精品解析：2025年6月福建省厦门五缘第二实验中学中考数学二模试卷

厦门五缘第二实验学校2024-2025学年第二学期毕业模拟诊断 数学 九年级 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共4页； 2．答题前填写好姓名、班级、座号等信息．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，有且只有一个选项正确） 1. 下列实数中，最大的是（　　） A. B. C. D. 2. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为（ ）     A B. C. D. 3. 截止2025年3月30日9时30分．动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（    ）． A B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，摆放着正方形和正方形（点G在上），延长交于点R．若，则阴影部分矩形的面积等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点和都在轴上，点在双曲线上．连结，若，则正方形的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 10. 如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算=______． 12 因式分解：_____． 13. 《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是______． 14. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为________． 15. 如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是________． 16. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解不等式组： 18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，的斜边在直线l上，将绕点顺时针旋转一个角，使得点的对应点落在直线上． （1）画出点的对应点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）已知，点运动到点的位置时，点经过的路线长为______．（结果保留） 21. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 22. 在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 一辆快车和一辆慢车在相距的两站点间往返载客，两车均在每天早上从站出发，快车中途不停靠，慢车仅在两站的中点站点停靠上下客．设两车行驶速度不变，在各站点停靠时长相同，两车离站的路程为，经过的时间为，上午发车后慢车第一个往返期间两车行驶如图所示． （1）求慢车、快车的速度和他们第一次停靠的时长； （2）求慢车和快车出发后第一次相遇时离站的路程； （3）慢车和快车第一次相遇后，经过多少时间两车再次相遇？ 24. 如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接． （1）若，则___________； （2）如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线； （3）如图3，连接，若于点，且，求的值． 25. 抛物线与x轴分别交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，D是抛物线的顶点． （1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标． （2）如图1，线段下方抛物线上是否存在一点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接．当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门五缘第二实验学校2024-2025学年第二学期毕业模拟诊断 数学 九年级 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共4页； 2．答题前填写好姓名、班级、座号等信息．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，有且只有一个选项正确） 1. 下列实数中，最大的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较的方法，也考查了无理数的估算．任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于零，负实数都小于零，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，依此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最大的实数是． 故选：D． 2. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为（ ）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的和看不到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：其主视图为： ． 故选：C． 3. 截止2025年3月30日9时30分．动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：C． 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，30度角的余弦值为，据此可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 5. 如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误； B．，故原计算正确； C．，故原计算错误； D．，故原计算错误； 故选：B． 7. 2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设每次降价的百分率为，根据两次降价后的单价原来的单价列出方程即可得． 【详解】解：由题意可列方程为， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，摆放着正方形和正方形（点G在上），延长交于点R．若，则阴影部分矩形的面积等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了矩形的判定和性质，正方形的性质，二次根式的乘法的应用．先证明四边形均是矩形，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，摆放着正方形和正方形， ∴， ∴四边形均是矩形， ∴， ∵， ∴正方形的边长为，正方形的边长为， ∴， ∴，， ∴阴影部分矩形的面积等于． 故选：B 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点和都在轴上，点在双曲线上．连结，若，则正方形的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，已知值求面积，根据，设，，进而得到点坐标，根据点在双曲线上，把点代入，求出的值，进而求出正方形的边长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴轴，轴，， ∴， 设，， 则：， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 解得：（负值舍掉）， ∴， ∴正方形面积为； 故选C． 10. 如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选B． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分） 11 计算=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是______． 【答案】2.6 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的应用，根据扇形图以及权重，进行列式计算即可作答． 【详解】解：依题意，． 故答案为：2.6． 14. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，可得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质，证得四边形是菱形是解此题的关键． 15. 如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，连接，设该拱门的半径，根据垂径定理求出，将用含r的代数式表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设该拱门的半径， 根据题意得在的直径上，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴该拱门的半径是， 故答案为：． 16. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时，， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 故答案为：2或4 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再借助数轴即可求得不等式组的解集． 【详解】解：解不等式组：， 由①去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； 由②去分母得：， 解得：， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，ABCD ∴∠BAC=∠DCA ∵BEAC于E，DFAC于F ∴∠AEB=∠DFC=90° 在ABE和CDF中 ， ∴ABECDF（AAS） ∴AE=CF 【解析】 【分析】可证明ABECDF，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，斜边在直线l上，将绕点顺时针旋转一个角，使得点的对应点落在直线上． （1）画出点的对应点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）已知，点运动到点的位置时，点经过的路线长为______．（结果保留） 【答案】（1） 如图所示； （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，弧长公式． （1）以点为圆心，长为半径作弧，交于点；过点作直线的垂线；以为圆心，长为半径作弧，在直线上方交直线于点，然后顺次连接即可； （2）利用补角的性质得到，再利用弧长公式列式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴点经过的路线长为， 故答案为：． 21. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】（1）， （2） 补全条形统计图如图所示． （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得调查的人数，用乘以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用样本估计总体，用3000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案； （2）求出B组和D组人数，补全条形统计图即可； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，调查的人数为（人）， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是． 估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有（人）． 故答案为：；． 【小问2详解】 组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：甲，乙，乙，甲，共2种， 甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 22. 在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价250元，B型机器人模型单价是150元 （2）购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键． （1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可； （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，再列不等式求解m的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元． 根据题意，得， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元， 由题意得：，解得． ，即， ， 随m的增大而增大． 当时，，此时． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 23. 一辆快车和一辆慢车在相距的两站点间往返载客，两车均在每天早上从站出发，快车中途不停靠，慢车仅在两站的中点站点停靠上下客．设两车行驶速度不变，在各站点停靠时长相同，两车离站的路程为，经过的时间为，上午发车后慢车第一个往返期间两车行驶如图所示． （1）求慢车、快车的速度和他们第一次停靠的时长； （2）求慢车和快车出发后第一次相遇时离站的路程； （3）慢车和快车第一次相遇后，经过多少时间两车再次相遇？ 【答案】（1）慢车速度为；快车速度为，第一次停靠的时长为分钟； （2）第一次相遇时离站的路程为； （3）第一次相遇后，经过分钟后两车再次相遇． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意得慢车速度：，快车速度：，即可得第一次停靠的时长为． （2）由题意得，当时，慢车和快车第一次相遇，利用待定系数法求出慢车和快车的离站的路程关于的函数表达式，联立两式，求解即可得第一次相遇时离A站的路程． （3）由（2）得，，且由题意可得函数图象关于直线对称，，是一组对称点．由，解得的值，即可根据求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得：慢车速度为，快车速度为， ∴他们第一次停靠的时长为（分钟）． 【小问2详解】 解：由题意得，当时，慢车和快车第一次相遇， 分别设慢车和快车的函数解析式为：，， 由上可得慢车经过，，快车经过，， 分别代入解析式后，可列， 解得：， 慢车离站的路程关于的函数表达式为， 快车离站的路程关于的函数表达式为， 联立两式， 解得， ∴第一次相遇时离A站的路程为． 【小问3详解】 解：由（2）得，． 由题意可得函数图象关于直线对称，，是一组对称点． ∴，解得． ∴． 答：第一次相遇后，经过分钟后两车再次相遇． 24. 如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接． （1）若，则___________； （2）如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线； （3）如图3，连接，若于点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过作于E ， ， ， ； 由（1）， 平分； ， ， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径得，由可得，进而由，即可得出结果； （2）连接，证明平分即可；过作于E，由角平分线性质可，即可得出结论； （3）过点作于点，过点作于点，可得四边形是矩形；设，，由，得出，，，再证明，得，即，解得，在利用勾股定理求出，，由面积法可得，由此求出比值即可． 【小问1详解】 证明：是的直径， ，即； ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，过点作于点， 则，， 设，， 由（1）得，， ∴四边形是矩形， ∴； ∵，，， ∴， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、勾股定理的应用、角平分线的判定、相似三角形的性质和判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、灵活运用相似三角形 转化线段关系是解题的关键． 25. 抛物线与x轴分别交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，D是抛物线的顶点． （1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标． （2）如图1，线段下方抛物线上是否存在一点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接．当时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）可证明，求出点B坐标，进而得到，则，求出直线解析式，过点E作轴交于F，设，则，根据建立方程求解即可； （3）利用勾股定理的逆定理证明取中点G，连接，过点P作轴于H，过点C作于M，通过导角证明；则，求出的长设，则，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：，代入抛物线解析式中得，解得：， ∴抛物线的表达式为：， ∴点； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 如图所示，过点E作轴交于F，设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图所示，取中点G，连接，过点P作轴于H，过点C作于M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得（经检验是原方程的解）或（舍去）； ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理及其逆定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $