精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学2026届初中毕业班第三次适应性测试 数 学

2026届初中毕业班第三次适应性测试 数 学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ） A. 圆锥 B. 球体 C. 圆柱 D. 正方体 3. 对某中学2000名学生进行身高调查，随机抽取了300名学生，下列说法错误的是（ ） A. 总体是该中学2000名学生的身高 B. 个体是每个学生 C. 样本是所抽取的300名学生的身高 D. 样本容量是300 4. 游戏《三角洲行动》国服日活跃玩家突破5000万人，数据5000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，，则点 到边的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直平分 D. 四条边相等 9. 如图，一次函数（ ，为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于 的方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 11. 记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有 只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 请写出一个使分式有意义的 的值_______． 14. 如图，要测算池塘两端 ， 之间的距离，先在地面上取一点 ，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端 ， 之间的距离．若的长为5米，则池塘两端 ， 之间的距离是_______米． 15. 反比例函数的图象在第一象限内的一支如图所示，是该图象上一点， 是 轴上一点，连接、，若，的面积为4，的值为_______． 16. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段 是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在 中，已知，，若， 是边的两个“黄金分割”点，则的面积为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 完成下列小题； （1）计算：； （2）化简：． 18. 中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 19. 为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？ 20. 2026年国庆中秋7天假期，同学们对游客们喜欢去的广西景点数量进行了调查，据统计，游客们最喜欢去的四个景点分别为：A．南宁青秀山，B．北海银滩，C．桂林象鼻山，D．柳州程阳八寨． （1）琪琪和妈妈准备来广西旅游，他们第一站正好选择“南宁青秀山”的概率为 ． （2）用画树状图或列表的方法求出妈妈和琪琪正好想去同一个景点的概率． 21. 高铁站候车厅的饮水机(图①)上有温水、开水两个按钮，示意图如图②所示．小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量(开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度)． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． （1）若小明先接温水19s，求需再接开水的时间． （2）设接温水的时间为，水杯中水的温度为． ①求y关于x的函数表达式； ②求水杯中水的温度为饮水适宜温度时，最多可以接多少的温水？ 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ．直线 经过 、 两点． （1）求点 、 的坐标，并求直线 的函数解析式（用含 的代数式表示）； （2）当时，若自变量 满足时，函数 的最大值与最小值之差为5，求 的值； （3）设线段的中点为，点 在抛物线上，且 ，若满足条件的点 恰好有2个，直接写出 的取值范围． 23. 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段长度相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 【问题解决】 （1）在矩形中，对角线与交于点 ，若，且与互为双关联线段，则矩形的面积为 ． （2）如图1，在等边 中，点、 分别在边、的延长线上，且 ，连接 、交于点 ，求证：线段 与线段互为双关联线段． （3）如图2，在边长为6的等边 中，点是边上的动点（不与点 、 重合），连接，以为边作线段的双关联线段（点 与点 在直线的同侧），连接、． 求线段长度的最小值； 当 为直角三角形时，直接写出所有满足条件的的长． （4）如图3，点 在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一条即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中毕业班第三次适应性测试 数 学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义直接得出结果即可． 【详解】解：由题意得，的相反数是． 2. 下列几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ） A. 圆锥 B. 球体 C. 圆柱 D. 正方体 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图、左视图的定义，可得答案． 【详解】解：A、左视图与主视图都是相同的等腰三角形，故该选项不符合题意； B、左视图与主视图都是相同的圆，故该选项不符合题意； C、左视图是圆，主视图是长方形，故该选项符合题意； D、左视图与主视图都是边长相等的两个正方形，故该选项不符合题意． 3. 对某中学2000名学生进行身高调查，随机抽取了300名学生，下列说法错误的是（ ） A. 总体是该中学2000名学生的身高 B. 个体是每个学生 C. 样本是所抽取的300名学生的身高 D. 样本容量是300 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计中总体、个体、样本、样本容量的概念，逐一判断各选项即可找出错误说法． 【详解】解：总体是该中学2000名学生的身高，A正确，不符合题意； 个体应为每个学生的身高，不是每个学生，B错误，符合题意； 样本是所抽取的300名学生的身高，C正确，不符合题意； 样本容量是300，D正确，不符合题意． 4. 游戏《三角洲行动》国服日活跃玩家突破5000万人，数据5000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，满足， 为整数，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，5000万． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的除法法则逐一判断选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项正确； C、，故该选项错误； D、与次数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 解得： 在数轴上表示为： 7. 如图，在中，，，，，则点到边的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，根据即可求出点到边的距离． 【详解】解：作，如图， ， ， ． 8. 菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直平分 D. 四条边相等 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵菱形本身具有的性质为：对角线平分一组对角，对角线互相垂直平分，四条边相等， ∴A，C，D都是菱形本身就有的性质，不能使菱形变为正方形， 又∵对角线相等的菱形是正方形， ∴添加条件对角线相等能使菱形成为正方形． 9. 如图，一次函数（ ，为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于 的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交点作答即可． 【详解】解：一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（ 为常数且）的图象交于点， 关于 的方程的解是． 10. 如图， 是的弦，若的半径，圆心O到弦 的距离，则弦 的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴． 11. 记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有 只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲有 只羊，乙有只羊，根据乙给甲一只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数乙的羊数；如果甲给乙一只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组． 【详解】解：设甲有 只羊，乙有只羊，根据题意得， ． 12. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形和正方形的对称中心都是点O，可得四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O， ∴四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等， ∴阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积的， ∴阴影部分的面积是. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 请写出一个使分式有意义的 的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，得到分母的取值范围，再在取值范围内任取一个符合要求的 的值即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴可取（答案不唯一）． 14. 如图，要测算池塘两端，之间的距离，先在地面上取一点，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端，之间的距离．若的长为5米，则池塘两端，之间的距离是_______米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意确定，为两边，的中点，从而判定为的中位线，利用三角形中位线定理即可求得 的长 【详解】解：和为和的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 15. 反比例函数的图象在第一象限内的一支如图所示，是该图象上一点，是 轴上一点，连接、，若，的面积为4， 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，，结合反比例函数的图象在第一象限，确定答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 反比例函数的图象在第一象限，即， ． 16. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段 是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若， 是边的两个“黄金分割”点，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点 ，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ， ，， ， 在中，， ， 是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 完成下列小题； （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照先算乘法，再算加减的运算顺序求解即可； （2）先对分子分母因式分解，计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分后得到最简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 中，，点在上，以为半径的圆交 于点，交于点，且． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）证明：连接，如图， ，，， ， ； 为的半径， 是的切线； （2）的半径长为3 【解析】 【分析】（1）连接，利用已知条件、，结合公共边，证明，从而得到，即可得证． （2）先根据勾股定理求出，设的半径为，再在中运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， 设的半径为，则，． 在中， ， ， 解得， ∴的半径长为 ． 19. 为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米） （1）求直吊臂的长； （2）为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】（1）13米 （2）上升了约6米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，读懂题意是解题的关键． （1）理解题意，根据在中，米，，代入数值到进行计算，即可作答． （2）理解题意，把数值代入进行计算，得的长，再结合，得出的长，即可作答． 【小问1详解】 解：在中，米，， ∴（米）， ∴直吊臂的长约为13米； 【小问2详解】 解：延长交水平线于点C， 则水平线， 在中，米，， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴当时，货物M上升了约6米． 20. 2026年国庆中秋7天假期，同学们对游客们喜欢去的广西景点数量进行了调查，据统计，游客们最喜欢去的四个景点分别为：A．南宁青秀山，B．北海银滩，C．桂林象鼻山，D．柳州程阳八寨． （1）琪琪和妈妈准备来广西旅游，他们第一站正好选择“南宁青秀山”的概率为 ． （2）用画树状图或列表的方法求出妈妈和琪琪正好想去同一个景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图列出所有等可能的情况，从中找出妈妈和琪琪正好想去同一个景点的情况，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：琪琪和妈妈选择的景点共有4种等可能情况，其中他们第一站正好选择“南宁青秀山”的只有1种情况，概率为； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由此可知，妈妈和琪琪想去的景点共有16种等可能结果，其中她们正好想去同一个景点有4种结果，概率为． 21. 高铁站候车厅的饮水机(图①)上有温水、开水两个按钮，示意图如图②所示．小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量(开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度)． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． （1）若小明先接温水19s，求需再接开水的时间． （2）设接温水的时间为，水杯中水的温度为． ①求y关于x的函数表达式； ②求水杯中水的温度为饮水适宜温度时，最多可以接多少的温水？ 【答案】（1）需再接开水的时间是8s （2）①；②水杯中水的温度为饮水适宜温度时，最多可以接的温水 【解析】 【分析】（1）先根据温水和开水的流速进行计算即可； （2）①根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出函数解析式，列出y关于x的函数关系式即可； ②根据①所得的函数关系式，然后结合列不等式求解即可． 【小问1详解】 ， ∴需再接开水的时间是8s． 【小问2详解】 ①由题意，可知，解500mL的温水要用， 根据“温水体积×温水升高的温度=开水体积×开水降低的温度”，得 ， 解得， ∴y关于x的函数表达式为． ②根据题意，得 ， 解得， 当时，， ∴水杯中水的温度为饮水适宜温度时，最多可以接450ml的温水． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 、两点（点在点左侧），与 轴交于点．直线经过、两点． （1）求点、的坐标，并求直线的函数解析式（用含 的代数式表示）； （2）当时，若自变量 满足时，函数 的最大值与最小值之差为5，求 的值； （3）设线段的中点为，点在抛物线上，且 ，若满足条件的点 恰好有2个，直接写出 的取值范围． 【答案】（1），当或时，，直线的解析式为 ；当时， ，直线的解析式为 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】令，因式分解得，再分情况得到点及直线的解析式； 分、、、四种情况，结合抛物线的性质求 即可； 分、、且、，结合函数图象进行判断求解即可. 【小问1详解】 解：令，，则， 令，则，即， 解得， 所以当或时，，直线的解析式为 ； 当时， ，直线的解析式为； 【小问2详解】 解：，对称轴为， 当时，，则时，随 的增大而减小， 则时，取得最大值，最大值为， 时，取得最小值，最小值为， ，解得（舍去）； 当时，，则时，随 的增大而增大， 则时，取得最小值，最小值为， 时，取得最大值，最大值为， ，解得（舍去）； 当，，则离对称轴更远， 则时，取得最大值，最大值为， 时，取得最小值，最小值为， ，即， 解得（舍去），（舍去）； 当，，则离对称轴更远， 则时，取得最大值，最大值为， 时，取得最小值，最小值为， ，即， 解得或（舍去）； 综上； 【小问3详解】 解：由（1）知时，，， 则为等腰直角三角形，， 又， 所以或， 即直线的解析式为，与抛物线有两个交点，此时有一个点符合题意， 直线的解析式为，与抛物线只有一个交点，此时有一个点符合题意， 即时，符合题意； 时，，则，如图点再开口的内部， 当时，这样的直线有两条，每条与抛物线有两个交点，其中一个符合题意， 则恰有2个点使得， 所以时，符合题意； 且时，同理恰有2个点使得，符合题意； 时，，， 与夹角为的直线有两条，或， 时，此时，不符合题意， 时，与抛物线有两个交点，其中一个能使， 故此时，满足题意的点只有1个，不符合题意； 综上或或或． 23. 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段长度相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 【问题解决】 （1）在矩形中，对角线与交于点 ，若，且与 互为双关联线段，则矩形的面积为 ． （2）如图1，在等边中，点、 分别在边、的延长线上，且 ，连接、交于点 ，求证：线段与线段互为双关联线段． （3）如图2，在边长为6的等边中，点是边上的动点（不与点、重合），连接，以为边作线段的双关联线段（点 与点在直线的同侧），连接、． 求线段长度的最小值； 当 为直角三角形时，直接写出所有满足条件的的长． （4）如图3，点在线段 上，请在图3中作线段 的双关联线段．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一条即可） 【答案】（1） （2）证明：是等边三角形， ， ． ， ， ． 在和中 ． ． ， ， ， ． 、交于点， 线段与线段互为双关联线段． （3）3 （4）如图，线段即为所求 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，则 ． 可得 ，可得 ，由勾股定理得的长，可求矩形的面积； （2）由是等边三角形，得， ．证明，可得 ，由外角和对顶角可得 ，可证明线段与线段互为双关联线段； （3）证明，则 ．由直线外一点到直线的距离垂线最短，可得线段长度的最小值；分情况考虑 为直角三角形时，求的长； （4）以C为顶点，任意长为半径画弧，与 交于一点，再分别以交点、点C为顶点，相同长为半径画弧，交于一点，连接点C与交点，并在所画直线上取．点C、D、与交点可构成等边三角形．则或，可得线段． 【小问1详解】 解：如图 四边形是矩形， ，． ， ． ． ． ． ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为边作线段的双关联线段， ，． 当最短时，也最短． 直线外一点到直线的距离垂线最短， 时，最短． ． 此时线段长度的最小值是． 以为边作线段的双关联线段， ，． ∵ 为直角三角形， 当 时，为 的斜边． ． 点是边上的动点（不与点、重合）， ． 故 ． 同理 当 时，由可知 ． ． ． 【小问4详解】 解：以C为顶点，任意长为半径画弧，与 交于一点，再分别以交点、点C为顶点，相同长为半径画弧，交于一点，连接点C与交点，并在所画直线上取． 都以相同长为半径画弧， 点C、D、与交点可构成等边三角形． 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $