精品解析：陕西省汉中市汉台中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

陕西省汉中市汉台中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数即得解. 【详解】解：， 所以复数的虚部为. 故选：C 2. 已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数定义求出即可求出，再根据角的终边在第二象限即可求出. 【详解】由题意可得，得或， 因角的终边在第二象限，则. 故选：A 3. 设向量，， ，若与平行，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因向量，，所以，又因为，且与平行，所以 ，所以 ，故选A. 4. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式，结合同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可. 【详解】由， 所以， 故选：B 5. 若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简函数的解析式，再利用平移规律求函数的解析式，最后代入求值. 【详解】， 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以. 故选：C 6. 在中，，，是边的中点，是边上一动点，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系得 ，因此 ，选B. 点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题. (2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 7. 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（ ） A B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示， 则，，， 由，有，，， 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示， 质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦， ，，有. 故选：A 8. 已知函数，若在区间上单调，则ω的最大值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，利用周期求得，分类讨论求得 【详解】因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 当时，即时，函数在上单调递增， 因为，所以， 当，即，函数上单调递减， 当，即（舍去）， 故则ω的最大值是. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有5个面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间几何体的定义和特点逐个选项判断即可. 【详解】底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误； 球没有顶点和棱，B错误； 将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误； 棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确． 故选：ABC． 10. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，，结合同角三角函数的平方关系可解得的值，再根据商数关系可得的值，依次代入四个选项，逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 又，所以，则； 联立，解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：ACD. 11. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称 C. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图像周期性求出，代入特殊点求，得到，对四个选项一一验证，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，根据函数值的正负进行判断. 【详解】由题图可得，，故， 所以，又，即， 所以，，又，所以，所以. 对于A：当时，，故A错误； 对于B：当时，，故B正确； 对于C：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数， 图像，故C中说法错误； 对于D：当时，，则当，即时，单调递减；当，即时，单调递增， 因为，，， 所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 复数的模为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的加减运算化简复数，利用复数模的计算公式可得结果. 【详解】∵， ∴复数的模为. 故答案为：. 13. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】由题意， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为： 14. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将替换成，再让两式相减可得，对条件进行平行后两式相加即可求的值. 【详解】因为①， 所以 由题意可化简②， ①-②可得，所以. 又③，④， ③+④可得，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不共线的向量，，，，. （1）求与的夹角； （2）求. 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】 （1）由求得，再利用夹角公式求解. （2）利用模长公式直接求解. 【详解】（1）设与的夹角为， ∵，∴， 又，可得， ∴ ∵，∴ ∴与的夹角为. （2） . 【点睛】考查向量数量积、向量夹角以及模长的计算，属向量运算的综合基础题. 16. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值； （2）若，且，求角. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由可得，再由求出的值，然后利用二倍角公式化简计算即可， （2）由，求出，从而由可求得的值，而，再利用两角差的正弦公式化简计算，从而可求出角 【详解】知 又 （1） （2） 又 又 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知：. （1）求A； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得求解， （2）根据正弦定理可得，进而利用余弦定理可得，即可利用面积公式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因,故， 故，即， 又，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 则,可得 即， 由（1） 根据余弦定理可得， 则， 即，可得， 所以的面积 18. 设函数； （1）写出函数的单调递增区间； （2）若，求函数的最值及对应的的值； （3）若不等式在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）最小值为，对应，最大值为0，对应 （3）. 【解析】 【分析】（1）利二倍角公式及辅助角公式化简，再由正弦函数单调性求出单调递增区间. （2）根据的范围求出相位的范围，再利用正弦函数的最值及取得最值的条件求解. （3）等价变形不等式，并借助（2）的结论求得的范围. 【小问1详解】 依题意，， 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 则当，即时，； 当，即时，， 所以函数的最小值为，对应，最大值为0，对应. 【小问3详解】 不等式， 由（2）知，当时，，， 依题意，当时，恒成立， 因此且，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知复数，， （1）若，求角； （2）复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； （3）复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）角 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解 (2)由向量的数量积运算结合两角差的正弦整理，再由角度的范围求出相位范围后即可求出的取值范围 (3)利用向量数量积的坐标运算进行化简等式，转化为和三角函数的表达式，求出三角函数的整体范围后再计算表达式的范围，进而求出最后结果 【小问1详解】 ，，由，得，， 又， 【小问2详解】 由复数的坐标表示得，，， 则，又， ，当时，取最大值为4， 当时，取最小值为， 所以的取值范围为 【小问3详解】 由题意得，，，， 又，， 化简得，，由小问2的结论可得，， 当，得 恒成立， 当，得，或， 综合所述，的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 陕西省汉中市汉台中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 2. 已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（ ） A B. C. 2 D. 3. 设向量，， ，若与平行，则的值为 A. B. C. D. 4. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 7 5. 若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A B. C. 1 D. 2 6. 在中，，，是边的中点，是边上一动点，则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（ ） A. B. 6 C. D. 8. 已知函数，若在区间上单调，则ω的最大值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有5个面 10. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称 C. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 复数的模为__________. 13. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是______． 14. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不共线的向量，，，，. （1）求与的夹角； （2）求. 16. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值； （2）若，且，求角. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知：. （1）求A； （2）若，，求的面积. 18 设函数； （1）写出函数的单调递增区间； （2）若，求函数的最值及对应的的值； （3）若不等式在恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知复数，， （1）若，求角； （2）复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； （3）复数对应向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$