精品解析：陕西汉中市汉台中学2025-2026学年高一下学期月考2数学试题

汉台中学2025级高一年级月考2数学试题 （第Ⅰ卷 选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量有且仅有一个 B. 零向量的模长为零，方向任意 C. 模长为的两倍的向量是 D. 相反向量是与原向量方向相反的向量 2. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 在中，若，则（   ） A. B. C. D. 4. 记的内角，，的对边分别是，若，，，则（    ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. 已知，，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，的夹角为锐角，则 10. 在中，角所对的边分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 11. 如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A. 面 B. C. 与是异面直线 D. 与平面夹角正弦为 （第Ⅱ卷 非选择题 共92分） 二、填空题．本大题共2小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数解析式为___________． 13. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 14. 如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足. （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 16. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，，且. （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积． 18. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积的最大值，并求此时的值； （3）若，求． 19. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉台中学2025级高一年级月考2数学试题 （第Ⅰ卷 选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量有且仅有一个 B. 零向量的模长为零，方向任意 C. 模长为的两倍的向量是 D. 相反向量是与原向量方向相反的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量，零向量，平面向量及相反向量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，单位向量方向不确定故有无数个，故A错误； 对于B，零向量的模长为0，方向任意，故B正确； 对于C，模长为的两倍的向量可以是，故C错误； 对于D，相反向量是与原向量方向相反且长度相等的向量，故D错误. 2. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得：． 3. 在中，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算计算即可. 【详解】由，得. . 4. 记的内角，，的对边分别是，若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】中，由正弦定理，即，解得， 又，所以 ，所以为锐角，故． 5. 在平行四边形中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值. 【详解】如图： 以为基底，则，，. 且，， 所以. 故选：D 6. 已知，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 7. 已知非零向量，不共线，，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，结合不共线向量线性表示的系数唯一性列方程求解x. 【详解】因为与共线，由平面向量共线定理可知，存在实数λ，使得， 而，，故， 非零向量，不共线，可得方程组：，解得. 8. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，的夹角为锐角，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可. 【详解】选项A：因为， 所以，故A 正确； 选项B：因为， 又因为，所以：， 即：，解得 ，故B 错误； 选项C：因为， ， 所以在方向上的投影向量为，故C 正确； 选项D：若 的夹角为锐角，则 ，且 与 不共线 因为，解得 ， 若 ，则 ，解得 ， 当 时， 与 同向共线，夹角为 ，不是锐角，故需排除 ， 因此，夹角为锐角的条件是 且 ，并非 ，故D 错误. 10. 在中，角所对的边分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 【答案】AD 【解析】 【分析】结合正弦定理、三角函数单调性与诱导公式、三角形解的个数判断等知识点，对各选项逐一分析即可． 【详解】选项A：在中，由大角对大边知，若，则， 由正弦定理得，故本选项正确； 选项B：若为锐角三角形，则，， 所以，即， 由于，正弦函数在上单调递增， 因此，故本选项错误； 选项C：若，由得，则有两种情况： ①即，为等腰三角形； ②即，为直角三角形， 因此可能为等腰三角形或直角三角形，故本选项错误； 选项D：由正弦定理得， 又，故，可为锐角或钝角， 当为钝角时，，所以，满足，因此有两解，故本选项正确． 11. 如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A. 面 B. C. 与是异面直线 D. 与平面夹角正弦为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据正方体的几何性质可判断B；根据异面直线的定义可判断C；求出线面角可判断D. 【详解】对于A，因为，且，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面， 且与无公共点，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，连接，因为平面， 所以为 与平面的夹角， 设正方体的棱长为2， 则， 可得，故D错误. （第Ⅱ卷 非选择题 共92分） 二、填空题．本大题共2小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由图象得的最大值为3，最小值为，所以， ，解得，所以， 又过点，代入可得，所以， 则，解得， 因为，所以，所以. 13. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【详解】的内角的对边分别为. ， 利用正弦定理可得， 由于， 所以， 所以，则或 由于，故为锐角，所以， 由，得，解得， 所以. 14. 如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正三棱锥的侧面展开图求得正确答案. 【详解】正三棱锥的侧面展开图如下图所示， 因为为正三棱锥，所以， 依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形， 在中，由余弦定理可得：， 所以，解得：， 所以. 所以最短路程为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足. （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用向量的线性坐标运算求解即可； （2）使用向量的夹角的坐标公式求解即可； （3）将两个向量互相垂直转化为数量积等于零求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，所以夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ，由与垂直，得， 则，解得. 16. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【小问1详解】 由正弦定理可得，，即，解得：； 【小问2详解】 由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． 【小问3详解】 由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 17. 如图，在四棱锥中，，且. （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由，得，．从而得，进而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设，取中点，连结，则底面，且，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积. 试题解析：（1）由已知，得，． 由于，故，从而平面． 又平面，所以平面平面． （2）在平面内作，垂足为． 由（1）知，面，故，可得平面． 设，则由已知可得，． 故四棱锥的体积． 由题设得，故． 从而，，． 可得四棱锥的侧面积为 ． 18. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积的最大值，并求此时的值； （3）若，求． 【答案】（1） （2）面积最大值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角形内角和与诱导公式化简，求出，再结合角的范围确定. （2）先用余弦定理列出的关系式，借助基本不等式求出的最大值，代入三角形面积公式求得面积最值，最后根据取等条件算出的值. （3）由正弦定理求出，根据大边对大角判断为锐角，算出；再用二倍角公式求，最后利用两角差的余弦公式计算. 【小问1详解】 由正弦定理，为外接圆半径. 所以有. 整理得. 在中，，故. 因为，所以，于是，即. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，代入，，得. 由基本不等式，可得，即. 当且仅当时等号成立. 三角形面积，因此. 当时，，解得. 综上，面积的最大值为，此时. 【小问3详解】 由正弦定理，结合，，得. 则. 由，得，故为锐角，. 由二倍角公式，，. 所以. 19. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 【答案】（1）； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再由函数的周期确定的值即得函数解析式； （2）先根据平移伸缩变换求得的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象性质即得的值域； （3）先求出函数的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象，即可判断方程的解的个数，求得，再根据图象的对称性化简计算即得参数的值. 【小问1详解】 由 ， 因相邻两对称轴间的距离为，则，解得， 故. 【小问2详解】 函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），即得的图象. 当时，， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，即时，取得最小值， 当时，即 时，取得最大值， 故函数的值域为. 【小问3详解】 ， 由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象， 由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的图象性质的应用，属于较难题. 解决此类问题的关键是先利用三角恒等变换确定三角函数解析式，再将看成整体角，借助于正弦函数的图象的性质即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $