精品解析：四川省彭州中学2025-2026学年度高2025级高一上期中试题数学试卷

四川省彭州中学2025-2026学年度高2025级高一上期中试题数学学科试题 考试注意事项： 1.开考前，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在答题卡的对应位置. 2.选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔或者钢笔书写，请不要用蓝笔和红笔作答. 3.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 下列命题中的真命题是 A. ， B. ， C. “”的充要条件是“” D. “，”是“”的充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】由排除A；由与的图像有交点，排除B，根据充分条件与必要条件的概念，可判断CD的真假，即可得出结果. 【详解】∵，，∴A为假命题； ∵函数与的图像有交点，如点，此时；∴B为假命题； ∴当时，，而0作分母无意义，∴C为假命题； 当，时，，∴D为真命题． 故选D． 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，熟记相关知识点即可，属于常考题型. 3. 已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含量词的命题为真命题，可得关于参数的不等式，解得的范围，依题再求各范围的交集即得. 【详解】由命题“”是真命题，可得，即； 由命题“”为真命题，可得，解得， 因命题均为真命题，故可得． 故选：B． 4. 已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 5. 已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 取，结合图象得出，最后由指数函数的性质得出大小关系. 【详解】由图象可知，当时，，则 故选：B 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】A 【解析】 【分析】列举反例可判断A选项，根据不等性质可判断BCD选项. 【详解】A选项：取，，，，则，，所以，A选项错误； B选项：若，又，则，B选项正确； C选项：若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，C选项正确； D选项：若且，则，所以，D选项正确； 故选：A. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域计算规则计算可得； 【详解】解：因为函数的定义域为， 即，所以，令，解得， 所以函数的定义域为； 故选：A 8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上单调递增列不等式组求解的取值范围，然后利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，解得，所以的取值范围为， 由能推出，但是由得不出， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知集合，若，则的取值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】AB 【解析】 【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值； 【详解】解：因为，所以，所以或； 故选：AB 10. 已知正实数满足，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等式的变形，结合为正实数，可判断A项，变形等式，结合的取值范围，利用一元二次函数可判断B项，利用基本不等式中“1”的用法可求解C项，利用基本不等式，结合题干中的等式验证等号成立的条件，可判断D项. 【详解】解：因为，则，即， 又为正实数，则，所以，，故A项正确； 因为，所以， 又，所以，故B项错误； 因为，且为正实数，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C项正确； 因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误. 故选：AC. 11. 定义域为的函数满足，且为偶函数，当时，，函数 且的图象与的图象有个交点，记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在内单调递减 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意知，可得函数关于点对称，又为偶函数可得函数为周期是的周期函数，于是可求，并验证关于直线对称，即可判断A,C;对于C，利用的解析式，可直接判断其单调性；对于D，通过分析判断与均关于点对称，结合两函数的单调性和对称性推出两者在区间上有2020个交点，利用对称性即可求和验证. 【详解】 由得的图象关于点对称， 由为偶函数得的图象关于直线对称， 则为周期函数，周期为，如图作出在上的图象. 对于A， ，故A正确； 对于B，，因函数在内单调递增， 则在内单调递增，故B错误； 对于C，由图知关于直线对称，则，故C正确； 对于D，由，可得的图象关于点对称， 而的图象也关于点对称， 计算得与在区间上有个交点， 从左向右依次为，， 则， 故，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合A有8个元素，集合B有3个元素，集合A和集合B的交集可能有______个元素 【答案】0，1，2，3 【解析】 【分析】根据交集的定义判断即可. 【详解】A有8个元素，B有3个元素，说明共同的元素最多只能有3个，两个集合也可以毫不相关，所以最少交集的元素0个， 所以集合A和集合B的交集可能有0，1，2，3个元素. 13. 若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】变形，利用基本不等式可得最值. 【详解】，则 . 当且仅当，即时，等号成立. 即的最大值是. 故答案为：. 14. 给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合基本不等式计算即可得. 【详解】由题意可得，， 则，当且仅当时，等号成立， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解不等式，确定集合，由补集、并集运算即可； （2）由构造不等式求解即可； 【小问1详解】 集合； 解不等式得或， 所以不等式的解集为或， 所以集合或， 所以， 若，则，所以 【小问2详解】 由得，或， 若“”是“”的充分条件，则， 又集合 所以或，解得或， 所以实数m的取值范围为 16. 证明： （1）若，则. （2）若，则. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）直接代入数据化简得到证明. （2）代入数据得到 ，根据得到证明. 【详解】（1）. （2） . 因为， 即， 则. 所以. 【点睛】本题考查了函数值的大小比较，意在考查学生的计算能力. 17. 已知函数，其中，. （1）若，求实数的值； （2）若时，求不等式的解集； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）代入数值即可求解；（2）代入后解一元二次不等式即可；（3）对参数分情况讨论解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 若时，， 即， 解得， 不等式的解集为； 【小问3详解】 因为， 所以，即 当时，解集为； 当时，或，解集为. 18. 定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性的定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过给赋值可得结果. （2）利用定义法可证明函数在上是减函数. （3）通过题目条件把不等式转化为，利用函数定义域和单调性可得，分离参数即可得到的取值范围. 【小问1详解】 令，有，得． 令，有，又，所以． 令，得， 令，得． 【小问2详解】 任取且， 则， 因为且，所以，所以，则， 所以，即，所以函数在上是减函数． 【小问3详解】 由（1）知，则． 因为函数的定义域为，且在上是减函数， 所以由，得，则． 对勾函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是． 19. 已知函数. （1）若函数为偶函数， 求的值； （2）设函数，已知当时，存在最大值，记为. （i）求的表达式； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质得到方程，解得即可； （2）（i）首先可得，再分段结合对勾函数及的性质分别求出函数的最大值，再判断各段最大值的大小关系，即可得到； （ii）根据函数的单调性计算可得； 【小问1详解】 解：因为为偶函数，所以， 即，即，所以， 即，所以； 【小问2详解】 解：（i）因为， 所以，因为， 所以， ①当时， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当即时，， 当即时，， ②当时， 又在上单调递增， 所以， 因为， 所以当时， 又， 所以当时，当时， 综上可得：， （ii）因为函数，与，均在定义域上单调递增，又，， 所以； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省彭州中学2025-2026学年度高2025级高一上期中试题数学学科试题 考试注意事项： 1.开考前，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在答题卡的对应位置. 2.选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔或者钢笔书写，请不要用蓝笔和红笔作答. 3.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中的真命题是 A. ， B. ， C. “”的充要条件是“” D. “，”是“”的充分条件 3. 已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 5. 已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知集合，若，则的取值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 已知正实数满足，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 11. 定义域为的函数满足，且为偶函数，当时，，函数 且的图象与的图象有个交点，记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在内单调递减 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合A有8个元素，集合B有3个元素，集合A和集合B的交集可能有______个元素 13. 若，则的最大值是______． 14. 给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 16. 证明： （1）若，则. （2）若，则. 17. 已知函数，其中，. （1）若，求实数的值； （2）若时，求不等式的解集； （3）求不等式的解集. 18. 定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性的定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若函数为偶函数， 求的值； （2）设函数，已知当时，存在最大值，记为. （i）求的表达式； （ii）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $