精品解析：2026年甘肃省临夏回族自治州广河县部分校初中学业水平考试标准检测试卷（三）数学

甘肃省初中学业水平考试标准测评卷 数学（三） 本试卷满分150分，考试时间为120分钟．本试卷有专用答题卡，请将答案按要求工整地书写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，比2小的数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 某公司为响应“低碳减排”，计划建风能发电站，预计年均发电量约为度，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ） A. 小车的车流量与公车的车流量稳定； B. 小车的车流量的平均数较大； C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值； D. 小车与公车车流量的变化趋势相同． 7. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长 尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O．若⊙O的半径为4，∠D=135°，则弧AC的长为（ ） A. ． B. 2． C. 4． D. 8． 10. 已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：＝________________． 12. 若，则______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，过点A作AC⊥y轴于点C，点B在 轴上，连接CB，AB．若△ABC的面积为4，则k的值为______． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 15. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____． 16. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 三、解答题（本大题共11小题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在如图所示的方格纸中． （1）作出关于对称的图形； （2）说明是由经过怎样的平移变换得到的？ （3）若点在直角坐标系中的坐标为，试写出的坐标． 21. 甲、乙两人用如图①、图②所示的两个转盘做游戏，规则是：转动两个转盘各 次，若两个转盘停止转动后，指针所在区域的两个数字之积为奇数，则甲获胜，否则乙胜．试求出甲获胜的概率． 22. 某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米） （参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2） 23. 为了了解家长关注孩子成长方面的状况，学校开展了针对学生家长的“您最关心孩子哪方面成长”的主题调查，调查设置了“健康安全”、“日常学习”、“习惯养成”、“情感品质”四个项目，并随机抽取甲、乙两班共100位学生家长进行调查，根据调查结果，绘制了如图不完整的条形统计图． （1）补全条形统计图． （2）若全校共有3600位学生家长，据此估计，有多少位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长？ （3）综合以上主题调查结果，结合自身现状，你更希望得到以上四个项目中哪方面的关注和指导？ 24. 如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 26. 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC． （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，则DF=　． 27. 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省初中学业水平考试标准测评卷 数学（三） 本试卷满分150分，考试时间为120分钟．本试卷有专用答题卡，请将答案按要求工整地书写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数中，比2小的数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可． 本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】解： A、 ，不符合条件． B、 ，不符合条件． C、 ，不符合条件． D、 ，符合条件． 故选：D． 2. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，考生解答本题需要熟悉三视图，会观察几何体的三视图．根据俯视图是从上方看到的解答即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：D． 3. 某公司为响应“低碳减排”，计划建风能发电站，预计年均发电量约为度，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键是确定符合要求的和的值，科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：的小数点向左移动8位可得到，满足， ，即． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图， 的半径是，是 的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵ 的半径是5，是 的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 6. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ） A. 小车的车流量与公车的车流量稳定； B. 小车的车流量的平均数较大； C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值； D. 小车与公车车流量的变化趋势相同． 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线统计图逐项判断即可得． 【详解】解：A、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意； B、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意； C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意； D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键． 7. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 8. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O．若⊙O的半径为4，∠D=135°，则弧AC的长为（ ） A. ． B. 2． C. 4． D. 8． 【答案】B 【解析】 【分析】连接AO，OC，根据圆内接四边形的性质得到∠B=45°，由圆周角定理得到∠AOC=90°，根据弧长的公式即可得到结论． 【详解】解：连接AO，OC， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=135°， ∴∠B=45°， ∴∠AOC=90°， ∴弧AC的长=． 故选B． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 10. 已知点P为某个封闭图形边界上的一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，PM总上等于半径，则可对D进行判断，从而得到正确选项． 详解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；D选项中的封闭图形为圆，y为定中，所以D选项不正确；A选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值． 故选A． 点睛：本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：＝________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值．对已知等式变形得到，再整体代入计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，过点A作AC⊥y轴于点C，点B在轴上，连接CB，AB．若△ABC的面积为4，则k的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接OA，由△ABC和△OAC的面积相等可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：连接OA，如图所示． ∵△ABC和△OAC的面积相等（同底等高）， ∴S△OAC=k=4， ∴k=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出S△OAC=k=4．解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出相对应的三角形的面积是关键． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 15. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 16. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 三、解答题（本大题共11小题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是，通分后约分化简，最后代求值． 【详解】解： ， 当时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握运算法则正确计算是解题关键． 20. 在如图所示的方格纸中． （1）作出关于对称的图形； （2）说明是由经过怎样的平移变换得到的？ （3）若点在直角坐标系中的坐标为，试写出的坐标． 【答案】（1） （2）是由先向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到的）； （3），，． 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平移的性质结合图形解答； （3）根据点在直角坐标系中的坐标为，画出坐标系，进而根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，，，． 21. 甲、乙两人用如图①、图②所示的两个转盘做游戏，规则是：转动两个转盘各次，若两个转盘停止转动后，指针所在区域的两个数字之积为奇数，则甲获胜，否则乙胜．试求出甲获胜的概率． 【答案】 【解析】 【分析】列表求出所有等可能的结果数，利用“积为奇数”的结果数除以总的结果数即可求出答案． 【详解】解： 根据题意列表如下： 1 2 3 5 6 7 转动两个转盘各1次，所有可能出现的结果有、、、、、、、、，共有9种可能，它们出现的可能性相同， 所有结果中，满足“积为奇数”的结果有4种，分别是、、、， ∴转动两个转盘各1次，转出的两个数字之积为奇数的概率为． 即甲获胜的概率为． 22. 某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米） （参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2） 【答案】14.7米 【解析】 【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣BD可得关于AB 的方程，解方程可得． 【详解】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48° 在Rt△ADB中，tan64°=， 则BD=≈AB， 在Rt△ACB中，tan48°=， 则CB=≈AB， ∴CD=BC﹣BD 即6=AB﹣AB 解得：AB=≈14.7（米）， ∴建筑物的高度约为14.7米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 23. 为了了解家长关注孩子成长方面的状况，学校开展了针对学生家长的“您最关心孩子哪方面成长”的主题调查，调查设置了“健康安全”、“日常学习”、“习惯养成”、“情感品质”四个项目，并随机抽取甲、乙两班共100位学生家长进行调查，根据调查结果，绘制了如图不完整的条形统计图． （1）补全条形统计图． （2）若全校共有3600位学生家长，据此估计，有多少位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长？ （3）综合以上主题调查结果，结合自身现状，你更希望得到以上四个项目中哪方面的关注和指导？ 【答案】（1）答案见解析；（2）360；（3）答案不唯一． 【解析】 【分析】（1）用甲、乙两班学生家长共100人减去其余各项目人数可得乙组关心“情感品质”的家长人数，补全图形即可； （2）用样本中关心孩子“情感品质”方面的家长数占被调查人数的比例乘以总人数3600可得答案； （3）无确切答案，结合自身情况或条形统计图，言之有理即可． 【详解】（1）乙组关心“情感品质”的家长有：100﹣（18+20+23+17+5+7+4）=6（人），补全条形统计图如图： （2）×3600=360（人）． 答：估计约有360位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长； （3）无确切答案，结合自身情况或条形统计图，言之有理即可，如：从条形统计图中，家长对“情感品质”关心不够，可适当关注与指导． 考点：条形统计图；用样本估计总体． 24. 如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值． 【答案】（1）；（2）1或9 【解析】 【分析】（1）把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，求得k、b的值，即可得一次函数的解析式； （2）直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝x＋5－m，根据平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点，把两个解析式联立得方程组，解方程组得一个一元二次方程，令∆=0，即可求得m的值． 【详解】解：(1)根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得， 解得， 所以一次函数的表达式为y＝x＋5； (2)将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝x＋5－m， 由得x2＋(5－m)x＋8＝0， Δ＝(5－m)2－4××8＝0， 解得m＝1或9． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解． 25. 如图，在中，，以为直径的 交于点D，交的延长线于点E，交于点F． （1）求证：是 的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：如下图，连接OD， ∵,， ∴,， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴DE是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）要证明DE是 的切线，只要证明即可．连接OD，根据条件证明，则可推导出． （2）根据条件，在中，求出OE的长，然后证明，从而根据相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵AC=6， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ,即， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的相似，勾股定理等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键. 26. 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC． （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，则DF=　． 【答案】（1）见解析； （2）图②中：AC+DF=DE；图③中：AC+DE=DF． （3）2或10 【解析】 【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得． （2）与（1）的证明方法相同． （3）根据（1）（2）中的结论直接求解． 【详解】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∴AF=DE． ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠C． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∴∠FDB=∠C． ∴DF=BF． ∴DE+DF=AB=AC． （2）图②中：AC+DF=DE；图③中：AC+DE=DF． 理由如下：如图②所示，同理可证四边形AEDF是平行四边形， ∴AF=DE， ∵， ∴∠B=∠CDF， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， 又∵∠ACB=∠FCD， ∴∠FCD=∠FDC， ∴FC=FD， ∴AC+DF=AC+CF=AF=DE； 如图③同理可证AC+DE=DF； （3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2； 当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10． 27. 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）连接，，由于的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点，根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点，然后再求出直线的表达式为即可． 【小问1详解】 解：依题意，得 解得 即抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：连接，，   的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点， ∴ ∴根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点． 设直线的表达式为， 则 解得 此直线的表达式为， 把代入，得， 点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $