专题5-1 随机事件与样本空间（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

本讲义聚焦随机事件与样本空间核心知识点，系统梳理必然事件、随机事件、不可能事件的概念，构建样本点与样本空间的认知框架，进而深入讲解事件的包含、相等、并、交、互斥、对立等关系与运算，形成从基础概念到逻辑应用的学习支架。 该资料通过“即学即练”“典例分析”“变式训练”构建梯度化学习路径，结合掷骰子、摸球等现实情境，引导学生用数学眼光观察随机现象，用数学思维推理事件关系，用数学语言精确描述样本空间与事件运算。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

5-1 随机事件与样本空间 讲义 教学目标 理解随机事件、必然事件和不可能事件的含义，理解样本点与样本空间概念，掌握事件的关系与运算. 教学重点 随机事件，样本空间概念，事件的关系与运算. 教学难点 互斥事件、对立事件，事件的并（和）、交（积）. 知识点01 随机事件与样本空间 （一）事件 1.三类事件：必然事件、随机事件、不可能事件. 2. 随机事件的条件： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)所有可能结果是明确可知的，且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个。 （二）样本点与样本空间 样本点：随机事件中每种可能的结果. 如：1, 2, 3, 4, ，，. 样本空间：所有样本点构成的集合. 如：，. （三）样本空间与事件 必然事件：一定会发生的事件，本身； 随机事件：样本空间的子集. 不可能事件：一定不会发生的事件，. （四）易错点： (1)样本空间要写完整，不能遗漏任何可能的结果； (2)注意区分样本点和样本空间，样本点是元素，样本空间是集合； (3)在涉及"有序"还是"无序"时要注意区别。 【即学即练1-1】（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练1-2】(多选)（19-20高一下·全国·课后作业）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（    ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有5个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 知识点02 事件的关系及运算 1.包含关系：事件发生则事件一定发生. 符号：. 2.相等关系：且. 符号：. 3.并事件（和事件）：事件与事件至少有一个发生. 符号：. 4.交事件（积事件）：事件与事件同时发生. 符号：（或）. 5.互斥事件：事件与事件不能同时发生. 符号：. 6.对立事件：且 符号：.即与互补. 【即学即练2-1】（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【即学即练2-2】(多选)（23-24高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 题型01 事件的判断 【典例1-1】（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【典例1-2】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【典例1-3】(多选)（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【典例1-4】（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列四个命题，其中正确的命题有__________. ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件 ③“明天竹山要下雨”是必然事件 ④“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【变式1-1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【变式1-2】（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【变式1-4】（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【变式1-5】(多选)（24-25高一下·全国·课后作业）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【变式1-6】（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①集合为空集是必然事件；②是奇函数，则是随机事件； ③若，则是必然事件；④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是____________． 题型02 样本空间 【典例2-1】（23-24高一上·全国·课后作业）某校高二年级的学生要从音乐、美术、体育三门课程中任选两门学习，则所有可能的结果共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例2-2】（22-23高一·全国·课后作业）掷两个面上分别记有数字至的正方体玩具，设事件为“点数之和恰好为”，则中基本事件个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【典例2-3】(多选)（25-26高一上·全国·课后作业）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，则（   ） A．表示的基本事件是“甲是1点，乙是0点”或“甲是0点，乙是1点” B．表示的基本事件是“两颗都是1点” C．表示的基本事件是“甲是2点，乙是1点”或“甲是1点，乙是2点” D．表示的基本事件是“甲是3点，乙是1点”或“甲是1点，乙是3点”或“两颗都是2点” 【典例2-4】（21-22高一·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点有______个． 【变式2-1】（20-21高一·全国·课后作业）集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（    ） A．8 B．9 C．12 D．11 【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课后作业）将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【变式2-4】（23-24高一上·全国·课后作业）一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有（　　） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【变式2-5】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-6】（25-26高一下·全国·课后作业）先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 题型03 互斥事件与对立事件 【典例3-1】（23-24高一下·贵州毕节·期末）掷一颗质地均匀的骰子，下列事件中与事件“向上的点数不超过3”互为对立的是（    ） A．向上的点数小于3 B．向上的点数大于3 C．向上的点数至少为3 D．向上的点数为3 【典例3-2】（24-25高一下·广西柳州·期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生 B．至少有1名男生与全是女生 C．恰有1名男生与恰有2名男生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 【典例3-3】(多选)（2024高一下·全国·专题练习）从刚生产的一批产品（既有正品也有次品）中取出3件产品，设{3件产品全不是次品}，{3件产品全是次品}，{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是（　　） A．A与B互斥 B．A与C互斥 C．A与B对立 D．B与C对立 【典例3-4】（22-23高一下·浙江宁波·期末）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： ①和是互斥事件但不是对立事件；    ②和是互斥事件也是对立事件； ③；    ④. 其中，正确结论的序号是______.（请把你认为正确结论的序号都写上） 【变式3-1】（24-25高一下·河南·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于4”，“点数大于3且小于6”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【变式3-2】（25-26高一上·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【变式3-3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-4】（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【变式3-5】(多选)（2024高一下·全国·专题练习）从1，2，3，，9中任取两个数，其中不是对立事件的是（   ） A．恰有一个偶数和恰有一个奇数 B．至少有一个偶数和两个都是偶数 C．至少有一个奇数和两个都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 【变式3-6】（24-25高一下·全国·课后作业）给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是__________． 题型04 事件的运算 【典例4-1】（24-25高一下·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025高一·全国·专题练习）打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【典例4-3】(多选)（23-24高一上·全国·课后作业）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（  ） A． B．是必然事件 C． D． 【典例4-4】（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 【变式4-1】（21-22高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（20-21高一·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【变式4-3】（24-25高一下·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（    ） A． B．出现的点数为6 C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 【变式4-4】（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【变式4-5】(多选)（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（    ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【变式4-6】（23-24高一上·全国·课后作业）掷一枚骰子，下列事件：掷出奇数点， 掷出偶数点， 点数小于 .则①________；②_________. 一、单选题 1.（23-24高一下·广西河池·期末）某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，是（    ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 2.（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 3.（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 4.（25-26高一上·全国·单元测试）如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 5.（24-25高一下·河北唐山·期末）某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生 C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生 6.（25-26高一上·辽宁丹东·期末）某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（   ） A．“至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B．“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C．“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D．“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 7.（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 8.（20-21高一下·陕西渭南·期末）从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（    ） A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立 二、多选题 9.（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题，正确的是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 10.（25-26高一上·江西南昌·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11.（21-22高一下·贵州贵阳·期末）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12.（25-26高一下·全国·课后作业）一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有____________组. 13.（2024高一下·全国·专题练习）法国的数学家皮耶·德·费马曾留下一个猜想：当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解．该定理被称为费马大定理．现任取，则根据费马大定理可得事件“等式成立”包含的样本点的个数为________． 14.（25-26高一下·全国·课后作业）在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点；出现的点数不大于1；出现的点数小于；出现奇数点；出现偶数点.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________. 四、解答题 15.（24-25高一下·全国·课堂例题）在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：｛出现1点｝，｛出现3点或4点｝，｛出现的点数是奇数｝，｛出现的点数是偶数｝．用事件｛出现的点数为i｝（其中）表示下列事件： (1)；(2)． 16.（25-26高一下·全国·课堂例题）袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．分别写出下面试验的样本空间，并指出样本点的总数． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先后各取一个球． 17.（2026高一·全国·专题练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}．问： (1)事件与是什么样的关系？ (2)事件与的交事件是什么事件？ (3)设事件{3个红球}，事件{3个球中至少有1个白球}，那么事件与是什么关系？与的交事件是什么？ 18.（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列试验的样本空间： (1)：连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数； (2)：袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况； (3)：连续射击一个目标直到命中为止，观察射击的总次数． 19.（24-25高一下·全国·课后作业）从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系： (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-1随机事件与样本空间讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01事件的判断 5-1随机事件与样本空间 知识点01随机事件与样本空间 题型02样本空间 题型03互斥事件与对立事件 题型04事件的运算 知识点02事件的关系及运算 教学目标、教学重难点 理解随机事件、必然事件和不可能事件的含义，理解样本点与样本空间概念，掌握事件 教学目标 的关系与运算。 教学重点 随机事件，样本空间概念，事件的关系与运算， 教学难点 互斥事件、对立事件，事件的并（和）、交（积）· 知识清单 知识点01随机事件与样本空间 (一)事件 1.三类事件：必然事件、随机事件、不可能事件 2.随机事件的条件： (1)试验可以在相同条件下重复进行： (2)所有可能结果是明确可知的，且不止一个： (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个。 (二)样本点与样本空间 样本点：随机事件中每种可能的结果 如：1,2,3,4，a,b,c 样本空间：所有样本点构成的集合. 如：2={1,2,3,4，{a,b,c}. (三)样本空间Ω与事件 必然事件：一定会发生的事件，2本身： 随机事件：样本空间的子集 不可能事件：一定不会发生的事件，2=Φ. (四)易错点： (1)样本空间要写完整，不能遗漏任何可能的结果： (2)注意区分样本点和样本空间，样本点是元素，样本空间是集合： 第1页共12页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在涉及"有序"还是"无序"时要注意区别。 【即学即练1-1】(25-26高一下·全国·单元测试)下列事件中，随机事件的个数是() ①过马路时，恰好遇到红灯：②短跑运动员1s跑完100m;③任意三条线段，组成三角形；④若x∈R, 则x2≥0. A.1 B.2 C.3 D.4 【即学即练1-2】（多选）(19-20高一下·全国·课后作业)在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数 中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是() A.样本空间中共有10个样本点 B.事件A中有5个样本点 C.样本点6在事件A内 D.事件A中包含样本点11 知识点02事件的关系及运算 1.包含关系：事件A发生则事件B一定发生 符号：A∈B 2.相等关系：ASB且BSA. 符号：A=B. 3.并事件（和事件）：事件A与事件B至少有一个发生. 符号：AUB 4.交事件（积事件）：事件A与事件B同时发生. 符号：A∩B(或AB) 5.互斥事件：事件A与事件B不能同时发生， 符号：A∩B=①. 6.对立事件：AUB=2且A∩B=①， 符号：B=A.即A与B互补. 【即学即练2-1】(24-25高一上·安徽准北期末)掷两枚骰子，设事件A={两骰子出现点数之和为奇数}， B=两骰子出现点数之和为偶数)，则() A.事件A和事件B是互斥但不对立事件 B.AUB=0 C.事件A和事件B是对立事件 D.以上均不对 【即学即练2-2】（多选）(23-24高一下.四川达州期末)如图，一个电路中有A,B,C,D四个电器元件，每个 元件可能正常，也可能失效.记M=“电路是通路”，W=“电路是断路”，S=“至少三个元件正常”，T=“恰有 三个元件正常”，则() BD A.M与N互斥，但不对立 B.S与T互斥，但不对立 第2页共12页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.T∈M D.N=5 题型精讲 题型01事件的判断 【典例1-1】(25-26高一上河北邯郸开学考试)在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的 5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是() A.摸出的是3个白球 B.摸出的是3个黑球 C.摸出的球中至少有1个是黑球 D.摸出的是2个白球、1个黑球 【典例1-2】(24-25高一下·安徽六安期末)给出下列四个命题，其中正确命题的序号是() ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件： ②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件： ③“明天上海要下雨"是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. A.①②③ B.②③④ c.①②④ D.①③④ 【典例1-3】（多选）(25-26高一上内蒙古呼和浩特期末)给出关于满足AB的非空集合A,B的四个命题， 其中正确的命题是() A.若任取x∈A,则x∈B是必然事件 B.若任取x度A,则x∈B是不可能事件 C.若任取x∈B,则x∈A是随机事件 D.若任取x庄B,则x庄A是必然事件 【典例1-4】(25-26高一下.全国·课堂例题)给出下列四个命题，其中正确的命题有」 ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使x2<0"是不可能事件 ③“明天竹山要下雨”是必然事件 ④“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【变式1-1】(2025高一上·全国.专题练习)下列现象是必然现象的是() A.走到十字路口遇到红灯 B.冰水混合物的温度是1℃ C.三角形的内角和为180° D.一个射击运动员每次射击都命中7环 【变式1-2】（24-25高一下.全国·周测)下列事件中，随机事件的个数是() ①2020年8月18日，北京市不下雨： ②在标准大气压下，水在4℃时结冰： ③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签： 第3页共12页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④向量的模不小于0. A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1-3】（23-24高一下.云南玉溪期末)下面的事件：①实数的绝对值大于等于0：②车辆到达十字路 口，遇到红灯：③当a>0时，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解，其中是必然事件的有() A.① B.② c.③ D.①② 【变式1-4】(24-25高一下.全国·期末)以下事件是随机事件的是() A.下雨屋项湿 B.秋后柳叶黄 C.有水就有鱼 D.水结冰体积变大 【变式1-5】（多选）(24-25高一下·全国课后作业)下列事件是随机事件的是() A.明天是阴天 B.方程x2+2x+5=0有两个不相等的实数根 C.明年长江武汉段的最高水位是29.8m D.一个三角形的大边对小角，小边对大角 【变式1-6】（25-26高一下.全国·课后作业)给出下列四个命题： ①集合{xx|<0}为空集是必然事件：②y=f(x)是奇函数，则f(O)=0是随机事件： ③若1oga(x-1)>0,则x>1是必然事件：④对顶角不相等是不可能事件. 其中正确命题是 题型02样本空间 【典例2-1】（23-24高一上·全国·课后作业)某校高二年级的学生要从音乐、美术、体育三门课程中任选两 门学习，则所有可能的结果共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【典例2-2】(22-23高一全国课后作业)掷两个面上分别记有数字1至6的正方体玩具，设事件A为“点数 之和恰好为6”，则A中基本事件个数为() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【典例2-3】（多选）(25-26高一上·全国课后作业)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X,则() A.X=1表示的基本事件是“甲是1点，乙是0点"或“甲是0点，乙是1点” B.X=2表示的基本事件是“两颗都是1点” C.X=3表示的基本事件是“甲是2点，乙是1点"或“甲是1点，乙是2点” D.X=4表示的基本事件是“甲是3点，乙是1点"”或“甲是1点，乙是3点”或“两颗都是2点” 【典例2-4】（21-22高一.全国课后作业)从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的 和大于4"包含的样本点有个. 第4页共12页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】（20-21高一全国课后作业)集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数，构 成一个两位数，则所有样本点的个数为() A.8 B.9 C.12 D.11 【变式2-2】(2025高一全国.专题练习)先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情 况，则下列事件包含3个样本点的是( A.“至少一枚硬币正面向上” B.“只有一枚硬币正面向上” C.“两枚硬币都是正面向上” D.“两枚硬币都是反面向上” 【变式2-3】(25-26高一下·全国课后作业)将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b,c,则 方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为() A.18 B.19 C.20 D.21 【变式2-4】（23-24高一上·全国课后作业)一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放 次序共有() A.3种 B.4种 C.6种 D.12种 【变式2-5】(24-25高一下·全国课后作业)试验E:“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情 况”，则该试验的样本空间为() A.{10,11,…,99} B.{1,2,,18} C.{0,1,…,18} D.1,2,,10} 【变式2-6】(25-26高一下·全国·课后作业)先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面 的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上 B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为 题型03互斥事件与对立事件 【典例3-1】(23-24高一下·贵州毕节，期末)掷一颗质地均匀的骰子，下列事件中与事件“向上的点数不超过 3”互为对立的是() A.向上的点数小于3B.向上的点数大于3C.向上的点数至少为3D.向上的点数为3 【典例3-2】（24-25高一下·广西柳州·期末)某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网 球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是() 第5页共12页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.至少有1名男生与全是男生 B.至少有1名男生与全是女生 C.恰有1名男生与恰有2名男生 D.至少有1名男生与至少有1名女生 【典例3-3】（多选）(2024高一下全国.专题练习)从刚生产的一批产品（既有正品也有次品）中取出3件 产品，设A=3件产品全不是次品}，B=3件产品全是次品}，C={3件产品不全是次品}，则下列结论正确 的是() A.A与B互斥 B.A与C互斥C.A与B对立D.B与C对立 【典例34】（22-23高一下·浙江宁波·期末)据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七 门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目某同学己经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技 术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件E=“选择生物学 科”，F=“选择一门理科学科”，G=“选择政治学科”，H=“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： ①G和H是互斥事件但不是对立事件：②F和H是互斥事件也是对立事件： ③P(F)+P(G)=1;④P(EUH)=P(E)+P(H. 其中，正确结论的序号是·（请把你认为正确结论的序号都写上） 【变式31】(24-25高一下·河南·期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数不大于4”，B=“点数大 于3且小于6”，C=“点数是3的倍数”，D=“点数为奇数”，E=“点数为偶数”，则() A.A,B为互斥事件B.B,C为对立事件C.C,D为互斥事件D.D,E为对立事件 【变式32】(25-26高一上·安徽·期末)连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现 正面"的对立事件是() A.有3次或4次出现反面 B.只有3次出现反面 C.有3次或4次出现正面 D.只有1次出现正面 【变式33】(25-26高一上贵州遵义·期末)一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和 2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件A=“两次都摸到红球”，事件 B=“两次都摸到白球”，事件C=“两次摸到的小球颜色不同”，事件D=“两次摸到的小球颜色相同”，则下列 事件互为对立事件的是() A.A与B B.A与C C.B与C D.C与D 【变式34】(25-26高一下·全国单元测试)至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是() A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【变式35】（多选）(2024高一下.全国.专题练习)从1,2,3，…，9中任取两个数，其中不是对立事件的 第6页共12页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是() A.恰有一个偶数和恰有一个奇数 B.至少有一个偶数和两个都是偶数 C.至少有一个奇数和两个都是偶数 D.至少有一个奇数和至少有一个偶数 【变式36】(24-25高一下·全国课后作业)给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A:“二 次都出现正面”，事件B:“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A 与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A:“所取3件中最多有2 件是次品”，事件B:“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数 是 题型04事件的运算 【典例41】(24-25高一下·天津期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件M=“点 数大于4”，事件N=“点数为偶数”，则事件“点数为6可以表示为() A.M=N B.MCN C.MUN D.MON 【典例42】(2025高一全国.专题练习)打靶3次，事件A表示“共击中i发”"，其中i=0,1,2,3,那么A2UA3 表示() A.“全部击中” B.“至少击中1次” C.“至多脱靶2次” D.“至少击中2次” 【典例43】（多选）(23-24高一上·全国·课后作业)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品. 从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A:恰有1件次品；事件B:至少有2件次品；事 件C:至少有1件次品：事件D:至多有1件次品，以下结论正确的是() A.AUB=C B.DUB是必然事件 C.AUB=B D.AUD=C 【典例44】（2026高一，全国.专题练习)打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i=0,1,2,3,则“至少有一次击 中"这一事件用事件的交、并运算应表示为 【变式41】(21-22高一·全国单元测试)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设 A={2名全是男生，B={2名全是女生}，C={恰有一名男生}，D={至少有一名男生)，则下列关系不正确的 是() A.A∈D B.BnD-0 C.AUC=D D.AUB=BUD 【变式42】（20-21高一全国课后作业)从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和 大于4"为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则A+B和AB包含的样本点数分别为() A.1,6 B.4,2 C.5,1 D.6,1 第7页共12页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式43】（24-25高一下·全国·随堂练习)掷一枚骰子，设事件A=出现的点数不小于5}，B={出现的 点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是() A.A∈B B.A∩B={出现的点数为6) C.事件A与B互斥 D.事件A与B是对立事件 【变式44】(23-24高一下山西大同期末)打靶3次，事件A表示“击中i发”，其中i=0,1,2,3.那么事 件A=A:UA2UA3表示() A.全部击中 B.至少击中1发C.都未击中 D.击中3发 【变式45】（多选）(23-24高一上·安徽毫州期末)中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西 南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼.记事件E=“只去黄鹤楼”，事件F=“至少去两个名楼”， 事件G=“只去一个名楼”，事件H=“一个名楼也不去”，事件l=“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是() A.E与H是互斥事件 B.F与I是互斥事件，且是对立事件 C.I=GUH D.E=G∩I 【变式46】(23-24高一上全国课后作业)掷一枚骰子，下列事件：A=掷出奇数点}，B=掷出偶数点}， C={点数小于3).则①BC=;②A+B= 强化训练 一、单选题 1.(23-24高一下·广西河池期末)某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的50种饮料 中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查.在这个问题中，30是() A.总体 B.个体 C.样本 D.样本量 2.(24-25高一上安徽蚌埠期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点 数不小于3”，C=“点数大于4”，D=“点数为奇数”，E=“点数为偶数”，下列结论正确的是() A.A,B为互斥事件 B.B,C为对立事件 C.C,D为互斥事件 D.D,E为对立事件 3.(24-25高一下·全国·课后作业)将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a,b,设事件M 为“"方程ax2+bx+1=0(a>0)有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为() A.6 B.17 C.19 D.21 4.(25-26高一上全国.单元测试)如果事件A,B互斥，且事件C,D分别是A,B的对立事件，那么() A.AUB是必然事件 B.CUD是必然事件 第8页共12页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.C与D一定互斥 D.C与D一定不互斥 5.（24-25高一下河北唐山期末)某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列 选项中是互斥而不对立的两个事件的是() A.至少有1名男生和至少有1名女生 B.至少有1名男生和全是男生 C.至少有1名男生和全是女生 D.恰有1名男生和恰有2名男生 6.（25-26高一上辽宁丹东期末)某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立 的是() A.“至少有一粒种子发芽"与“至多有一粒种子发芽” B.“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C.“三粒种子都发芽"”与“至少有一粒种子发芽” D.“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 7.（2324高一下·陕西西安期末)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、 西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是() A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.非互斥事件 D.以上都不对 8.(20-21高一下·陕西渭南·期末)从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件 产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中 不正确的是() A.A与C互斥 B.B与C互斥 C.A、B、C两两互斥 D.A与B对立 二、多选题 9.(25-26高一下，全国课后作业)（多选题）已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A,B的四个命 题，正确的是() A.若任取x∈A,则x∈B是必然事件 B.若任取x庄A,则x∈B是不可能事件 C.若任取x∈B,则x∈A是随机事件 D.若任取x庄B,则x庄A是必然事件 10.(25-26高一上·江西南昌·期末)一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球)，记事件A=“两次都摸到红球”，事件B=“两次 都摸到白球”，事件C=“两次摸到的小球颜色不同”，事件D=“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为 互斥且不对立事件的是() A.A与B B.A与C C.B与C D.C与D 第9页共12页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.（21-22高一下贵州贵阳·期末)抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：D1=“点数大于2”，D2=“点 数不大于2”，D3=“点数大于3”，D4=“点数为4”，则下列结论正确的是（) A.D3∈D1 B.D4∈D3 C.D1UD3=D3 D.Di0D2=0 三、填空题 12.（25-26高一下·全国·课后作业)一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1 件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”： ④“至少有1件次品”和“都是正品”其中互斥事件有 组 13.(2024高一下.全国.专题练习)法国的数学家皮耶德.费马曾留下一个猜想：当整数n>2时，关于x,y, z的方程x”+y”+z”=1没有正整数解.该定理被称为费马大定理.现任取x,y,z,n∈{1,2,3,4,5}，则根据费 马大定理可得事件“等式x”+y”=z”成立"包含的样本点的个数为 14.（25-26高一下.全国课后作业)在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：A={出现1点：B={出现2 点}：C={出现3点)：D={出现4点}：E={出现5点}；F={出现6点；G={出现的点数不大于1： H={出现的点数小于5：I=出现奇数点J=出现偶数点)请根据这些事件，判断下列事件的关系：(1) B H;(2)D J:(3)E 1:(4)A G 四、解答题 15.（24-25高一下.全国课堂例题)在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A={出 现1点}，B={出现3点或4点)，C={出现的点数是奇数}，D={出现的点数是偶数}.用事件A:={出 现的点数为i}(其中i=1,2,,6)表示下列事件： (1)BUD;(2)C UD. 第10页共12页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26高一下·全国课堂例题)袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分 别进行试验.分别写出下面试验的样本空间，并指出样本点的总数 (1)从中任取一个球： (2)从中任取两个球： (3)先后各取一个球 17.(2026高一全国.专题练习)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有 1个红球2个白球，事件B={3个球中有2个红球1个白球，事件C={3个球中至少有1个红球)，事件D=3 个球中既有红球又有白球).问： (1)事件D与A,B是什么样的关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ (3)设事件E={3个红球}，事件F=3个球中至少有1个白球，那么事件C与B,E是什么关系？C与F的交事件 是什么？ 第11页共12页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(24-25高一上.全国课后作业)写出下列试验的样本空间： (1)E5:连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数： (2)E6:袋中有白球3个（编号为1,2,3）、黑球2个（编号为1,2），这5个球除颜色外完全相同，从中 不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况： (3)E,:连续射击一个目标直到命中为止，观察射击的总次数. 19.(24-25高一下·全国课后作业)从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2 个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系： (1)至少有1个白球，都是白球： (2)至少有1个白球，至少有一个红球： (3)至少有一个白球，都是红球. 第12页共12页函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5-1随机事件与样本空间讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01事件的判断 5-1随机事件与样本空间 知识点01随机事件与样本空间 题型02样本空间 题型03互斥事件与对立事件 题型04事件的运算 知识点02事件的关系及运算 教学目标、教学重难点 理解随机事件、必然事件和不可能事件的含义，理解样本点与样本空间概念，掌握事件 教学目标 的关系与运算。 教学重点 随机事件，样本空间概念，事件的关系与运算， 教学难点 互斥事件、对立事件，事件的并（和）、交（积）· 知识清单 知识点01随机事件与样本空间 (一)事件 1.三类事件：必然事件、随机事件、不可能事件 2.随机事件的条件： (1)试验可以在相同条件下重复进行： (2)所有可能结果是明确可知的，且不止一个： (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个。 (二)样本点与样本空间 样本点：随机事件中每种可能的结果 如：1,2,3,4，a,b,c 样本空间：所有样本点构成的集合. 如：2={1,2,3,4，{a,b,c}. (三)样本空间Ω与事件 必然事件：一定会发生的事件，2本身： 随机事件：样本空间的子集 不可能事件：一定不会发生的事件，2=Φ. (四)易错点： (1)样本空间要写完整，不能遗漏任何可能的结果： (2)注意区分样本点和样本空间，样本点是元素，样本空间是集合： 第1页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在涉及"有序"还是"无序"时要注意区别。 【即学即练1-1】(25-26高一下·全国·单元测试)下列事件中，随机事件的个数是() ①过马路时，恰好遇到红灯：②短跑运动员1s跑完100m;③任意三条线段，组成三角形；④若x∈R, 则x2≥0. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断】 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件. 故选：B 【即学即练1-2】（多选）(19-20高一下，全国课后作业)在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数 中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是() A.样本空间中共有10个样本点 B.事件A中有5个样本点 C.样本点6在事件A内 D.事件A中包含样本点11 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】根据随机事件概念依次判断即可。 【详解】样本空间中共有11个样本点，故A错误； 事件A中有5个样本点，包括样本点6，故BC正确： 样本点中没有11，故D错误。 故选：BC 知识点02事件的关系及运算 1.包含关系：事件A发生则事件B一定发生 符号：A∈B. 2.相等关系：ASB且B≤A. 符号：A=B, 3.并事件（和事件）：事件A与事件B至少有一个发生， 符号：AUB 4.交事件（积事件）：事件A与事件B同时发生. 符号：A∩B(或AB) 5.互斥事件：事件A与事件B不能同时发生， 符号：AnB=①. 6.对立事件：AUB=2且A∩B=D. 符号：B=A即A与B互补 第2页共27页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练2-1】(24-25高一上·安徽准北期末)掷两枚骰子，设事件A=两骰子出现点数之和为奇数}， B=两骰子出现点数之和为偶数}，则() A.事件A和事件B是互斥但不对立事件 B.AUB=0 C.事件A和事件B是对立事件 D.以上均不对 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件A和事件B互斥且对立，所以A错误，C正确， 又AUB=n(必然事件)，所以B错误 【即学即练2-2】（多选）（23-24高一下四川川达州期末)如图，一个电路中有A,B,C,D四个电器元件，每个 元件可能正常，也可能失效.记M=“电路是通路”，N=“电路是断路”，S=“至少三个元件正常”，T=“恰有 三个元件正常”，则() B☑ A.M与N互斥，但不对立 B.5与T互斥，但不对立 C.T∈M D.N=5 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系 【分析】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A,B:分析T,M的关联，判断选项C: 分析N,S的关联判断选项D」 【详解】选项A:~电路不可能同时通路和断路，故M∩N=O,互斥成立： 全集是所有元件状态组合，MUN覆盖了通路和断路所有情况，故M,N是对立事件，故A错误； 选项B:S表示至多两个元件正常，T表示恰有三个元件正常， “5nT=0,互斥成立，UT仅覆盖正常数0,1,2,3，未包含 “四个元件都正常”，故5，T不对立，故B正确： 选项C:恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即M必然发生， ∴T∈M,故C正确： 选项D:N=“电路是断路”，，S表示至多两个元件正常， 若A,C正常，B,D失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故S发生时N不一定发生，故D错误. 故选：BC 第3页共27页 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01事件的判断 【典例1-1】(25-26高一上河北邯郸开学考试)在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的 5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是() A.摸出的是3个白球 B.摸出的是3个黑球 C.摸出的球中至少有1个是黑球 D.摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答， 【详解】A摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意： B摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意： C摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意， 故选：C 【典例1-2】（24-25高一下·安徽六安·期末)给出下列四个命题，其中正确命题的序号是() ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球"”是必然事件： ②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件： ③“明天上海要下雨”是必然事件： ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品"是随机事件. A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球"是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品"是随机事件，所以④正确. 故选：C 【典例1-3】（多选）(25-26高一上内蒙古呼和浩特期末)给出关于满足AB的非空集合A,B的四个命题， 其中正确的命题是() A.若任取xEA,则x∈B是必然事件 B.若任取x使A,则x∈B是不可能事件 C.若任取x∈B,则x∈A是随机事件 D.若任取x庄B,则x庄A是必然事件 第4页共27页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的包含关系 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【详解】对于A:因为AB,x∈A,所以x∈B,因此若任取xEA,则x∈B是必然事件，真命题： 对于B:因为AB,显然存在一个元素在集合B中，不在集合A中， 因此若任取x使A,则x∈B是随机事件，假命题： 对于C:因为AB,任取x∈B,xEA有可能成立，也可能不成立， 因此任取x∈B,则x∈A是随机事件，真命题； 对于D:因为AB,x度B,所以一定有x度A,显然任取xEB,则x度A是必然事件，真命题. 故选：ACD 【典例1-4】（25-26高一下，全国·课堂例题)给出下列四个命题，其中正确的命题有」 ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②"当x为某一实数时可使x2<0"是不可能事件 ③“明天竹山要下雨”是必然事件 ④“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【答案】①②④ 【难度】0.85 【知识点】判断事件是否是随机事件 【详解】①，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一 个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，故①正确： ②，对任意实数x,有x2≥0，故②正确： ③，下雨是随机事件，故③错误： ④，从100个灯泡中取出5个，5个可能全部是次品，也可能不全是次品，是随机事件，故④正确. 【变式1-1】(2025高一上全国·专题练习)下列现象是必然现象的是() A.走到十字路口遇到红灯 B.冰水混合物的温度是1℃ C.三角形的内角和为180° D.一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件、随机现象 【分析】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可. 【详解】选项A,十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象： 选项B,标准大气压下，冰水混合物的温度是0℃，事件冰水混合物的温度是1℃不是必然现象： 选项C,三角形的内角和为180°，这个事件为必然现象； 第5页共27页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 选项D,一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象. 故选：C 【变式1-2】(24-25高一下·全国·周测)下列事件中，随机事件的个数是() ①2020年8月18日，北京市不下雨： ②在标准大气压下，水在4℃时结冰： ③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签： ④向量的模不小于0. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即可. 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件. 故选：B 【变式1-3】(23-24高一下云南玉溪·期末)下面的事件：①实数的绝对值大于等于0：②车辆到达十字路 口，遇到红灯；③当a>0时，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解，其中是必然事件的有() A.① B.② c.③ D.①② 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义得到答案 【详解】①是必然事件：②是随机事件： ③a>0时，x2+a=0→x2=-a<0,无解，故③是不可能事件. 故选：A. 【变式1-4】(24-25高一下.全国·期末)以下事件是随机事件的是() A.下雨屋项湿 B.秋后柳叶黄 C.有水就有鱼 D.水结冰体积变大 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】利用随机事件的定义求解即可. 【详解】由题意得A,B,D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确。 故选：C 【变式1-5】（多选）(24-25高一下.全国·课后作业)下列事件是随机事件的是() A.明天是阴天 B.方程x2+2x+5=0有两个不相等的实数根 第6页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.明年长江武汉段的最高水位是29.8m D.一个三角形的大边对小角，小边对大角 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件的定义分别判断即可. 【详解】对于A,明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意： 对于B,方程的判别式△=22-4×5=一16<0，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合 题意： 对于C,明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意： 对于D,根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合 题意； 故选：AC. 【变式1-6】(25-26高一下.全国课后作业)给出下列四个命题： ①集合xx<0)为空集是必然事件；②y=f(x)是奇函数，则f(O)=0是随机事件； ③若1og(x-1)>0,则x>1是必然事件：④对顶角不相等是不可能事件. 其中正确命题是 【答案】①②③④ 【难度】0.75 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】由随机事件、不可能事件及必然事件的概念逐一核对四个命题得答案. 【详解】x≥0恒成立，.①正确： 对于奇函数f(x),若其定义域含0（如f(x)=x),则f(0)=0: 若其定义域不含0（如f(x)=,则f(0)=0不成立，故该事件为随机事件，∴.②正确： 由对数函数定义域可知，loga (x-1)>0成立的前提是x-1>0,即x>1. 故若事件log。x-1)>0发生，则事件x>1必然发生，∴.③正确： :对顶角相等，.对顶角不相等是不可能事件，∴④正确 故答案为：①②③④ 题型02样本空间 【典例2-1】（23-24高一上·全国·课后作业)某校高二年级的学生要从音乐、美术、体育三门课程中任选两 门学习，则所有可能的结果共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 【分析】直接列出所有情况即可 第7页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】选学的所有可能情况是：{音乐，美术}，{音乐，体育}，{美术，体育}，所以共有3个 故选：B. 【典例2-2】（22-23高一，全国课后作业)掷两个面上分别记有数字1至6的正方体玩具，设事件A为“点数 之和恰好为6”，则A中基本事件个数为() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 【分析】直接列举出“点数之和恰好为6”的基本事件即可. 【详解】用(x,y)表示两个正方体玩具的点数分别为x,y, 则A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} .A中基本事件个数为5个 故选：D. 【典例2-3】（多选）(25-26高一上·全国课后作业)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X,则() A.X=1表示的基本事件是“甲是1点，乙是0点”或“甲是0点，乙是1点” B.X=2表示的基本事件是“两颗都是1点” C.X=3表示的基本事件是“甲是2点，乙是1点”或“甲是1点，乙是2点” D.X=4表示的基本事件是“甲是3点，乙是1点"或“甲是1点，乙是3点”或“两颗都是2点” 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【详解】骰子没有0点，故A错误；易知B,C,D正确 【典例2-4】(21-22高一.全国课后作业)从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么"这2个数的 和大于4”包含的样本点有 个】 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】利用列举法的试验的样本空间，再得所求事件的样本点个数 【详解】解：从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为 0={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4④ 其中“这2个数的和大于4"包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2，④，(3,4)，共4个. 故答案为：4 【变式2-1】（20-21高一·全国课后作业)集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数，构 成一个两位数，则所有样本点的个数为() A.8 B.9 C.12 D.11 第8页共27页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 【分析】写出所有样本点即可求解. 【详解】根据题意，所有样本点为：21,22,24,31,32,34,12,13,23,42,43，共11个， 故选：D 【变式2-2】(2025高一.全国.专题练习)先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情 况，则下列事件包含3个样本点的是( A.“至少一枚硬币正面向上” B.“只有一枚硬币正面向上” C.“两枚硬币都是正面向上” D.“两枚硬币都是反面向上” 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 【分析】确定样本点，进而逐个判断即可. 【详解】“至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”“五角、一元都向上”三 个样本点. 故选：A 【变式2-3】（25-26高一下·全国课后作业)将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b,c,则 方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为() A.18 B.19 C.20 D.21 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】根据给定条件，利用列举法求出样本点个数。 【详解】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个，由方程x2+bx+c=0有实数根，得b2-4c≥0， 样本点中满足此条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(41)，(4,2)，(4,3)，(44，(5,1)，(5,2)， (5,3),(5,4),(5,5).(5,6).(6,1),(6,2).(6,3).(6,4,(6,5).(6,6),共19个. 故选：B 【变式2-4】（23-24高一上·全国·课后作业)一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放 次序共有() A.3种 B.4种 C.6种 D.12种 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】直接利用列举法即可得到答案 第9页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】设这部小说三册分别为1,2,3，则共有 (1,2,3).(1,3,2)(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)共6种. 故选：C 【变式2-5】(24-25高一下.全国课后作业)试验E:“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情 况”，则该试验的样本空间为() A.{10,11…,99} B.{1,2,,18} C.{0,1,,18} D.{1,2,…,10} 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】根据题意结合样本空间的概念即可求解， 【详解】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为1,2，，18} 故选：B. 【变式2-6】（25-26高一下.全国·课后作业)先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面 的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上 B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，列出基本事件即可 【详解】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚， 其样本空间2={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） A事件有两个样本点，（正，反）（反，正）， B事件只有1个样本点，（正，正）： C事件有3个样本点（正，正），（正，反），（反，正）. 故答案为：C. 题型03互斥事件与对立事件 【典例3-1】(23-24高一下·贵州毕节期末)掷一颗质地均匀的骰子，下列事件中与事件“向上的点数不超过 3”互为对立的是() A.向上的点数小于3 B.向上的点数大于3C.向上的点数至少为3D.向上的点数为3 【答案】B 第10页共27页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.94 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】根据对立事件的定义求解即可. 【详解】掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上的点数不超过3”的对立事件是 向上的点数大于3. 故选：B 【典例3-2】（24-25高一下·广西柳州·期末)某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网 球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是() A.至少有1名男生与全是男生 B.至少有1名男生与全是女生 C.恰有1名男生与恰有2名男生 D.至少有1名男生与至少有1名女生 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案 【详解】对于A,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，A错误： 对于B,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，B 错误： 对于C,事件恰有1名男生指有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件， C正确： 对于D,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况， 事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生， D错误， 故选：C 【典例3-3】（多选）(2024高一下·全国.专题练习)从刚生产的一批产品（既有正品也有次品）中取出3件 产品，设A=3件产品全不是次品}，B=3件产品全是次品}，C=3件产品不全是次品}，则下列结论正确 的是( A.A与B互斥 B.A与C互斥 C.A与B对立D.B与C对立 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】可根据互斥事件与对立事件的定义得出结果 【详解】A=3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品， B=3件产品全是次品}， C=3件产品不全是次品}，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件， 由此知：A与B是互斥事件，但不对立：A与C的交事件不是，不是互斥事件，更不是对立事件：B与C 第11页共27页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是互斥事件，也是对立事件 故选：AD 【典例3-4】（22-23高一下浙江宁波·期末)据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七 门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技 术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件E=“选择生物学 科”，F=“选择一门理科学科”，G=“选择政治学科”，H=“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： ①G和H是互斥事件但不是对立事件；②F和H是互斥事件也是对立事件： ③P(F)+P(G)=1:④P(EUH)=P(E)+P(H). 其中，正确结论的序号是 ·(请把你认为正确结论的序号都写上) 【答案】②④ 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、互斥事件的概率加法公式、判断所给事件是否是互斥关系、 确定所给事件的包含关系 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可. 【详解】事件H=“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科” 所以事件G=“选择政治学科”，包含于事件H,故事件G,H可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确： 事件F=“选择一门理科学科”，与事件H=“选择一门文科学科”，不能同时发生，且必有一个事件发生， 故F和H是互斥事件也是对立事件，故②正确： 由题意可知P(F)=,P(G)=专所以P(F)+P(G)=≠1，故③不正确： 事件E=“选择生物学科”，与事件H=“选择一门文科学科”，不能同时发生，故E和H是互斥事件，所以P(EU H)=P(E)+P(H),故④正确. 故答案为：②④ 【变式31】(24-25高一下·河南期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数不大于4”，B=“点数大 于3且小于6”，C=“点数是3的倍数”，D=“点数为奇数”，E=“点数为偶数”，则() A.A,B为互斥事件B.B,C为对立事件C.C,D为互斥事件D.D,E为对立事件 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据题意写出样本空间和各事件的样本点，再根据互斥和对立的定义，判断各选项正误 【详解】抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，则样本空间2=1,2,3,4,5,6) A={1,2,3,4B={4,5.C={3,6,D={1,3,5.E={2,4,6. 因为A∩B={4,所以A与B不互斥，A错误. 因为B∩C=0,BUC≠2，所以B与C互斥，但不对立，B错误. 因为CnD=3},所以C与D不互斥，C错误. 因为D∩E=,DUE=,所以D与E对立，D正确， 第12页共27页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：D. 【变式32】(25-26高一上安徽期末)连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现 正面”的对立事件是() A.有3次或4次出现反面 B.只有3次出现反面 C.有3次或4次出现正面 D.只有1次出现正面 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】根据给定条件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面"包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面 故选：A 【变式33】(25-26高一上·贵州遵义，期末)一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和 2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件A=“两次都摸到红球”，事件 B=“两次都摸到白球”，事件C=“两次摸到的小球颜色不同”，事件D=“两次摸到的小球颜色相同”，则下列 事件互为对立事件的是() A.A与B B.A与C C.B与C D.C与D 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可。 【详解】对于A,事件A=“两次都摸到红球”，事件B=“两次都摸到白球”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能是一红球和一白球，即事件A,B都不发生， 故A,B互斥，但并集不等于样本空间，故不是对立事件，A错误； 对于B,事件A=“两次都摸到红球”，事件C=“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个白球，即事件A,C都不发生， 故A,C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，B错误： 对于C,事件B=“两次都摸到白球”，事件C=“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个红球，即事件B,C都不发生， 故B,C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，C错误： 对于D,事件C=“两次摸到的小球颜色不同”，事件D=“两次摸到的小球颜色相同”， 由于从袋中不放回地依次随机摸出2个小球的颜色要么是相同的，要么不同， 故CUD=2,CnD=0,故C与D是对立事件， 故选：D 第13页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-4】（25-26高一下·全国单元测试)至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是() A.“甲站排头"与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾 C.“甲站排头"与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的定义判断. 【详解】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件。 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A 【变式35】（多选）(2024高一下.全国.专题练习)从1,2,3，…，9中任取两个数，其中不是对立事件的 是() A.恰有一个偶数和恰有一个奇数 B.至少有一个偶数和两个都是偶数 C.至少有一个奇数和两个都是偶数 D.至少有一个奇数和至少有一个偶数 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】确定所给事件的对立关系 【分析】对立事件前提是互斥，同时两个事件的并事件为必然事件，即两个事件应包含所有的情况根据对 立事件的要求，逐项分析，即可得出答案 【详解】对于A选项，任取两个数，恰有一个偶数和恰有一个奇数为相等事件，都表示取出1个奇数1个 偶数： 对于B选项，至少有一个偶数，包含两种情况：两个都是偶数，一个奇数一个偶数，所以两个事件是包含 关系： 对于C选项，至少有一个奇数和两个都是偶数，互为对立事件： 对于D选项，至少有一个奇数和至少有一个偶数，都包含一种情况：一个奇数一个偶数，所以两个事件不 对立 故选：ABD 【变式36】（24-25高一下·全国·课后作业)给出以下三个命题：（1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A:“二 次都出现正面”，事件B:“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A 与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A:“所取3件中最多有2 件是次品”，事件B:“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数 是 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 第14页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据题意结合互斥与对立事件的定义，分析每个命题的真假判断即可. 【详解】对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A,B外， 还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件， 所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件： 对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生， 所以事件A和事件B不是互斥事件 故命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题. 故答案为：1 题型04事件的运算 【典例41】(24-25高一下·天津期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件M=“点 数大于4”，事件N=“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为() A.M=N B.M≤W C.MUN D.M∩N 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义、写出样本空间 【分析】依题意可分别求出事件M,N所包含的点数，即可得出结果 【详解】根据题意可得M={5,6),N={2,4,6: 显然易知MnN={6 所以事件“点数为6”可以表示为M∩N. 故选：D 【典例4-2】(2025高一全国.专题练习)打靶3次，事件A表示“共击中i发”，其中i=0,1,2,3,那么A2UA3 表示() A.“全部击中” B.“至少击中1次” C.至多脱靶2次" D.“至少击中2次” 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】由事件的运算即可求解 【详解】A2UA3=“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确 故选：D. 【典例43】（多选）(23-24高一上·全国课后作业)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品. 从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A:恰有1件次品：事件B:至少有2件次品；事 件C:至少有1件次品；事件D:至多有1件次品，以下结论正确的是() A.AUB=C B.DUB是必然事件 C.AUB-B D.AUD=C 【答案】AB 【难度】0.85 第15页共27页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】事件的运算及其含义、判断事件是否是随机事件 【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断。 【详解】AUB表示的事件：至少有1件次品，即事件C,所以A正确，C不正确： DUB表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以B正确： AUD表示的事件：至多有1件次品，即事件D,所以D不正确. 故选：AB 【典例4-4】(2026高一全国.专题练习)打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i=0,1,2,3,则"至少有一次击 中”这一事件用事件的交、并运算应表示为 【答案】A1UA2UA3(或A1十A+A) 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义 【详解】因Ao,A1,A2,A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次A1,击中两次A2,击中三次A3, 这三个事件的并事件，应表示为A1UA2UA3(或十A2十A): 【变式41】(21-22高一全国·单元测试)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设 A={2名全是男生}，B={2名全是女生}，C={恰有一名男生}，D={至少有一名男生，则下列关系不正确的 是() A.A∈D B.B∩D=0 C.AUC=D D.AUB=BUD 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义 【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，则ASD,AUC=D,可判断A,C;事 件B与D是互斥事件，判断B;AUB表示的是2名全是男生或2名全是女生，BUD表示至少有一名男生， 由此判断D. 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，故A∈D,AUC=D 故A,C正确： 事件B与D是互斥事件，故B∩D=O,故B正确， AUB表示的是2名全是男生或2名全是女生，BUD表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故AUB≠BUD,D错误， 故选：D. 【变式42】（20-21高一全国课后作业)从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和 大于4"为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则A+B和AB包含的样本点数分别为() A.1,6 B.4,2 C.5,1 D.6,1 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义 第16页共27页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】列出样本空间，进而可得到事件A与事件B,根据事件的运算求解即可. 【详解】从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)} 其中事件A包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共4个. 事件B包含的样本点有：(1,3)，(2,4)共2个 所以事件A+B包含的样本点有：(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共5个： 事件AB包含的样本点有：(2,4)共1个 故选：C 【变式43】(24-25高一下.全国·随堂练习)掷一枚骰子，设事件A={出现的点数不小于5)，B={出现的 点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是() A.A∈B B.A∩B={出现的点数为6} C.事件A与B互斥 D.事件A与B是对立事件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的包含关系、事件的 运算及其含义 【分析】利用两个事件的关系对各个选项进行判断即可· 【详解A=出现的点数不小于5}={出现的点数为5,6}，B={出现的点数为偶数}={出现的点数为2,4,6}， 则A∩B={出现的点数为6)，故B正确，A错误； 因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C,D错误， 故选：B 【变式44】(23-24高一下山西大同期末)打靶3次，事件A表示“击中i发”，其中i=0,1,2,3.那么事 件A=AUA2UA3表示() A.全部击中 B.至少击中1发 C.都未击中 D.击中3发 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】理解题意即可选出正确答案 【详解】A=A1UA2UA3表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选：B 【变式45】（多选）(23-24高一上·安徽毫州·期末)中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西 南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼，记事件E=“只去黄鹤楼”，事件F=“至少去两个名楼”， 事件G=“只去一个名楼”，事件H=”一个名楼也不去”，事件1=“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是() A.E与H是互斥事件 B.F与I是互斥事件，且是对立事件 C.I=GUH D.E=GnI 【答案】ABC 第17页共27页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案 【详解】对于A,事件E,H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确： 对于B,事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确： 事件1=“至多去一个名楼"刚好包含事件G=“只去一个名楼”与事件H=”一个名楼也不去”，所以1=GUH, G=G∩I,故C正确，D错误 故选：ABC 【变式46】(23-24高一上·全国课后作业)掷一枚骰子，下列事件：A=掷出奇数点}，B={掷出偶数点}， C={点数小于3.则①BC=」 :②A+B= 【答案】 {掷出2点) {掷出1,2,3,4,5,6点) 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据积事件表示同时发生，和事件表示至少有一个发生可得结果. 【详解】因为A={掷出奇数点，B=掷出偶数点}，C={点数小于3}， 所以BC={掷出2点}，A+B={掷出1,2,3,4,5,6点}. 故答案为：{掷出2点：{掷出1,23,4,5,6点) 强化训练 一、单选题 1.(23-24高一下·广西河池期末)某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的50种饮料 中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查.在这个问题中，30是() A.总体 B.个体 C.样本 D.样本量 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】总体与样本 【分析】根据随机抽样概念求解即可. 【详解】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体： 个体：把组成总体的每个对象称为个体： 样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本： 样本量：样本中个体的个数叫样本量，其不带单位： 在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查， 在这个问题中，50种饮料是总体，每一种饮料是个体，30种饮料是样本，30是样本量. 故选：D. 2.(24-25高一上安徽蚌埠期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点 第18页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数不小于3”，C=“点数大于4”，D=“点数为奇数”，E=“点数为偶数"”，下列结论正确的是() A.A,B为互斥事件 B.B,C为对立事件 C.C,D为互斥事件 D.D,E为对立事件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间、互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是 否是互斥关系 【分析】写出基本事件和样本空间，得到A∩B≠O:B,C包含共同的基本事件：C,D包含共同的基本事 件：D∩E=0,且DUE=2,从而判断出结论， 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为0={1,2,3,4,5,6}， 事件A包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件B包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于A∩B有共同的基本事件，即点数为3，A∩B≠，故A,B不为互斥事件，A错误： B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B,C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误： C选项，事件D包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C,D包含共同的基本事件，不互斥，C错误： D选项，事件E包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，DnE=0,且DUE=2, 所以D,E为对立事件，D正确。 故选：D 3.(24-25高一下.全国·课后作业)将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a,b,设事件M 为"方程ax2+bx+1=0(a>0)有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为() A.6 B.17 C.19 D.21 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】根据根的判别式得到b2-4a≥0，然后找样本点即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为α和b, 方程ax2+bx+1=0(a>0)有实数解， △=b2-4a≥0， 则M={(1,2),(1,3).(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),3,4) ,(3,5),(3,6),(4,4),(45),(4,6),(5,5).(5,6).(6,5),(6,6)},共含19个样本点. 故选：C 第19页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高一上全国单元测试)如果事件A,B互斥，且事件C,D分别是A,B的对立事件，那么() A.AUB是必然事件 B.CUD是必然事件 C.C与D一定互斥 D.C与D一定不互斥 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系 【分析】方法一、根据事件间的逻辑关系可解：方法二、根据题意，利用韦恩图进行求解 【详解】方法一、因为事件A与B互斥，所以AnB=0,则CUD=U(U为全集)，所以CUD是必然事件 方法二、利用图形来看，如图所示，C是A的补集，D是B的补集，因此CUD是全集，故CUD是必然事 件. CUD B A B 故选：B 5.（24-25高一下河北唐山期末)某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列 选项中是互斥而不对立的两个事件的是() A.至少有1名男生和至少有1名女生 B.至少有1名男生和全是男生 C.至少有1名男生和全是女生 D.恰有1名男生和恰有2名男生 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥一定对立，对立不一定互斥的定义逐项分析判断即可. 【详解】A.当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生同时发生，既不互斥也不对立，A错误 B.两名都是男生时，至少有1名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误 C.至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误 D.恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确. 故选：D 6.（25-26高一上辽宁丹东期末)某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立 的是() A.“至少有一粒种子发芽"与“至多有一粒种子发芽” B.“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C.“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D.“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 【答案】D 【难度】0.65 第20页共27页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可求解 【详解】样本空间为：3粒种子发芽数为0,1,2,3. “至少有一粒发芽”(1,2,3)与"至多有一粒发芽”(0,1)交集为“1粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故 A不对： “恰有两粒发芽”(2)与“至少有一粒发芽”(1,2,3) 交集为“2粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故B不对： “三粒都发芽”(3)与“至少有一粒发芽”(1,2,3)交集为“3粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故C不对： “至少有两粒发芽”(2,3)与“三粒都不发芽”(0)交集为空（不能同时发生）是互斥事件；并集为{0,2,3， 未包含“1粒发芽”的情况所以两件事不是对立事件，故D正确. 故选D 7.(23-24高一下·陕西西安期末)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、 西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是() A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.非互斥事件 D.以上都不对 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，结合互斥、对立事件的定义即可 判断 【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互 斥但非对立事件： 故选：A 8.(20-21高一下·陕西渭南·期末)从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件 产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中 不正确的是() A.A与C互斥 B.B与C互斥 C.A、B、C两两互斥 D.A与B对立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】随机抽取三件产品，得出总事件，再分别得出事件A,事件B,事件C包含的事件，再由互斥事件 及对立事件的定义即可判断出结果. 【详解】随机抽取三件产品，总事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”"，“2件次品，1件 第21页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正品”，“3件次品，0件正品” 事件A=“三件产品全不是次品”即“0件次品，3件正品”， 事件B=“三件产品全是次品"即“3件次品，0件正品”， 事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品” 由互斥事件的定义知：A、B、C两两互斥，故ABC正确： 由互斥事件的定义知：A与B互斥，但是A与B的和事件不是总事件，故A与B对立不是对立事件，故D 错误 故选：D. 二、多选题 9.(2526高一下，全国课后作业)（多选题）已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A,B的四个命 题，正确的是() A.若任取x∈A,则x∈B是必然事件 B.若任取x庄A,则xEB是不可能事件 C.若任取x∈B,则x∈A是随机事件 D.若任取x庄B,则x庄A是必然事件 【答案】ACD 【难度】0.95 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据真子集的定义和必然事件、随机事件和不可能事件的定义判断 【详解】，集合A是集合B的真子集，“A中的任意一个元素都是B中的元素， 而B中至少有一个元素不在A中，因此A正确，B错误，C正确， 因为集合A是集合B的真子集，则集合B没有的元素集合A中一定没有，D正确. 故选：ACD 10.(25-26高一上江西南昌·期末)一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件A=“两次都摸到红球”，事件B=“两次 都摸到白球”，事件C=“两次摸到的小球颜色不同”，事件D=“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为 互斥且不对立事件的是() A.A与B B.A与C C.B与C D.C与D 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】从球的颜色来看，两次摸球可能结果有两次都为红球，两次都为白球，两次中一次红球一次白球 这三类， 对于A:事件A=“两次都摸到红球”与事件B=“两次都摸到白球”互斥但不对立，故A正确： 对于B:事件A=“两次都摸到红球"与事件C=“两次摸到的小球颜色不同“互斥但不对立，故B正确： 对于C:事件B=“两次都摸到白球”，事件C=“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故C正确： 第22页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D:事件C=“两次摸到的小球颜色不同”，事件D=“两次摸到的小球颜色相同”为对立事件，故D错误。 故选：ABC 11.(21-22高一下贵州贵阳·期末)抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：D1=“点数大于2”，D2=“点 数不大于2”，D3=“点数大于3”，D4=“点数为4”，则下列结论正确的是() A.D3∈D1 B.D4Da C.D1UD3=D3 D.Di0D2-0 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系 【分析】由事件的基本关系及运算依次判断即可. 【详解】对于A,D3=“点数大于3”，D1=“点数大于2”，显然D3≤D1,A正确： 对于B,D4=“点数为4”，D3=“点数大于3”，D4CD3,B正确： 对于C,由A选项知，D3SD1,则D1UD3=D1,C错误： 对于D,D1=“点数大于2"，D2=“点数不大于2”，显然不能同时发生，则D1∩D2=0,D正确. 故选：ABD 三、填空题 12.(25-26高一下·全国课后作业)一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1 件次品”和“恰有2件次品”：②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”： ④“至少有1件次品”和“都是正品”其中互斥事件有」 组 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的定义逐一判断即可 【详解】对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“恰有2件次品”不可能同时发生，是互斥 事件： 对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事 件不是互斥事件： 对于③，“至少有1件正品”包括“1件正品，1件次品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事 件： 对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”，不可能同时发生，是互 斥事件， 因此①④是互斥事件 故答案为：2 13.(2024高一下.全国.专题练习)法国的数学家皮耶德.费马曾留下一个猜想：当整数n>2时，关于x,y, z的方程x”+y”+z”=1没有正整数解.该定理被称为费马大定理.现任取x,y,z,n∈{1,2,3,4,5}，则根据费 第23页共27页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 马大定理可得事件"等式x”+yn=z成立"包含的样本点的个数为 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】对n进行分类即可求解样本点的总个数. 【详解】当n>2时，由费马大定理知等式xm+y=z"不成立： 当n=2时，(x,y,z)可取(3,4,5)或(4,3,5)，共2种情况： 当n=1时，等式即为x+y=z,(xy,z)可取(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)， (2,2,4),(1,3,4),(3,1,4),(1,4,5),(4,1,5),(2,3,5),(3,2,5),共10种情况. 综上，使等式成立的样本点的个数为12. 故答案为：12 14.(25-26高一下·全国课后作业)在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：A={出现1点}；B={出现2 点}：C={出现3点：D=出现4点)：E={出现5点：F={出现6点；G=出现的点数不大于1： H={出现的点数小于5：I=出现奇数点}：J=出现偶数点请根据这些事件，判断下列事件的关系：(1) B H:(2)D (3)E I:(4)A G 【答案】 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义 【分析】根据事件的关系进行判断. 【详解】当事件B发生时，H必然发生，故BCH;同理DSJ,ESI,而事件A与G相等，即A=G. 故答案为：二，二，∈，= 四、解答题 15.（24-25高一下·全国课堂例题)在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A={出 现1点}，B={出现3点或4点}，C={出现的点数是奇数}，D={出现的点数是偶数}.用事件A:={出 现的点数为i}(其中i=1,2,,6)表示下列事件： (1)BUD;(2)C UD. 【答案】(1)A2UA3UA4UA6:(2)A1UA2UA3UA4UA5UA6 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间、事件的运算及其含义 【分析】(1)根据BUD为出现点数2,3,4或6即可求解： (2)根据CUD为出现点数1,2,3,4,5,6即可求解。 【详解】(1)BUD={出现点数2,3,4或6}=A2UA3UA4UA6: (2)CUD={出现点数1,2,3,4,5,6}=A1UA2UA3UA4UA5UA6 16.(25-26高一下.全国课堂例题)袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分 别进行试验，分别写出下面试验的样本空间，并指出样本点的总数. 第24页共27页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)从中任取一个球： (2)从中任取两个球： (3)先后各取一个球. 【答案】(1)答案见解析：(2)答案见解析；(3)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】(1)运用列举法，结合样本空间定义进行求解即可： (2)运用列举法，结合样本空间定义进行求解即可： (3)运用列表法，结合样本空间定义进行求解即可： 【详解】(1)Ω=红，白，黄，黑)，样本点的总数为4。 (2)一次取两个球，若记（红，白）代表一次取出红球、白球各一个， 则样本空间2={（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）)，样本点的总数为6. (3)先后取两个球，如记（红，白）代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球 列表如下： 第一次第二次 红 白 黄 黑 红 (白，红) (黄，红) (黑，红) 白 (红，白) (黄，白) (黑，白) 黄 (红，黄) (白，黄) (黑，黄) 黑 (红，黑) (白，黑) (黄，黑) 则样本空间为2=「（红，白），（白，红），（红，黄），（黄，红)，（红，黑），（黑，红），（黄，黑），（黑， 黄)，（黄，白），（白，黄），（白，黑），（黑，白）}，样本点的总数为12. 17.(2026高一全国专题练习)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有 1个红球2个白球}，事件B={3个球中有2个红球1个白球}，事件C={3个球中至少有1个红球}，事件D=3 个球中既有红球又有白球).问： (1)事件D与A,B是什么样的关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ (3)设事件E={3个红球}，事件F={3个球中至少有1个白球，那么事件C与B,E是什么关系？C与F的交事件 是什么？ 【答案】(1)D=AUB.(2)CnA=A.(3)BcC,EcC,CnF=D. 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义 【详解】(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D=AUB. (2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A=A. (3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B二 C,E C C. 第25页共27页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球. 所以CnF={1个红球2个白球，2个红球1个白球}=D. 18.(24-25高一上全国课后作业)写出下列试验的样本空间： (1)E5:连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数： (2)E6:袋中有白球3个（编号为1,2,3）、黑球2个（编号为1,2），这5个球除颜色外完全相同，从中 不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况： (3)E7:连续射击一个目标直到命中为止，观察射击的总次数. 【答案】(1)答案见解析：(2)答案见解析：(3)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间 【分析】根据试验类型设出样本点形式，列出所以结果即可. 【详解】(1)对于试验E5,用(，)表示抛掷的结果， 其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则所有可能的结果如表， 第二次掷出的点数 第一次掷出的点数 1 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) 1,4 (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) 3,2) 3,3) 3,4) (3,5) (3,6 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (61) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 注意：这里的(1,2)和(2,1)是不同的样本点，分别表示连续抛掷一枚骰子2次， “第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为2和“第一次掷出的点数为2， 第二次掷出的点数为1”.于是，试验E5共有36个样本点. 因此，该试验的样本空间为 25={(11),(1,2),(13),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4,(2,5),(2,6), 3,1),(3,2),(3,3).(3,4,(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3).(44).(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). (2)对于试验E6,设摸到白球的结果分别记为w1,w2,w3, 摸到黑球的结果分别记为b1,b2,则该试验的所有可能结果如图， W2 w3 W2 b W? b b 所以该试验的样本空间为26={w1w2,w1W3,W1b1,w1b2,W2W1,W2W3,W2b1,W2b2, 第26页共27页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 w3w1,w3w2,w3b1,W3b2,b1w1,b1W2,b1w3,b1b2,b2W1,b2w2,b2w3,b2b1}. (3)对于试验E7, 如果用k表示“直到命中目标为止，射击了k次”这个结果， 那么该试验的所有可能结果构成的集合可以用正整数集表示， 即该试验的样本空间为27={1,2,3,4,5，…}. 19.(24-25高一下.全国·课后作业)从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2 个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系： (1)至少有1个白球，都是白球： (2)至少有1个白球，至少有一个红球： (3)至少有一个白球，都是红球. 【答案】(1)答案见解析：(2)答案见解析；(3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的包含关系 【分析】(1)列举出对应事件，利用事件的包含关系判断即可. (2)列举出对应事件，利用互斥事件的定义判断即可 (3)列举出对应事件，利用对立事件的定义判断即可。 【详解】(1)给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4， 从口袋中任取两个球，用（化，y)表示取出的两个球， 则试验的样本空间为0={(1,2)，(1,3)，(1,4，(2,3)，(2,4)，(3,4)} 设A=“至少有1个白球”，则4{(1,3)，(1,4，(2,3)，(2,4)，(3,4)}， 设B=“都是白球”，B={3,4},所以B∈A, (2)设C=“至少有一个红球”，则C={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}., 因为A∩C={1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},所以A和C不互斥. (3)设D=“都是红球”，则D={(1,2)} 因为AUD=2,A∩D=,所以A和D为对立事件， 第27页共27页 5-1 随机事件与样本空间 讲义 教学目标 理解随机事件、必然事件和不可能事件的含义，理解样本点与样本空间概念，掌握事件的关系与运算. 教学重点 随机事件，样本空间概念，事件的关系与运算. 教学难点 互斥事件、对立事件，事件的并（和）、交（积）. 知识点01 随机事件与样本空间 （一）事件 1.三类事件：必然事件、随机事件、不可能事件. 2. 随机事件的条件： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)所有可能结果是明确可知的，且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个。 （二）样本点与样本空间 样本点：随机事件中每种可能的结果. 如：1, 2, 3, 4, ，，. 样本空间：所有样本点构成的集合. 如：，. （三）样本空间与事件 必然事件：一定会发生的事件，本身； 随机事件：样本空间的子集. 不可能事件：一定不会发生的事件，. （四）易错点： (1)样本空间要写完整，不能遗漏任何可能的结果； (2)注意区分样本点和样本空间，样本点是元素，样本空间是集合； (3)在涉及"有序"还是"无序"时要注意区别。 【即学即练1-1】（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断. 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B 【即学即练1-2】(多选)（19-20高一下·全国·课后作业）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（    ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有5个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】根据随机事件概念依次判断即可. 【详解】样本空间中共有11个样本点，故A错误； 事件中有5个样本点，包括样本点6，故BC正确； 样本点中没有11，故D错误． 故选：BC. 知识点02 事件的关系及运算 1.包含关系：事件发生则事件一定发生. 符号：. 2.相等关系：且. 符号：. 3.并事件（和事件）：事件与事件至少有一个发生. 符号：. 4.交事件（积事件）：事件与事件同时发生. 符号：（或）. 5.互斥事件：事件与事件不能同时发生. 符号： 6.对立事件：且 符号：.即与互补. 【即学即练2-1】（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 【即学即练2-2】(多选)（23-24高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系 【分析】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A，B；分析的关联，判断选项C；分析的关联判断选项D． 【详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 题型01 事件的判断 【典例1-1】（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 【典例1-2】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 【典例1-3】(多选)（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的包含关系 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【详解】对于A：因为 ，，所以，因此若任取，则是必然事件，真命题； 对于B：因为 ，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此若任取，则是随机事件，假命题； 对于C：因为 ，任取，有可能成立，也可能不成立， 因此任取，则是随机事件，真命题； 对于D：因为 ，，所以一定有，显然任取，则是必然事件，真命题． 故选：ACD 【典例1-4】（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列四个命题，其中正确的命题有__________. ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件 ③“明天竹山要下雨”是必然事件 ④“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【答案】①②④ 【难度】0.85 【知识点】判断事件是否是随机事件 【详解】①，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，故①正确； ②，对任意实数x，有，故②正确； ③，下雨是随机事件，故③错误； ④，从100个灯泡中取出5个，5个可能全部是次品，也可能不全是次品，是随机事件，故④正确. 【变式1-1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件、随机现象 【分析】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可. 【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·全国·周测）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即可. 【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B． 【变式1-3】（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义得到答案. 【详解】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 【变式1-4】（24-25高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】利用随机事件的定义求解即可. 【详解】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C 【变式1-5】(多选)（24-25高一下·全国·课后作业）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机事件的定义分别判断即可． 【详解】对于A，明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意； 对于B，方程的判别式，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合题意； 对于C，明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意； 对于D，根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合题意； 故选：AC． 【变式1-6】（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①集合为空集是必然事件；②是奇函数，则是随机事件； ③若，则是必然事件；④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是____________． 【答案】①②③④ 【难度】0.75 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】由随机事件、不可能事件及必然事件的概念逐一核对四个命题得答案． 【详解】恒成立，∴①正确； 对于奇函数，若其定义域含0（如），则； 若其定义域不含0（如），则不成立，故该事件为随机事件，∴②正确； 由对数函数定义域可知，成立的前提是，即. 故若事件发生，则事件必然发生，∴③正确； ∵对顶角相等，∴对顶角不相等是不可能事件，∴④正确． 故答案为：①②③④ 题型02 样本空间 【典例2-1】（23-24高一上·全国·课后作业）某校高二年级的学生要从音乐、美术、体育三门课程中任选两门学习，则所有可能的结果共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 【分析】直接列出所有情况即可. 【详解】选学的所有可能情况是：{音乐，美术}，{音乐，体育}，{美术，体育}，所以共有3个． 故选：B. 【典例2-2】（22-23高一·全国·课后作业）掷两个面上分别记有数字至的正方体玩具，设事件为“点数之和恰好为”，则中基本事件个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 【分析】直接列举出“点数之和恰好为”的基本事件即可. 【详解】用表示两个正方体玩具的点数分别为，， 则， ∴中基本事件个数为个. 故选：D. 【典例2-3】(多选)（25-26高一上·全国·课后作业）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，则（   ） A．表示的基本事件是“甲是1点，乙是0点”或“甲是0点，乙是1点” B．表示的基本事件是“两颗都是1点” C．表示的基本事件是“甲是2点，乙是1点”或“甲是1点，乙是2点” D．表示的基本事件是“甲是3点，乙是1点”或“甲是1点，乙是3点”或“两颗都是2点” 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【详解】骰子没有0点，故A错误；易知B，C，D正确． 【典例2-4】（21-22高一·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点有______个． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】利用列举法的试验的样本空间，再得所求事件的样本点个数． 【详解】解：从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为 ， 其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：，，，，共4个． 故答案为：4. 【变式2-1】（20-21高一·全国·课后作业）集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（    ） A．8 B．9 C．12 D．11 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 【分析】写出所有样本点即可求解. 【详解】根据题意，所有样本点为：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11个， 故选：D 【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间 【分析】确定样本点，进而逐个判断即可. 【详解】“至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”“五角、一元都向上”三个样本点． 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课后作业）将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】根据给定条件，利用列举法求出样本点个数. 【详解】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个，由方程有实数根，得， 样本点中满足此条件的有， ，共19个. 故选：B． 【变式2-4】（23-24高一上·全国·课后作业）一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有（　　） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】直接利用列举法即可得到答案. 【详解】设这部小说三册分别为1，2，3， 则共有 共6种． 故选：C. 【变式2-5】（24-25高一下·全国·课后作业）试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】根据题意结合样本空间的概念即可求解． 【详解】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为. 故选：B． 【变式2-6】（25-26高一下·全国·课后作业）先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，列出基本事件即可. 【详解】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚， 其样本空间（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 事件有两个样本点，（正，反）（反，正）， 事件只有1个样本点，（正，正）； 事件有3个样本点（正，正），（正，反），（反，正）． 故答案为：C. 题型03 互斥事件与对立事件 【典例3-1】（23-24高一下·贵州毕节·期末）掷一颗质地均匀的骰子，下列事件中与事件“向上的点数不超过3”互为对立的是（    ） A．向上的点数小于3 B．向上的点数大于3 C．向上的点数至少为3 D．向上的点数为3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】根据对立事件的定义求解即可. 【详解】掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上的点数不超过3”的对立事件是 向上的点数大于3. 故选：B 【典例3-2】（24-25高一下·广西柳州·期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生 B．至少有1名男生与全是女生 C．恰有1名男生与恰有2名男生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案. 【详解】对于A，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，A错误； 对于B，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，B错误； 对于C，事件恰有1名男生指有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，C正确； 对于D，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况， 事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，D错误. 故选：C 【典例3-3】(多选)（2024高一下·全国·专题练习）从刚生产的一批产品（既有正品也有次品）中取出3件产品，设{3件产品全不是次品}，{3件产品全是次品}，{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是（　　） A．A与B互斥 B．A与C互斥 C．A与B对立 D．B与C对立 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】可根据互斥事件与对立事件的定义得出结果. 【详解】{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品， {3件产品全是次品}， {3件产品不全是次品}，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件， 由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C的交事件不是，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件． 故选：AD. 【典例3-4】（22-23高一下·浙江宁波·期末）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： ①和是互斥事件但不是对立事件；    ②和是互斥事件也是对立事件； ③；    ④. 其中，正确结论的序号是______.（请把你认为正确结论的序号都写上） 【答案】②④ 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、互斥事件的概率加法公式、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的包含关系 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可. 【详解】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科” 所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确； 事件“选择一门理科学科”，与事件    “选择一门文科学科”，不能同时发生，且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，故②正确； 由题意可知，所以，故③不正确； 事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，故和是互斥事件，所以，故④正确. 故答案为：②④. 【变式3-1】（24-25高一下·河南·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于4”，“点数大于3且小于6”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据题意写出样本空间和各事件的样本点，再根据互斥和对立的定义，判断各选项正误. 【详解】抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，则样本空间． ． 因为，所以A与B不互斥，A错误． 因为，所以B与C互斥，但不对立，B错误． 因为，所以C与D不互斥，C错误． 因为，所以D与E对立，D正确． 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】根据给定条件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面. 故选：A 【变式3-3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能是一红球和一白球，即事件A，B都不发生， 故A，B互斥，但并集不等于样本空间，故不是对立事件，A错误； 对于B，事件“两次都摸到红球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个白球，即事件A，C都不发生， 故A，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，B错误； 对于C，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个红球，即事件B，C都不发生， 故B，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，C错误； 对于D，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”， 由于从袋中不放回地依次随机摸出2个小球的颜色要么是相同的， 要么不同， 故，故与是对立事件， 故选：D 【变式3-4】（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的定义判断. 【详解】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A 【变式3-5】(多选)（2024高一下·全国·专题练习）从1，2，3，，9中任取两个数，其中不是对立事件的是（   ） A．恰有一个偶数和恰有一个奇数 B．至少有一个偶数和两个都是偶数 C．至少有一个奇数和两个都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】确定所给事件的对立关系 【分析】对立事件前提是互斥，同时两个事件的并事件为必然事件，即两个事件应包含所有的情况.根据对立事件的要求，逐项分析，即可得出答案. 【详解】对于A选项，任取两个数，恰有一个偶数和恰有一个奇数为相等事件，都表示取出1个奇数1个偶数； 对于B选项，至少有一个偶数，包含两种情况：两个都是偶数，一个奇数一个偶数，所以两个事件是包含关系； 对于C选项，至少有一个奇数和两个都是偶数，互为对立事件； 对于D选项，至少有一个奇数和至少有一个偶数，都包含一种情况：一个奇数一个偶数，所以两个事件不对立. 故选：ABD. 【变式3-6】（24-25高一下·全国·课后作业）给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是__________． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据题意结合互斥与对立事件的定义，分析每个命题的真假判断即可. 【详解】对于（1）（2），因为抛掷两次硬币，除事件A，B外， 还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件， 所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件； 对于（3），若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生， 所以事件A和事件B不是互斥事件． 故命题（1）是假命题，命题（2）是真命题，命题（3）是假命题． 故答案为：1 题型04 事件的运算 【典例4-1】（24-25高一下·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义、写出样本空间 【分析】依题意可分别求出事件所包含的点数，即可得出结果. 【详解】根据题意可得，； 显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为. 故选：D 【典例4-2】（2025高一·全国·专题练习）打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】由事件的运算即可求解. 【详解】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 【典例4-3】(多选)（23-24高一上·全国·课后作业）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（  ） A． B．是必然事件 C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义、判断事件是否是随机事件 【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断. 【详解】表示的事件：至少有1件次品，即事件C，所以A正确，C不正确； 表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以B正确； 表示的事件：至多有1件次品，即事件D，所以D不正确. 故选：AB. 【典例4-4】（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 【答案】 (或A1＋A2＋A3) 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义 【详解】因 彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次 ，击中两次 ，击中三次， 这三个事件的并事件，应表示为 (或A1＋A2＋A3). 【变式4-1】（21-22高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义 【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，则，，可判断A,C; 事件B与D是互斥事件,判断B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判断D. 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误， 故选：D. 【变式4-2】（20-21高一·全国·课后作业）从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】列出样本空间，进而可得到事件A与事件B，根据事件的运算求解即可. 【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件A包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个． 故选：C 【变式4-3】（24-25高一下·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（    ） A． B．出现的点数为6 C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义 【分析】利用两个事件的关系对各个选项进行判断即可． 【详解】出现的点数不小于5出现的点数为，出现的点数为偶数出现的点数为， 则出现的点数为，故B正确，A错误； 因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C，D错误， 故选：B． 【变式4-4】（23-24高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】理解题意即可选出正确答案. 【详解】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选：B. 【变式4-5】(多选)（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（    ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案. 【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误 故选：ABC． 【变式4-6】（23-24高一上·全国·课后作业）掷一枚骰子，下列事件：掷出奇数点， 掷出偶数点， 点数小于 .则①________；②_________. 【答案】 掷出点 掷出点 【难度】0.94 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据积事件表示同时发生，和事件表示至少有一个发生可得结果. 【详解】因为掷出奇数点， 掷出偶数点， 点数小于 ， 所以 掷出点， 掷出点. 故答案为：掷出点；掷出点. 一、单选题 1.（23-24高一下·广西河池·期末）某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，是（    ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】总体与样本 【分析】根据随机抽样概念求解即可. 【详解】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体； 个体：把组成总体的每个对象称为个体； 样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本； 样本量：样本中个体的个数叫样本量，其不带单位； 在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查， 在这个问题中，50种饮料是总体，每一种饮料是个体，30种饮料是样本，30是样本量． 故选：D． 2.（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间、互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 3.（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】根据根的判别式得到，然后找样本点即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为和， 方程有实数解， ， 则 ，共含19个样本点． 故选：C. 4.（25-26高一上·全国·单元测试）如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．C与D一定互斥 D．C与D一定不互斥 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系 【分析】方法一、根据事件间的逻辑关系可解；方法二、根据题意，利用韦恩图进行求解. 【详解】方法一、因为事件A与B互斥，所以，则（U为全集），所以是必然事件． 方法二、利用图形来看，如图所示，C是A的补集，D是B的补集，因此是全集，故是必然事件． 故选：B. 5.（24-25高一下·河北唐山·期末）某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生 C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥一定对立，对立不一定互斥的定义逐项分析判断即可. 【详解】A. 当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生同时发生，既不互斥也不对立，A错误 B. 两名都是男生时，至少有1名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误 C. 至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误 D. 恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确. 故选：D 6.（25-26高一上·辽宁丹东·期末）某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（   ） A．“至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B．“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C．“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D．“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可求解. 【详解】样本空间为：3 粒种子发芽数为 0,1,2,3. “至少有一粒发芽”（1,2,3）与 “至多有一粒发芽”（0,1）交集为 “1 粒发芽”，能同时发生 不是互斥事件,故A不对； “恰有两粒发芽”（2）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3） 交集为 “2粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故B不对； “三粒都发芽”（3）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3）交集为 “3粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故C不对； “至少有两粒发芽”（2,3）与 “三粒都不发芽”（0）交集为空（不能同时发生）是互斥事件；并集为 {0,2,3}，未包含 “1粒发芽” 的情况所以两件事不是对立事件，故D正确. 故选D. 7.（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，结合互斥、对立事件的定义即可判断. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件； 故选：A 8.（20-21高一下·陕西渭南·期末）从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（    ） A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】随机抽取三件产品，得出总事件，再分别得出事件A，事件B，事件C包含的事件，再由互斥事件及对立事件的定义即可判断出结果. 【详解】随机抽取三件产品，总事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品” ，“3件次品，0件正品” 事件A=“三件产品全不是次品”即“0件次品，3件正品”， 事件B=“三件产品全是次品”即“3件次品，0件正品”， 事件C=“三件产品有次品，但不全是次品” 即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品” 由互斥事件的定义知：A、B、C两两互斥，故ABC正确； 由互斥事件的定义知：A与B互斥，但是A与B的和事件不是总事件，故A与B对立不是对立事件，故D错误. 故选：D. 二、多选题 9.（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）已知集合是集合的真子集，下列关于非空集合，的四个命题，正确的是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【难度】0.95 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据真子集的定义和必然事件、随机事件和不可能事件的定义判断. 【详解】∵集合是集合的真子集，中的任意一个元素都是中的元素， 而中至少有一个元素不在中，因此A正确，B错误，C正确， 因为集合是集合的真子集，则集合没有的元素集合中一定没有，D正确． 故选：ACD 10.（25-26高一上·江西南昌·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】从球的颜色来看，两次摸球可能结果有两次都为红球，两次都为白球，两次中一次红球一次白球这三类， 对于A：事件“两次都摸到红球”与事件“两次都摸到白球”互斥但不对立，故A正确； 对于B：事件“两次都摸到红球”与事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故B正确； 对于C：事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故C正确； 对于D：事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”为对立事件，故D错误. 故选：ABC 11.（21-22高一下·贵州贵阳·期末）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义、确定所给事件的包含关系 【分析】由事件的基本关系及运算依次判断即可. 【详解】对于A，“点数大于3”，“点数大于2”，显然，A正确； 对于B，“点数为4”，“点数大于3”，，B正确； 对于C，由A选项知，，则，C错误； 对于D，“点数大于2”，“点数不大于2”，显然不能同时发生，则，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12.（25-26高一下·全国·课后作业）一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有____________组. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“恰有2件次品”不可能同时发生，是互斥事件； 对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件； 对于③，“至少有1件正品”包括“1件正品，1件次品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件； 对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”，不可能同时发生，是互斥事件， 因此①④是互斥事件. 故答案为：2 13.（2024高一下·全国·专题练习）法国的数学家皮耶·德·费马曾留下一个猜想：当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解．该定理被称为费马大定理．现任取，则根据费马大定理可得事件“等式成立”包含的样本点的个数为________． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】对进行分类即可求解样本点的总个数. 【详解】当时，由费马大定理知等式不成立； 当时，可取(3，4，5)或(4，3，5)，共2种情况； 当时，等式即为，可取(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)， (2，2，4)，(1，3，4)，(3，1，4)，(1，4，5)，(4，1，5)，(2，3，5)，(3，2，5)，共10种情况． 综上，使等式成立的样本点的个数为12. 故答案为：12. 14.（25-26高一下·全国·课后作业）在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点；出现的点数不大于1；出现的点数小于；出现奇数点；出现偶数点.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义 【分析】根据事件的关系进行判断. 【详解】当事件发生时，必然发生，故；同理，，而事件与相等，即. 故答案为：，，， 四、解答题 15.（24-25高一下·全国·课堂例题）在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：｛出现1点｝，｛出现3点或4点｝，｛出现的点数是奇数｝，｛出现的点数是偶数｝．用事件｛出现的点数为i｝（其中）表示下列事件： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.94 【知识点】写出样本空间、事件的运算及其含义 【分析】（1）根据为出现点数2，3，4或6即可求解； （2）根据为出现点数1，2，3，4，5，6即可求解. 【详解】（1）｛出现点数2，3，4或6｝； （2）｛出现点数1，2，3，4，5，6｝. 16.（25-26高一下·全国·课堂例题）袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．分别写出下面试验的样本空间，并指出样本点的总数． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先后各取一个球． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间 【分析】（1）运用列举法，结合样本空间定义进行求解即可； （2）运用列举法，结合样本空间定义进行求解即可； （3）运用列表法，结合样本空间定义进行求解即可； 【详解】（1）红，白，黄，黑，样本点的总数为4． （2）一次取两个球，若记（红，白）代表一次取出红球、白球各一个， 则样本空间（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑），样本点的总数为6． （3）先后取两个球，如记（红，白）代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球． 列表如下： 第一次第二次 红 白 黄 黑 红 （白，红） （黄，红） （黑，红） 白 （红，白） （黄，白） （黑，白） 黄 （红，黄） （白，黄） （黑，黄） 黑 （红，黑） （白，黑） （黄，黑） 则样本空间为（红，白），（白，红），（红，黄），（黄，红），（红，黑），（黑，红），（黄，黑），（黑，黄），（黄，白），（白，黄），（白，黑），（黑，白），样本点的总数为12． 17.（2026高一·全国·专题练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}．问： (1)事件与是什么样的关系？ (2)事件与的交事件是什么事件？ (3)设事件{3个红球}，事件{3个球中至少有1个白球}，那么事件与是什么关系？与的交事件是什么？ 【答案】(1).(2).(3). 【难度】0.85 【知识点】事件的运算及其含义 【详解】（1）对于事件 ，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球，故 . （2）对于事件 ，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球或 3 个均为红球，故. （3）由事件 包括的可能结果有 1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球，3 个红球三种情况，故. 事件 包括的可能结果有 1 个白球 2 个红球，2 个白球 1 个红球，3 个白球. 所以 个红球 2 个白球，2个红球 1 个白球 . 18.（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列试验的样本空间： (1)：连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数； (2)：袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况； (3)：连续射击一个目标直到命中为止，观察射击的总次数． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间 【分析】根据试验类型设出样本点形式，列出所以结果即可. 【详解】（1）对于试验，用表示抛掷的结果， 其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则所有可能的结果如表， 第一次掷出的点数 第二次掷出的点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 注意：这里的和是不同的样本点，分别表示连续抛掷一枚骰子2次， “第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为2”和“第一次掷出的点数为2， 第二次掷出的点数为1”．于是，试验共有36个样本点． 因此，该试验的样本空间为 . （2）对于试验，设摸到白球的结果分别记为，，， 摸到黑球的结果分别记为，，则该试验的所有可能结果如图，    所以该试验的样本空间为 . （3）对于试验， 如果用k表示“直到命中目标为止，射击了k次”这个结果， 那么该试验的所有可能结果构成的集合可以用正整数集表示， 即该试验的样本空间为． 19.（24-25高一下·全国·课后作业）从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系： (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的包含关系 【分析】（1）列举出对应事件，利用事件的包含关系判断即可. （2）列举出对应事件，利用互斥事件的定义判断即可. （3）列举出对应事件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】（1）给两个红球编号为，给两个白球编号为， 从口袋中任取两个球，用表示取出的两个球， 则试验的样本空间为， 设“至少有1个白球”，则． 设“都是白球”，，所以， （2）设“至少有一个红球”，则．， 因为，所以A和C不互斥． （3）设“都是红球”，则． 因为，，所以A和D为对立事件． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $