4.1.1相交与平行课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件围绕平面内两条直线的位置关系展开，涵盖相交线（对顶角）、平行线（定义、表示、画法、公理及推论）及三线八角（同位角、内错角、同旁内角）等核心知识点，通过剪刀、窗页、铁轨等生活实例观察抽象，结合“探究新知”“做一做”活动，构建从具体到抽象的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过“做一做”推导对顶角相等发展推理意识，用“F”“Z”“U”字母标识三线八角强化几何直观。学生能提升抽象能力与空间观念，教师可借助结构化探究活动和清晰知识总结提升教学效率。

4.1.1 相交与平行 第4章 平面内的两条直线 这两组角都有共同的顶点 观 察 如图4-7， 剪刀的两个交叉腿构成四个角， 将其简单地表示为图4-8.图中∠1 和 ∠3、∠2 和∠4，它们有什么特征？ 有公共的顶点，其中一角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角. 对顶角有什么数量关系呢？ 探究新知 其中一个角的两边分别是另 一个角两边的反向延长线 做一做 如图，比较∠1和∠3、∠2和∠4的大小，它们的大小之间有怎样的关系? 解: ∵直线AB与CD相交于O点， ∴ ∠1+∠2=180°， ∠2+∠3=180°， ∠2=∠4.（同理可证） 你能得到什么结论？ 对顶角相等 探究新知 ∴ ∠1=∠3. (同角的补角相等) 平行线的定义及表示 1 下图是两扇窗页开合的示意图. 把两扇窗页近似地看成在同一平面内，每扇窗页的四条边所在的直线中，哪些既不相交也不重合? 由生活常识可得： AB 和 DC，AD 和 BC 既不相交，也不重合. 由上可知，同一平面内的两条直线有三种位置关系：相交、重合、既不相交也不重合(即没有公共点). 知识点一 平面内两直线的位置关系 ② 如果两条直线有两个公共点，那么由“两点确定一条直线”可知，它们一定重合.（无特殊说明，两条重合的直线只当做一条）。 ① 如果两条直线只有一个公共点，那么称这两条直线相交，也称它们是相交直线，这个公共点叫作它们的交点. 思考：图中铁轨、操场上跑道中的分道线、围栏的栏杆会不会出现公共点? 在位置上给人怎样的感觉? 发现：不会相交. 两条看不到尽头的轨道，我们将它抽象成几何图形. 在同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线. 注意：平行线的定义包含三层意思： （1）“在同一平面内”是前提条件； （2）“没有公共点”就是说两条直线既不相交也不重合； （3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段. 一、平行线的概念 a b c 我们通常用符号“∥”表示平行. C B A D a∥b AB∥CD a b 读作：“AB 平行于 CD”　 读作：“a 平行于 b ” 　 在同一平面内，不重合的两直线的位置关系有平行与相交两种. 二、平行线的表示法 观 察 设直线 AB， CD 都与第三条直线 MN 相交（有时也说直线 AB 和 CD 被第三条直线 MN 所截），则可以构成 8 个角，如图所示． (1) ∠1 和∠5 的位置有什么关系? “三线八角” ①在截线MN的同一侧（右边） ②在被截线AB、CD的同一方（上方） 探究新知 同位角 图中的同位角还有哪些？ ∠2和∠6 ∠3和∠7 ∠4和∠8 图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角. 变式图形：图中的 ∠1 与∠2 都是同位角. 1 2 1 2 1 2 1 2 知识总结 在同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线. 注意：平行线的定义包含三层意思： （1）“在同一平面内”是前提条件； （2）“没有公共点”就是说两条直线既不相交也不重合； （3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段. 一、平行线的概念 a b c 在同一平面内，不重合的两直线的位置关系有平行与相交两种. 我们通常用符号“∥”表示平行. C B A D a∥b AB∥CD a b 读作：“AB 平行于 CD” 读作：“a 平行于 b ” 二、平行线的表示法 或“CD 平行于AB ”或“AB 与 CD互相平行” 一条线段向两端无限延伸就得到一条直线，这说明直线有两个方向，取定一个方向，就确定了另一个方向． 问题： 在每条直线上取定一个方向，两条直线平行，它们的方向有什么关系？ 若两条直线平行， 则它们的方向相同或相反. 动手画一画 平行线的画法： （1）放 （2）靠 （3）推 （4）画 平行线的画法、平行公理及推论 2 · A · B (3) 经过点 C 能画出几条直线与直线 AB 平行？ (4) 过点 D 画一条直线与直线 AB 平行，与 (3) 中所画 的直线平行吗？ · · C D (1) 经过点 C 能画出几条直线？ 无数条 1 条 a b (2) 与直线 AB 平行的直线有几条？ 无数条 平行 合作与交流： 你能对这些情况进行归纳总结吗？ ①在直线MN的同一旁(左侧) 观 察 ①在截线MN的两侧 ②在被截线AB、CD之间 ②在直线AB、CD的之间 探究新知 (2) ∠3 和∠5 ，∠3和∠6 的位置分别有什么关系? ∠3和∠5 内错角 ∠3和∠6 同旁内角 图中还有其他的内错角和同旁内角吗？ 内错角∠4和∠6 同旁内角∠4和∠5 变式图形：图中的 ∠1 与∠2 都是内错角. 图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角. 1 2 1 1 1 2 2 2 知识总结 变式图形：图中的 ∠1 与∠2 都是同旁内角. 图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.　 1 1 1 1 2 2 2 2 角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 共同特征 同位角 同旁 内角 内错角 F Z U 截线:同侧 被截线:同旁 截线:同侧 被截线:之间 截线:两侧 被截线:之间 1 2 1 2 1 2 这三类角都是没有公共顶点的 知识总结 1. 在下图中，哪些线段是相互平行的？ 答：HI∥FG，ML∥NO. 练一练 任意画一条直线 a， 并在直线 a 外任取一点 P． 请用三角板和直尺画一条过点 P 且与直线 a 平行的直线． a P 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 三、关于平行的一个基本事实及其推论 · A · B · · C D a b 几何语言表达： c b a 推论 (平行线的传递性)： 平行于同一条直线的两条直线平行. 因为 a∥c，c∥b(已知)， 所以 a∥b(平行于同一条直线的两条直线平行). 例1 如图，直线 EF 与 直线AB，CD分别相交，构成 8 个角.指出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角. 对顶角有：∠1和∠3， ∠2和∠4， ∠5和∠7， ∠6和∠8. 同位角有：∠2和∠5， ∠1和∠8， ∠3和∠6， ∠4和∠7. 内错角有：∠1和∠6， ∠4和∠5. 同旁内角有：∠1和∠5， ∠4和∠6. 解： 由图可知， 例题精讲 1.如图，∠1和∠4 是 AB、 被 所截得的 角； ∠3和∠5是 、 被 所截得的 角； ∠2和∠5是 、 被 所截得的 角； AC、BC被AB所截得的同旁内角是 . CD BE 同位 AB BC AC 同旁内 AB CD AC 内错 ∠4和∠5 小试牛刀 可以按下列步骤画： 一、“靠”：把三角板的BC边靠紧直线a，再用直尺（或另一块三角板）靠紧三角板的另一边AC； 二、“移”：沿直尺推动三角板，使原来和直线a重合的一边经过点P； 三、“画”：沿三角板的这条边画直线b，则直线b就是过点P且与直线a平行的直线。 基本事实：过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行。 . 画一画 如何画平行线呢？给一条直线a，你能画出直线a的平行线吗？ 假设：若a与c不平行， 则，a与c就会相交于某一点P， 说一说 如果直线 a 与 c 都和直线 b 平行，那么 a 与 c 平行吗？ 那么，过点P就有两条直线与b平行，这与平行线的基本事实矛盾. 所以，a∥c. 平行公理推论： 平行于同一直线的两条直线平行． 几何语言： ∵ a∥b，c∥b， ∴ a∥c (平行于同一条直线的两条直线互相平行). 如果直线 a 与 c 都和直线 b 平行，那么 a 与 c 平行吗？ 说一说 1. 在同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线. 3. 平行于同一条直线的两条直线平行. 2. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 相交直线所成的角 对顶角 对顶角相等 三线八角 同位角、内错角、同旁内角 课堂小结 $