专题08三大函数综合6大考点（福建专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 福建多地二模汇编的三大函数综合专题卷，覆盖一次函数图象性质、反比例函数k的几何意义、二次函数含参推理等6大考点，梯度设计合理，兼具区域命题特色与实战价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|选择（约15题）、填空（约10题）、解答（约15题）|一次函数与不等式（考点01）、二次函数与几何综合压轴（考点06）|情境结合电动汽车充电（考点05）、跨学科合金体积温度研究（考点05），体现数学应用与核心素养|

专题08 三大函数综合 6大考点概览 考点01 一次函数的图象与性质、一次函数与不等式 考点02 反比例函数的图象与性质、k的几何意义 考点03 二次函数图像信息判断与含参代数推理 考点04 三大函数联立交点问题 考点05 函数的实际应用 考点06 二次函数与几何综合压轴 一次函数的图象与性质、一次函数与不等式 考点01 1．（2026·福建福州·二模）若直线经过第一、二、三象限，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·福建宁德·二模）已知一次函数（）的图象经过点，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建龙岩·二模）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建龙岩·二模）如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 反比例函数的图象与性质、k的几何意义 考点02 1．（2026·福建龙岩·二模）反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·福建漳州·二模）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．I随R的增大而增大 B．当时， C．I与R的函数表达式是 D．当时，I的取值范围是 4．（2026·福建厦门·二模）已知反比例函数 y=的图像都过A（1，3）则m=______. 5．（2026·福建泉州·二模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 6．（2026·福建南平·二模）如图，已知矩形的顶点均在反比例函数的图象上，其中顶点A，B在第一象限（点B在点A右侧），顶点C，D在第三象限（点C在点D右侧），若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 7．（2026·福建福州·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 8．（2026·福建南平·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为6，则k的值为______． 9．（2026·福建泉州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过的重心，若的面积为6，则的值为_______． 10．（2026·福建三明·二模）如图，、是反比例函数图象上两点，且，过点、分别作轴、轴的平行线，交于点，连接，交于点，若，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． 二次函数图象信息判断与含参代数推理 考点03 1．（2026·福建龙岩·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建龙岩·二模）若二次函数的图象经过，两点，则的值可能是（   ） A． B． C．0 D．4 3．（2026·福建南平·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 4．（2026·福建三明·二模）小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程的根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 6．（2026·福建南平·二模）二次函数（m是常数且）图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．（2026·福建漳州·二模）已知点，，在抛物线上，则下列结论中，错误的是（   ） A．当时， B．存在实数a，使得 C．a取任意非零实数时，都有 D．a取任意非零实数时，都存在t，使得 8．（2026·福建厦门·二模）将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·福建泉州·二模）作二次函数（）的图象关于原点的中心对称图形，所得图象的解析式为，当时，二次函数最大值与最小值的差是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·福建三明·二模）在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 12．（2026·福建宁德·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根．下列说法：①的取值范围是；②若，则的值为或5；③二次函数的最小值总不大于0；④代数式的最大值是．其中正确的是________．（填写序号） 13．（2026·福建泉州·二模）二次函数的图象经过点．． (1)求的值； (2)是否存在正整数c，使得a为正整数？若存在，请求出所有符合条件的c的值；若不存在，请说明理由． 14．（2026·福建宁德·二模）已知二次函数． (1)若该二次函数的顶点到两坐标轴的距离相等，求的值； (2)已知，为该二次函数图像上的两点，当时，总成立．求的取值范围． 15．（2026·福建漳州·二模）已知二次函数． (1)若，求证：二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； (2)若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线l翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形W．若对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点，求n的取值范围． 16．（2026·福建龙岩·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)若，求； (2)若抛物线的顶点坐标为，求的值； (3)若，，求证：． 17．（2026·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若，． （i）判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由； （ii）已知为该二次函数图象上的一点，求证：． 18．（2026·福建龙岩·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 19．（2026·福建南平·二模）二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． (1)求a，b应满足的数量关系； (2)已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 20．（2026·福建厦门·二模）已知二次函数（，是实数）． (1)求二次函数的图象与x轴交点的坐标并直接写出二次函数图象的对称轴（用含，的代数式表示）； (2)若该函数的最小值为，求的值； (3)已知二次函数的图象经过和两点（m，n是实数），当时，求证：． 三大函数联立交点问题 考点04 1．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建厦门·二模）已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是_________． 3．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，射线与双曲线和依次交于点A，B，射线与双曲线和依次交于点C，D．对于任意的，给出下列四个结论： ①；②；③；④． 其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 4．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且是等腰直角三角形． (1)求证：； (2)已知，过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内． ①求抛物线的函数表达式及点P的坐标； ②若直线：过点P，且抛物线在的部分与有公共点，求实数的取值范围． 函数的实际应用 考点05 1．（2026·福建漳州·二模）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量开始快充时，累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系可用二次函数近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程与电量的关系如下表所示． 汽车仪表盘显示的电量 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为，此时到目的地的路程还有．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则充电时间为________． 2．（2026·福建厦门·二模）河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元． (1)求每个太阳帽、旅行包的进价； (2)该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 3．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 4．（2026·福建泉州·二模）某研究小组为探究一种固态合金球的体积随温度变化的规律，测得不同温度下合金球的体积数据如表（已知该合金的熔点为）： 温度 0 10 20 40 60 体积 1000 (1)小明认为V与t之间近似地符合一次函数关系，他选取其中两组数据和，请帮他求出函数的表达式，并算出温度为时合金球的体积； (2)小华选取其它数据算出温度为时，合金球的体积为．研究小组认为这批数据可能分布在某条直线附近，于是他们利用某（人工智能）平台对全部数据进行分析，得到一次函数的最佳表达式为．小明和小华计算时合金球的体积结果，哪位同学的结果更接近最佳表达式？请说明理由． 5.（2026·福建泉州·二模）某村合作社为振兴乡村经济，承包荒山种植百亩特色蜜柚．由于果树生长特性，项目初期需要投入大量的人力物力进行养护与培植，直至果树成熟与创收，所以经历了从亏损到盈利的发展过程．如图是该项目年利润 y（万元）与种植时间 x（年）之间关系的二次函数图象（部分）． (1)求年利润y（万元）与种植时间x（年）之间的函数关系式，并说明从哪一年开始，该合作社扭亏为盈； (2)问该合作社第8年利润比上一年增加了多少万元？ 二次函数与几何综合压轴 考点06 1．（2026·福建泉州·二模）如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求的值； (2)点是抛物线上第四象限的一动点，当时，求线段的长． 2．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)若抛物线经过点，，且与直线在第一象限内交于点；为抛物线在第四象限的图象上一点，是否存在这样的点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·福建南平·二模）如图，二次函数（其中）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 (1)点B的坐标为______，点C的坐标为_______； (2)若点D为的外心，判断的形状并说明理由； (3)若点D为的外心，与的面积之比为，求二次函数的表达式． 4．（2026·福建厦门·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点，为该抛物线上的不同两点，其中．垂直y轴，垂足为C，连接．求证： ①； ②平分． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三大函数综合 6大考点概览 考点01 一次函数的图象与性质、一次函数与不等式 考点02 反比例函数的图象与性质、k的几何意义 考点03 二次函数图像信息判断与含参代数推理 考点04 三大函数联立交点问题 考点05 函数的实际应用 考点06 二次函数与几何综合压轴 一次函数的图象与性质、一次函数与不等式 考点01 1．（2026·福建福州·二模）若直线经过第一、二、三象限，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性和与y轴的交点与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大，函数与y轴交于正半轴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数（k为常数，k≠0），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 当，图像与y轴的正半轴相交，当，图像与y轴的负半轴相交． 2．（2026·福建宁德·二模）已知一次函数（）的图象经过点，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点坐标代入一次函数解析式，结合的条件判断的符号，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵ 一次函数（）的图象经过点， ∴ 将，代入解析式得 ， 整理得 ， ∵ ， ∴ ， 选项中只有，符合条件，因此选A． 3．（2026·福建龙岩·二模）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】“零和点”在直线上，将代入各函数解析式，判断方程是否有实数解，无实数解即为不存在“零和点”. 【详解】解：A、对于，令，解得，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； B、对于，令，解得，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； C、 对于，令，整理得，，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； D、 对于，令，，两边同乘得，即，方程无实数解，不存在“零和点”，符合题意. 4．（2026·福建龙岩·二模）如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，掌握不等式与函数图像的关系是解题的关键． 根据不等式与函数图像的关系，可直接判断出一元一次不等式的解集． 【详解】解：∵点为一次函数与的图象交点， 且点的横坐标为， 根据一次函数与不等式的关系， 可判断出的解集为， 故答案为：． 反比例函数的图象与性质、k的几何意义 考点02 1．（2026·福建龙岩·二模）反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键在于根据题意求出反比例函数解析式．设，利用待定系数法求出解析式，再结合解析式求解，即可解题． 【详解】解：由题意设， ∵当时，， ∴， ∴与之间的函数关系式为：； A、当时，，即在图象上方，故该选项不符合题意； B、当时，，即在图象上方，故该选项符合题意； C、当时，，即在图象上，故该选项不符合题意； D、当时，，即在图象下方，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行 轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 3．（2026·福建漳州·二模）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．I随R的增大而增大 B．当时， C．I与R的函数表达式是 D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小， ∴A选项不正确，不符合题意； 设， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴与的函数表达式是， ∴C选项不正确，不符合题意； 把代入，可得 解得， ∴B选项不符合题意； ∵， ∴当时，，当时，， 又∵随的增大而减小， ∴当时，I的取值范围是, ∴D选项正确，符合题意． 4．（2026·福建厦门·二模）已知反比例函数 y=的图像都过A（1，3）则m=______. 【答案】3． 【分析】把点A（1，3）代入函解析式即可求出m的值． 【详解】解：把点A（1，3）代入函解析式得3=，解得m=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 5．（2026·福建泉州·二模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】3 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解： 点在反比例函数的图象上， ． 6．（2026·福建南平·二模）如图，已知矩形的顶点均在反比例函数的图象上，其中顶点A，B在第一象限（点B在点A右侧），顶点C，D在第三象限（点C在点D右侧），若点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：由矩形及反比例函数的轴对称性可得，A，B两点关于直线对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为． 7．（2026·福建福州·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 【答案】 12 【详解】正比例函数与反比例函数的交点、关于原点对称，因此设，则（其中）， 由，可知：， 解得，，即点的坐标为， 将代入双曲线：, 故. 8．（2026·福建南平·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为6，则k的值为______． 【答案】 【分析】由正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，则点与点关于原点对称，所以，根据反比例函数比例系数的几何意义结合的面积为6，即可解答． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， 点与点关于原点对称， ， 轴于点， 的面积， 解得， ∵反比例函数的图象位于二、四象限， ∴， ∴． 9．（2026·福建泉州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过的重心，若的面积为6，则的值为_______． 【答案】2 【分析】设点的坐标为，先根据等腰三角形的性质、三线合一和的面积为6，得出的值，再由三角形重心坐标公式写出的坐标，代入反比例函数中即可求得的值． 【详解】解：设点的坐标为，点在第一象限，，， ∵， ∴是等腰三角形， 点在轴的正半轴上，过点作于点， 又∵等腰三角形三线合一， ∴点是的中点，， ∴，， ∴，， ∴的面积， ∵是的重心，设， ，， ∴， ∵反比例函数的图象经过的重心，将的坐标代入反比例函数中，得， ． 10．（2026·福建三明·二模）如图，、是反比例函数图象上两点，且，过点、分别作轴、轴的平行线，交于点，连接，交于点，若，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． 【答案】②③④ 【分析】延长交轴于点，由题意得，，由题意可设，，则，，然后证明，则，再根据平行线的性质得到，则，再结合互余关系证明点为的中点，结合已知可得，则为等腰直角三角形，即可求解，再由勾股定理得到，最后根据反证法即可判断不成立． 【详解】解：延长交轴于点，由题意得， 由题意可设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，故④正确， ∵，若，则，则，与矛盾，故不成立，故①错误， ∴正确的有②③④． 二次函数图象信息判断与含参代数推理 考点03 1．（2026·福建龙岩·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 2．（2026·福建龙岩·二模）若二次函数的图象经过，两点，则的值可能是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据判断开口方向，得到开口向上时，点到对称轴的距离越远函数值越大，再比较A、B两点的函数值大小，推导得到的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， 计算得， ∴， ∴A点到对称轴的距离大于B点到对称轴的距离， ∵A点横坐标为，A到对称轴的距离为， ∴， 解不等式得， 观察选项，只有在该范围内，因此的值可能是． 3．（2026·福建南平·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质判断即可 【详解】解：∵已知抛物线与x轴交于，两点， 根据抛物线与x轴交点的横坐标，得出抛物线的对称轴， ∴抛物线对称轴是直线， ∴点D是抛物线的顶点， ∵不确定a大于还是小于0，根据点D横坐标与抛物线的对称轴，判断点D为顶点；a的大小不确定，需分类讨论． ∴抛物线开口方向不确定，是这个二次函数的最值，但不确定是最大值还是最小值， ∴和的大小关系不能确定，故C，D选项错误； 由于是这个二次函数的最值，只要C不是顶点，即， ，都有， 当时，开口方向仍有两种可能， ∴和的大小关系不能确定，故A选项错误； 当时，抛物线开口向下，是这个二次函数的最大值，故，B选项正确． 4．（2026·福建三明·二模）小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程的根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，将方程转化为与的交点问题，画出函数图象得到的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：画出的图象如图： ∵方程有四个不等实数根， ∴， 故的值可能是1. 5．（2026·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 6．（2026·福建南平·二模）二次函数（m是常数且）图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点，与轴的交点都为．当时，画出大致图象，根据选项一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线与直线都恒过定点，与轴的交点都为． 当时，大致图象如下， 由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，若，则，若，则，故选项D不一定正确，符合题意． 7．（2026·福建漳州·二模）已知点，，在抛物线上，则下列结论中，错误的是（   ） A．当时， B．存在实数a，使得 C．a取任意非零实数时，都有 D．a取任意非零实数时，都存在t，使得 【答案】D 【分析】把点，，代入抛物线，可得，，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∴A选项正确，不符合题意； 令，即，， 解得， ∴存在实数a，使得， ∴B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴取任意非零实数时，都有， ∴C选项正确，不符合题意； 若，则， ∵， ∴， 当时，，与矛盾， ∴当时，不存在，使得， ∴D选项错误，符合题意． 8．（2026·福建厦门·二模）将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 综上，， 故选：． 9．（2026·福建泉州·二模）作二次函数（）的图象关于原点的中心对称图形，所得图象的解析式为，当时，二次函数最大值与最小值的差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用关于原点中心对称的坐标变换求出原二次函数的解析式，再根据开口向上的二次函数性质，在给定范围内找出最大值和最小值，计算二者的差即可. 【详解】解：设对称后图象上任意一点为，则其关于原点的对称点在原二次函数上 将代入原函数得 ， 整理得对称后函数解析式为， ∵对称后解析式为，展开得， ∴， ∴原函数整理为， ， 二次函数开口向上，对称轴为， ∵ ∴当时，值最小，即 到对称轴距离为，到对称轴距离为，， 最大值在处，代入得； 最大值与最小值的差为. 10．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次函数纵坐标相等的两点求出原函数对称轴，再根据函数平移规律得到目标方程对应函数的对称轴，最后利用二次函数交点关于对称轴对称的性质推导两根之和． 【详解】解：∵二次函数经过纵坐标相等的两点， ∴原二次函数的对称轴为直线， ∵令 ，它是原二次函数向右平移3个单位得到的函数， ∴的对称轴为直线， ∵方程的两个根是图象与图象的两个交点的横坐标，这两点关于二次函数的对称轴对称， ∴，整理得； 而的值不确定，因此只有B选项正确． 11．（2026·福建三明·二模）在函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据二次函数的性质得到m的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m的值可以是1． 12．（2026·福建宁德·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根．下列说法：①的取值范围是；②若，则的值为或5；③二次函数的最小值总不大于0；④代数式的最大值是．其中正确的是________．（填写序号） 【答案】①③ 【分析】根据一元二次方程根的判别式得到的取值范围即可判断①，结合根与系数的关系得出，，代入，整理得出关于t的一元二次方程，解方程结合①t的取值范围即可求出t的值，即可判断②，把二次函数的一般式化成顶点式即可判断③，把化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质可判断④． 【详解】解：已知，是一元二次方程的两个实数根， 对于①由根的判别式得，解得，故①正确． 对于②由根与系数的关系得，， 代入得：； 整理得： 解得或， 因为， 所以舍去，仅符合题意，故②错误． 对于③二次函数，开口向上，最小值为， 因为，所以，即最小值总不大于，故③正确． 对于④因为是方程的根， 所以， 则，又， 因此原式， 该式是关于的二次函数，开口向下，对称轴为， 因为， 所以当时，原式取得最大值， 代入得最大值，故④错误． 综上：①③正确； 13．（2026·福建泉州·二模）二次函数的图象经过点．． (1)求的值； (2)是否存在正整数c，使得a为正整数？若存在，请求出所有符合条件的c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不存在，理由如下： 假设存在正整数c，使得a为正整数， 由（1）得，，则， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵c为正整数， ∴， ∴， 又∵a，c为正整数， ∴为有理数， ∴为有理数， 这与为无理数矛盾， ∴假设不成立，即不存在正整数c，使得a为正整数 【分析】（1）推导出二次函数的图象的对称轴为直线，得到，继而推导出，得到，即可解答； （2）假设存在正整数c，使得a为正整数，推导出，得到，求出，根据a，c为正整数，得到为有理数，则为有理数，与为无理数矛盾，得到假设不成立，即不存在正整数c，使得a为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴． ∵二次函数的图象经过点， ∴， 即， ∴． （2）略 14．（2026·福建宁德·二模）已知二次函数． (1)若该二次函数的顶点到两坐标轴的距离相等，求的值； (2)已知，为该二次函数图像上的两点，当时，总成立．求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，再分顶点在第一象限和第四象限列式求解即可； （2）分和两种情况，结合函数图象解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为． 当时，． ∴顶点坐标为， ∵该二次函数的顶点到两坐标轴的距离相等， ∴当顶点在第一象限时，，解得； 当顶点在第四象限时，，解得； ∴，． （2）解：如图1，当时， ∵， ∴． ∴． ∵， 由二次函数的对称性得． 如图2，当时，， ∴． ∵， 由二次函数的对称性得． ∴综上所述，． 15．（2026·福建漳州·二模）已知二次函数． (1)若，求证：二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； (2)若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线l翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形W．若对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点，求n的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)① ②且 【分析】（1）证明判别式即可； （2）由A、B纵坐标相等得对称轴，得；①根据图象过点，得，从而得 ，根据二次函数的性质，即可得最小值；②根据交点的个数，画出简图，分类讨论，列出不等式，求解即可得到n的取值范围． 【详解】（1）证明：二次函数，当时，， ， ，， ，， 一元二次方程有两个不同的实数根， 二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （2）解： ，， 对称轴 ， 对称轴， ，则， ①当时，，则， ， ，整理得， ， ， 当时，取得最小值，为； ②二次函数有最大值，，开口向下，对称轴为直线 ， 对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点， 如图1，当时，只需点在直线右侧即可， ，解得； 如图2，当时，只需点在直线上或左侧即可， ，解得； 综上所述：且． 16．（2026·福建龙岩·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)若，求； (2)若抛物线的顶点坐标为，求的值； (3)若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据对称性得到对称轴即可； （2）设抛物线的解析式为，再代入即可求解； （3）由题可知，代点可得，再作差证明即可． 【详解】（1）解：， ∴图象经过点和点．   ∴对称轴直线，解得； （2）解：依题意得，设抛物线的解析式为，   把点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为， 把代入，得； （3）解：把点代入得； ； 把点代入得；   把代入得即； ， ．    ； ．   17．（2026·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若，． （i）判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由； （ii）已知为该二次函数图象上的一点，求证：． 【答案】(1) (2) （i）抛物线的开口向上，理由如下： ∵，， ∴异号， 当时，时，则， ∴，与题意不符合， ∴，，且， ∴抛物线的开口向上； （ii）∵，为该二次函数图象上的一点，且由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 由（i）可知：，，即， ∴，， ∴． 【分析】（1）待定系数法求出的关系，对称轴公式求出对称轴即可； （2）（i）根据条件式，分和两种情况进行讨论即可得出结果；（ii）把点代入解析式，得到，进而得到，根据条件式，得到即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：（i）略 （ii）略 18．（2026·福建龙岩·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 19．（2026·福建南平·二模）二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． (1)求a，b应满足的数量关系； (2)已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 【答案】(1) (2)①； ②∵点，均在二次函数的图象上，且纵坐标相同， ∴由二次函数的对称性得这两点关于对称轴直线对称，则， ∴， ∴， ∵点在图象上， ∴， ∴， 等式左边 ∴． 【分析】（1）先确定轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为，那么轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为，令，则，即，那么该方程有2个相等的实数根，据此即可求解； （2）①先确定出抛物线的对称轴为直线，则，那么，再结合即可求解； ②根据二次函数的对称性可得，则，由点在图象上，得到，故，再代入证明即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵ ∴，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴有2个交点， ∴轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为， ∵二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4 ∴轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为， 令，则，即 故， ∴； （2）解：①若，则总有 ∴都大于2或者都小于2时，， 而 说明函数在范围内随着的增大而减小，在的范围内，随着的增大而增大，这样才能保证 ∴对称轴为直线， ∴，则， 而， ∴， 又 ∴解得， ∴抛物线表达式为； ②略 20．（2026·福建厦门·二模）已知二次函数（，是实数）． (1)求二次函数的图象与x轴交点的坐标并直接写出二次函数图象的对称轴（用含，的代数式表示）； (2)若该函数的最小值为，求的值； (3)已知二次函数的图象经过和两点（m，n是实数），当时，求证：． 【答案】(1)与轴交点坐标为，，对称轴为直线 (2)或 (3)证明：∵二次函数的图象经过和两点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， 当时，且， 解得， 这与矛盾， ∴， ∴． 【分析】（1）令，则，求解即可得出二次函数的图象与轴交点坐标，将二次函数的解析式化为一般式，再结合二次函数的对称轴公式计算即可得解； （2）将二次函数的解析式化为顶点式，即可得出当时，有最小值，结合题意可得，求解即可； （3）由题意可得，，表示出，由题意并结合二次函数的性质可得，，由此即可得出结果． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， ∴二次函数的图象与轴交点坐标为，， ∵， ∴对称轴为直线； （2）解：∵，， ∴当时，有最小值， ∵该函数的最小值为， ∴， 解得或； 即的值为或； （3）略 三大函数联立交点问题 考点04 1．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数 的图像经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．则当点G恰好落在y轴上时，折痕所在直线与反比例函数图像的另一个交点H的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N，根据正方形的性质得出，进而求得E的坐标，根据勾股定理求得，即可求得，通过证得，求得，从而求得F的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式和折痕所在直线解析式，联立成方程组，解方程组即可求得点H的坐标． 【详解】解：设与y轴的交于点M，过点F作轴于点N， ∵， ∴， ∵四边形正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数为， 由折叠可知，，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 解得或， ∴折痕所在直线与反比例函数图象的另一个交点H的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，求得E、F的坐标是解题的关键． 2．（2026·福建厦门·二模）已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是_________． 【答案】 【分析】根据交点坐标满足两个函数解析式，得到的关系式，将所求代数式通分变形后，整体代入求值即可． 【详解】解： 点是一次函数与反比例函数的交点， 将代入两个函数解析式，得，， 整理得 ，， 对所求代数式变形，得， 将，代入，得． 3．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，射线与双曲线和依次交于点A，B，射线与双曲线和依次交于点C，D．对于任意的，给出下列四个结论： ①；②；③；④． 其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④/④① 【分析】先通过联立方程求出四个交点A，B，C，D的坐标，再根据相似三角形的性质与判定，两点间距离公式逐一验证四个结论，得到正确结论即可． 【详解】解：由题意可得如图所示： 过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴， ∴， ∴， 联立，解得：（负根舍去）， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴，故③错误； 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∴，故①正确； 由两点间距离公式， ， ， 因为， 所以，故②错误； 综上所述：正确的有①④． 4．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且是等腰直角三角形． (1)求证：； (2)已知，过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内． ①求抛物线的函数表达式及点P的坐标； ②若直线：过点P，且抛物线在的部分与有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①，；② 【分析】（1）先得到，，则只能，由等腰直角三角形得到，结合，得到，即抛物线的对称轴为y轴，； （2）①由（1）知，，，得到，，代入解方程即可求出解析式；设为抛物线上一点． 依题意，的最小值为．根据勾股定理，，得到当，即时，取得最小值．结合点P位于第一象限，得到． ②代入得到，与抛物线联立得到．根据是方程的一个根，求得．再根据列不等式计算即可； 【详解】（1）证明：∵是直角三角形， ∴，或，或， 如果，则， 此时，但，，，与函数的定义不符， ∴， 同理，， ∴， ∵是直角三角形， ∴， 又∵，所以，即抛物线的对称轴为y轴， ∴； （2）解：①由（1）知，，， 所以． 因为，所以， 因为C在y轴正半轴上，所以． 又因为，所以解得 所以抛物线的函数表达式为． 设为抛物线第一象限图象上一点． ∵过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内， ∴的最小值为． 根据勾股定理，． 当，即时，取得最小值． 因为点P位于第一象限，所以，所以． ②因为直线过点， 所以，所以． 由（2）知，抛物线的函数表达式为． 由，，得， 整理得， 将代入方程得． 因为直线过点，且在抛物线上， 所以是方程的一个根． 设方程的另一个根为． 因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以． 依题意，，即． 解得． 即实数m的取值范围是． 函数的实际应用 考点05 1．（2026·福建漳州·二模）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量开始快充时，累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系可用二次函数近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程与电量的关系如下表所示． 汽车仪表盘显示的电量 … 汽车仪表盘显示的可行驶里程 … 若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为，此时到目的地的路程还有．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则充电时间为________． 【答案】/ 【分析】由表可知，每行驶千米，需要的电量，根据题意可得，电量需充到，根据累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系，即可求解． 【详解】解：由表可知，每行驶千米，需要的电量， 根据题意可得，电量需充到， 在中， 当时，， 当时，， ∴充电时间为． 2．（2026·福建厦门·二模）河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元． (1)求每个太阳帽、旅行包的进价； (2)该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)太阳帽进价4元/个，旅行包进价15元/个 (2)购进旅行包280个，购进太阳帽420个，可使销售所获利润最大，最大利润为2240元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设太阳帽进价x元/个，旅行包进价y元/个，根据“购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元”列方程组求解即可； （2）设购进太阳帽m个，旅行包个，设销售完后获得的利润为w元，根据“总利润=太阳帽的利润+旅行包的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设太阳帽进价x元/个，旅行包进价y元/个， 根据题意，得， 解得， 答：太阳帽进价4元/个，旅行包进价15元/个； （2）解：设购进太阳帽m个，旅行包个，获得的利润为w元， 根据题意，得， 解得， ∵ ， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为，此时， ∴购进旅行包280个，购进太阳帽420个，可使销售所获利润最大，最大利润为2240元． 3．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 【答案】(1)长米，长米 (2)花园可以围出的最大面积是 【分析】（1）设长米，依据比长6米表示出的代数式，再结合栅栏总长米列一元一次方程，解方程得到长后算出长度； （2）先设为米，用总长表示，根据树木位置列出的取值不等式确定取值范围，列出面积二次函数，根据函数性质即可求出最大面积． 【详解】（1）解：设长米，则长米， 根据题意，得：， 解得； ∴； 答：长米，长米； （2）解：设长米，则长米， 由题意得， 解得， ∵花园面积 ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，花园的面积取得最大值， ， 答：花园可以围出的最大面积是． 4．（2026·福建泉州·二模）某研究小组为探究一种固态合金球的体积随温度变化的规律，测得不同温度下合金球的体积数据如表（已知该合金的熔点为）： 温度 0 10 20 40 60 体积 1000 (1)小明认为V与t之间近似地符合一次函数关系，他选取其中两组数据和，请帮他求出函数的表达式，并算出温度为时合金球的体积； (2)小华选取其它数据算出温度为时，合金球的体积为．研究小组认为这批数据可能分布在某条直线附近，于是他们利用某（人工智能）平台对全部数据进行分析，得到一次函数的最佳表达式为．小明和小华计算时合金球的体积结果，哪位同学的结果更接近最佳表达式？请说明理由． 【答案】(1)；当温度为时合金球的体积为 (2)小明的结果更接近最佳表达式，理由 将代入， 得， ∴， ∵， ∴小明的结果更接近最佳表达式． 【分析】（1）设体积V与温度t的函数表达式为，求出体积V与温度t的函数表达式为，再将计算当温度为时合金球的体积为，即可解答． （2）将代入，求出，再求出，并比较大小，即可解答． 【详解】（1）解：设体积V与温度t的函数表达式为，将和分别代入，得 得 解得 ∴体积V与温度t的函数表达式为． 当温度为时合金球的体积为． （2）略 5.（2026·福建泉州·二模）某村合作社为振兴乡村经济，承包荒山种植百亩特色蜜柚．由于果树生长特性，项目初期需要投入大量的人力物力进行养护与培植，直至果树成熟与创收，所以经历了从亏损到盈利的发展过程．如图是该项目年利润 y（万元）与种植时间 x（年）之间关系的二次函数图象（部分）． (1)求年利润y（万元）与种植时间x（年）之间的函数关系式，并说明从哪一年开始，该合作社扭亏为盈； (2)问该合作社第8年利润比上一年增加了多少万元？ 【答案】(1)利润 y与种植时间 x之间的函数关系式为，从第五年开始合作社扭亏为盈 (2)275万元 【分析】（1）首先明确函数为二次函数，可设二次函数的一般式为，将已知的三点，和代入解析式，联立方程组求解系数、和c，得到函数关系式．扭亏为盈对应年利润，因为函数图象与轴正半轴的交点为盈利起始点，所以求解时的正根，即可得到开始盈利的年份． （2）计算第8年和第7年的利润差值，先将和分别代入已求得的函数关系式，得到对应值后作差，即可得到利润增加量． 【详解】（1）设二次函数解析式为， 由图象知：，，是对应抛物线上的三点， ∴，解得， 即利润 y与种植时间 x之间的函数关系式为， 令，即， 解得，， ∴到第四年末盈利为0元， 结合图象知，从第五年开始合作社扭亏为盈； （2）由（1）知抛物线解析式为， 当时，， 当时，， ∴第8年利润比上一年增加万元． 二次函数与几何综合压轴 考点06 1．（2026·福建泉州·二模）如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求的值； (2)点是抛物线上第四象限的一动点，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入中，进一步可得答案． （2）如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点，此时，求解点坐标为，直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得 ． 解得； （2）解：将代入中，得 ∴， 解得，， ∴点坐标为， 将代入中，得 解得， ∴点坐标为． 如图，记点关于轴对称点为，作直线交二次函数于点， 此时， ∵关于轴对称点为． ∴点坐标为． 设直线解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线解析式为． 联立方程， 解得，， ∴点坐标为． ∴． ∴的长为． 2．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)若抛物线经过点，，且与直线在第一象限内交于点；为抛物线在第四象限的图象上一点，是否存在这样的点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；理由如下： 抛物线的对称轴为， ，抛物线开口向上 又∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ． (2)不存在，理由如下： ∵抛物线经过点、． ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵抛物线与直线在第一象限内交于点， ∴联立，得． 解得（不符题意，舍去）或， ∴， ． ，， ， ， ． 设，且在第四象限， ，． ∵直线的解析式为，点到直线的距离为， ． 化简：． ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在这样的点． 【分析】（1）由抛物线的解析式得其对称轴为直线，另一方面，由题意得抛物线的对称轴为直线，由此即可得与关系； （2）由待定系数法可求得抛物线的解析式为，从而可求出抛物线与直线在第一象限内交于点的坐标，与的面积；设，且在第四象限， 从而可表示的面积，这样得到关于t的一元二次方程，判断方程是否有解即可判断点D是否存在． 【详解】（1）解：；理由略； （2）解：不存在；理由略． 3．（2026·福建南平·二模）如图，二次函数（其中）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 (1)点B的坐标为______，点C的坐标为_______； (2)若点D为的外心，判断的形状并说明理由； (3)若点D为的外心，与的面积之比为，求二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2)解：是等腰直角三角形， 理由：由（1）知点，点，点， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵点D为的外心， ∴，即是的内接三角形，如图： ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）在中，分别令，，即可求解； （2）由（1）知点，点，点，可得，易证是等腰直角三角形，且，根据点D为的外心，得到是的内接三角形，利用圆周角定理可得即可说明； （3）由（2）得是等腰直角三角形，易证，结合已知可得，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得，即， 解得，， ∴点，点， 在中，令得， 点； （2）略 （3）解：由（2）得是等腰直角三角形， ∴， ， ∵点，点，点， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； ∴二次函数的表达式为． 4．（2026·福建厦门·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且为或或 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，解方程组即可． （2）根据得到，，对称轴为直线，设，．利用分类思想和中点坐标公式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为， 令得， ∴． （2）存在点N,使得四边形为平行四边形，且或或．理由如下： ∵， ∴对称轴为直线， 设，． 当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为 ，两点为另一条对角线，此时中点坐标为， 故， 解得，此时， 故； 当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为 ，两点为另一条对角线，此时中点坐标为， 故， 解得，此时， 故； 当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为 ，两点为另一条对角线，此时中点坐标为， 故， 解得，此时， 故； 综上所述，点或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，与坐标轴的交点，平行四边形的存在问题，中点坐标公式，分类思想，熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质是解题的关键． 5．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点，为该抛物线上的不同两点，其中．垂直y轴，垂足为C，连接．求证： ①； ②平分． 【答案】(1) (2) 解：①∵，， 设直线表达式为， 则， 解得：， ∴所在直线的解析式为， 联立得， 整理得， 由题意和是方程的两个实数根， ∴； ②过点和作直线的垂线，垂足分别为和， ∵点，为抛物线上的不同两点， ∴点，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①由题意得所在直线的解析式为，联立得到，即和是方程的两个实数根，利用根与系数的关系求解即可； ②过点和作直线的垂线，垂足分别为和，得到点，，求得，，推出，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $