精品解析：陕西省教育联盟2025-2026学年第二学期高一质量检测数学试卷（三）

2025~2026学年第二学期高一质量检测卷（三） 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册第六章~第九章9.2.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】， 又因为，所以. 故选：A. 2. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【详解】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D 3. 下列说法正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥，A错误； 对于B，长方体是底面为矩形，且侧棱与底面垂直的四棱柱，B错误； 对于C，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需各侧棱延长后相交于一点，C错误； 对于D，如果一个棱柱的所有面都是正方形，说明上、下底面是正方形的四棱柱，各侧面都是正方形，则有各侧棱都垂直于底面，且所有棱长都相等，所以这个棱柱是正方体，D正确． 4. 已知向量，它们的夹角为，则（ ） A. 10 B. C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的计算公式即可代入求值. 【详解】因为向量，它们的夹角为，所以， 所以. 故选：C. 5. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移变换求出解析式. 【详解】将函数图象向左平移个单位长度得到的函数图象. 故选：C． 6. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中，，，，故原平面图形的周长为，故选：A． 7. 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若，，，，则山高为（ ）（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内） A. 2000m B. m C. 1000m D. m 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，，，然后由正弦定理可得，最后在中，由三角函数知识可得答案. 【详解】因为，，又因为， 所以，，所以. 在中，，，，， 由正弦定理得：，即，解得. 在中，，，， 所以. 8. 已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以单位向量为基底建立坐标系，将用夹角表示，通过向量模长公式将转化为含的三角函数，再结合，确定的范围，利用三角函数的值域求解模长的取值范围． 【详解】因为是在同一平面内的三个单位向量，且， 所以，设与的夹角为，与的夹角为， 又因为，， 所以且，即与和的夹角均为锐角， 又因为，若把，，平移到同一起点，则在和之间， 如图所示，其中，，，则有， 则， 因为即，所以， 则，则， 即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某市小学生每天的运动时间 B. 某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 C. 农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量 D. 调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况 【答案】AC 【解析】 【分析】根据普查和抽样调查各自的特点进行选择． 【详解】A．调查某市小学生每天的运动时间的工作量很大，抽样调查； B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，甲肝具有传染性，危害大，对此公司职员进行检查适合普查的方式； C．农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量适合采用抽样调查； D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况适合普查的方式； 故选：AC． 10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，根据条件得到或，即可求解；选项B，由，，得到或，再由面面垂直的判定定理即可求解；选项C，由面面平行的性质，即可求解；选项D，在正方体中，通过特例，即可求解. 【详解】对于选项A，若，，则或，所以选项A错误； 对于选项B，若，，则或，又，则，所以选项B正确； 对于选项C，若，，则，所以选项C正确； 对于选项D，在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，但，所以选项D错误. 故选：BC. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形的几何性质，结合三角函数的诱导公式以及余弦定理，可得答案. 【详解】对于A，在中，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则A是锐角，显然B，C是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中抽取25人，则这25人中男生有___________人． 【答案】15 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的定义求解即可. 【详解】由题意，男、女生共有200人，其中女生有80人，则男生有120人， 按照分层随机抽样的方法，男生应该抽取人． 故答案为：15. 13. 已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值. 【详解】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且， 故，解得，， 又，所以. 故答案为： 14. 已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明线面垂直，再将三棱锥放置在圆柱内，利用底面外接圆半径、高与球半径的关系即可求解. 【详解】，，平面，平面， 平面， 如图，设圆柱的底面圆直径为，母线长（即圆柱的高）为， 则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等， 即为圆柱的外接球球心，且有外接球半径， 故可以将三棱锥置于以外接圆为底面，为高的圆柱内（如图）， 其中上底面外接圆圆心为，下底面外接圆的圆心为， 因为， 所以外接圆的直径， 则，又圆柱的高， 所以三棱锥外接球的半径， 球的表面积. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由可得，， 即， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 0.20 24 n m p 2 0.04 合计 M 1 （1）求出表中M，p及图中a的值； （2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数； （3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数） 【答案】（1），， （2）144 （3），18.1，18.3 【解析】 【分析】（1）借助频数、频率与总数之间的关系计算即可得； （2）以所得频率估计概率计算即可得； （3）借助众数、中位数及平均数的定义计算即可得. 【小问1详解】 由分组对应的频数是10，频率是0.20，知，所以， 所以，解得，所以，； 【小问2详解】 估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为； 【小问3详解】 估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是． 因为，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足： ， 解得，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1， 由， 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3. 17. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【小问1详解】 因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； 【小问2详解】 因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，. （1）求的值； （2）已知，为的中点，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合数量积和面积公式运算求解即可； （2）根据面积可得，中，利用余弦定理可得，再求边即可. 【小问1详解】 因为，则，整理可得， 且，所以. 【小问2详解】 因为，可得， 又因为为的中点， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得， 解得或（舍去）， 结合，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以的周长为. 19. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过证明，平面，证得平面. （2）作出二面角的平面角，解三角形求得其余弦值. （3）根据与平面所成角的正弦值求得，结合余弦定理求得. 【小问1详解】 连接，，，因为是长方体， M，N分别为棱，的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，，所以， ，， 则有，则有； 同理，，并且，BM，平面BDM， 所以平面BDM，又因为，所以平面BDM； 【小问2详解】 分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有，所以， 又因为是边长为的正三角形，则有， 则即为二面角的平面角， 且，，， 由余弦定理，， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 设点P到平面BDM的距离为d，PM与平面BDM所成的角为，则． 因为，平面BDM，平面BDM，所以平面BDM， 则点P到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，根据， 即，解得， 又因为与平面所成角的正弦值为， 则． 连接，是边长为的正三角形， 在中，由余弦定理得,， 即，整理得：， 即，解得或， 又因为，， 所以或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期高一质量检测卷（三） 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册第六章~第九章9.2.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 4. 已知向量，它们的夹角为，则（ ） A. 10 B. C. D. 13 5. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名.如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度.在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若，，，，则山高为（ ）（图中的点A，B，P，C，Q均在同一个铅直平面内） A. 2000m B. m C. 1000m D. m 8. 已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某市小学生每天的运动时间 B. 某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 C. 农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量 D. 调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况 10. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中抽取25人，则这25人中男生有___________人． 13. 已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则__________． 14. 已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 16. 对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 0.20 24 n m p 2 0.04 合计 M 1 （1）求出表中M，p及图中a的值； （2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数； （3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数） 17. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． （1）证明：平面PAC； （2）证明：平面平面PBC． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，. （1）求的值； （2）已知，为的中点，，求的周长. 19. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $