专题02方程与不等式6大考点（福建专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 汇编福建各地市2026年二模真题，聚焦方程与不等式6大考点，融合地方文化、科技前沿及古代数学典籍情境 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约15题|一元一次方程、不等式性质等|结合肉燕制作、妈祖文化等地方情境| |填空题|约8题|一元二次方程根与系数关系等|融入《算学启蒙》《九章算术》古算题| |解答题|约10题|方程不等式实际应用、函数综合|设置“不动点”定义探究、全超导托卡马克科技素材题|

专题02 方程与不等式 6大考点概览 考点01 一元一次方程 考点02 二元一次方程组 考点03 一元二次方程 考点04 分式方程 考点05 不等式与不等式组 考点06 方程与不等式实际应用 一元一次方程 考点01 1．（2026·福建福州·二模）在福州，肉燕（俗称太平燕）不仅是一道名小吃，更是喜庆习俗中的重要菜品．某传统肉燕店制作肉燕，熟练工每小时比学徒多包300粒，学徒3小时与熟练工2小时制作的肉燕粒数相同．设学徒每小时包x粒肉燕，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，先根据设出的学徒每小时工作量，表示出熟练工每小时工作量，再根据二者总工作量相等的等量关系列方程即可． 【详解】设学徒每小时包粒肉燕， ∵熟练工每小时比学徒多包粒， ∴熟练工每小时包粒， ∵学徒小时制作的总粒数与熟练工小时制作的总粒数相同， 且学徒小时总粒数为，熟练工小时总粒数为， ∴可列方程． 2．（2026·福建厦门·二模）在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程．设这个班有学生人，根据“每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本”，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人， 由题意得，， 故选：B． 3．（2026·福建泉州·二模）元朝朱世杰所著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马所需时间为天，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找准等量关系：快马追上慢马时，两马行驶的总路程相等，再根据所设未知数表示出对应路程即可. 【详解】设快马所需时间为天 ∵慢马先行天， ∴慢马一共行驶的时间为天， ∵快马追上慢马时，两马行驶总路程相等， ∴快马总路程为，慢马总路程为， 可得方程. 4．（2026·福建泉州·二模）节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 【答案】 【分析】先根据题目条件判断小明家水费符合第一、第二档的分段计价规则，再根据“总水费第一档水费第二档水费”的等量关系列出关于的一元一次方程，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵小明家上月用水未超过， ∴水费仅涉及第一档和第二档计价： 第一档用水量为， 第二档用水量为， 结合总水费列一元一次方程：， 整理得：， 解得． 5．（2026·福建三明·二模）解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 二元一次方程组 考点02 1．（2026·福建三明·二模）算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产，它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华拨了一颗上珠和一颗下珠作为一个三位数的百位数字，若个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍，且个位数字比十位数字多4，则这个三位数为多少？设个位数字为x，十位数字为y，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得百位数字为，利用已知条件列出方程组即可． 【详解】解：根据题意可得：百位数字有一颗上珠和一颗下珠组成，即百位数字为， 设个位数字为x，十位数字为y， 个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍， ，即， 个位数字比十位数字多4， ， 可列方程组为． 2．（2026·福建宁德·二模）某校计划组织545名师生前往“闽东苏区红色”基地开展研学活动．某旅游公司派出11辆A，B型客车，所有客车刚好坐满，没有空位，其中A型客车可承载45人，B型客车可承载55人．求该旅游公司派出A，B型客车各多少辆？若设该旅游公司派出A型客车辆，B型客车辆，根据题意，已经列出一个方程是，则可列出的另一个方程是________． 【答案】 【分析】根据等量关系“A型客车承载人数+B型客车承载人数=总人数”结合两种车型的载客量推导另一个方程即可． 【详解】解：设派出A型客车辆，则A型客车总承载人数为；B型客车辆，则B型客车总承载人数为， 由题意，得． 一元二次方程 考点03 1．（2026·福建莆田·二模）莆田聚焦打造世界妈祖文化中心，深耕“妈祖故里·灵秀莆田”品牌，实现文化传播与旅游消费双丰收．据统计，湄洲岛2023年累计接待游客万人次，2025年累计接待游客万人次．设湄洲岛这两年接待游客量的年平均增长率为x，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据年平均增长率推导得到2025年游客量的表达式，再结合已知条件列出方程． 【详解】解：∵年平均增长率为，2023年累计接待游客 万人次， ∴2024年累计接待游客量为 万人次， ∴2025年累计接待游客量为万人次， 又∵2025年累计接待游客为 万人次， ∴可列方程为． 2．（2026·福建福州·二模）用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（ ） A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=25 【答案】A 【详解】根据题意可以先移项，再配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）， 即x2+10x+9=0， x2+10x=﹣9， x2+10x+52=﹣9+52， （x+5）2=16． 故选A． 考点：解一元二次方程-配方法 3．（2026·福建泉州·二模）我国自主研制的全超导托卡马克核聚变实验装置秒稳态长脉冲高约束模等离子体运行，刷新世界纪录．下表是该装置实现稳态长脉冲高约束模运行时间的突破历程： 年份 2012 2016 2017 2023 2025 运行时间（秒） 30 60 101 403 1066 若2023年至2025年运行时间的年平均增长率设为x，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律即可列出符合题意的方程． 【详解】解：∵ 2023年运行时间为403秒，年平均增长率为，从2023年到2025年共经过2年， ∴ 2024年运行时间可表示为 ， ∴ 2025年运行时间可表示为 ， 又∵ 2025年运行时间为1066秒， ∴ 可得方程 ． 4．（2026·福建漳州·二模）我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，第三个月进馆432人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率的增长规律表示出第三个月的进馆人次，结合已知条件即可列出方程． 【详解】解：∵第一个月进馆人次为300，月平均增长率为x， ∴第二个月进馆人次为， 第三个月进馆人次为， ∵题目已知第三个月进馆432人次， ∴可列方程为． 5．（2026·福建龙岩·二模）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 6．（2026·福建南平·二模）已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由数轴得，， ∵一元二次方程为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 7．（2026·福建三明·二模）已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，得到以及，将用含和的式子表示后代入已知等式整理，即可求出的值. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴， 展开得， 整理得， 将代入得， 解得. 8．（2026·福建宁德·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根．下列说法：①的取值范围是；②若，则的值为或5；③二次函数的最小值总不大于0；④代数式的最大值是．其中正确的是________．（填写序号） 【答案】①③ 【分析】根据一元二次方程根的判别式得到的取值范围即可判断①，结合根与系数的关系得出，，代入，整理得出关于t的一元二次方程，解方程结合①t的取值范围即可求出t的值，即可判断②，把二次函数的一般式化成顶点式即可判断③，把化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质可判断④． 【详解】解：已知，是一元二次方程的两个实数根， 对于①由根的判别式得，解得，故①正确． 对于②由根与系数的关系得，， 代入得：； 整理得： 解得或， 因为， 所以舍去，仅符合题意，故②错误． 对于③二次函数，开口向上，最小值为， 因为，所以，即最小值总不大于，故③正确． 对于④因为是方程的根， 所以， 则，又， 因此原式， 该式是关于的二次函数，开口向下，对称轴为， 因为， 所以当时，原式取得最大值， 代入得最大值，故④错误． 综上：①③正确； 9．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)若抛物线经过点，，且与直线在第一象限内交于点；为抛物线在第四象限的图象上一点，是否存在这样的点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；理由如下： 抛物线的对称轴为， ，抛物线开口向上 又∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ． (2)不存在，理由如下： ∵抛物线经过点、． ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵抛物线与直线在第一象限内交于点， ∴联立，得． 解得（不符题意，舍去）或， ∴， ． ，， ， ， ． 设，且在第四象限， ，． ∵直线的解析式为，点到直线的距离为， ． 化简：． ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在这样的点． 【分析】（1）由抛物线的解析式得其对称轴为直线，另一方面，由题意得抛物线的对称轴为直线，由此即可得与关系； （2）由待定系数法可求得抛物线的解析式为，从而可求出抛物线与直线在第一象限内交于点的坐标，与的面积；设，且在第四象限， 从而可表示的面积，这样得到关于t的一元二次方程，判断方程是否有解即可判断点D是否存在． 【详解】（1）解：；理由略； （2）解：不存在；理由略． 10．（2026·福建泉州·二模）问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． (1)对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ (2)已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 【答案】(1)当k满足时，该函数图象上存在“不动点” (2)①设是二次函数图象上的点， 则， 即， ∵， ∴以上方程有两个不等实根， 即该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②线段的长与m的取值无关 【分析】（1）设反比例函数图象上存在“不动点”，可得出，问题得解； （2）①设是二次函数图象上的点，将其代入二次函数解析式，即可得到关于的一元二次方程，再根据方程的判别式判断根的情况，问题得解； ②由①得方程的两根，，根据根与系数的关系，可以列出、的式子，再根据勾股定理表示出，再代入、的式子，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的图象上存在“不动点”，即， 则，即， ∴当k满足时，该函数图象上存在“不动点”； （2）①略 ②由①得方程的两根，满足， ∴ ， 即线段的长与m的取值无关． 分式方程 考点04 1．（2026·福建三明·二模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问两种布每尺各多少钱？若设每尺绫布值文，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“长度总价单价”表示出两种布的长度，再根据总长度列方程. 【详解】解：∵设每尺绫布值文，绫布和罗布各1尺共值钱120文， ∴每尺罗布值文， ∵绫布总价为896文，罗布总价为896文， ∴绫布总长度为尺，罗布总长度为尺， 又∵绫布和罗布总长度共丈尺，总长度等于两种布长度之和， ∴列方程得. 2．（2026·福建龙岩·二模）《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设运输这批公粮原计划每日行，根据运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 3．（2026·福建南平·二模）《九章算术》中记载了一道题，大意是：兔子和狗在同一起点，兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗和兔子都不停的话，狗再跑多少步可以追到兔子？若设狗再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列方程，审清题意、找到等量关系成为解题的关键． 根据题意可得狗与兔子的速度比为，设狗再跑x步可追上兔子，此时兔子跑的步数为步，据此列出方程即可解答． 【详解】解：根据题意列方程为，即． 故选A． 4．（2026·福建宁德·二模）解方程：． 【答案】x=-6 【分析】去分母，化简成整式方程计算即可，最后检验其解． 【详解】方程两边同时乘x(x+2)得， ， 化简得：3x-2x=-6， 解得x=-6， 检验：当x=-6时，， ∴x=-6是原方程的解． 【点睛】此题考查了分式方程的解法，解此题的关键是注意检验是否有增根． 5．（2026·福建南平·二模）解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得 ， 去括号，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 6．（2026·福建龙岩·二模）解分式方程：． 【答案】 【分析】先将分式方程中的两个分式化为同分母分式，再去分母化为整式方程，最后对所得的根进行检验． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 不等式与不等式组 考点05 1．（2026·福建泉州·二模）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可得到解集． 【详解】解： ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 不等式两边同时除以，得 ． 2．（2026·福建泉州·二模）满足不等式组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再判断各选项中的数是否在解集范围内，即可得到答案． 【详解】解：由不等式组， ∴不等式组的解集为， 依次判断选项：，，，都不满足解集； 只有满足． 3．（2026·福建南平·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 4．（2026·福建三明·二模）将不等式的解集在数轴上表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式 解得：， 在数轴上表示如下： 故选：C． 5．（2026·福建南平·二模）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，2﹣x≥0， 解得x≤2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 6．（2026·福建泉州·二模）已知，下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项，找出不一定成立的结论即可. 【详解】解：A、∵ ， ∴ ，一定正确. B、∵ ，∴ 又∵ ，∴ ∴ ，一定正确. C、举反例验证，令 ，，，，满足 ， 此时 ， 可得 ，即 ，不一定正确. D、∵ ，∴ 又∵ ，同向不等式相加得 即 ，一定正确. 7．（2026·福建泉州·二模）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置可得，，结合不等式的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴，故A错误， ∵ ∴，故B错误， ∵， ∴， ∴，故C错误， ∵ ∴，故D正确 8．（2026·福建福州·二模）实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其相对位置如图所示，若，且，则下列对原点O所在位置的判断正确的是（   ） A．在线段的延长线上 B．在线段上 C．在线段上 D．在线段的延长线上 【答案】B 【分析】由得到，再根据， 得到，再根据得到，则，得到，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴原点O在线段上． 9．（2026·福建三明·二模）不等式的解集为________． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式，利用不等式的性质求出不等式的解集，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10．（2026·福建南平·二模）不等式2x＋3＞1的解集为______． 【答案】x＞-1 【分析】根据不等式的解法即可． 【详解】解：∵2x＋3＞1 移项得：2x＞-2 化系数为1得：x＞-1 故答案为：x＞-1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题，解题的关键是熟知一元一次不等式的基本解法． 11．（2026·福建厦门·二模）不等式组的解集是______________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 12．（2026·福建漳州·二模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集即可． 【详解】解：解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式组的解集为． 13．（2026·福建龙岩·二模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 14．（2026·福建南平·二模）已知对任意实数a、b，有，当且仅当时等号成立．利用上述条件，解决以下问题： (1)已知实数a、b满足（k为常数），证明，并写出不等式中等号成立的条件； (2)当（k为常数）且，利用代数推理求出代数式的取值范围（用含k的式子表示）． 【答案】(1)当时，等号成立； 证明：∵，， ∴， ∴， ∵，当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，不等式中等号成立． (2) 【分析】（1）利用完全平方公式变形即可证明； （2）结合（1）中结论可得由（1）得，当时，，再利用不等式的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴由（1）得，当时，， ∴， ∴， ∴． 方程与不等式实际应用 考点06 1．（2026·福建泉州·二模）学校举行舞蹈比赛，从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，并按服装、动作技巧、感染力权重比为计算最终成绩，九年级（1）班和（2）班的成绩如下表，若（2）班的最终成绩超过（1）班，则（2）班的感染力得分至少应超过_________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 75分 85分 80分 九（2）班 80分 75分 x分 【答案】87 【分析】根据权重比得到加权平均数的计算方法，结合“2班最终成绩超过1班”的条件列出一元一次不等式求解即可. 【详解】解：由服装、动作技巧、感染力权重比为，可得总权重为， 计算九（1）班的最终成绩为： ， 九（2）班的最终成绩为： ， 由题意得九（2）班最终成绩超过九（1）班，列不等式： ， 不等式两边同乘得： ， 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 故（2）班的感染力得分至少应超过. 2．（2026·福建福州·二模）某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数． 【答案】4台 【分析】设采购B型机器人x台，则采购A型机器人台，根据“付款总额不超过15万元”，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设采购B型机器人x台，则采购A型机器人台， 根据题意得， 解得， ∵x为整数， ∴该学校最多能采购B型机器人4台． 3．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 【答案】(1)长米，长米 (2)花园可以围出的最大面积是 【分析】（1）设长米，依据比长6米表示出的代数式，再结合栅栏总长米列一元一次方程，解方程得到长后算出长度； （2）先设为米，用总长表示，根据树木位置列出的取值不等式确定取值范围，列出面积二次函数，根据函数性质即可求出最大面积． 【详解】（1）解：设长米，则长米， 根据题意，得：， 解得； ∴； 答：长米，长米； （2）解：设长米，则长米， 由题意得， 解得， ∵花园面积 ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，花园的面积取得最大值， ， 答：花园可以围出的最大面积是． 4．（2026·福建厦门·二模）某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润． (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)12000元 (2) 【分析】（1）求出当时，，再根据总利润销售量单件利润，计算即可得出结果； （2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，， （元）， ∴若芒果的售价为80元/箱，合作社每天芒果的销售利润为2000元； （2）解：∵每天的销售量不少于300箱， ∴， 解得， ∵规定芒果的售价不低于86元/箱， ∴芒果的售价应定在． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某社团准备举办有奖竞赛活动，计划购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元；若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元． (1)求甲、乙两种奖品每件的价格分别是多少元； (2)该社团计划购买甲、乙两种奖品共30件，且要求购买乙种奖品的数量不超过购买甲种奖品的数量的2倍，求购买多少件甲种奖品社团花费最少？最少花费多少元？ 【答案】(1)甲种奖品每件40元．乙种奖品每件30元． (2)购买10件甲种奖品时花费最少．最少花费为1000元． 【分析】（1）根据两种购买方案的总花费列出方程组，解方程组即可得到结果． （2）先根据数量限制得到甲奖品数量的取值范围，再列出总花费的函数表达式，根据一次函数增减性计算出最小花费． 【详解】（1）解：设甲种奖品每件元，乙种奖品每件元．根据题意得 ，解得． 答．甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元． （2）解：设总花费为元，购买件甲种奖品，且为正整数，则购买乙种奖品件． 根据题意得． 解得，且为正整数． 总花费． ．随的增大而增大． 当时，取得最小值． (元)． 答：购买10件甲种奖品社团花费最少，最少花费为1000元． 6．（2026·福建南平·二模）2026年国内成品油价格迎来新一轮上调，高速服务区“油电协同补给”成为标配． (1)在某服务区，新增电动汽车的快速充电桩A型与普通充电桩B型，快速充电桩A型数量是普通充电桩B型数量的2倍，统计发现：在1个小时内，平均每个A型充电桩可以为3辆电动汽车充电，每个B型充电桩可以为2辆电动汽车充电，这样在这1小时内可以为56辆汽车提供充电服务．那么这个服务区的A型、B型充电桩分别有多少个？ (2)一般情况下，在高速公路上行驶时电动汽车平均每公里所耗电费比燃油汽车平均每公里所耗油费少0.8元．若两位车主在服务区分别花80元给电动汽车充电、花400元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等，那么电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为多少元？ 【答案】(1)A型充电桩有14个，B型充电桩有7个； (2)电动汽车在高速公路上行驶时平均每公里所耗电费为0.2元． 【分析】（1）设A型充电桩有x个，B型充电桩有y个，根据快速充电桩A型数量是普通充电桩B型数量的2倍，在1个小时内，平均每个A型充电桩可以为3辆电动汽车充电，每个B型充电桩可以为2辆电动汽车充电，且1小时内可以为56辆汽车提供充电服务，建立方程组求解即可； （2）设电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为a元，则燃油汽车平均每公里所耗油费为元，根据花80元给电动汽车充电、花400元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等，建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设A型充电桩有x个，B型充电桩有y个， 依题意得， 解得， 答：A型充电桩有14个，B型充电桩有7个； （2）解：设电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为a元，则燃油汽车平均每公里所耗油费为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， 答：电动汽车在高速公路上行驶时平均每公里所耗电费为0.2元． 7．（2026·福建泉州·二模）依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（） 完好柑橘的质量n（） 柑橘完好的频率 调查：①柑橘在生产地的采购价为元/；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价（元/）与采购的总质量（）之间的关系满足． (1)可以估计柑橘完好的概率约为 （精确到）； (2)在（1）的条件下，用元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得销售） (3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/？ 【答案】(1) (2)元 (3)要获得元的利润，应采购的柑橘，售价应定为元/ 【分析】（1）由橘子完好的频率估计概率即可，注意精确到； （2）先求出采购总质量，根据柑橘完好率求出实际销售柑橘质量，再根据：利润总售价－成本； （3）由之间的关系及柑橘完好率列出一元二次方程，解方程即可，注意． 【详解】（1）解：随着采购量增大，柑橘完好的频率逐渐稳定在附近， 柑橘完好的概率； （2）解：依题意得元采购的柑橘的总质量（）， ∴，即售价， 又实际销售柑橘质量为（）， ∴可获得的利润是元 （3） 根据题意得 将代入上式得： 即 解得， 把代入 ∵在范围内 ∴符合题意 ∴要获得元的利润，应采购的柑橘，售价应定为元/． 8．（2026·福建漳州·二模）某工厂承接了一批书架制作任务，组装1个竖式三层书架需4张A型板材和3张B型板材，组装1个横式双层书架需4张A型板材和5张B型板材． (1)若有A型板材64个，B型板材68个，材料恰好用完，问：可制作竖式三层书架和横式双层书架各多少个？ (2)已知1个竖式三层书架的利润为40元，1个横式双层书架的利润为60元，若该工厂制作两种书架共20个，且竖式三层书架不少于12个，求该工厂能获得的最大利润． 【答案】(1)可制作竖式三层书架6个，横式双层书架10个 (2)960元 【详解】（1）解：设可制作竖式三层书架个，横式双层书架个， ， 解得， 则可制作竖式三层书架6个，横式双层书架10个； （2）解：设可制作竖式三层书架个，横式双层书架个， 则总利润为，， 当获利最大时，，此时利润为960元． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 6大考点概览 考点01 一元一次方程 考点02 二元一次方程组 考点03 一元二次方程 考点04 分式方程 考点05 不等式与不等式组 考点06 方程与不等式实际应用 一元一次方程 考点01 1．（2026·福建福州·二模）在福州，肉燕（俗称太平燕）不仅是一道名小吃，更是喜庆习俗中的重要菜品．某传统肉燕店制作肉燕，熟练工每小时比学徒多包300粒，学徒3小时与熟练工2小时制作的肉燕粒数相同．设学徒每小时包x粒肉燕，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建厦门·二模）在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·二模）元朝朱世杰所著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马所需时间为天，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·二模）节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 5．（2026·福建三明·二模）解方程：． 二元一次方程组 考点02 1．（2026·福建三明·二模）算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产，它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华拨了一颗上珠和一颗下珠作为一个三位数的百位数字，若个位数字与十位数字的和等于百位数字的2倍，且个位数字比十位数字多4，则这个三位数为多少？设个位数字为x，十位数字为y，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建宁德·二模）某校计划组织545名师生前往“闽东苏区红色”基地开展研学活动．某旅游公司派出11辆A，B型客车，所有客车刚好坐满，没有空位，其中A型客车可承载45人，B型客车可承载55人．求该旅游公司派出A，B型客车各多少辆？若设该旅游公司派出A型客车辆，B型客车辆，根据题意，已经列出一个方程是，则可列出的另一个方程是________． 一元二次方程 考点03 1．（2026·福建莆田·二模）莆田聚焦打造世界妈祖文化中心，深耕“妈祖故里·灵秀莆田”品牌，实现文化传播与旅游消费双丰收．据统计，湄洲岛2023年累计接待游客万人次，2025年累计接待游客万人次．设湄洲岛这两年接待游客量的年平均增长率为x，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建福州·二模）用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（ ） A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=25 3．（2026·福建泉州·二模）我国自主研制的全超导托卡马克核聚变实验装置秒稳态长脉冲高约束模等离子体运行，刷新世界纪录．下表是该装置实现稳态长脉冲高约束模运行时间的突破历程： 年份 2012 2016 2017 2023 2025 运行时间（秒） 30 60 101 403 1066 若2023年至2025年运行时间的年平均增长率设为x，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建漳州·二模）我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，第三个月进馆432人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建龙岩·二模）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 6．（2026·福建南平·二模）已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 7．（2026·福建三明·二模）已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 8．（2026·福建宁德·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根．下列说法：①的取值范围是；②若，则的值为或5；③二次函数的最小值总不大于0；④代数式的最大值是．其中正确的是________．（填写序号） 9．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)若抛物线经过点，，且与直线在第一象限内交于点；为抛物线在第四象限的图象上一点，是否存在这样的点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2026·福建泉州·二模）问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． (1)对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ (2)已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 分式方程 考点04 1．（2026·福建三明·二模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问两种布每尺各多少钱？若设每尺绫布值文，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建龙岩·二模）《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建南平·二模）《九章算术》中记载了一道题，大意是：兔子和狗在同一起点，兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗和兔子都不停的话，狗再跑多少步可以追到兔子？若设狗再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建宁德·二模）解方程：． 5．（2026·福建南平·二模）解方程：． 6．（2026·福建龙岩·二模）解分式方程：． 不等式与不等式组 考点05 1．（2026·福建泉州·二模）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·二模）满足不等式组的解是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建南平·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建三明·二模）将不等式的解集在数轴上表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建南平·二模）二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·福建泉州·二模）已知，下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2026·福建泉州·二模）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·福建福州·二模）实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其相对位置如图所示，若，且，则下列对原点O所在位置的判断正确的是（   ） A．在线段的延长线上 B．在线段上 C．在线段上 D．在线段的延长线上 9．（2026·福建三明·二模）不等式的解集为________． 10．（2026·福建南平·二模）不等式2x＋3＞1的解集为______． 11．（2026·福建厦门·二模）不等式组的解集是______________． 12．（2026·福建漳州·二模）解不等式组：． 13．（2026·福建龙岩·二模）解不等式组： 14．（2026·福建南平·二模）已知对任意实数a、b，有，当且仅当时等号成立．利用上述条件，解决以下问题： (1)已知实数a、b满足（k为常数），证明，并写出不等式中等号成立的条件； (2)当（k为常数）且，利用代数推理求出代数式的取值范围（用含k的式子表示）． 方程与不等式实际应用 考点06 1．（2026·福建泉州·二模）学校举行舞蹈比赛，从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，并按服装、动作技巧、感染力权重比为计算最终成绩，九年级（1）班和（2）班的成绩如下表，若（2）班的最终成绩超过（1）班，则（2）班的感染力得分至少应超过_________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 75分 85分 80分 九（2）班 80分 75分 x分 2．（2026·福建福州·二模）某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数． 3．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 4．（2026·福建厦门·二模）某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量y箱与售价x元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润． (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某社团准备举办有奖竞赛活动，计划购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元；若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元． (1)求甲、乙两种奖品每件的价格分别是多少元； (2)该社团计划购买甲、乙两种奖品共30件，且要求购买乙种奖品的数量不超过购买甲种奖品的数量的2倍，求购买多少件甲种奖品社团花费最少？最少花费多少元？ 6．（2026·福建南平·二模）2026年国内成品油价格迎来新一轮上调，高速服务区“油电协同补给”成为标配． (1)在某服务区，新增电动汽车的快速充电桩A型与普通充电桩B型，快速充电桩A型数量是普通充电桩B型数量的2倍，统计发现：在1个小时内，平均每个A型充电桩可以为3辆电动汽车充电，每个B型充电桩可以为2辆电动汽车充电，这样在这1小时内可以为56辆汽车提供充电服务．那么这个服务区的A型、B型充电桩分别有多少个？ (2)一般情况下，在高速公路上行驶时电动汽车平均每公里所耗电费比燃油汽车平均每公里所耗油费少0.8元．若两位车主在服务区分别花80元给电动汽车充电、花400元给燃油汽车加油，电动汽车可行驶的里程与燃油汽车可行驶的里程相等，那么电动汽车在高速路上行驶时平均每公里所耗电费为多少元？ 7．（2026·福建泉州·二模）依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（） 完好柑橘的质量n（） 柑橘完好的频率 调查：①柑橘在生产地的采购价为元/；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价（元/）与采购的总质量（）之间的关系满足． (1)可以估计柑橘完好的概率约为 （精确到）； (2)在（1）的条件下，用元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得销售） (3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/？ 8．（2026·福建漳州·二模）某工厂承接了一批书架制作任务，组装1个竖式三层书架需4张A型板材和3张B型板材，组装1个横式双层书架需4张A型板材和5张B型板材． (1)若有A型板材64个，B型板材68个，材料恰好用完，问：可制作竖式三层书架和横式双层书架各多少个？ (2)已知1个竖式三层书架的利润为40元，1个横式双层书架的利润为60元，若该工厂制作两种书架共20个，且竖式三层书架不少于12个，求该工厂能获得的最大利润． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $