专题06解直角三角形综合5大考点（福建专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 解直角三角形综合专题，涵盖5大核心考点，汇编福建多地2026年二模真题，基础题与综合题梯度分布，突出实际应用与几何变换结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约8题|锐角三角函数定义（如菱形中60°角面积计算）、方位角问题（如滑雪坡比计算）|结合生活场景（人字梯高度），基础概念直接考查| |填空|约11题|特殊三角函数值（如正方形网格中tan值）、坡度计算（植树斜坡水平距离）|注重概念辨析，融入简单实际情境| |解答|约17题|图形变换（平移扇形交点计算）、实际应用（灯光覆盖房间、举架结构k值）、几何综合（与圆、矩形结合证明计算）|情境融合科技（天问二号部件测量）、文化（赵爽弦图），综合题多考点交叉（三角函数+平行四边形面积+通道设计）|

专题06 解直角三角形综合 5大考点概览 考点01 锐角三角函数定义、特殊三角函数值 考点02 坡度坡角、仰角俯角、方位角问题 考点03 图形变换背景下的线段、角度三角函数计算 考点04 解直角三角形的实际应用 考点05 三角函数与几何图形综合 锐角三角函数定义、特殊三角函数值 考点01 1．（2026·福建三明·二模）如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图：过P作于N，利用点P的坐标以及勾股定理可得，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：过P作于N， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·福建泉州·二模）人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过人字梯顶端作底边的垂线构造直角三角形，结合已知斜边长和底角，利用正弦三角函数的定义计算得到顶端离地面的高度． 【详解】解：过人字梯顶端作于点， 则就是离地面的高度，是直角三角形， ∵，， ∴根据锐角三角函数的定义：在直角三角形中， ∴． 3．（2026·福建泉州·二模）在中，，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴． 4．（2026·福建福州·二模）在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是______． 【答案】 2 【分析】首先，根据已知条件，得出，得，最后，得． 【详解】解：如图，在的正方形网格中， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·福建南平·二模）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，边长为2，则菱形ABCD的面积为_________． 【答案】2 【详解】解：如图， ∵菱形ABCD， ∴AD=AB，OD=OB，OA=OC， ∵∠DAB=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD=AB=2， ∴OD=1， 在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO=， ∴AC=2， 则S菱形ABCD=AC•BD=2， 故答案为2． 坡度坡角、仰角俯角、方位角问题 考点02 1．（2026·福建厦门·二模）如图，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比，当他沿斜坡向下直线滑行时，他下降的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设下降的高度为，则下降前后的水平距离为，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设下降的高度为，则下降前后的水平距离为． 依题意，得， 解得或（舍去）， ∴他沿斜坡向下滑行时，下降的高度为． 2．（2026·福建三明·二模）为响应年植树节“履行植树义务，共建美丽中国”主题活动，某校团支部于年月日组织部分入团积极分子参与植树造林．小民在坡度为的山坡上种植了两棵树（如图），斜坡上相邻两树间的坡面距离为米，则相邻两树间的水平距离为_____米．（结果保留准确数） 【答案】 【分析】根据坡度为，设，则，根据勾股定理可得，解方程求出的值，再根据求出结果． 【详解】解：坡度为， ， 设，则， ，， ， 解得：或（负值舍去）， 米． 图形变换背景下的线段、角度三角函数计算 考点03 1．（2026·福建泉州·二模）如图1是以为直径的半圆形纸片，半径，． 若沿半径剪开，并将扇形沿向右平移至扇形的位置（如图2所示），设与的交点D，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，证明为等边三角形，易得，由平移的性质得，，证明，求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：连接， ，半径， ， 又， 为等边三角形， ， ∵， ， 由平移的性质得，， ， ， ， ， ∵，即， ． 2．（2026·福建宁德·二模）如图，是的直径，点在上运动（不与，重合），将沿翻折，得到，点是的中点，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)证明：不论点如何运动，的大小不变；（以图2为例证明） (3)如图2，当点在下方，，时，求的直径． 【答案】(1)证明：∵， ∴． 由翻折得，， ∴． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． (2)证明：设， 由（1）得 ， 由翻折得 ， ∴． ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∴． (3)的直径为 【分析】（1）由得，由翻折得，，得，由圆周角定理得，由可证明是等边三角形，从而可证明结论； （2）设，得 ，由翻折得 ，得，求出，由点E是的中点可得，从而可得出，故可得结论； （3）．延长，相交于点F，连接，设，解，求得，根据勾股定理得，根据证明，得出；证明，求出，根据求出，从而可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图2，延长，相交于点F，连接． 设， ∵是的直径， ∴． ∴． 在中，， ∴． 由勾股定理得， ∵点E是的中点， ∴，． ∵， ∴． ∴，，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 解得 ． ∴． 即的直径为． 3．（2026·福建宁德·二模）如图，将沿对角线分割成和；再将沿直线平移得到，使得，，，，，六个顶点中四个顶点组成一个特殊平行四边形，其余两个顶点落在这个特殊平行四边形的内部． (1)若平移后得到一个菱形，在图1作出平移后的，并画出相应菱形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，平移后得到矩形，若，，．求平移的距离． 【答案】(1) (2)平移的距离为11 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，分别、为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接,得到菱形；以点为圆心，为半径画弧，交于点，则为平移后的三角形； （2）过点B作交AG于点H．在中，求出，，在中，求出，再求出，根据可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，过点B作交AG于点H． ∴． 在中，， ∵， ∴． 由勾股定理得 ． 在中，， 由勾股定理得 ． ∵四边形是矩形， ∴． ∵． ∴． 解得． ∴． ∴平移的距离为11． 解直角三角形的实际应用 考点04 1．（2026·福建泉州·二模）灯光透过柔光板后照明，有保护视力的作用．小明利用家里的圆形柔光板对房间的灯具进行改造，已知小明房间为长4米、宽3米的矩形，灯在房间的正中央，距离地面超过3米，圆形柔光板直径米，装上后距离地面3米，且灯具光线通过柔光板后正好可以覆盖整个房间地面，则柔光板距离吸顶灯至多_________米． 【答案】 【分析】利用相似三角形原理，灯、柔光板边缘、房间地面最远角落三点共线，通过比例关系求解灯到柔光板的最大距离． 【详解】解：确定地面最远点距离：房间为长4米、宽3米矩形，中心到角落的距离为半对角线，即 （米）， 设柔光板距离吸顶灯米，柔光板半径米，灯到地面距离为米，光线从灯经柔光板边缘到地面角落，形成相似三角形，比例关系为 即， 解得， ∴柔光板距离吸顶灯至多米． 2．（2026·福建莆田·二模）图1是中国古代建筑中的举架结构，其中是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举图2是某举架结构截面的示意图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且，则k的值为______． 【答案】0.6 【分析】设，再根据比例关系表示，代入计算即可． 【详解】设， 则， ∴ ∴ ∴ 解得． 3．（2026·福建南平·二模）在物理学中，速度具有大小和方向．如图1，点O受到两个速度，的影响，其大小分别用线段的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的长度和方向表示与的合速度v（即实际速度）的大小和方向，这种求与合速度v的方法称为平行四边形法则．如图2，若小河的水流速度为，方向为正东，小船在静水中的航行速度为，两个速度的方向所成的角为，且，小船的实际速度为．根据平行四边形法则，下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①若，不变，变大，则小船的实际速度v变大；    ②； ③若小船沿正北方向行进，则． 【答案】①③ 【分析】①当，不变，变大，即线段的长度变大为的长度，则小船的实际速度v的大小从的长度变大为的长度；当或360时，与在同一方向上，此时，当时，与在相反方向上，此时，其余情况时，；③如若小船沿正北方向行进，此时． 【详解】解：①如图①，当，不变，变大，即线段的长度变大为的长度，则小船的实际速度v的大小从的长度变大为的长度，故①正确； ②∵， ∴当或时，与在同一方向上，此时， 当时，与在相反方向上，此时， 其余情况时，， 综上所述，，故②不正确； ③如图②，若小船沿正北方向行进，此时， 则，故③正确；综上所述，①③正确． 4．（2026·福建龙岩·二模）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； (2)如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)可行 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据代入数据求出的值即可； （2）延长交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于， 在中，， ． 即的点到墙面的距离为； （2）解：如图，延长交于点，延长交于点， 可得，，， 在中，，， ， 由题意，四边形是矩形，则， 由可知，， 在中，， 即：， ， ，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行． 5．（2026·福建龙岩·二模）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【答案】（1）； （2）该部件的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体．如图， 设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用． （1）根据切线长定理求解即可； （2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可； （3）能，将圆柱换成正方体． 【详解】解：（1）∵分别与，相切于点，， ∴，； （2）∵钢柱的底面圆半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴该部件的长度符合要求； （3）略 6．（2026·福建厦门·二模）综合知识的应用： (1)某社区有一个宽度（）为3米的矩形健身区，它恰好容纳了4个竖放的矩形器材区和2个横放的矩形器材区，且每个矩形器材区形状大小都相同（如图1所示），求每一个矩形器材区的边； (2)为响应国家全民健身的号召，社区计划新建一个一边长为10米的矩形健身区，用于放置42个运动器材（每一个运动器材需要一个独立的器材区域），他们规划了内部器材区的布局，拟定了如下的方案： （ⅰ）健身区的布局采用竖放矩形器材区和平行四边形器材区的组合形式（如图2所示），其中平行四边形器材区的排数比矩形器材区少一排，为保证通行安全，每排器材区之间设置1.5米宽的通道； （ⅱ）每一个矩形器材区的边长与（1）中的矩形器材区相同，每一个平行四边形器材区的面积与一个矩形器材区的面积相等； （ⅲ）每一个平行四边形器材区的形状大小都相同，且它有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形的长边相等，即在平行四边形中，，． ①求平行四边形器材区的另一边的长； ②求新建矩形健身区另一边的长度． 【答案】(1)长为2米，宽为1米 (2)①；② 【分析】（1）设矩形长为，宽为，由“总宽度为3米”得，由“2个长边等于4个宽边”得，联立方程组求解即可； （2）①利用平行四边形面积等于矩形面积，结合已知内角和边长，可求出高，进而求出另一边；②先计算每排容纳数量（矩形10个，平行四边形6个），设矩形排数为，则平行四边形排数为，根据总数42列方程求解排数，最后计算总长度． 【详解】（1）解：设矩形的长为米，宽为米， 根据题意得， 解得， 答：矩形的长为2米，宽为1米； （2）解：①如图， 在平行四边形中，， ， ， ， 每一个平行四边形器材区的面积与一个矩形器材区的面积相等， ，即， 解得米， 故平行四边形器材区的另一边的长为米； ②， 每排可放10个矩形器材或6个平行四边形器材； 设放置了排矩形器材，则有排平行四边形器材， ， 解得， ， 即放置了3排矩形器材，2排平行四边形器材， 共有4个过道， 则， 故新建矩形健身区另一边的长度为米． 7．（2026·福建泉州·二模）请阅读素材，探索解决下列问题： 素材1：小红家的冰箱放厨房的位置如图1所示，两面靠墙，其中墙足够长，承重墙长度为． 素材2：该冰箱俯视图是一个边长为的正方形，如图2所示，点是开、关冰箱门的转轴，，，点、都在直线上，，点到、、的距离分别为、、． (1)请直接写出的长； (2)完全打开冰箱门时点恰好落在线段上，局部示意图如图3所示，过点作，求的度数（精确到）； (3)冰箱按素材1位置放置时，它的后侧、右侧正好距离墙壁作为散热空间，此时冰箱门是否能够完全打开？如果能，请说明理由；如果不能，则冰箱至少需要向左移动多少厘米？ （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) (3)能，将冰箱放置在距离墙、距离均为处，过点作于点，延长交于点，延长交于点， 由题意得：， 由（2）得， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ，， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 即 解得 ∴ ， ∴ ， ∴此时冰箱正好能按素材1位置放置，且保证足够的距离散热． 【分析】（1）过点O作交的延长线于点，确定，求解即可； （2）过点作交延长线于点，过点作 ，垂足为，过点作，垂足为；得到，结合勾股定理，三角函数求解即可； （3）过点作于点，延长交于点，延长交于点，根据三角函数求解即可 【详解】（1）解：如图，过点O作交的延长线于点，得， ， 根据题意，得， ， 根据勾股定理，得； （2）解：如图，过点作交延长线于点，过点作 ，垂足为， 过点作，垂足为； 由题意得， 设，则 ∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴， ∴， 即 解得： 在中，由勾股定理得 即 解得，（舍去） ∴，， 在 中， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． （3）略 8．（2026·福建三明·二模）综合与实践 木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题． 如图，现有宽度不同的两根木条（宽木条中，窄木条中，），当遇到转角为直角（）的地面时，发现拼接后点与点不能重合． 在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接． 第一步：如图，画出的延长线，交于点，连接； 第二步：如图，沿着射线方向，平移窄木条，得到，使点与点重合，延长，交窄木条的边于点，连接； 第三步：沿着、切割，切口恰好可以完全重合，如图完成拼接．    (1)请判断图中，的数量关系，并说明理由； (2)如图，如果宽木条的宽度为，窄木条的宽度为，宽木条裁剪后的锐角是，求的值； (3)如图，当若地面的转角为，对宽度比为的两根长方形木条和切割后拼接铺入该转角处，求的值． 【答案】(1)结论： ，， ． ，，， ，． 同理可得， ， ， 由平移得， ． ， ． (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质以及平行线的性质，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）延长交于点，两根木条的宽度比即为所求； （3）过点作于点，于点，过点作交的延长线于点，交于点，则四边形为矩形，两根木条的宽度比为，即，根据，得出，进而求得，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长交于点，   ，， ， ，   ，， ； （3）如图，过点作于点，于点，过点作交的延长线于点，交于点，则四边形为矩形， 两根木条的宽度比为，即， 设，则，   ，， ， ．     ， ，     ， ． 三角函数与几何图形综合 考点05 1．（2026·福建泉州·二模）将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中，，求出，根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·福建三明·二模）如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°． 【答案】55 【分析】由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得，，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴． 3．（2026·福建厦门·二模）如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则________． 【答案】38 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等边对等角、直角三角形两锐角互余等知识点，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点E为边中点， ∴， ∴． 故答案为：38． 4．（2026·福建泉州·二模）如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 【答案】6 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据平行线分线段成比例得，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为直角斜边上的中线， ∴，． ∵， ， ， ∴， ． 5．（2026·福建泉州·二模）如图，正方形中，若点是边的中点，连接交对角线于点．已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形性质可知，进而证明，得到线段比，算出对角线后按比例求． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ． 6．（2026·福建厦门·二模）如图，在中，，，是锐角，于点是的中点，连接，，若，则长为______． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，证明，得，设，则，在中，，在中，，列关于的方程，解出，在中，，计算即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，∴， ∵点是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵，∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 7．（2026·福建龙岩·二模）如图，是的直径，，连接交于点，与相切于点，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，连接，若，则_________． 【答案】 【分析】根据，，，根据切线的性质，可得，利用直角三角形中，角的等量关系，可得，根据解直角三角形，先求出，得到，再根据，勾股定理的应用，求出，根据，利用线段的等量关系，求出；根据三角形的三线合一，求出，根据，求出，即可． 【详解】解：过点作于点，连接，， ∵， ∴，， ∵，与相切， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 8．（2026·福建泉州·二模）如图，四边形为平行四边形．    (1)在上求作一点，使得； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，，求（1）中的面积． 【答案】(1)点的位置如图所示；    (2) 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于为半径画圆，连接交点，与交于点，根据三角形的面积，等底半高，点即为所求； （2）过点作垂足为，根据，求出，根据，求出，再根据，求出，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点作垂足为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点是中点， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题解直角三角形，尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图，解直角三角形，进行解答，即可． 9．（2026·福建三明·二模）如图，在中，． (1)用无刻度的直尺和圆规，在的延长线上确定点，使得以为圆心，为半径的圆，与直线相切，画出⊙，并标出切点；（不写画法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，⊙与直线的另一交点为，连接，若，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作中的外角的平分线交延长线于点D，以为圆心，为半径的圆，与直线相切； （2）过点作于点；由余弦函数关系可求得，进而由勾股定理求得，证明，得，证明，求得，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，过点作于点； ， ，，， ． ∵在中，由勾股定理，得， 与直线相切于点， ， ． ，，， ， ． ，，， ， ，． ，． ， ， ， ，，， ∴在中，由勾股定理得． 10．（2026·福建厦门·二模）如图，矩形，，． (1)用直尺和圆规作一个符合条件的平行四边形，须满足：①点F落在边右侧；②；③与在同侧；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若平行四边形的面积是矩形面积的一半，且为等腰三角形，求的值． 【答案】(1)解：如图所示，四边形即为所求； (2)的值为，1，． 【分析】（1）作线段的垂直平分线，垂足为，在的右侧，以为圆心，为半径作弧，交于点，在射线上截取线段，使得，连接，四边形即为所求； （2）证明，得到是等边三角形，分三种情况：，，分别求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵平行四边形面积是矩形面积的一半， ∴垂直平分线段， ， ， ， 是等边三角形； ∴， ∴． 当时，如图， 是等边三角形， ， ； 当时，如图，作交于点G， ∵， ， ； 当时，如图，作交于点M， 由， 得， 即， ， ， ， ． 11．（2026·福建龙岩·二模）在中，． (1)尺规作图：分别在，，边上作，，，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1) 解：如图所示，菱形即为所求； (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角先想到作的平分线交于点，再由菱形的对角线互相垂直平分想到作的垂直平分线，交于点，交于点，则四边形就是所求的菱形； （2）设，则，由相似三角形的性质可得，再由勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴在中， 由勾股定理得：， ， 解得， ∴， ∴． ∵且， ∴是菱形以为底的高， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查菱形的作法、相似三角形的性质、勾股定理的应用等，熟知相关性质定理是解题的关键． 12．（2026·福建龙岩·二模）如图，在中，，点在上． (1)在上找一点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作线段-垂直平分线，勾股定理的运用，解题的关键是掌握作线段的垂直平分线，勾股定理的知识，进行解答，即可． （1）作线段的垂直平分线，即可； （2）根据等角对等边，可得，根据直角三角形中，两锐角互余，则，求出的值，设，则，根据勾股定理，求出，即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求作的点． （2）解：， ， ， ， ， ， 设，则， 中，， ， 解得， ． 13．（2026·福建南平·二模）如图，已知和射线，，． (1)在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，若，求证：． 【答案】(1) 解：如图①，点E即为所求作； (2) 证明：如图②，过点B作交的延长线于点F， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 连接交于点H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）延长，作出，与的交点即为点E； （2）过点B作交的延长线于点F，推导出为等腰直角三角形，得到，，连接交于点H，推导出垂直平分，得到，继而推导出，得到，则，得到，可推导出，即可解答． 【详解】（1）解：如图①， 理由如下：∵，， ∴； （2）略 14．（2026·福建龙岩·二模）如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路径为以为直径且位于矩形内部的半圆，作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径且位于矩形内部的半圆， 作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：7． 15．（2026·福建厦门·二模）如图，在中，，平分． (1)请在边上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件： ①点B在圆O上； ②与边切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的图中，若，，求的长． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意，当与边切于点，且点在圆上，圆心在边上，则，再由等边对等角和角平分线的定义可证明，进而证明，则有，从而确定作线段的垂直平分线即可得到答案； （2）解得到，设，则，解得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由切线的性质可得， 在中，， ∴可设， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 16．（2026·福建南平·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点．    (1)尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求DF的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）过点D作DF⊥AE，利用余角的性质找两个角对应相等，则可得到△ABE∽△DFA； （2）先根据中点的性质求出BE，再根据勾股定理求出AE长，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作DF⊥AE即可；      证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝∠DFA=90°， ∵∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∴△ABE∽△DFA； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝90°， ∵点E是BC的中点． ∴BE＝BC＝3， 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝5， ∵△ABE∽△DFA， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似的变换和勾股定理等知识，正确作出点F是解题的关键． 17．（2026·福建漳州·二模）如图，已知矩形，，是对角线． (1)求作线段，，使得的值最小，且点P，Q分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求（1）中所作的的值． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了最短路径问题，锐角三角函数解直角三角形，能够利用对称的性质找到最短路径是解题的关键． （1）根据“将军饮马”模型即可画图； （2）利用锐角三角函数解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧交于，则为点关于的对称点；以点为圆心，为半径，画弧与线段交于，分别以，为圆心，以为半径画弧，连接与两弧交点，与交于，与交于，连接， 此时，，则为到的最短距离，由于，则此时的最小值； （2）解：连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵为点关于的对称点， ∴， ，， ∴， ∴， ∴，， 在中，设，，则，解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 则． 18．（2026·福建泉州·二模）如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（为斜边）． (1)证明：若、、均为整数，则它们不可能都是奇数； (2)如图，若，，直线交边于点，求的值． 【答案】(1)证明：假设、、均为奇数， 则、、均为奇数 ∴为偶数， 由勾股定理得，∴为偶数， 与为奇数相矛盾，假设不成立 ∴、、不可能都是奇数． (2) 【分析】（1）假设、、均为奇数，推出为偶数，即可得证； （2）过作，交的延长线于点，证明，进而得到，求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解:过作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，，， ， ∴（负值舍去）， 在正方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 19．（2026·福建泉州·二模）如图，已知中，，，，点P，Q分别是边，上的动点，且满足． (1)求当 时，是等边三角形； (2)若点H为的中点，连接，． ①当的面积等于12时，试求线段的长； ②探究线段之和的最小值． 【答案】(1)2 (2)① ②方法一：探究动点轨迹、化斜为直 设，则，过点H作，交于点E，过点Q作，交于点F，连接，则， ∴ 又 ∴， ∵ ∴，即， ∴ ， ∴， 当C、H、A三点共线时，即最小，为线段长 过点C作，交延长线于点O ∵ ， ∴， ∴， 则 ∴， 即的最小值是； 方法二：倍长中线、化斜为直 延长至E，使得， 连接、、， ∵，， ∴， 则，，， ∴， 则， 又， ∴， 取中点K， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 则 ∴， 当C、H、A三点共线时，即最小为线段， 过点C作，交延长线于点O ∵， ∴， ∴， 则 ∴ 即BH+CH的最小值是． 【分析】（1）等边三角形三条边相等，根据列等式进行求解； （2）①过点H作，过点P作，根据三角函数列等式进行求解； ②方法一：构造直角三角形，过点H作，过点Q作，根据三角函数求出，三点共线时值最小，利用三角函数求值； 方法二：倍长中线，延长至E，使得，三角形全等得出，利用平行线性质和直角三角形斜边定理进而求出，三点共线时值最小，利用三角函数求值． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图，过点H作，分别交、于点E、F 过点P作，交于点G，则， 又∵点H为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即， 又，且， ∴， 过点B作， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 答：线段的长为； ②略 【点睛】利用三角函数构造直角三角形，求之和的值最小，化斜为直，三点共线时值最小． 20．（2026·福建南平·二模）如图，是的直径，以为边作交于点，且．过点作于点，延长交于点． (1)如图（1），求证：是的切线； (2)如图（2），若，，求线段的长； (3)如图（3），在线段上标出点P，使得的值最小，在（2）的条件下，直接写出此时线段的长． 【答案】(1)证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵是半径， ∴是的切线． (2) (3)， 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，，，确定，得出，再由切线的判定即可证明； （2）连接，根据圆周角定理得出，，确定点是的中点，，再由正切函数得出，设，则，利用勾股定理求解即可； （3）过点A作关于直线的对称点，连接，交于点P，过点F作的延长线于点M，根据各角之间的关系得出，再由相似三角形的判定得出，，，结合其性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图，连接． ∵为的直径， ∴，． 又∵，， ∴点是的中点，， ∴ ∴ 设，则 ∴在中，由勾股定理得 即，解得 ∴． （3）过点A作关于直线的对称点，连接，交于点P 过点F作的延长线于点M， ∴， 由（2）得：， 在中，设 ， ∴， 解得（负值舍去） ∴， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解直角三角形综合 5大考点概览 考点01 锐角三角函数定义、特殊三角函数值 考点02 坡度坡角、仰角俯角、方位角问题 考点03 图形变换背景下的线段、角度三角函数计算 考点04 解直角三角形的实际应用 考点05 三角函数与几何图形综合 锐角三角函数定义、特殊三角函数值 考点01 1．（2026·福建三明·二模）如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·二模）人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·二模）在中，，则的值为____________． 4．（2026·福建福州·二模）在的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，交网格线于点E，则的值是______． 5．（2026·福建南平·二模）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，边长为2，则菱形ABCD的面积为_________． 坡度坡角、仰角俯角、方位角问题 考点02 1．（2026·福建厦门·二模）如图，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比，当他沿斜坡向下直线滑行时，他下降的高度为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建三明·二模）为响应年植树节“履行植树义务，共建美丽中国”主题活动，某校团支部于年月日组织部分入团积极分子参与植树造林．小民在坡度为的山坡上种植了两棵树（如图），斜坡上相邻两树间的坡面距离为米，则相邻两树间的水平距离为_____米．（结果保留准确数） 图形变换背景下的线段、角度三角函数计算 考点03 1．（2026·福建泉州·二模）如图1是以为直径的半圆形纸片，半径，． 若沿半径剪开，并将扇形沿向右平移至扇形的位置（如图2所示），设与的交点D，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建宁德·二模）如图，是的直径，点在上运动（不与，重合），将沿翻折，得到，点是的中点，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)证明：不论点如何运动，的大小不变；（以图2为例证明） (3)如图2，当点在下方，，时，求的直径． 3．（2026·福建宁德·二模）如图，将沿对角线分割成和；再将沿直线平移得到，使得，，，，，六个顶点中四个顶点组成一个特殊平行四边形，其余两个顶点落在这个特殊平行四边形的内部． (1)若平移后得到一个菱形，在图1作出平移后的，并画出相应菱形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，平移后得到矩形，若，，．求平移的距离． 解直角三角形的实际应用 考点04 1．（2026·福建泉州·二模）灯光透过柔光板后照明，有保护视力的作用．小明利用家里的圆形柔光板对房间的灯具进行改造，已知小明房间为长4米、宽3米的矩形，灯在房间的正中央，距离地面超过3米，圆形柔光板直径米，装上后距离地面3米，且灯具光线通过柔光板后正好可以覆盖整个房间地面，则柔光板距离吸顶灯至多_________米． 2．（2026·福建莆田·二模）图1是中国古代建筑中的举架结构，其中是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举图2是某举架结构截面的示意图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且，则k的值为______． 3．（2026·福建南平·二模）在物理学中，速度具有大小和方向．如图1，点O受到两个速度，的影响，其大小分别用线段的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的长度和方向表示与的合速度v（即实际速度）的大小和方向，这种求与合速度v的方法称为平行四边形法则．如图2，若小河的水流速度为，方向为正东，小船在静水中的航行速度为，两个速度的方向所成的角为，且，小船的实际速度为．根据平行四边形法则，下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①若，不变，变大，则小船的实际速度v变大；    ②； ③若小船沿正北方向行进，则． 4．（2026·福建龙岩·二模）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； (2)如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，） 5．（2026·福建龙岩·二模）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 6．（2026·福建厦门·二模）综合知识的应用： (1)某社区有一个宽度（）为3米的矩形健身区，它恰好容纳了4个竖放的矩形器材区和2个横放的矩形器材区，且每个矩形器材区形状大小都相同（如图1所示），求每一个矩形器材区的边； (2)为响应国家全民健身的号召，社区计划新建一个一边长为10米的矩形健身区，用于放置42个运动器材（每一个运动器材需要一个独立的器材区域），他们规划了内部器材区的布局，拟定了如下的方案： （ⅰ）健身区的布局采用竖放矩形器材区和平行四边形器材区的组合形式（如图2所示），其中平行四边形器材区的排数比矩形器材区少一排，为保证通行安全，每排器材区之间设置1.5米宽的通道； （ⅱ）每一个矩形器材区的边长与（1）中的矩形器材区相同，每一个平行四边形器材区的面积与一个矩形器材区的面积相等； （ⅲ）每一个平行四边形器材区的形状大小都相同，且它有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形的长边相等，即在平行四边形中，，． ①求平行四边形器材区的另一边的长； ②求新建矩形健身区另一边的长度． 7．（2026·福建泉州·二模）请阅读素材，探索解决下列问题： 素材1：小红家的冰箱放厨房的位置如图1所示，两面靠墙，其中墙足够长，承重墙长度为． 素材2：该冰箱俯视图是一个边长为的正方形，如图2所示，点是开、关冰箱门的转轴，，，点、都在直线上，，点到、、的距离分别为、、． (1)请直接写出的长； (2)完全打开冰箱门时点恰好落在线段上，局部示意图如图3所示，过点作，求的度数（精确到）； (3)冰箱按素材1位置放置时，它的后侧、右侧正好距离墙壁作为散热空间，此时冰箱门是否能够完全打开？如果能，请说明理由；如果不能，则冰箱至少需要向左移动多少厘米？ （参考数据：，，，） 8．（2026·福建三明·二模）综合与实践 木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题． 如图，现有宽度不同的两根木条（宽木条中，窄木条中，），当遇到转角为直角（）的地面时，发现拼接后点与点不能重合． 在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接． 第一步：如图，画出的延长线，交于点，连接； 第二步：如图，沿着射线方向，平移窄木条，得到，使点与点重合，延长，交窄木条的边于点，连接； 第三步：沿着、切割，切口恰好可以完全重合，如图完成拼接．    (1)请判断图中，的数量关系，并说明理由； (2)如图，如果宽木条的宽度为，窄木条的宽度为，宽木条裁剪后的锐角是，求的值； (3)如图，当若地面的转角为，对宽度比为的两根长方形木条和切割后拼接铺入该转角处，求的值． 三角函数与几何图形综合 考点05 1．（2026·福建泉州·二模）将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建三明·二模）如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°． 3．（2026·福建厦门·二模）如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则________． 4．（2026·福建泉州·二模）如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 5．（2026·福建泉州·二模）如图，正方形中，若点是边的中点，连接交对角线于点．已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·福建厦门·二模）如图，在中，，，是锐角，于点是的中点，连接，，若，则长为______． 7．（2026·福建龙岩·二模）如图，是的直径，，连接交于点，与相切于点，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，连接，若，则_________． 8．（2026·福建泉州·二模）如图，四边形为平行四边形．    (1)在上求作一点，使得； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，，求（1）中的面积． 9．（2026·福建三明·二模）如图，在中，． (1)用无刻度的直尺和圆规，在的延长线上确定点，使得以为圆心，为半径的圆，与直线相切，画出⊙，并标出切点；（不写画法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，⊙与直线的另一交点为，连接，若，且，求的长． 10．（2026·福建厦门·二模）如图，矩形，，． (1)用直尺和圆规作一个符合条件的平行四边形，须满足：①点F落在边右侧；②；③与在同侧；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若平行四边形的面积是矩形面积的一半，且为等腰三角形，求的值． 11．（2026·福建龙岩·二模）在中，． (1)尺规作图：分别在，，边上作，，，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 12．（2026·福建龙岩·二模）如图，在中，，点在上． (1)在上找一点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，，若，，，求的长． 13．（2026·福建南平·二模）如图，已知和射线，，． (1)在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，若，求证：． 14．（2026·福建龙岩·二模）如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 15．（2026·福建厦门·二模）如图，在中，，平分． (1)请在边上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件： ①点B在圆O上； ②与边切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的图中，若，，求的长． 16．（2026·福建南平·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点．    (1)尺规作图：在AE上求作一点F，使△ABE∽△DFA；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求DF的长． 17．（2026·福建漳州·二模）如图，已知矩形，，是对角线． (1)求作线段，，使得的值最小，且点P，Q分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求（1）中所作的的值． 18．（2026·福建泉州·二模）如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（为斜边）． (1)证明：若、、均为整数，则它们不可能都是奇数； (2)如图，若，，直线交边于点，求的值． 19．（2026·福建泉州·二模）如图，已知中，，，，点P，Q分别是边，上的动点，且满足． (1)求当 时，是等边三角形； (2)若点H为的中点，连接，． ①当的面积等于12时，试求线段的长； ②探究线段之和的最小值． 20．（2026·福建南平·二模）如图，是的直径，以为边作交于点，且．过点作于点，延长交于点． (1)如图（1），求证：是的切线； (2)如图（2），若，，求线段的长； (3)如图（3），在线段上标出点P，使得的值最小，在（2）的条件下，直接写出此时线段的长． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $