两人停车付费(a,b)的所有可能情况为(0,0),(0,3),(0,6),(3,0),(3,3),(3,6),(6,0),(6,3),(6,6),共9种. 其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”包含(0,6),(3,3),(6,0),共3种情况, 故甲、乙两人停车付费之和为6元的概率为=. (2)设甲停车的时长不超过半小时、乙停车的时长不超过半小时分别为事件A1,B1, 甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件A2,B2, 甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时、乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件A3,B3, 则P(A1)=1-P(A2)-P(A3)=1--=,P(B1)=1-P(B2)-P(B3)=1--=, 所以甲、乙两人临时停车付费相同的概率为P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=×+×+×=. 所以甲、乙两人临时停车付费不相同的概率为1-=. 学科网（北京）股份有限公司 $