专题04平方根、立方根（暑假预习讲义)-2026-2027学年苏科版数学八年级上册.

专题04平方根、立方根 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺学习目标： 1.基础认知：理解平方根、算术平方根、立方根的概念，区分三者差异。掌握根式标准符号及被开方数取值范围，熟知平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，掌握正、零、负数的方根存在规律。 2.运算应用：能借助平方、立方运算，熟练求解数的平方根、算术平方根和立方根。掌握基础根式运算与化简，会解简单平方、立方方程，能估算无理数大小、用计算器求取方根近似值。 3.思维素养：熟记平方根与立方根的核心性质，能运用性质比较数的大小、进行简单推理和解题。规范解题步骤，规避概念混淆、符号错误、取值范围遗漏等易错问题，养成严谨的解题思维。 ✺题型归纳： 题型1.求一个数的算术平方根 题型2.利用算术平方根的非负性解题 题型3.估计算术平方根的取值范围 题型4.与算术平方根有关的规律探索题 题型5.算术平方根的实际应用 题型6.平方根概念理解 题型7.求一个数的平方根 题型8.求代数式的平方根 题型9.已知一个数的平方根，求这个数 题型10.利用平方根解方程 题型11.立方根概念理解 题型12.求一个数的立方根 题型13.已知一个数的立方根，求这个数 题型14.与立方根有关的规律探索 题型15.立方根的实际应用 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 ✺知识◆清单 一、平方根 1.定义：如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数叫做a的平方根。 数学语言：若x2=a=(a≥0），则x是a的平方根。 2.表示方法：正数a的平方根记作 ±。其中为算术平方根，-为负的平方根。 3.性质: 正数有两个互为相反数的平方根； 0 的平方根是 0； 负数没有平方根（任何数的平方非负）。 二、算术平方根 1.定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0 的算术平方根是 0。 数学语言：若x2=a(a≥0,x≥0)，则x=。 2.核心双重非负性（必考） 被开方数非负:a≥0； 算术平方根结果非负：0。 3.重要结论 =|a| =a.a≥0 三、立方根 1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 数学语言：若 x3=a，则x=。 2.性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0； 任意实数都有唯一的立方根。 ★重要公式：= 四、平方根与立方根核心差异对比 对比项目 平方根 立方根 被开方数取值范围 a≥0 a为任意实数 结果个数 正数2个、0为1个、负数无 任意数有且仅有1个 符号规律 正数的两个平方根互为相反数 立方根与被开方数同号 表示符号 ± 零的结果 0 的平方根与算术平方根均为 0 0 的立方根为 0 负数是否有意义 无 有，且结果为负数 ★两种运算的互逆关系： 平方与开平方互为逆运算；立方与开立方互为逆运算。 五、平方根与立方根对比总结 对比项目 平方根 立方根 被开方数范围 a≥0 a为任意实数 结果个数 正数2个、0为1个、负数无 任意数有且仅有1个 符号规律 互为相反数 与被开方数同号 表示符号 ± 六、常见易错点与规避提示 易错场景 错误示例 正确规范 混淆平方根与算术平方根 4 的平方根是 2 4 的平方根是±2，算术平方根是 2 忽略被开方数非负前提 有意义 无意义，平方根被开方数必须≥0 错误认为负数无立方根 -8 没有立方根 -8 的立方根是 -2，任意实数都有立方根 化简 遗漏绝对值 符号书写不规范 =±2 =2，±=±2 ✺题型◆精讲 题型1.求一个数的算术平方根 1．计算：（     ） A． B． C．3 D．9 2．计算：______． 3．计算： (1)； (2)． 题型2.利用算术平方根的非负性解题 1．若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 2．已知实数满足，则的值为__________． 3．已知，求． 题型3.估计算术平方根的取值范围 1．估计的值在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 2．若，其中n为正整数，则_______． 3．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 题型4.与算术平方根有关的规律探索题 1．若，，则（     ） A．38.1 B．381 C．12 D．120 2．若 则 _______________． 3．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 题型5.算术平方根的实际应用 1．如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 2．在面积为的正方形正中间挖掉一个面积为的小正方形，则剩余的边框的宽度是______． 3．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径（单位：厘米），t代表自冰川消失时起经过的时间（单位：年）．如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 题型6.平方根概念理解 1．下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 2．若是2021的两个平方根，则___________ 3．已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 题型7.求一个数的平方根 1．9的平方根是(     ) A． B． C． D． 2．4的平方根是________；的算术平方根是________． 3．求下列各数的平方根及算术平方根： (1)； (2)； (3)． 题型8.求代数式的平方根 1．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 2．如果，求的值为__________． 3．请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 题型9.已知一个数的平方根，求这个数 1．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（   ） A． B．25 C．5 D． 2．一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________． 3．如果一个正数的两个不相等平方根，分别是和，求这个正数的值． 题型10.利用平方根解方程 1．若， 则x的值为（  ）． A． B．0 C．2 D． 2．方程的解是_______． 3．解方程： (1)； (2)． 题型11.立方根概念理解 1．下列说法正确的是（   ） A．算术平方根为本身的数是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的立方根为 2．化简：______． 3．一个正数a的两个平方根分别是和，且，则x的值与的值分别为多少． 题型12.求一个数的立方根 1．若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．计算：______． 3．求的值：． 题型13.已知一个数的立方根，求这个数 1．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 2．已知的立方根是，的算术平方根是3，则的立方根为____． 3．已知的平方根是，的立方根是．求的算术平方根． 题型14.与立方根有关的规律探索 1．若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 2．已知，且，则______． 3．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 题型15.立方根的实际应用 1．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的边长是______． 3．将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为______． 3．已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． ✺巩固测试 一.单选题 1．的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 2．若，则a+b的值为（    ） A．±5 B．5 C．±4 D．4 3．将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 4．下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 二．填空题 5．若，则的值为______． 6．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 7．若是关于的二元一次方程的一个解，则的立方根为____________． 8．（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 三、解答题 9．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 10．已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 11．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 12．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平方根、立方根 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺学习目标： 1.基础认知：理解平方根、算术平方根、立方根的概念，区分三者差异。掌握根式标准符号及被开方数取值范围，熟知平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，掌握正、零、负数的方根存在规律。 2.运算应用：能借助平方、立方运算，熟练求解数的平方根、算术平方根和立方根。掌握基础根式运算与化简，会解简单平方、立方方程，能估算无理数大小、用计算器求取方根近似值。 3.思维素养：熟记平方根与立方根的核心性质，能运用性质比较数的大小、进行简单推理和解题。规范解题步骤，规避概念混淆、符号错误、取值范围遗漏等易错问题，养成严谨的解题思维。 ✺题型归纳： 题型1.求一个数的算术平方根 题型2.利用算术平方根的非负性解题 题型3.估计算术平方根的取值范围 题型4.与算术平方根有关的规律探索题 题型5.算术平方根的实际应用 题型6.平方根概念理解 题型7.求一个数的平方根 题型8.求代数式的平方根 题型9.已知一个数的平方根，求这个数 题型10.利用平方根解方程 题型11.立方根概念理解 题型12.求一个数的立方根 题型13.已知一个数的立方根，求这个数 题型14.与立方根有关的规律探索 题型15.立方根的实际应用 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 ✺知识◆清单 一、平方根 1.定义：如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数叫做a的平方根。 数学语言：若x2=a=(a≥0），则x是a的平方根。 2.表示方法：正数a的平方根记作 ±。其中为算术平方根，-为负的平方根。 3.性质: 正数有两个互为相反数的平方根； 0 的平方根是 0； 负数没有平方根（任何数的平方非负）。 二、算术平方根 1.定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0 的算术平方根是 0。 数学语言：若x2=a(a≥0,x≥0)，则x=。 2.核心双重非负性（必考） 被开方数非负:a≥0； 算术平方根结果非负：0。 3.重要结论 =|a| =a.a≥0 三、立方根 1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 数学语言：若 x3=a，则x=。 2.性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0； 任意实数都有唯一的立方根。 ★重要公式：= 四、平方根与立方根核心差异对比 对比项目 平方根 立方根 被开方数取值范围 a≥0 a为任意实数 结果个数 正数2个、0为1个、负数无 任意数有且仅有1个 符号规律 正数的两个平方根互为相反数 立方根与被开方数同号 表示符号 ± 零的结果 0 的平方根与算术平方根均为 0 0 的立方根为 0 负数是否有意义 无 有，且结果为负数 ★两种运算的互逆关系： 平方与开平方互为逆运算；立方与开立方互为逆运算。 五、平方根与立方根对比总结 对比项目 平方根 立方根 被开方数范围 a≥0 a为任意实数 结果个数 正数2个、0为1个、负数无 任意数有且仅有1个 符号规律 互为相反数 与被开方数同号 表示符号 ± 六、常见易错点与规避提示 易错场景 错误示例 正确规范 混淆平方根与算术平方根 4 的平方根是 2 4 的平方根是±2，算术平方根是 2 忽略被开方数非负前提 有意义 无意义，平方根被开方数必须≥0 错误认为负数无立方根 -8 没有立方根 -8 的立方根是 -2，任意实数都有立方根 化简 遗漏绝对值 符号书写不规范 =±2 =2，±=±2 ✺题型◆精讲 题型1.求一个数的算术平方根 1．计算：（     ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【详解】解：． 2．计算：______． 【答案】 【详解】解：. 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据零指数幂，负整数指数幂，算术平方根分别化简，然后合并即可； （）根据算术平方根定义分别化简，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型2.利用算术平方根的非负性解题 1．若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ． 2．已知实数满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性质求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：实数满足， 所以可得，可得， 可得． 3．已知，求． 【答案】9.5 【详解】解：， 又，，， ，，， 解得：，，， ． 题型3.估计算术平方根的取值范围 1．估计的值在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】A 【分析】找到被开方数3相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵ ，，且 ∴ ，即 因此的值在1到2之间． 2．若，其中n为正整数，则_______． 【答案】6 【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值． 【详解】解：， ， 即， 又，且为正整数， ． 3．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根，无理数大小估算等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由可得； （2）由题意画出图形，由（1）的方法可得出答案； 【详解】（1）解：， （2），， ， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 值很小，更小， 解得（保留到）， ∴． 题型4.与算术平方根有关的规律探索题 1．若，，则（     ） A．38.1 B．381 C．12 D．120 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向左（或向右）每移动两位，其算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位即可得． 【详解】解：∵， ∴． 2．若 则 _______________． 【答案】 【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 3．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：    ； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型5.算术平方根的实际应用 1．如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据正方形面积求出边长，进而求出的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴大正方形边长，小正方形边长， ∴，， ∴ ． 2．在面积为的正方形正中间挖掉一个面积为的小正方形，则剩余的边框的宽度是______． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式求出大正方形与小正方形的边长，即可得剩余的边框的宽度． 【详解】解：∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴剩余的边框的宽度是． 3．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径（单位：厘米），t代表自冰川消失时起经过的时间（单位：年）．如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】冰川约是在37年前消失的 【分析】先根据以及苔藓的直径是35厘米，建立，再解得，即可作答． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴， 即， 答：冰川约是在37年前消失的． 题型6.平方根概念理解 1．下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的知识点，注意负数没有平方根，计算各选项的值，判断其正负即可． 【详解】解： 平方根仅对非负数有定义； 选项A：，有平方根； 选项B：，有平方根； 选项C：，有平方根； 选项D：，没有平方根； 故选D． 2．若是2021的两个平方根，则___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根的意义，利用平方根的意义得出和的值，再利用整体代入的方法代入计算是解题的关键，利用平方根的意义得出和的值，再利用整体代入的方法代入计算即可． 【详解】解：是2021的两个平方根， ， ， ， 故答案为：． 3．已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解此题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可得出a、b的值； （2）先求出的值，再求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7， ∴，， ∴，； （2）解：， ∴的算术平方根为． 题型7.求一个数的平方根 1．9的平方根是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴9的平方根是 2．4的平方根是________；的算术平方根是________． 【答案】 2 【详解】解：计算的平方根，得； 先化简，得，再计算的算术平方根，得． 3．求下列各数的平方根及算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)平方根为，算术平方根为 (2)平方根为，算术平方根为 (3)平方根为，算术平方根为 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；的平方根是；一个数的非负平方根是这个数的算术平方根． (1)因为，可知的平方根是，算术平方根是； (2)因为，可知的平方根是，算术平方根是； (3)因为，可知的平方根是，算术平方根为． 【详解】（1）解：， 的平方根为，算术平方根为； （2）解：， 的平方根为，算术平方根为； （3）解：， 的平方根为，算术平方根为． 题型8.求代数式的平方根 1．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 2．如果，求的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， 则， 故答案为：． 3．请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①4；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）①先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案；②分两种情况讨论：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①4；②； （2）①已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 题型9.已知一个数的平方根，求这个数 1．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（   ） A． B．25 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题利用平方根的性质解题，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出的值，再计算得到原数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数 ∴ 整理得 解得 将代入其中一个平方根，得 ∵ ∴这个数是． 2．一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：根据正数的两个不同平方根互为相反数，得 解得． 3．如果一个正数的两个不相等平方根，分别是和，求这个正数的值． 【答案】 【分析】根据正数的平方根互为相反数求出的值，再求出其中的一个平方根即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 解得， ∴， ∴这个正数． 题型10.利用平方根解方程 1．若， 则x的值为（  ）． A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 2．方程的解是_______． 【答案】 【详解】解： 解得． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：，． 题型11.立方根概念理解 1．下列说法正确的是（   ） A．算术平方根为本身的数是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的立方根为 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的概念，解题的关键是明确负数无平方根、立方根的唯一性及算术平方根的非负性．根据平方根、立方根、算术平方根的定义，依次分析各选项的正误． 【详解】解：A、和的算术平方根都是本身，故此选项错误不符合题意； B、的算术平方根是，故此选项正确符合题意； C、，的平方根是，不是，故此选项错误不符合题意； D、，的立方根是，不是，故此选项错误不符合题意． 故选：B． 2．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作． 根据计算即可． 【详解】， 故答案为：． 3．一个正数a的两个平方根分别是和，且，则x的值与的值分别为多少． 【答案】的值为2，的值为3 【分析】本题考查的是算术平方根，平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根的意义求出，的值，再利用立方根的性质求出的值，再计算． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得：， ，， ； ， ， 解得：， ． 题型12.求一个数的立方根 1．若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解： ． 2．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 3．求的值：． 【答案】 【详解】解：， 题型13.已知一个数的立方根，求这个数 1．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 2．已知的立方根是，的算术平方根是3，则的立方根为____． 【答案】 【分析】根据立方根、算术平方根的定义求出、的值，进而求出的值，再求其立方根即可． 【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是3， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 3．已知的平方根是，的立方根是．求的算术平方根． 【答案】 5 【分析】根据平方根的定义得到，根据立方根的定义得到，求出，的值，即可得出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得． ∵的立方根是， ∴，即，解得． ∴． ∵25的算术平方根为5， ∴的算术平方根为5． 题型14.与立方根有关的规律探索 1．若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 2．已知，且，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 题型15.立方根的实际应用 1．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【详解】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的边长是______． 【答案】2 【分析】根据正方体体积公式列方程，求解正的立方根即可得到正方体的边长． 【详解】解：设这个正方体的边长为，由边长为正数可得，根据正方体体积公式得：， ， ． 3．将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 2．若x是4的算术平方根，y是的立方根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根与立方算，根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，进而得出结果． 【详解】解：∵x是4的算术平方根， ∴， ∵y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及平方根等知识，掌握这些概念是解题的关键；由题意得，进而求得a与b的值，即可求得的值，从而求得其平方根． 【详解】解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． ✺巩固测试 一、单选题 1．的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 2．若，则a+b的值为（    ） A．±5 B．5 C．±4 D．4 【答案】A 【分析】两式相加，构造，求25的平方根即可 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a+b=±5， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键． 3．将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方根的意义解方程的应用，正确列出等量关系式是解题关键．设底面正方形的边长为，根据体积不变列方程，再根据平方根的意义解方程即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为，根据题意得： ， ， 解得或 （负值舍去）， 底面正方形的边长为． 故选：B． 4．下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 【答案】C 【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 【详解】解：A. 8的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 立方根等于本身的数只有和0，故该选项不正确，不符合题意． 二、填空题 5．若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据算术平方根与完全平方的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数均为0，由此求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 6．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，正数的两个不同平方根互为相反数，据此求出的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：一个正数的两个不同平方根为和， ， 解得， 将代入得，该正数的一个平方根为， 这个正数为． 7．若是关于的二元一次方程的一个解，则的立方根为____________． 【答案】 【分析】将方程的解代入已知二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值，再根据立方根的定义计算结果即可． 【详解】解：把代入方程中，得：， 解得：， ， 的立方根为． 8．（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 【答案】 0.2646 300 【详解】解：（1）∵，则； （2） 已知 则 ． 三、解答题 9．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 10．已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 11．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)或， 【分析】先化简成的形式，再根据一个正数的平方根有两个且互为相反数求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴ （2）解：， ； （3）解： ∴或， 解得或． 12．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $