专题07圆的综合证明与计算7大考点（福建专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦圆的综合应用，汇编福建省多地二模真题，覆盖7大考点，注重几何直观与逻辑推理，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|12题|圆的基本性质、切线判定、扇形面积计算|结合闽东茶叶生产等地方情境，如宁德二模茶饼支架问题| |填空|4题|圆心角计算、阴影面积、圆与勾股综合|设置动态平移问题，如泉州二模扇形平移求线段长| |解答|11题|圆与相似/三角函数综合、切线证明、最值问题|多问分层设计，如厦门二模切线综合题含证明与计算，关联中考命题趋势|

专题07 圆的综合证明与计算 7大考点概览 考点01 圆的基本性质 考点02 弧长、扇形面积及阴影部分面积计算 考点03 切线的判定与性质证明 考点04 圆与勾股定理综合 考点05 圆与相似三角形综合 考点06 圆与锐角三角函数综合 考点07 圆的其他问题 圆的基本性质 考点01 1．（2026·福建三明·二模）如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建厦门·二模）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 4．（2026·福建厦门·二模）如图，是的直径，点为圆心，点在延长线上，是的切线，切点为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·二模）如图，是的外接圆，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（2026年福建省福建省南平市新光学校等校中考二模九年级数学试卷）如图，的内接四边形的对角线经过圆心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·福建莆田·二模）如图，是的切线，为切点，为上一点，交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·福建福州·二模）如图，三角形ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，且，，若，则的度数是______． 9．（2026·福建宁德·二模）茶叶生产是闽东乡村振兴的支柱产业之一．如图是圆形展示茶饼的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．茶饼正立且紧靠支架于，两点，恰好与边相切于点，若，则圆心角________． 弧长、扇形面积及阴影部分面积计算 考点02 1．（2026·福建南平·二模）如图，是的切线，A、B为切点，为直径，且，求的长（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建宁德·二模）如图，半圆的直径是，图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建漳州·二模）如图，菱形的顶点A，B在上，对角线与相交于点M，若的半径为6，，则扇形的面积为（） A． B． C． D． 4．（2026·福建厦门·二模）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 5．（2026·福建三明·二模）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心画．若，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建龙岩·二模）如图1，四边形是的内接四边形，，连接，． (1)求的度数； (2)如图2，，相交于点，若，．求阴影部分的面积． 切线的判定与性质证明 考点03 1．（2026·福建南平·二模）如图，在中，，分别是半径及其延长线上的点，交于点，且，连接． (1)如图1，求证：为的切线； (2)如图2，是经过点的弦． ①求证：； ②连接交于点，连接．求证：． 2．（2026·福建南平·二模）如图，是的直径，以为边作交于点，且．过点作于点，延长交于点． (1)如图（1），求证：是的切线； (2)如图（2），若，，求线段的长； (3)如图（3），在线段上标出点P，使得的值最小，在（2）的条件下，直接写出此时线段的长． 圆与勾股定理综合 考点04 1．（2026·福建泉州·二模）如图1是以为直径的半圆形纸片，半径，． 若沿半径剪开，并将扇形沿向右平移至扇形的位置（如图2所示），设与的交点D，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建龙岩·二模）如图，是的直径，，连接交于点，与相切于点，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，连接，若，则_________． 3．（2026·福建泉州·二模）如图1，为的直径，是的中点，与交于点． (1)若，求的度数； (2)点是上的动点（不与点、重合），交于点，沿折叠后得到线段． ①如图2，当点落在上时，求证：； ②如图3，当于时，连结、，若，，用含、的式子表示的长，并说明理由． 圆与相似三角形综合 考点05 1．（2026·福建厦门·二模）已知：如图，四边形内接于，为的直径，，弦于点F，交BD于点G． (1)求证：； (2)延长，相交于点H． ①求证：； ②若，若表示的周长，求的值．请用含t的式子表示． 2．（2026·福建三明·二模）如图1，C是以为直径的半圆O上一点，D是的中点，交的延长线于点E，，相交于点F． (1)求证：； (2)如图2，若O，F，E三点共线，求． 3．（2026·福建莆田·二模）如图1，内接于的平分线与和分别交于点D和E，F是延长线上一点，连接，且． (1)求证：点F到三边所在直线的距离相等； (2)若经过点O，连接，如图2，求证：； (3)若，请用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 圆与锐角三角函数综合 考点06 1．（2026·福建漳州·二模）如图，内接于，直径交于点E，、的延长线相交于点P，点C为中点，过点C作的切线交于点Q． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的面积． 2．（2026·福建厦门·二模）如图，是的切线，D是直径延长线上的一点，连接、，设（）． (1)若，求． (2)延长至E，使，过点E作的垂线，分别交、于点F，H． ①若，直径，求的长． ②求证：． 3．（2026·福建宁德·二模）如图，是的直径，点在上运动（不与，重合），将沿翻折，得到，点是的中点，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)证明：不论点如何运动，的大小不变；（以图2为例证明） (3)如图2，当点在下方，，时，求的直径． 4．（2026·福建龙岩·二模）问题发现 （1）如图①，已知中，，点在上，连接、，则___________； 问题探究 （2）如图②，已知是的中线，点在上，连接，且，若，求的长度； 问题解决 （3）如图③，四边形是某小区的一块空地，其中米，米，，，，物业准备在空地内找一点，分别修建四条小道、、、（小道的宽度不计），并在内分别种植不同的花卉，为生活娱乐区，根据物业公司规划要求，，且小道与的比值尽可能小．是否存在满足要求的点？若存在，请找出点的位置，并计算的最小值，以及此时的面积；若不存在，请说明理由． 圆的其他问题 考点07 1．（2026·福建泉州·二模）如图所示的方格图中的小正方形边长均为，点均是格点．直线与的外接圆相切于点，交射线于点，已知． (1)用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图： ①画出的外接圆的圆心； ②画出的切线，交射线于点． (2)在（）的条件下，连结．试证明：是等腰三角形． 2．（2026·福建福州·二模）如图，是半圆O的直径，C为的中点，D为上一点，交于点E，交于点F，交于点G．点O，P关于对称，交于点H，连接． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)求的最小值． 3．（2026·福建三明·二模）如图，在中，，直线上方有一点（不与点重合），且满足，作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)当平分时，求证：、、三点共线； (3)若，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07圆的综合证明与计算 ☆7大考点概览 考点01圆的基本性质 考点02弧长、扇形面积及阴影部分面积计算 考点03切线的判定与性质证明 考点04圆与勾股定理综合 考点05圆与相似三角形综合 考点06圆与锐角三角函数综合 考点07圆的其他问题 考点01 圆的基本性质 1. (2026福建三明二模)如图，8是⊙0的直径，C、D是⊙0上异于A、B的两点，且BC=BD ∠4CD-80D,则∠的度数为() B 1/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.22.5° B.25° C.30° D.45° 【答案】A 【分析】先利用等弧转化∠BOD与∠A的关系，结合题干条件把∠ACD用∠A表示，再根据圆周角定理得 到∠AOD与∠A的关系式，最后利用∠AOD+∠BOD=180°求解即可. 【详解】解： .BC=BD .∠BOD=2∠A, 3 .·∠ACD= ∠BOD 2 ÷∠ACD=x2∠A=3∠A 2 1 :∠ACD=2∠A0D .∠AOD=2∠ACD=6∠A, :AB是⊙O的直径，∠AOD+∠BOD=180°， .6∠A+2∠A=180° .∠A=22.5° 2.(2026福建厦门二模)如图，AB为⊙0的直径，点C、D是⊙0上位于AB异侧的两点，连接 AD、CD 者AC=B ,则D的度数为() D B A.30° B.45° C.60° D.750 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接1CBC,由1B为⊙0 AC=BC 的直径可得 ∠ACB=90° 进而由 得∠CAB=∠CBA=45°，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键. 【详解】解：连接AC、BC 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B ,AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， .AC-BC .∠CAB=∠CBA=45°， .LD=∠CBA=45°， 故选：B。 3.(2026福建泉州二模)如图，⊙0的弦AC、BD的延长线相交于点P,AC=BD,若∠OPB=20°， 则∠BOC的度数是() D B A.100° B.120° C.130° D.140° 【答案】D 【分析】首先作OM1AC于M,作ON⊥BD于N,利用“等弦对等弦心距”得出OM=ON,进而判 定OP平分∠APB并求出∠APB的度数，随后在四边形OMPN中利用内角和算出∠MON，最 后通过证明Rt△OMC≌Rt△ONB实现角度转化，从而求得∠BOC的度数. 【详解】如图，作OM⊥AC于M,作ON⊥BD于N, A B .AC=BD 3/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OM=ON ∴.OP平分∠APB ∴.∠APB=2∠OPB=40° ∴.∠MON=360°-∠OMP-∠ONP-∠APB ∴.∠M0W=360°-90°-90°-40° .∠MON=140 ,在RtAOMC与Rt△ONB中 OM-ON OC=OB :.RtOMC≌RtONB(H) ∴.∠MOC=∠NOB .∴∠NOB+∠CON=∠MOC+∠CON ∴.∠B0C=∠MON=140° 4.(2026福建厦门二模)如图，AB是⊙0的直径，点O为圆心，点C在AB延长线上，CD是⊙0的切 线，切点为点D,若∠C=40°，则∠DAC的度数为() A.30 B.25° C.40° D.50° 【答案】B 【分析】先根据切线的性质得到∠ODC=90°，则利用互余计算出∠COD=50°，然后根据圆周角定理求解 【详解】解：连接OD D 与圆相切于点D, .CD ∴.OD⊥CD」 ∴.∠ODC=90° 4/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠C=40° ∠C0D=90°-40°=50°， ∠DAC= 2∠C0D=250 故选：B 5.(2026福建泉州二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠OAC=23°，则∠B的大小为() A.46° B.60° C.67° D.77° 【答案】C 【分析】连接OC求出∠4OC的度数，根据圆周角定理求解即可： 【详解】连接OC, .∴.OA=OC .∠0AC=23° .∠0CA=23°， ∴.∠A0C=180°-23°-23°=134° :∠B=1∠40C=1x134°=670 2 6.(2026年福建省福建省南平市新光学校等校中考二模九年级数学试卷)如图，⊙0的内接四边形 ABCD的对角线BD经过圆心O,若∠ABD=3S°，则∠ACB的度数为() 5/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.35° B.45° C.55° D.65° 【答案】C 【分析】根据BD为⊙O的直径，得出∠BAD=90°，根据己知可得∠ADB=90°-∠ABD=55°，进而根据同 弧所对的圆周角相等，即可求解. 【详解】解：，BD为⊙O的直径， .∠BAD=90° ∠ABD=35°， ,∠ADB=90°-∠ABD=55°， 4B-4B .∠ACB=∠ADB=55° 7.(2026福建莆田二模)如图，AB是⊙0的切线，A为切点，D为⊙0上一点，BD交⊙0于点C,连 接OA,OC,OD,AD,若LB=∠ODC,则∠ADC的度数为() D A.40° B.45° C.50° D.55 【答案】B 【分析】根据等腰三角形性质和已知条件证得OC‖AB,进而利用切线性质求出∠AOC=90°，最后利用 圆周角定理求解即可. 【详解】解：，OC=OD, .∠OCD=∠ODC, ,·∠B=∠ODC, 6/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠B=∠OCD. OC‖AB, ∴.∠AOC+∠OAB=180° :AB是⊙0的切线， .OA⊥AB,即∠OAB=90°， ∴∠A0C=90° ∠A0C= 1 .∠ADC= 2×90°=450 8.(2026福建福州二模)如图，三角形ABC内接于⊙O,D为⊙0上一点，且AD川BC,D0/AC,若 ∠ABC=36°，则∠BAC的度数是 D 【答案】81° 【分析】连接OA,OC,圆周角定理，求出∠AOC的度数，等边对等角，求出∠OAC,平行线的性质，结 合等边对等角，结合角的和差关系进行求解即可 【详解】解：连接OA,OC, 则OA=OC=OD,∠AOC-2∠ABC=72° :∠01c=oC1-00-∠40c)=54. .AD BC,DOI/AC, .∠AOD=∠OAC=54,∠DAB=∠ABC=36°， OA=OD &∠04D=∠0DA-=5080-∠A0D)=63, 7/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠OAB=∠OAD-∠BAD=27°， ∴.∠BAC=∠OAB+∠OAC=81° B 9.(2026福建宁德·二模)茶叶生产是闽东乡村振兴的支柱产业之一.如图是圆形展示茶饼的正面及其固 定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形.茶饼正立且紧靠支架于A,D两点，恰好与BC边相切于点E,若 ∠AEB=20°，则圆心角∠A0E=°。 【答案】40 【分析】由圆的切线的性质得出∠OEB=90°，由角的和差关系得出∠OEA=∠OEB-∠AEB=70°，由等边 对等角以及三角形内角和定理即可求出∠AOE 【详解】解：茶饼正立且紧靠支架于A,D两点，恰好与BC边相切于点E, .∠OEB=90°， ∠AEB=20° .∠OEA=∠OEB-∠AEB=70°， OA=OE ∴.∠OAE=∠OEA=70° .∠AOE=180°-∠OAE-∠OEA=40° 考点02 弧长、扇形面积及阴影部分面积计 1.(2026福建南平·二模)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，BC为⊙O直径，∠P=40°且 BC=18,求MB的长() 8/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3π B.5π C.7π D.9π 【答案】C 【分析】连接OA,根据切线的性质可得PAO=∠PBO=90°，利用四边形PBOA内角和为360°求出 ∠A0B=140°，再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：连接OA, B PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∴∠PA0=∠PB0=90, .∠P=40° .∠A0B=360°-∠P-∠PA0-∠PB0=140° BC=18,即OB=OC=9, 140×π×9 “AB的长为180 =7π 2.(2026福建宁德二模)如图，半圆的直径是4，图中阴影部分的面积是() A.2π-4 B.4π-4 C.8π-8 D.8π-4 【答案】A 【分析】把不规则的图形分割成规则的图形，利用扇形的面积公式和正方形的面积公式求解即可 【详解】解：如下图所示，点O为半圆圆心 由题意可知：AB=4, 9/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AO=B0=E0=2, .点E、F分别为两个小半圆的圆心， ..CE=DF=OE=OF=CG=DG=1, :S影=S半4OB-S形HEc-S形BPD-S半圆Dcc-4(SE方形EC00-S眉形CED） (CGYEY-0(OEY -x2-xx-2xx-4P-x =2-4- =2π-π-4+π =2π-4」 E D 3. (2026福建漳州二模)如图，菱形ABCD的顶点A,B在⊙0上，对角线BD与⊙O相交于点M,若 ⊙0 ∠DBC=20° AOM 的半径为6， 则扇形 的面积为() 2π 4π A.3 B ，3 C.2n D.4π 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出ADI‖BC及AB=AD,从而求出∠ABD的度数，再利用圆周角定理求出圆心 角∠AOM的度数，最后利用扇形面积公式求解。 10/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， ∴.AD‖BC,AB=AD, ∴.∠ADB=∠DBC=20°，∠ABD=∠ADB=20°， :点A,B,M在O0上， ∴，∠AOM=2∠ABM=2∠ABD=40°， .⊙0的半径为6， 40π62 ∴.S扇形AOM= =4π 360 4.(2026福建厦门二模)如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如 图2所示，它是以O为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角∠0=90°形成的扇面，若0A=2m,OB=1m, 则阴影部分的面积为 （结果保留π). 社会主义， 心价值观 图1 图2 3 【答案】4π 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据 阴影=S扇形A0D-S扇形B0C 即可求解. 【详解】解： S阴影=S扇形OD-S扇形BOC 90m·0A290π·0B2 360 360 90π(OA2-0B2） 360 90π(22-1P) 360 11/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 故答案为：4π 5.(2026福建三明·二模)如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF,再以点A为圆心画 EF 若B=3 则扇形EAF的面积为() D 2 4 6 12 A. 5 B.5 C.5T D. 【答案】C 【分析】先求出正五边形每个内角的度数，结合等边三角形的性质求出∠EAF的度数，利用扇形面积公式 求解即可 【详解】解：，五边形ABCDE是正五边形， ∴.AE=AB=3、 ∠EAB=5-2)x180 =108°， :△ABF是等边三角形， ∠BAF=60°， .∠EAF=∠EAB-∠BAF=108°-60°=48°， 48×元×326π 扇形EAF的面积为360一=5· 6.(2026福建龙岩·二模)如图1，四边形ABCP是⊙0的内接四边形，∠ABC=2∠P,连接OA,OC. E 图1 图2 12/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求∠AOC的度数： (②如图2，OB,AC相交于点E,若∠B0C=90,0C=5 求阴影部分的面积. 【答案】(1)∠A0C=120° 3玩5 (2)42 【分析】(1)根据圆内接四边形的性质求出∠P=60°，根据圆周角定理即可求出∠AOC的度数； 3π (2)先求出 扇形BOC= 4, 根据勾股定理及三角函数求出OE=1,进而求出 ACOE= 2,可知阴影部分的 面积. 【详解】(1)解：.四边形ABCP是⊙O的内接四边形， .∠ABC+∠P=180° ∠ABC=2LP, .2∠P+∠P=180° ∴.∠P=60° .∠A0C=2∠P=2×60°=120°： (2)解：∠B0C=90°0C=V5 S用形0c二 r2 90m(53x 360 360 4 :0A=0C,∠A0C=120°， .∠EC0=30° 在RtEOC中， tan∠ECo= OE OC 3 OE 3. .OE=1, 13/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5m-060c-xik5 2 2. S例影=S扇形B0-ScoE= 3πV3 42. 考点03 切线的判定与性质证明 (2026福建南平二模)如图，在O0中，P,Q分别是半径OA及其延长线上的点，BP⊥OA交⊙0于 点B,且 00.OP=04 BO ，连接 图1 图2 (1)如图1，求证：B为⊙0的切线： (2)如图2，CD是经过点P的弦. ①求证：CP.DP=OA-OP2: ②连接AD交BP于点E,连接AB.求证：∠ADB=∠ABQ 【答案】()见解析 (2)①见解析；②见解析 OB OP 【分析】(1)连接oB,则OB=OA?由O0.0P=OA可得O0OB,根据∠B0P=∠Q0B可证 △BOP△QOB ∠OBQ=∠OPB=90° BQ,⊙0 根据相似三角形的性质可得 从而可证为的切线： (2)①延长BP交O0于点M,连接CM,OB,由勾股定理得：BP=OB2-OP2,等量代换可得 BP2=OA2-OP2 BPDACPM ,可证 根据相似三角形的性质可证结论成立： 14/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②由（山知∠0B0:90,由二角形内角和完理可得∠0B1=90-40B,从面可得∠ABQ40B, 2 等量代换可证结论成立. 【详解】(1)证明：如下图所示，连接OB,则OB=OA, .00.OP=0A2 ∴.OQOP=OB2 OB OP 00 OB, .∠BOP=∠QOB ∴.△BOP∽△QOB ∴.∠OPB=∠OBQ BP⊥OA .∠OBQ=∠OPB=90° ∴.QB⊥OB 又OB为⊙0的半径， ∴.BQ⊙0 为的切线： B A (2)①证明：如下图所示，延长BP交⊙O于点M,连接CM,OB, BP⊥OA ∴.BP=PM, 15/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 在RtAOBP中，由勾股定理得：BP2=OB2-OP2, ..OB=OA. ∴BP2=OA2-OP2 BC=BC ∴∠BDC=∠CMB」 ∠BPD=∠CPM, .ABPD∽aCPM, BP DP CP MP, .BP.MP=CP.DP .BP2=CP.DP ∴CP.DP=OA2-OP2 D M ②证明：如下图所示，由(1)知∠0B0=90°， ∴.∠ABQ=90°-∠OBA 在△OAB中， .OA=OB, ∠0BA=∠0AB=180°-∠A0B=90°-∠A0B 2 ∴∠ABQ=90°- w-240 ∠AOB 16/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADB=∠AOB ∴∠ADB=∠ABQ D M 2.(2026福建南平·二模)如图，AB是⊙0的直径，以AB为边作△ABC交O0于点D,且AB=AC, 过点D作DE⊥AC于点E,延长CA交⊙O于点F. E 0 D D 图(1) 图(2) 图(3) ()如图(1)，求证：DE是OO的切线； (②)如图(2)，若tan∠ABC=4,CD=5,求线段CF的长： (3)如图(3)，在线段BC上标出点P,使得AP+FP的值最小，在(2)的条件下，直接写出此时线段PD 的长 【答案】(1)证明：如图，连接OD F E OB=OD. ∠ABC=∠ODB AB=AC, ∴.∠ABC=∠C 17/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ODB=∠C .ODIl AC DE⊥AC, DE⊥OD 又，OD是⊙0半径， .DE是⊙O的切线. (2)CF=8 AE 0 (3) B 35 PD=57 【分析】(1)连接OD,根据等边对等角得出，∠ABC=∠ODB,∠ABC=∠C,确定∠ODB=∠C,得 出DE⊥OD,再由切线的判定即可证明： (2)连接AD,BF,根据圆周角定理得出AD⊥BC,AF⊥BF,确定点D是BC的中点，∠C=∠ABC, 再由正切函数得出tan∠ABC=tanC= BF 3 CF=4,设BF=3x’则CF=4x,利用勾股定理求解即可； (3)过点A作关于直线BC的对称点A',连接A'F,交BC于点P,过点F作FM⊥A'A的延长线于点M, 根据各角之间的关系得出∠ADE=∠C,再由相似三角形的判定得出△DEC∽△AED,△FMA∽aCDA, △PDA'∽△FMA',结合其性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)如图，连接AD,BF. E :AB为⊙O的直径， ∴.AD⊥BC,AF⊥BF」 18/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：AB=AC,DE⊥AC, ∴，点D是BC的中点，∠C=∠ABC, ∴.BC=2CD=10 .an∠ABC=tanC=BF-3 CF4 设BF=3x,则CF=4x ∴.在RtABCF中，由勾股定理得BF2+CF2=BC2 即3x+(4x=10 解得r=2 ∴.CF=8 (3)过点A作关于直线BC的对称点A',连接AF,交BC于点P 过点F作FM⊥AA的延长线于点M .FM∥CD. M 由(2)得：an∠ABC=tanC=3 在Rt△DEC中，设DE=3x,CE=4x, .(3x)2+(4x)2=52 解得x=1(负值舍去) DE=3,EC=4, 由(2)得AD⊥BC,DE⊥AC .∠ADC=∠DEC=90°，∠AED=∠DEC=90° ∴.∠ADE+∠EDC=90°，∠C+∠EDC=90°， :.∠ADE=∠C 19/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△DECAAED」 AD AE DE 3 ·DC DE EC4' 15 9 ·AD=AD=4’AE=4 9 25 “.AC=AE+EC=9+4= 4 4, 由(2)得CF=8, ..AF=CF-AC=8- 57 4=4 .FM∥CD .△FMA∽△CDA,△PDA'∽△FMA', 7 FM MA 4 ∴FM=MA_FA,即5=15=25， DC AD AC 44 > 21 15,21171 ·FM=5,MA=20,AM2+2020 .△PDA'△FMA', 15 PD A'D PD 4 ∴.FMAM 7 =171 J 20 PD=10535 17157· 考点04 圆与勾股定理综合 1 (2026福建泉州二模)如图1是以AB为直径的半圆形纸片，半径C0⊥AB,AB=4a,若沿半径 OC剪开，并将扇形 1C沿OB向右平移至扇形 O'A'C 的位置（如图2所示），设OC与BC 的交点D, ∠OCD=60°，则线段A'O的长为() 20/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 23a a A.3 B.3 c.(2-v5)a D.(5-10a 【答案】C 【分析】连接OD,证明△OCD为等边三角形，易得∠DOB=30°，由平移的性质得ociloc', 04=OA=0B:证阴∠00D=90,求出0D-0D=a,进而求出08=2-5)a,即可求解 2 【详解】解：连接OD, D AB=4a,半径C0⊥AB, 0A=0C=0B=0D=)AB=20 又，∠0CD=60°， ∴.aOCD为等边三角形， ∴.∠C0D=60°， .∠COB=90° .∠D0B=30°， 由平移的性质得OC1/OC',OA=OA=OB, .∴.∠00D=90° 0D=)0D=0 2 21/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :.0'0=V0D2-0D2=5a :.0B=0B-0'0=(2-3)a .O'A'=OB,O+00'=0'B+00' :.A0=0B=(2-3)a 2.(2026福建龙岩二模)如图，B是O0的直径， BC=D=DM,连接CD交4B于点F,CG与o0 相切于点C,交AB的延长线于点G,连接MB并延长，交CD于点E,交CG于点N,连接AC,若 tan/G=3 BN ,则AC B D 55 【答案】48 【分折1根据C=D=DW,0G1BD,0D1MW,根据切线的性质，可得CG10C,利用直角三角 形中，角的等量关系，可得LODF=∠ABM=∠NBG=∠CGF,根据解直角三角形，先求出OG,得到 c0s∠G=CG4 OG5,再根据an∠0cF=OF_3 CF4,勾股定理的应用，求出AC,根据an∠G=C5=?-4a FG 4 FG _4BH 3 利用线段的等量关系，求出BG:根据三角形的三线合，火出BH根据©os∠NG=BN8N,求 BH 出BN,即可. 【详解】解：过点N作NH⊥AG于点H,连接OC,OD 22/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BH G M ..BC-BD-DM .OG⊥BD,OD⊥MN, :CG⊥OC,CG与⊙O相切， ∠OCD+∠GCF=90°，∠GCF+∠CG0=90°， OCF=∠CGF, .OC=OD .∠OCD=∠ODC, .∠OCD=LODC=LCGF, .OD⊥MB ∴.∠ODF+∠MED=90°，∠BEF+∠ABM=90°. ,∠MED=∠BEF, ∴.∠ODF=∠ABM, :∠ABM=∠NBG .∠ODF=∠ABM=∠NBG=∠CGF, .NB=NG, :.△BNG是等腰三角形： .BH=HG. tan/G=3 :tan∠G=Oc3 GC4· 设0C=3k,CG=4k, :0G=V0C2+CG2=5k 23/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ∴cos∠G= CG 4 0G5, .∠G=∠OCF tan∠OCF= OF 3 CF 4 设OF=3a,CF=4a, .0C=5a, ∴.OC=OA=OD=5a, ∴，AF=OA+OF=8a,BF=2a, C=AF+CF=(8a)+(4a)-45a tanLG=CF=3_4a FG 4 FG FG=16 a 3 BG=FG-FB=16 -2a= 3 34, :.BH-GH-1BG=5a 5 , :cos∠G=4 5, ·Cos∠NBG=4BH 5BN BN' 解得：BN=25 , 25 BN-2055 AC 45a 48 3.(2026福建泉州二模)如图1，BC为O0的直径，D是1C的中点，AC与BD交于点E. 24/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D G E G B B B 图1 图2 图3 (1)若∠ABD=20°，求∠ACB的度数： (2)点F是⊙O上的动点（不与点A、C重合），CF交BD于点G,FA沿FC折叠后得到线段FM. ①如图2，当点M落在BC上时，求证：DG=DE·DB; ②如图3，当MF⊥AB于H时，连结OA、OM,若OA=a,OM=b,用含a、b的式子表示AF的长， 并说明理由。 【答案】(1)50 (2)①如图，连接 D G ，B M DC 由折叠性质得∠ACF=∠MCF ∠BAC=90° ∴.∠ABC+∠ACB=90°， .·∠ABD=∠CBD :2G8c+∠GC8=4BC+∠4C8)=45. .∠DGC=∠GBC+∠GCB=45°， BC为⊙0的直径， ∴.∠BDC=90° 25/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△DGC为等腰直角三角形， ..DG DC, 4D=AD .∠ACD=∠ABD. .∠ACD=∠DBC, 又，'∠BDC=∠BDC .△DCE-△DBC, DE DC ·DCDB, 即DC2=DE·DB .DG=DE·DB ②4F=Va2+ab 理由： 如图，连接AM交FC于点K, G E B M 由折叠性质得∠CFA=LCFM,AM⊥FC .MF⊥AB ∴.∠MHA=∠MHB=∠BAC=90° ∴.AC∥FM ∴.∠ACF=∠CFM :.∠ACF=∠CFA .AF=AC .AF=AC 又，OA为半径， 26/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由垂径定理的推论得：OA⊥FC,KC=KF 又.AM⊥FC, ∴.A、O、M三点共线 ∴.AM=AO+OM=a+b MK=AK=1AM=a+b 2 2 ..KO=AO-AK=a-b 在RtACOK中，由勾股定理得：KC2+KO2=CO2 即Kc2=d-a--kKr 4 在Rt△AKF中，由勾股定理得：AF2=AK2+FK2 4.a:toe=-+ 4 4 .AF=Va+ab 【分析】(1)由圆周角定理以及直角三角形两锐角互余即可求解： (2)①如图，连接DC,通过证明△DCE一△DBC解决问题；②连接AM交FC于点K,先由垂径定理以 及折叠的性质证明A、O、M三点共线，然后用a,b的代数式表示AM,KO,再对RteCOK和Rt△AKF运 用勾股定理求解即可， 【详解】(1)解：BC为OO的直径， ∴∠BAC=90° :D是C的中点， ∴.∠ABD=LCBD, .∠ABD=20° ,∠ABC=2∠ABD=40°」 .∠ACB=90°-∠ABC=50°： 27/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)略 考点05 圆与相似三角形综合 1.(2026福建厦门二模)已知：如图，四边形ABCD内接于O0,MB为O0的直径， BC=CD ,弦 CE⊥AB于点F,交BD于点G. D D G B B E 备用图 (1)求证：∠HDC+∠FCB=90°： (2)延长AD,EC相交于点H. ①求证：FC2=FG·FH: ②若8C-4,若C表示△BD的周长，求A把的值。访用含1的式子表示。 BF 【答案】(I)证明：：四边形ABCD内接于⊙0， .∠ABC+∠ADC=180°， .∠HDC+∠ADC=180°， .∠HDC=∠ABC, CE⊥AB, .∠BFC=90° ∠FCB+∠FBC=90°， ∴.∠HDC+∠FCB=90°： (2)①证明：，AB为⊙0的直径， .∠ACB=∠ADB=90° .∠GDH=180°-∠ADB=90°. 28/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE⊥AB .∠BFG=∠AFH=90°， ,∠H+∠HGD=90°，∠GBF+∠BGF=90°，∠BGF=∠HGD, .∠H=∠GBF, ∴.△BGFAHFA, FG BF ·AFFH FG·FH=BF·AF, .∠ACF+∠BCF=∠BCF+∠CBF=90°， ∴，∠ACF=∠CBF, .∠AFC=∠BFC=90°， ∴.aBFC∽aCFA, BF CF CF AF' ,BF·AF=CF2, .FC2=FG.FH ②2(-F+) 【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠ADC=180°，再结合∠HDC+∠ADC=180°，得出 ∠HDC=∠ABC,由题意可得∠BFC=90°，则∠FCB+∠FBC=90°，由此即可得证； (2)①由圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=9O°，证明△BGFAHFA,得出FG·FH=BF·AF,再证明 △BFC∽△CFA BF·AF=CF2 ,得出 即可得证；②由垂径定理并结合圆周角定理可得 ∠CBD=∠BCE=∠BAC=∠CAD:由正切的定义，设BC-1,则B t,BF=1,由勾股定理可得 .作cvn于w·则a0=arCM-求n-下，0-- AC=-2 表示 29/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 C.m+BD+) 则 1+21-2+V01-2r2 设 AC v-2 ∠BCF=∠BAC=∠CAD=a,求出a<45°，即∠BCF<45°，从而可 sin∠BcF<V 2,结合题意可得 0<1<② ”2,即1-2>0，再结合二次根式的性质化简即可得出结果 【详解】(1)略 (2)①略： ② 解：：CE⊥AR AB0 为的直径， :.∠BFG=∠AH=90°.BC=BE∠ACB=∠ADB=90 ..BC=CD BC=CD=BE CD=BC ∴.∠CBD=∠BCE=∠BAC=∠CAD. BE :BC =t :sin∠BCF=BF =1 BC :sin∠BAC=BC zt, AB 设BC=1,则AB= t'BF=t' AC=VAB-BC7=1- t, 作CM⊥BD于M,则BD=2BM, 30/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D MG B E .·sin∠CBD=CM=t, BC .CM=t, BM =BC2-CM=1- BD=2BM=2- .AD=AB2 BD2= 0-22) Cm=+8D+D-2-平+-2r +2-+V1-2月 C.ABD =L t 1+2-4+1-22y :.AC V1-2 V1-t2 t 设∠BCF=∠BAC=∠CAD=a,则∠CAD+∠CAB+∠ABD=90°， ∴.2a+∠ABD=90°. ∴a<45°，即∠BCF<45°， sin ZBCF< 2, ∴结合题意可 0<1< 2, .1-22>0, 31/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CABD 1+21-7F+-22 AC 1-2 1+2tW1-t2+1-22 V1-2 2-2+-2 1-2 21-(-2+) V1-2 =2(1-F+) 【点睛】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等：直径所对的圆周角为直角；相似三角形的对应 边成比例 2.(2026福建三明·二模)如图1，C是以AB为直径的半圆O上一点，D是AC的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E,AC,BD相交于点F, D D F B 图1 图2 (1)求证：AC=2DE: EF (2)如图2，若O,F,E三点共线，求OF: 【答案】(1) 证明：解法一：连接OD交AC于点G,连接OC, 32/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H D G B O D是AC的中点， 4G-CG-AC OD AC .∠DGC=90°， ,AB为直径， .∠ACB=90° ∴.∠ACE=90° .DE⊥BC, .∠E=90°， 四边形DGCE为矩形， DE-CG-AC .'AC=2DE: 解法二：延长AD,CE相交于点N. D B AB为直径， ∠ACB=∠ADB=∠BDN=90° D是AC的中点 :0=cD .∠ABD=∠CBD 33/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又BD=BD, .△ABD≌ANBD」 .AD=ND DE⊥BC, ∠DEB=90°=∠ACB」 DE ll AC, DE ND 1 ACNA 2' .AC=2DE: -5 (20F 【分析】(1)连接OD交AC于点G,连接OC,由D是AC的中点结合垂径定理的推论得 AG=CG=)4C,ODLAC,再白4∠CB=∠4CE=∠E=90得到四边形DGCE为矩形， DE=CG=)AC,即可证明AC=2DE: 21 BC BF (2)根据三角形中位线得到BC=2OG,由DEGC,DOEC,DE=GC,得到CE-DF,即可证明 BC BE AD0 FABEF,得到CE=OD,设BC=2a,CE=b,则BE=2a+b,OD=a+b,代入整理得b=√2a, EF_CE_b- 即可得到OFOG a 【详解】(1)略 (2)解：解法一：由(1)知，AG=CG, 又，OA=OB, .'BC=20G, 由(1)知，四边形DGCE为矩形， D G B 34/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.DEIGC,DOl EC,DE=GC, BCBF ·CEDF, 且∠DOF=∠BEF,∠ODF=∠EBF .△DOF∽△BEF, BF BE DF OD' BC BE ·CEOD' 设BC=2a,CE=b, 则BE=BC+CE=2a+b, OD-OG+DG=BC+CE=a+b. 2a2a+b .b=a+b’ .b=2a EF_CE-b= .OF OG a 解法二：过O作AC的平行线交BC于点H, D H CF EC 则OH BH_OB=1 EH,CH OA :.BH=CH, ∴.AC=2OH, 由(1)得，AC=2DE, :OH=DE, CF EC DE EH 35/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(1)得，∠BCF=∠BED=90°， 又·∠CBF=∠EBD, .△BCFn△BED, CF BC ·DEBE EC BC ·EHBE' 设BC=2a,EC=b,则CH=a,EH=a+b,BE=2a+b, b 2a a+b2a+b' b=√2a EE_EC-b-反 .OF FO a 3.(2026福建莆田·二模)如图1，△ABC内接于O0,∠BAC的平分线与BC和⊙0分别交于点D和E,F 是AE延长线上一点，连接CF,且∠ACF+∠BCF=I80°， D D E E F 图1 图2 ()求证：点F到三边AB,BC,AC所在直线的距离相等： DF BE (2②)若AF经过点O,连接BE,如图2，求证：AF=AE: (③)若AE=2EF,请用等式表示线段AB,BC,AC之间的数量关系，并证明. 【答案】(1) 36/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：延长AC到点M,如图 0 B D E M ,AE是∠BAC的平分线，F是AE延长线上一点， “点F到AB,AC所在直线的距离相等， .∠ACF+∠BCF=180°，∠ACF+∠MCF=180°， .∠BCF=∠MCF, ∴点F到BC,AC所在直线的距离相等， “点F到三边AB,BC,AC所在直线的距离相等： (2) 证明：过点F,作FN⊥AB的延长线于点N,如图 B D E N .∠N=90° 37/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,AE是∠BAC的平分线， .∠EAB=∠EAC. .BE-CE .AE是⊙O的直径， .∠ABE=90°，AE⊥BC, 又：点F到三边AB,BC,AC所在直线的距离相等； .FN=DF,∠ABE=∠N=90°， :∠BAE=∠NAF」 .△BAE△NAF, BE AE ·NFAF, BE AE 即DFAF' DF BE .AF AE 3) 解：AB+AC=2BC,理由如下： 如图，连接BE、CE,过点F作FM⊥AB的延长线于点M,作FP⊥BC于点P,作FN⊥AC的延长线于 点N, B 、 - E MS 由(I)可知，FM=FP=FN,∠FMB=∠FPB=∠FPC=∠FNC=9O°， .BF=BF,FC=FC. 38/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.Rt△FMB≌Rt△FPB(HL)Rt△FPC≌Rt△FNC(HL) ∠MBF=∠PBF,∠PCF=∠NCF. :∠BAE=∠CAE,∠BAE=∠BCE,∠CAE=∠CBE, ·.∠BAE=∠CAE=∠BCE=∠CBE ∠MBF=∠BAE+∠BFA,∠PBF=∠CBE+∠EBF, .∠BFA=∠EBF, ∴.BE=EF ..BE=CE .CE=EF,即BE=CE=EF, ,∠BED=∠AEB,∠CED=∠AEC,∠BAE=∠CAE=∠BCE=∠CBE, :ABEDSAAEB,△CEDP△AEC, BE BD CD CE AE AB AC AE BD EF 1 CD EF1 即AB2EF2,AC2EF2' .AB=2BD,AC=2CD ...AB+AC=2(BD+CD)=2BC 【分析】(I)延长AC到点M,先推导出点F到AB,AC所在直线的距离相等，∠BCF=∠MCF,得到点 F到BC,AC所在直线的距离相等，即可解答； (2)过点E,作FNLAB 的延长线于点N,先推导出 E=CE,得到ABE=90°，AE⊥BC,FN=DF BE AE BE AE DF BE 继而推导出ABAE∽ANAF,得到NF=AF,则DF=AF,即可推导出AF=AE; (3)连接BE、CE,过点F作FM⊥AB的延长线于点M,作FP⊥BC于点P,作FN⊥AC的延长线于点 N RteFMBS≌RtFPB(HL)RtAFPC≌RtAFNC(HL) ∠BFA=∠EBF ,推导出 继而推导出 ,得到 39/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE BD CD CE BE=CE=EF,证明出BED6AEB,△CEDAAEC,得到AE=AB,AC=AE,推导出AB=2BD, AC=2CD AB+AC=2(BD+CD)=2BC 则 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 考点06 圆与锐角三角函数综合 1 (2026福建漳州二模)如图，△ABC内接于⊙O,直径BD交AC于点E,AD、BC的延长线相交于 点P,点C为BP中点，过点C作⊙0的切线交AP于点Q. (I)求证：∠P=∠DBC: (2)求证：PAPC=PBPO: (3)若DE=3, sin∠ABD= 3,求ABCE的面积。 【答案】(1)见解析 (2)见解析 3)305 【分析】(1)根据圆周角定理得∠BAP=90°，根据斜边中线定理得∠P=∠CAP,根据“同弧对等角”即 可得证： (2)连接OC,根据切线的性质得∠OCQ=90°，根据(1)可推得OCI‖AP,从而证明△ABP∽△QCP, 即可得证： 40/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)根据题意可设AD=k,BD=3k,由(2)可得△AED∽△COE,则可计算k=5,从而得到 AB=10W2AP=20C0=5V2 即可计算5aac=50 2,由于△ABE与△BCE的高相同，根据这两个 三角形底边的比计算面积即可. 【详解】(1)证明：，BD为直径， ∠BAP=90°， ,点C为BP中点， .AC=CP, .∠P=∠CAP, ⑦=cD ∴.∠CAP=∠DBC, .∠P=LDBC; (2)证明：连接OC, A OB=OC, .∠DBC=∠OCB, ,由(1)可知，∠P=∠DBC, ∴.LP=∠OCB」 .OCIl AP, CQ是⊙O的切线， .∠0C9=90° .∠PQC=∠0CQ=90° 41/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ∠BAP=∠COP=90°，∠P=∠P, .△ABP∽△QCP, PC PO ·PBPA' 即PAPC=PB·P№， (3)解：sin∠ABD= 3, ∴设AD=k,BD=3k, 则半径0C=3k 由(2)可知，OC‖AP .△AED∽△COE, AD DE AE 2 OC OE CE 3 9 S4E=2 0E=2,SE3, OC=OD=OE+DE=15 2 k=5, BD=15 AB=102 则 由(1)可知，∠P=∠DBC, ∴BD=DP=15, ∴AP=20、 PC PO CO 1 由(2)可知，△ABP∽△QCP,则PBPA AB2, :C0=5v2 ÷se=aSe48A4r-04P-505, 42/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S4E=2 S.8CE 3 SAWCE=30 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的概念，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数解直角三角形，能 够熟练掌握相关性质，并灵活地解直角三角形是解题的关键. 2.(2026福建厦门二模)如图，CD是⊙O的切线，D是直径AB延长线上的一点，连接AC、BC,设 ∠A=a(0°<&<45°). E D OH B 图1 图2 (1)若a=20°，求∠D (2)延长BC至E,使BC=CE,过点E作AB的垂线，分别交AC、AB于点F,H. ①若tana三)，直径4B=1O,求F1的长 S.EEC=1-tan'a ②求证：SBcn 【答案】(1)∠D=50° (2)①EH=8； ②证明：，∠E=∠A,∠ECF=∠ACB ∴.△EFC∽△ABC BC=CE S.EFC CE (BC :.SABC tan2a S.e=Smc'tana 43/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .·∠OCD=∠ACB=90° ∴.∠OCA+LOCB=∠BCD+∠OCB=90° ∴.∠BCD=∠OCA ..OA=OC ∴.∠OAC=∠OCA .∠BCD=∠OAC ,∠D=∠D,∠BCD=∠A ∴.△BCDACAD S.BCD= BC) =tan2a :.S.ACD CA S.8cp=S.cA'tan'a SBCD二 S.acptan'a tan2a .S.ABC S.Acp-S.ucp S.Acp-S.Acp'tan2a 1-tan2a tan'a S.nCD=S.4c']-tan?a S.ec=tan'a=1-tan'a :.S.BCD tan'a 1-tana 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质可得∠OCD=90°根据圆周角定理可得∠COB=2∠CAB=40°， 进而求得∠D: BC=25,AC=45 (2)①根据已知求得 进而证明△EHB△1CB,根据相似三角形的性质，即可求解： SEFC BC 12 tana ②先证明△EFC∽△ABC得出S,ABC CA 进而可得S.rc=S。c·tan2a，证明 S.BCD BC tan2a △BCDACAD得出SACc CA =tan2a,进而得出S.m=S,c-na,再求比值，即可求解， 【详解】(1)解：连接OC,因为CD是⊙O的切线， 44/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.OC⊥CD, 图1 ∴.∠OCD=90° ∠A=20° .∠COB=2∠CAB=40° .∠D=90°-40°=50° (2)①.AB是直径 ∴.∠ACB=90° :在Rt△ABC中，tana=anA=BC-} AC 2,AB=10 设BC=x,AC=2x :4B=1BC2+AC=+(2x)=5x 6x=10 解得：x=25 BC=25 AC=45 .·BC=CE EB-BC+CE=2BC=45 EH⊥AB .∠EHB=90° ∠E+∠EBH=90°，∠A+∠CBA=90° ∴.∠E=∠A ∴.△EHB∽△ACB .EHEB :.AC AB' 45/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EH 4V5 .4V510, 解得：EH=8: ②略。 3.(2026福建宁德二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上运动（不与A,B重合），将△AOC沿 Oc 翻折，得到DOC 点E是BD 的中点，连接AD B B E D E D 图1 图2 (I)如图1，若∠CAB=15°，求证：AD=OA: (2)证明：不论点C如何运动，∠CAE的大小不变；（以图2为例证明） ③)如图2，当点E在1B下方，tan∠BAE=4:D=4时，求。O的直径 【答案】(1)证明：，OA=OC, B D E 图1 ∴.∠ACO=∠CAB=15° 由翻折得，∠DC0=∠AC0=15°， .∠ACD=30° ∴.∠AOD=2∠ACD=60°」 46/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OA=OD. .△OAD是等边三角形， ∴.AD=OA. (2)证明：设∠CAB=a, 由(1)得∠ACD=2a, 由翻折得AC=DC, :∠CaD=∠CDA=180°-，4CD=90-a. 2 ∴.∠BAD=∠CAD-∠CAB=90°-2a. ·点B是BD 的中点， :BE=BD=45”-a .∠CAE=∠CAB+∠BAE=45° 68 (3)⊙0的直径为15 【分析】(1)由OA=OC得∠AC0=∠CAB=15°，由翻折得，∠DC0=∠AC0=15°，得∠ACD=30°，由 圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，由OA=OD可证明△OAD是等边三角形，从而可证明结论： (2)设∠CAB=a,得∠ACD=2a,由翻折得AC=DC,得∠CAD=∠CDA=90°-a,求出 ∠B1D=90-20,白点8是D的中点可符B1C=45°-“，从而可得出∠C1G=45° ，故可得结论： (3).延长BE,AD相交于点F,连接DE,设BE=x,解Rt△ABE,求得AE=4x,根据勾股定理得 217 FD= x AB=V17x,根据ASA证明△AEF≌△AEB,得出DE=EF=x;证明△FDE∽△FBA,求出17，根 4v17 X= 据FD+AD=AF求出I5,从而可求出AB, 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图2，延长BE,AD相交于点F,连接DE 47/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E D 图2 设BE=x, ,AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90° ∴.∠AEF=180°-∠AEB=90° 在RIABE中，an∠BAE=BE_1 AE 4' ∴.AE=4x」 由勾股定理得1B=VAE2+BE=V7: “点E是BD 的中点， ∴，∠EAF=∠EAB,BE=DE. AE=AE, ,△AEF≌△AEB(ASA) :.EF=BE=x,∠ABE=∠F,AF=AB=7x ∴.DE=EF=x, .∠EDF=∠F=∠ABE. ,∠F=∠F, ,△FDE∽△FBA. FD FE :FB FA' FD x 2xx 48/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :D3) 17x FD+AD=AF, 2W17 2x+4=17x .17 4N17 解得=15. :AB=V17x=68 15 68 即⊙0的直径为15. 4.(2026福建龙岩·二模)问题发现 ∠ACB=90°，AC=6,BC= (1)如图①，已知△ABC中， 8,点P在MB上，连接PA、PC,则 sin∠APC= 问题探究 (2)如图②，己知CD是△ABC的中线，点E在AC上，连接BE,且∠ABE=∠ACD,若 AB=6V2,CE=5 求AE的长度； 问题解决 (3)如图③，四边形ABCD是某小区的一块空地，其中AB=100米，BC=50米，AB‖CD,∠ABC=90°， ∠DAB=45°，物业准备在空地内找一点P,分别修建四条小道PA、PB、PC、PD(小道的宽度不计)， 并在△PAD,△PCD△PBC内分别种植不同的花卉，△PAB为生活娱乐区，根据物业公司规划要求， ∠CPD=45°，且小道AP与BP的比值尽可能小.是否存在满足要求的点P？若存在，请找出点P的位置， AP 并计算BP的最小值，以及此时。PCD的面积；若不存在，请说明理由. 49/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 夕 D C D B 图① 图② 图③ 3 AP2 【答案】(1)5：(2)AE=4:(3)点P是DB为直径的圆与AC的交点，BP2, 此时△PCD的面 积为750平方米 【分析】(1)勾股定理求得AB,根据同弧所对的圆周角相等可得∠APC=∠ABC,进而根据正弦的定义， 即可求解： (2)连接ED,根据已知可得C,E,D,B四点共圆，证明△AED∽△ABC,列出比例式，解方程，即可求解： (3)如图过点D作DE⊥AB于点E,连接BD,根据已知可得P在正方形BCDE的外接圆上运动，设圆心 AP AE 50 为O,延长AP交OO于点F,连接PE,BF,EF,AC,DF,证明APB6AEF得出BPEF=EF,当EF A 为圆的直径时，即C,F重合时， BP取得最小值：过点P作PH⊥CD交CD的延长线于点H,得出 ∠HCP=∠CMB,PH=CP.sim∠HCP,证明△P1E△BAC得出MP=205 进而可得PC,PH的长， 再根据三角形的面积公式，即可求解. 【详解】解：(1)：∠ACB=90°，AC=6,BC=8 :.4B=VAC2+BC2=10 AC=AC .∠APC=∠ABC ·sin∠APC=sin∠ABC=4C-6_3 AB105: (2)如图，连接ED, 50/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E --- D B 图② :∠ABE=∠ACD, C,E,D,B四点共圆， .∠CBD+∠CED=180°， .∠AED+∠CED=180°， .∠AED=∠ABC, 又：∠EAD=∠BAC, .△AEDn△ABC, AE AD ·ABAC AB=65,CE=5,CD是△ABC的中线. :AD=)AB=32 2 AE 3V2 .6N2AE+5, 解得：AE=4(负值舍去)： (3)解：如图过点D作DE⊥AB于点E,连接BD, .ABCD,∠ABC=90°， .∠BCD=90°， :.△BCD是等腰直角三角形， .∠DBC=45° .BC=50 .CD=BC=50」 51/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE⊥AB, .∠DEB=90°， 四边形BCDE是矩形， 又：CD=CB, ∴四边形BCDE是正方形， 则BE=CD=50 .∠CPD=45°=∠DBC, ∴P在正方形BCDE的外接圆上运动，设圆心为O,连接CO, .AB=100. ∴.AE=50 延长AP交OO于点F,连接PE,BF,EF,AC,DF, E B 图③ PE=PE .∠PFE=∠PBE, ,∠PAE=∠BAF, .△APBD△AEF, AP BP ·AEEF,∠APB=∠AEF, AP AE 50 .BP EFEF AP ∴当EF为圆的直径时，即C,F重合时，BP取得最小值， EF=EC=BC=502 AP 502 ∴.BP50W22, 52/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时如图所示， H.D C(F) :∠DEC=45°，∠AED=90°， .∠AEC=135°， .∠APB=135°」 又∠CPB=)∠C0B=45 2 .∠APB+∠CPB=180°， .A,P,C三点共线，即P在AC上， 过点P作PH⊥CD交CD的延长线于点H, .BC=50,AB=100 ∴在Rt△ABC中，AC=VBC2+AB2=50N5 .sin∠C4B=BC-50V5 A505=5, AB‖CD, ∴.∠HCP=∠CAB ∴.PH=CP.sin∠HCP, .∠AEP+∠PEB=180°，∠ACB+∠PEB=180° .∠AEP=∠ACB」 又∠PAE=∠BAC, .△PAE△BAC, AP AE ·ABAC, 53/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AP=4E×AB-50x100 20W5 AC 50W5 PC=AC-AP=50W5-20W5=30√5 PH-CP-sin LHCP-305x530 5 5m=CDxPH=×50x30=750平方米， 2 AP√2 答：点P是以DB为直径的圆与AC的交点，BP 2,此时△PCD的面积为750平方米， 考点07 圆的其他问题 1. (2026福建泉州二模)如图所示的方格图中的小正方形边长均为1，点P,A均是格点.直线PA与 △ABC的外接圆相切于点A,交射线BC于点M,已知AB=BC. (1)用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图： ①画出△ABC的外接圆的圆心O; ②画出OO的切线CN,交射线BA于点V. (②)在(1)的条件下，连结MN.试证明：△AMN是等腰三角形. 【答案】(1)①如图所示点O为所作的圆心； ②如图所示CN为所作的⊙O的切线； 54/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图，由等腰△ABC⊙O、切线AM与切线CF的轴对称性质， 可得BN=BM、BD⊥MN, 则∠BNM=∠BMN,∠BDM=90° D PA是⊙O的切线， .∠OAF=90°， 又∠AFO=∠DFM. .180°-∠OAF-∠AFO=180°-∠BDM-∠DFM, 即∠AOF=∠DMF ∠AOF=∠OBA+∠OAB. 且∠OBA=∠OAB,∠OBA=∠OBC. .∠AOF=∠OBA+∠OBC=∠ABC, .∠ABC=∠DMF,即∠MBN=∠AMN, 又∠MNB=∠ANM, ∴.△MNBr△ANM, 即∠MAN=∠BMN. ∴.∠MAN=∠BNM,即∠MAN=∠MNA, ∴，△AMN是等腰三角形 【分析】(1)①找格点L,使∠PAL=90°，找出圆与格线的交点G、H,使∠GAH=90°，AL和GH的 交点就是圆心O;②连接BO并延长，交AM于点F,连接CF并延长，交直线BA于点N,CN就是所求作 的切线 55/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)借助切线垂直半径、图形轴对称得出△BWM等腰，通过内角和、圆心角性质等量代换，推导出 ∠MAN=∠MNA,证出△AMN为等腰三角形. 【详解】(1)解：①如图 .∠GAH=90° ∴GH是圆的直径， .∠PAL=∠PAG+∠GAL=45°+45°=90°， ∴.PA⊥AL, :PA是OO的切线， ,圆心O在直线AL上， ∴.AL与GH的交点就是圆心O: ②作切线CW 在△AOB和△COB中， OA=OC AB=CB OB=OB' .△AOB≌△COB(SSS ∴.∠ABO=∠CBO,∠BAO=∠BCO 在△ABF和△CBF中， 56/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=CB ∠ABF=∠CBF BF=BF .△ABF≌aCBF(SAS). .∠BAF=∠BCF .∠BAF-∠BAO=∠BCF-∠BCO, 即LOAF=∠OCF, ,直线PA与△ABC的外接圆相切于点A, .L0AF=90°， .∠OCF=90°， :OC是半径， .CV就是所求切线： (2)略 2.(2026福建福州二模)如图，4B是半圆0的直径，C为B的中点，D为BC上一点，AD交OC于 点E,CFIBD交AB于点F,交AD于点G.点O,P关于CF对称，OP交CF于点H,连接DP, 0 (①)求证：OP⊥BD: (2)当DP⊥AB时，求∠BAD的度数： DP (3)求4B的最小值. 【答案】(1) 证明：：点O,P关于CF对称， ∴.CF⊥QP: 又：CF∥BD 57/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OP⊥BD: (2)22.5° √2-1 (3)2 【分析】(1)因为点O,P关于CF对称，所以C⊥OP;又因为CF‖BD,所以根据平行线的传递性， 可推出OP⊥BD (2)连接CP,OD,延长DP⊥AB并交于点M,延长OP交BD于点N,可先利用AAS全等判定方法证明 △COH≌aOBN,则有HO=NB，,进而得到PO=DB,同理可证得△OPM≌aDBM,则有MO=DM, 可得到△OMD是等腰直角三角形，∠DOM=45°，最后可根据LDA0+∠AD0=2∠DA0=∠DOB,得到 ∠BAD的度数， DP (3)设半圆O的半径为R,则AB=2R,要找AB的最小值，即找DP的最小值；将AOBD绕点O逆时针 旋转90°得到△OCD',连接OD,CD',以OD,OD为邻边作正方形ODQD'.可证得DP=C0,所以当 O、C、Q共线时可求出CQ的最小值，最终可获解 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接CP,OD,延长DP⊥AB并交于点M,延长OP交BD于点N, 由(1)知OP⊥BD,CF⊥OP, ∴.∠ONB=∠CH0=90° ∴.∠COH+∠NOB=∠NBO+∠NOB=90°. .∠COH=∠NBO 又，CO=OB :△COH≌aOBN(AAS) 58/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..HO=NB OP⊥BD,DO=OB, ∴.2HO=2NB，,即PO=DB, OPM≌△DBM(AAS) 同理可证 :MO=DM 又：DM⊥OB, ∴.△OMD是等腰直角三角形， .∠D0M=45°， .A0=D0, .∠DAO=∠ADO, .∠DAO+∠ADO=2∠DAO=∠DOB, :∠BAD=号∠D0B=2.5 (3)解：设半圆0的半径为R, 如图，将aOBD绕点O逆时针旋转90得到△OCD',连接OD,CD',以OD,OD'为邻边作正方形ODQD' D D F M ∴.D在⊙0上，OD'=OD=R,∠D0D'=90°，且CD'=BD,CD'⊥BD. .OP=BD,OP⊥BD, .OPICD'且OP=CD'. ∴四边形OD'CP是平行四边形. ,正方形ODQD', :oD=0D'=D0=D'=R,00=2R,且2D00=45 在平行四边形OD'CP中，CPOD'且CP=OD'=R. 59/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 在正方形ODQD'中，D2I‖OD'且DQ=OD'=R .CP∥D0且CP=D0, :四边形CQDP是平行四边形， :.DP=cO 2R .Q在以O为圆心、 为半径的圆弧上运动， 当0，C2共线且C在0,0之间，此时CQ=00-0C=-2R-R=(2-1R :DP的最小值为5-R,丽8=2R, DP (2-1R2-1 ”B的最小值为广 2R 2· 3.(2026福建三明二模)如图，在△ABC中，∠ACB=45°，直线AB上方有一点E(不与点C重合)， 且满足△AEB∽aBEC,作∠BCD=LBCE,交AB的延长线于点D. E E D B D 备用图 (I)求证：△BECADBC: (2)当BE平分∠ABC时，求证：A、E、C三点共线： BE (3)若A=2,AB是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(I)证明：aAEB∽aBEC, ∴，∠ABE=∠BCE :∠BCD=∠BCE, .∠ABE=∠BCD ·.'∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠BCD+∠D 60/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CBE=∠D ∴.△BEC∽△DBC (2)证明：：BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠EBC △AEBP△BEC, ∴∠ABE=∠BCE.∠EAB=∠EBC. .∠ABE=∠BCE=∠EAB=∠EBC. .BE=BE. ∴.△AEB≌△BEC(AAS) ∴.AB=CB ∴.∠ACB=∠CAB=45°，∠ABC=90° .∠ABE=∠CBE=45°， ∴.∠BCE=∠EAB=45°， .∠AEB=∠CEB=90° ∴.∠AEB+∠CEB=180°， ∴A、E、C三点共线 BE √2 (3)解：存在： 、AB)最大 2· 【分析】(I)由△AEB∽aBEC得到∠ABE=∠BCE,进一步求出∠CBE=∠D,即可求证： (2)由角平分线的定义得到∠ABE=∠EBC,利用相似的性质进一步得到 AEB≌△BEC(A,A,S) 接着求 出∠AEB=∠CEB=90°后即可求证； (3)先利用相似三角形的性质得到AB=BD,再构造点C所在的轨迹⊙O,利用圆周角定理等知识构造 △MAADBC,最后得出AM=2BE,结合圆内最大的弦是直径以及勾股定理即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：存在， 61/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △AEB∽△BEC, AB BE BC CE ·.'△BECn△DBC, BE CE BD BC BE BD CE BC AB BD BCBC, .AB=BD :∠ACB=45°， ∴.点C在以AB为弦，圆心角为90°的圆周上， 连接CD,作CD关于CB的对称线，此时点E在此条射线上，CD与OO交于点M,连接AM ·BM=BM ∴.∠BCD=∠BAM ∠D=∠D ∴.△DMA∽△DBC, AD AM CDBC· :△AEB∽△BEC,△BECADBC, △AEBADBC, BE AB BCDC· 1 AB=BD= AM 2AB 2BE BC CD BC, ∴.AM=2BE BE :AB=2:AB取最大值即BE取最大，BE取最大即AM取最大，当AM为OO直径时最大 :.BE=I AM=0A 2 62/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OA=√2 中 AB=04+0B即204=4，解得9 ，即 ∴BE=OA=V2 BE AB最大 2. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，涉及到了线段的最值问题， 解题关键是相等角的转化与圆的构造， 63/23