专题01数与式12大考点（福建专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题聚焦数与式，涵盖12大考点，汇编福建各地2026年二模真题，融合无人机、5G基站等科技热点及《九章算术》文化素材，基础题与综合探究题梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约45题|有理数、科学记数法、实数、整式运算、因式分解等|有理数结合气温比较、收支记录；科学记数法融入文旅人次、芯片尺寸数据| |解答题|约10题|分式化简求值、二次根式运算、规律探究、代数推理|综合题含密度计实验（代数式应用）、网格矩形规律探究、进位制跨学科推理|

专题01 数与式 12大考点概览 考点01 有理数 考点02 科学记数法 考点03 实数的概念 考点04 实数的运算 考点05 代数式及整式 考点06 整式的运算 考点07 乘法公式 考点08 因式分解 考点09 分式的概念及其运算 考点10 二次根式的概念及其运算 考点11 规律探究 考点12 代数推理 有理数 考点01 1．（2026·福建南平·二模）下列有理数中，的倒数是（　　） A． B． C． D．2026 2．（2026·福建龙岩·二模）的绝对值是（   ） A． B．2026 C． D． 3．（2026·福建宁德·二模）下列各数中，最小的数是（    ） A．－3 B．0 C．1 D．2 4．（2026·福建三明·二模）下列温度中，比低的温度是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·二模）下列各数中，负数是（） A． B．0 C．1 D． 6．（2026·福建泉州·二模）的绝对值是（   ） A． B．2 C． D． 7．（2026·福建福州·二模）我国四个城市某日的某一时刻的气温如下表所示，该时刻温度最高的城市是（   ）． 城市 北京 上海 哈尔滨 福州 气温 ℃ 0℃ ℃ 10℃ A．北京 B．上海 C．哈尔滨 D．福州 8．（2026·福建泉州·二模）若零上8℃记作＋8℃，则零下6℃记作________℃.. 9．（2026·福建龙岩·二模）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，其中有“把卖出货物收入的钱记作正，把买入货物支出的钱记作负”．如果收入16元记作，那么支出12元记作________． 10．（2026·福建南平·二模）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 11．（2026·福建龙岩·二模）下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·福建三明·二模）下列各数，是负数的是（     ） A． B． C． D． 13．（2026·福建福州·二模）实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其相对位置如图所示，若，且，则下列对原点O所在位置的判断正确的是（   ） A．在线段的延长线上 B．在线段上 C．在线段上 D．在线段的延长线上 科学记数法 考点02 1．（2026·福建泉州·二模）2026年春节假期，泉州文旅交出一份亮眼成绩单，全市累计接待游客超过一千六百万人次，游客旅游总花费达到元．数据用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建三明·二模）随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·福建南平·二模）2025年福建省南平市参加中考的九年级学生约为3.2万人，将数据32000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·二模）据报道，2026年春节假期，泉州市文旅市场供需两旺，累计接待游客万人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·福建莆田·二模）“十四五”期间，全国科学修复湿地万亩．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建龙岩·二模）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示4400万为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·福建厦门·二模）在全球人工智能应用领域，我国AI技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月8日，我国某款AI应用软件的全球下载量已突破次．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·福建漳州·二模）2025年，我国5G网络建设持续推进，全国5G基站总数已超过个，为数字经济发展提供了坚实的网络支撑．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·福建厦门·二模）截至2025年底，苏州市拥有企业有效发明专利16.87万件．数据168700用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·福建泉州·二模）近年来，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到亿千瓦，超过火电装机规模．用科学记数法，将数据表示为_______________． 11．（2026·福建龙岩·二模）在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度，数据用科学记数法表示为________． 实数的概念 考点03 1．（2026·福建厦门·二模）下列四个选项中，无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建厦门·二模）如图，数轴上有四个点，其中与最接近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（2026·福建漳州·模拟预测）下列各数中，最小的是（） A． B． C．0 D． 4．（2026·福建莆田·二模）下列实数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D．1 5．（2026·福建南平·二模）下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．0.213 D． 6．（2026·福建厦门·二模）下列四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C．2 D． 7．（2026·福建泉州·二模）的立方根是___________． 实数的运算 考点04 1．（2026·福建三明·二模）化简的结果是______． 2．（2026·福建福州·二模）计算：__________． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）计算：________． 4．（2026·福建龙岩·二模）计算：． 5．（2026·福建泉州·二模）计算：． 6．（2026·福建龙岩·二模）计算：． 7．（2026·福建厦门·二模）计算： 8．（2026·福建南平·二模）计算：． 9．（2026·福建泉州·二模）计算：． 10．（2026·福建福州·二模）计算：． 代数式及整式 考点05 1．（2026·福建厦门·二模）列代数式表示“a的相反数与b的和”是___________________． 2．（2026·福建南平·二模）若，则________． 3．（2026·福建厦门·二模）已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是_________． 4．（2026·福建宁德·二模）小明利用生活材料制作了一支简易密度计，装置如图所示：以均匀实心塑料杆为标度杆，杆中部套一个泡沫塑料球作为浮子，杆下端绕有铜丝作为配重，确保装置能竖直漂浮在液体中．他用这支密度计开展了如下实验： 【实验一】 将密度计放入密度为的某种液体中，稳定后液面与杆的交点记为，标注刻度；根据物体的漂浮条件：漂浮在液体中的物体，所受浮力等于自身重力，得；又根据阿基米德原理：物体在液体中所受的浮力等于它排开液体的重力，得． (1)设密度计的总质量为（单位：），密度计在点以下的总体积为，请用含的代数式表示； 【实验二】 再将这支密度计放入密度为的水中，稳定后液面与杆的交点记为，标注刻度；用刻度尺测得，两点在杆上的间距为，且点在点的上方． (2)设塑料杆的横截面积为，用含的代数式表示； (3)将该密度计放入密度为的液体中，稳定后液面与杆的交点在点上方，与点的距离为．根据实验数据，推导与之间的函数关系式； 【实验三】 将该密度计放入某种未知密度的液体中，发现稳定后液面与杆的交点恰好位于，两条刻度线的正中间． (4)请直接写出的值（结果保留两位小数）．根据以上实验，请用一句话说明该密度计的密度刻度分布有何规律？ 整式的运算 考点06 1．（2026·福建福州·二模）下列运算结果一定是的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建龙岩·二模）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·福建三明·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·福建莆田·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建龙岩·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·福建泉州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·福建三明·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·福建厦门·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·福建泉州·二模）下列计算中，正确的是 （    ） A． B． C． D． 11．（2026·福建南平·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·福建厦门·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·福建宁德·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 乘法公式 考点07 1．（2026·福建厦门·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建龙岩·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建宁德·二模）化简：． 因式分解 考点08 1．（2026·福建三明·二模）因式分解： 2．（2026·福建莆田·二模）因式分解：_______． 3．（2026·福建宁德·二模）因式分解：________． 4．（2026·福建南平·二模）因式分解：__________． 5．（2026·福建厦门·二模）因式分解：______． 6．（2026·福建泉州·二模）生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_______________． 分式的概念及其运算 考点09 1．（2026·福建三明·二模）求代数式的值，其中． 2．（2026·福建三明·二模）先化简再求值：，其中． 3．（2026·福建泉州·二模）先化简，再求值：，其中． 4．（2026·福建南平·二模）先化简，再求值：，其中． 5．（2026·福建泉州·二模）先化简，再求值：，其中． 二次根式的概念及其运算 考点10 1．（2026·福建南平·二模）黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 2．（2026·福建泉州·二模）计算：． 3．（2026·福建泉州·二模）计算：． 4．（2026·福建泉州·二模）计算：． 5．（2026·福建龙岩·二模）计算：． 6．（2026·福建莆田·二模）计算：． 7．（2026·福建南平·二模）计算：． 规律探究 考点11 1．（2026·福建龙岩·二模）如图，小明同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则的值是______． 2．（2026·福建三明·二模）阅读材料，回答问题． 将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为m，竖直方向边长为n的网格矩形称为“矩形”，例如，图1，图2，图3中的网格矩形分别称为“2×1矩形”“2×3矩形”“4×3矩形”．小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究．   小海分别画出图1，图2，图3中网格矩形的一条对角线，制作了下表： （表示矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 3 2 2 3 5 4 4 3 7 ① 小海根据表中数据发现与之间满足等量关系：②．记这个等量关系为“*”． 小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点． 小江的观点是：在矩形中，当正整数m，n中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立． 小河的观点是：在矩形中，当正整数m，n互质（m，n的公因数只有1）时，等量关系*一定成立． (1)①的内容是_______，②的内容是_______； (2)判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例； (3)m，n均为正整数，且，写出满足的所有数对． 3．（2026·福建南平·二模）阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对． 证明：依题意知，，整理，得…（*）， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或， 若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去； 若，则由（*）得， ① ； 若，则由（*）得， ② ． 综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对． 故命题成立． 推广延伸 问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． (1)解决问题； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题． 代数推理 考点12 1．（2026·福建南平·二模）已知对任意实数a、b，有，当且仅当时等号成立．利用上述条件，解决以下问题： (1)已知实数a、b满足（k为常数），证明，并写出不等式中等号成立的条件； (2)当（k为常数）且，利用代数推理求出代数式的取值范围（用含k的式子表示）． 2．（2026·福建龙岩·二模）综合与实践：进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，二进制的基数为2，各数位上的数字为0或1；四进制的基数为4，各数位上的数字为．我们熟知的十进制的基数为10，各数位上的数字为．说明：为了区分不同进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是六进制数235的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 各进制数之间可以进行互相转换．可把其他进制数转换为十进制数，例如，三进制数转换为十进制数：；六进制数转换为十进制数：．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，即 素材2 若要将十进制数转换为其他进制数，则可逆用素材1中的等式．例如，十进制数27转换为二进制数：因为，所以，；将十进制数75转换为六进制数：因为，所以，． (1)①把二进制数转换为十进制数为__________； ②把十进制数22转换为三进制数为__________； (2)若与转换为十进制数的和能被5整除，且与转换为十进制数的和能被6整除（其中，，且，为整数），求的值； (3)若一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，求证：这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式 12大考点概览 考点01 有理数 考点02 科学记数法 考点03 实数的概念 考点04 实数的运算 考点05 代数式及整式 考点06 整式的运算 考点07 乘法公式 考点08 因式分解 考点09 分式的概念及其运算 考点10 二次根式的概念及其运算 考点11 规律探究 考点12 代数推理 有理数 考点01 1．（2026·福建南平·二模）下列有理数中，的倒数是（　　） A． B． C． D．2026 【答案】A 【详解】解：∵乘积为1的两个数互为倒数， 设的倒数为，可得 ， ， 即的倒数是． 2．（2026·福建龙岩·二模）的绝对值是（   ） A． B．2026 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数的性质即可求解． 【详解】解：负数的绝对值是它的相反数， ． 故选：B． 3．（2026·福建宁德·二模）下列各数中，最小的数是（    ） A．－3 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】∵， ∴最小的数是-3， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成． 4．（2026·福建三明·二模）下列温度中，比低的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比小的数即可． 【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知， 所以比低的温度是． 故选：． 5．（2026·福建泉州·二模）下列各数中，负数是（） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据“小于0的数是负数”，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A选项，，是负数； B选项，既不是正数也不是负数； C选项，，是正数； D选项，，是正数． 6．（2026·福建泉州·二模）的绝对值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 7．（2026·福建福州·二模）我国四个城市某日的某一时刻的气温如下表所示，该时刻温度最高的城市是（   ）． 城市 北京 上海 哈尔滨 福州 气温 ℃ 0℃ ℃ 10℃ A．北京 B．上海 C．哈尔滨 D．福州 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，只需按有理数大小比较规则比较四个城市的气温，即可得到温度最高的城市． 【详解】四个城市的气温分别为，，，， 有理数大小比较规则为：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小， 可得， 温度最高的城市是福州，故选D． 8．（2026·福建泉州·二模）若零上8℃记作＋8℃，则零下6℃记作________℃.. 【答案】-6 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答即可. 【详解】零上8℃记作＋8℃，则零下6℃记作-6℃， 故答案为-6. 【点睛】本题考查了正数与负数，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 9．（2026·福建龙岩·二模）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，其中有“把卖出货物收入的钱记作正，把买入货物支出的钱记作负”．如果收入16元记作，那么支出12元记作________． 【答案】 【详解】解：收入元记作， ∴收入记为正，支出记为负， 支出元记作． 10．（2026·福建南平·二模）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 【答案】 【分析】根据题意，上升记为正数，下降与上升是相反意义的量，因此下降记为负数，即可得到结果． 【详解】解：上升米记作米， 下降米记作米． 11．（2026·福建龙岩·二模）下列四个数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值、有理数乘方、二次根式的化简计算，逐项判断即可． 【详解】对选项A：，，故A不是负数； 对选项B：，故B不是负数； 对选项C：∵2015是奇数，负数的奇次幂为负数， ∴，故C是负数； 对选项D：，故D不是负数． 12．（2026·福建三明·二模）下列各数，是负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简每个选项中的数，再根据负数的定义判断即可得到结果． 【详解】解：A选项：，，A不是负数； B选项：，，B不是负数； C选项：，，C不是负数； D选项：，，D是负数． 13．（2026·福建福州·二模）实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其相对位置如图所示，若，且，则下列对原点O所在位置的判断正确的是（   ） A．在线段的延长线上 B．在线段上 C．在线段上 D．在线段的延长线上 【答案】B 【分析】由得到，再根据， 得到，再根据得到，则，得到，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴原点O在线段上． 科学记数法 考点02 1．（2026·福建泉州·二模）2026年春节假期，泉州文旅交出一份亮眼成绩单，全市累计接待游客超过一千六百万人次，游客旅游总花费达到元．数据用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，只需根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法要求，等于原数的整数位数减． 【详解】解：∵ 原数共有位整数， ∴ ，， ∴ ． 2．（2026·福建三明·二模）随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将0.000014用科学记数法表示应为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 3．（2026·福建南平·二模）2025年福建省南平市参加中考的九年级学生约为3.2万人，将数据32000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．（2026·福建泉州·二模）据报道，2026年春节假期，泉州市文旅市场供需两旺，累计接待游客万人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，按要求确定和的值即可求解． 【详解】解：数据16183900用科学记数法表示为． 5．（2026·福建莆田·二模）“十四五”期间，全国科学修复湿地万亩．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，要求，为整数，只需按要求确定和的值即可求解． 【详解】解：根据科学记数法的要求 对 ，需将小数点左移6位，得到满足的 ，此时， ． 6．（2026·福建龙岩·二模）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示4400万为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：4400万． 7．（2026·福建厦门·二模）在全球人工智能应用领域，我国AI技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月8日，我国某款AI应用软件的全球下载量已突破次．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数时，理解“一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1”是解题的关键． 根据科学记数法解答即可． 【详解】解：由题意得， 故选：B． 8．（2026·福建漳州·二模）2025年，我国5G网络建设持续推进，全国5G基站总数已超过个，为数字经济发展提供了坚实的网络支撑．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定和的值即可得到结果． 【详解】解：数据“”用科学记数法表示为． 9．（2026·福建厦门·二模）截至2025年底，苏州市拥有企业有效发明专利16.87万件．数据168700用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的定义，其表示形式为，满足，为整数，正确确定和的值即可求解． 【详解】解：． 10．（2026·福建泉州·二模）近年来，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到亿千瓦，超过火电装机规模．用科学记数法，将数据表示为_______________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 11．（2026·福建龙岩·二模）在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定的值和的值，当原数的绝对值小于时，为负数，的绝对值与小数点移动的位数相等． 【详解】解：． 实数的概念 考点03 1．（2026·福建厦门·二模）下列四个选项中，无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数和有理数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称， ∴、是整数，属于有理数，不符合题意； 、是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意； 、是整数，属于有理数，不符合题意； 、是整数，属于有理数，不符合题意． 2．（2026·福建厦门·二模）如图，数轴上有四个点，其中与最接近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】先估算的值，再结合数轴判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵点表示，点表示左右，点表示，点表示， ∴与最接近的点是点． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）下列各数中，最小的是（） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】利用“负数小于0，0小于正数”的比较规则即可求解． 【详解】解：∵是负数，和都是正数，根据“负数小于0，0小于正数”， ∴四个数中最小的是． 4．（2026·福建莆田·二模）下列实数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】运用实数大小比较法则即可求解． 【详解】解：根据实数大小比较规则：负数小于0，0小于正数， ∴ 最大的数是1． 5．（2026·福建南平·二模）下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．0.213 D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，0.213，中，无理数是； 故选A． 6．（2026·福建厦门·二模）下列四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较方法：正数大于0，负数小于0；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．通过比较数值大小，负数小于正数，且 小于 即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ 是最小的数． 故选：A． 7．（2026·福建泉州·二模）的立方根是___________． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 实数的运算 考点04 1．（2026·福建三明·二模）化简的结果是______． 【答案】1 【详解】解：． 2．（2026·福建福州·二模）计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）计算：________． 【答案】2 【分析】根据零指数幂运算法则与绝对值的性质，分别计算两项的值，再进行加法运算即可得到结果 【详解】解：． 4．（2026·福建龙岩·二模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 5．（2026·福建泉州·二模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 6．（2026·福建龙岩·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合计算．根据相关计算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 7．（2026·福建厦门·二模）计算： 【答案】 【分析】根据指数幂的法则可得：，根据特殊角的三角函数值可得：，根据绝对值的定义可得：，再根据运算法则进行计算． 【详解】解： ． 8．（2026·福建南平·二模）计算：． 【答案】4 【详解】解 9．（2026·福建泉州·二模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式         ． 10．（2026·福建福州·二模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 代数式及整式 考点05 1．（2026·福建厦门·二模）列代数式表示“a的相反数与b的和”是___________________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式，理解代数式的语言描述是解题的关键． 根据题意直接列代数式即可． 【详解】解：列代数式表示“a的相反数与b的和”是． 故答案为：． 2．（2026·福建南平·二模）若，则________． 【答案】5 【分析】由得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，且， 将代入可得． 3．（2026·福建厦门·二模）已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是_________． 【答案】 【分析】根据交点坐标满足两个函数解析式，得到的关系式，将所求代数式通分变形后，整体代入求值即可． 【详解】解： 点是一次函数与反比例函数的交点， 将代入两个函数解析式，得，， 整理得 ，， 对所求代数式变形，得， 将，代入，得． 4．（2026·福建宁德·二模）小明利用生活材料制作了一支简易密度计，装置如图所示：以均匀实心塑料杆为标度杆，杆中部套一个泡沫塑料球作为浮子，杆下端绕有铜丝作为配重，确保装置能竖直漂浮在液体中．他用这支密度计开展了如下实验： 【实验一】 将密度计放入密度为的某种液体中，稳定后液面与杆的交点记为，标注刻度；根据物体的漂浮条件：漂浮在液体中的物体，所受浮力等于自身重力，得；又根据阿基米德原理：物体在液体中所受的浮力等于它排开液体的重力，得． (1)设密度计的总质量为（单位：），密度计在点以下的总体积为，请用含的代数式表示； 【实验二】 再将这支密度计放入密度为的水中，稳定后液面与杆的交点记为，标注刻度；用刻度尺测得，两点在杆上的间距为，且点在点的上方． (2)设塑料杆的横截面积为，用含的代数式表示； (3)将该密度计放入密度为的液体中，稳定后液面与杆的交点在点上方，与点的距离为．根据实验数据，推导与之间的函数关系式； 【实验三】 将该密度计放入某种未知密度的液体中，发现稳定后液面与杆的交点恰好位于，两条刻度线的正中间． (4)请直接写出的值（结果保留两位小数）．根据以上实验，请用一句话说明该密度计的密度刻度分布有何规律？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，这说明密度计的刻度是不均匀的，上小下大，上疏下密 【分析】（1）根据，，即可求解； （2）依题意得，再根据，，即可求解； （3）依题意得，由（1）（2）知，，，即可求解； （4）依题意得，由（3）得，即可求出的值，因为不是均匀变化的，并且随的增大而减小，所以密度计的刻度是不均匀的，上小下大，上疏下密． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴，即． （2）解：当密度计放入水中时， ∵，， ∴． 由（1）知， 联立解得． （3）解：依题意得，， 由（1）（2）知，，， ∴． ∵， ∴． （4）解：由（3）得 ， ∵恰好位于，两条刻度线的正中间， ∴, 由（3）得， ∴． ∵不是均匀变化的，并且随的增大而减小， ∴密度计的刻度是不均匀的，上小下大，上疏下密． 整式的运算 考点06 1．（2026·福建福州·二模）下列运算结果一定是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算法则分别计算各选项结果，即可得到答案． 【详解】对各选项逐一计算判断： A选项：根据幂的乘方法则，幂的乘方底数不变，指数相乘，可得， ∴A选项不符合要求； B选项：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得， ∴B选项符合要求； C选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得， ∴C选项不符合要求； D选项：与不是同类项，不能合并，结果不是， ∴D选项不符合要求． 2．（2026·福建龙岩·二模）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，解题的关键是熟练运用积的乘方法则和幂的乘方法则． 先运用积的乘方法则，将展开为；再分别计算各项，其中，，最后合并得到结果． 【详解】解：． 故选：． 3．（2026·福建三明·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则逐一判断选项即可． 【详解】A、合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数不变，∴，A错误； B、∵和不是同类项，不能合并，∴，B错误； C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，C错误； D、同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，D正确． 4．（2026·福建泉州·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ， A运算错误； 对选项B，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ， B运算正确； 对选项C，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ， C运算错误； 对选项D，与次数不同，不是同类项，不能合并， D运算错误. 5．（2026·福建莆田·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需运用合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方，积的乘方的法则，逐一判断选项得到正确结果． 【详解】解：对选项A，根据合并同类项法则，系数相加，字母和指数不变， ，，故A错误； 对选项B，根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，，，故B错误； 对选项C，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，故 C正确； 对选项D，根据积的乘方法则，每个因式分别乘方再相乘，，，故 D错误． 6．（2026·福建龙岩·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，∴选项A运算正确． 选项B：，∴选项B运算错误． 选项C：与不是同类项，不能合并，∴选项C运算错误． 选项D：，∴选项D运算错误． 7．（2026·福建泉州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A：，选项式子运算正确； B：，选项式子运算错误； C：，选项式子运算错误； D：，选项式子运算错误． 8．（2026·福建三明·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的基本运算法则；运用合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，积的乘方法则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 9．（2026·福建厦门·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，积的乘方法则，同底数幂除法法则逐一判断选项． 【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，所以 A错误； 对于选项B，因为 = ，所以 B错误； 对于选项C，因为 = = ，所以 C错误； 对于选项D，因为 = = ，计算符合同底数幂除法法则，所以 D正确． 10．（2026·福建泉州·二模）下列计算中，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 11．（2026·福建南平·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12．（2026·福建厦门·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用同底数幂乘除、积的乘方、幂的乘方法则，分别计算各选项即可得到正确结果． 【详解】A．，错误，不符合题意． B． ，错误，不符合题意． C．，错误，不符合题意． D．，正确，符合题意． 13．（2026·福建宁德·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 乘法公式 考点07 1．（2026·福建厦门·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，积的乘方法则，同底数幂除法法则逐一判断选项． 【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，所以 A错误； 对于选项B，因为 = ，所以 B错误； 对于选项C，因为 = = ，所以 C错误； 对于选项D，因为 = = ，计算符合同底数幂除法法则，所以 D正确． 2．（2026·福建龙岩·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，∴选项A运算正确． 选项B：，∴选项B运算错误． 选项C：与不是同类项，不能合并，∴选项C运算错误． 选项D：，∴选项D运算错误． 3．（2026·福建宁德·二模）化简：． 【答案】 【详解】解：原式= =． 因式分解 考点08 1．（2026·福建三明·二模）因式分解： 【答案】 【分析】先提公因式法再用平方差公式法即可． 【详解】解：原式== 【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式和平方差公式是解题的关键． 2．（2026·福建莆田·二模）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键； 原多项式根据提公因式法因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（2026·福建宁德·二模）因式分解：________． 【答案】 【详解】解：. 4．（2026·福建南平·二模）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（2026·福建厦门·二模）因式分解：______． 【答案】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 6．（2026·福建泉州·二模）生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_______________． 【答案】 【分析】先对多项式进行因式分解，再代入计算各因式的值，将结果按从小到大排列后拼接得到密码． 【详解】对多项式因式分解：， 当时， 计算各因式的值：，，， 将三个因式的值按从小到大排列，拼接得到六位数密码“”． 分式的概念及其运算 考点09 1．（2026·福建三明·二模）求代数式的值，其中． 【答案】 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 2．（2026·福建三明·二模）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 当时， 原式． 3．（2026·福建泉州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先计算括号内的，再将除法转化为乘法进行计算即可得到最简分式，最后代入x的值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（2026·福建南平·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： 当时 原式 5．（2026·福建泉州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 二次根式的概念及其运算 考点10 1．（2026·福建南平·二模）黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，结合，得出，则，结合，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·福建泉州·二模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 3．（2026·福建泉州·二模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 4．（2026·福建泉州·二模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式         ． 5．（2026·福建龙岩·二模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 6．（2026·福建莆田·二模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 7．（2026·福建南平·二模）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根，绝对值，负整数指数幂，再加减即可． 【详解】解：原式 ． 规律探究 考点11 1．（2026·福建龙岩·二模）如图，小明同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则的值是______． 【答案】 【分析】根据题意得出，，……得出，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵函数图象关于点中心对称，这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……， ∵即， ∴， ∵， 当时，，即，即， ∴． 2．（2026·福建三明·二模）阅读材料，回答问题． 将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为m，竖直方向边长为n的网格矩形称为“矩形”，例如，图1，图2，图3中的网格矩形分别称为“2×1矩形”“2×3矩形”“4×3矩形”．小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究．   小海分别画出图1，图2，图3中网格矩形的一条对角线，制作了下表： （表示矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 3 2 2 3 5 4 4 3 7 ① 小海根据表中数据发现与之间满足等量关系：②．记这个等量关系为“*”． 小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点． 小江的观点是：在矩形中，当正整数m，n中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立． 小河的观点是：在矩形中，当正整数m，n互质（m，n的公因数只有1）时，等量关系*一定成立． (1)①的内容是_______，②的内容是_______； (2)判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例； (3)m，n均为正整数，且，写出满足的所有数对． 【答案】(1)6； (2) 小河的观点正确，小江的观点不正确； 针对小江的观点，反例为矩形，如下图： ，而. (3)，，，，， 【分析】（1）通过画图和观察表格的数据规律即可获解； （2）通过构造矩形，即可作出正确判断； （3）按照，是否互质分类讨论，当，互质时，用上述规律列方程求解即可，当，不互质时，用公约数去约它们，转化为互质的情况讨论即可． 【详解】（1）如图： 所以①的内容为6； 观察表格数据规律可知： ②的内容为． （2）略 （3）满足条件的所有数对为： ，，，，，， 理由如下： 当m，n互质时，矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为． 当m，n不互质时，设其最大公因数为p，则正整数，互质，故矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为，从而． 依题意，分成四类： 第一类，m，n互质，此时，即，共有，  ，  三种情形； 第二类，m，n的最大公约数为2，此时，则； 第三类，m，n的最大公约数为3，此时，则； 第四类，m，n的最大公约数为6，此时． 3．（2026·福建南平·二模）阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对． 证明：依题意知，，整理，得…（*）， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或， 若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去； 若，则由（*）得， ① ； 若，则由（*）得， ② ． 综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对． 故命题成立． 推广延伸 问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． (1)解决问题； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题． 【答案】(1) 解：小明的猜想不正确，理由如下： 反例：，“非法约分”后为，而， ∴小明的猜想不正确； (2) 解：①， 由是整数知，或， 所以或， 故为或； ②， 由是整数知，，，，， 因为，， 所以或， 所以或， 故为或； (3) 解：正确，证明如下： ， 而按“非法约分”规则，， 故的“非法约分”正确． 【分析】（）举反例即可判断求解； （）仿照前面的推论补充证明过程即可； （）求出化简后的结果，再求出“非法约分”的结果即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 代数推理 考点12 1．（2026·福建南平·二模）已知对任意实数a、b，有，当且仅当时等号成立．利用上述条件，解决以下问题： (1)已知实数a、b满足（k为常数），证明，并写出不等式中等号成立的条件； (2)当（k为常数）且，利用代数推理求出代数式的取值范围（用含k的式子表示）． 【答案】(1)当时，等号成立； 证明：∵，， ∴， ∴， ∵，当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，不等式中等号成立． (2) 【分析】（1）利用完全平方公式变形即可证明； （2）结合（1）中结论可得由（1）得，当时，，再利用不等式的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴由（1）得，当时，， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·福建龙岩·二模）综合与实践：进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，二进制的基数为2，各数位上的数字为0或1；四进制的基数为4，各数位上的数字为．我们熟知的十进制的基数为10，各数位上的数字为．说明：为了区分不同进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是六进制数235的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 各进制数之间可以进行互相转换．可把其他进制数转换为十进制数，例如，三进制数转换为十进制数：；六进制数转换为十进制数：．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，即 素材2 若要将十进制数转换为其他进制数，则可逆用素材1中的等式．例如，十进制数27转换为二进制数：因为，所以，；将十进制数75转换为六进制数：因为，所以，． (1)①把二进制数转换为十进制数为__________； ②把十进制数22转换为三进制数为__________； (2)若与转换为十进制数的和能被5整除，且与转换为十进制数的和能被6整除（其中，，且，为整数），求的值； (3)若一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，求证：这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 【答案】(1)①13；② (2) (3)见解析 【分析】（1）根据定义转换即可； （2）先把各数转换为十进制，结合整除计算可得，，再求和即可； （3）设三进制数为：，则进而判断即可． 【详解】（1）①； ②； （2），， ∴它们的和能被5整除， ， ，是整数， ∴当且仅当时，是5的倍数， ，， ∴它们的和能被6整除， ， 代入，得， ，是整数， ∴当且仅当时，是6的倍数， ，， ； （3）设三进制数为：（为正整数）， 则 ， ，，…，，，都是偶数，能被2整除， 又三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除， 即能被2整除， 能被2整除． ∴这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $