第05讲 等腰三角形（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材苏科版

第05讲 等腰三角形（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+7个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 等腰三角形 在建筑工地上，经验丰富的老师傅手里有一个看似普通的等腰三角形木架。当他需要检测房梁是否完全水平时，只需要在这个木架的顶点系上一根带重锤的细线。 老师傅自信地说：“只要看这根细线是否经过底边的中点，我就能立刻知道房梁是不是水平的！” 同学们，你们知道这个“土办法”背后的数学原理是什么吗？为什么等腰三角形里藏着能检测水平的“秘密武器”？今天，就让我们走进等腰三角形的世界，去揭开它的神秘面纱！ 【知识点1 等腰三角形的相关概念】 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 【知识点2 等腰三角形的性质】 1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 2. 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【知识点3 等腰三角形的判定】 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （3）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【题型1 等边对等角】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为_______． 【答案】/25度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，先根据平行线的性质，由得到，根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角性质计算的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级上·广西桂林·期中）我们定义：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，则该等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的知识，灵活运用这部分知识是解决本题的关键． 根据“特征值”再由三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：如图．∵中，， ∴， ∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：A． 【变式1-2】已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接．②以D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接．则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，由作图步骤①，可知，利用等边对等角，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由作图步骤②，可知，利用等边对等角，可求出的度数，由是的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数，根据作图的步骤，找出是解题的关键． 【详解】由作图步骤①可知：， ∴． 在中，， ∴． 由作图步骤②可知：， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-3】如图，为的边上的两点，并且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP=∠CAQ=30°，从而求解． 【详解】∵BP=PQ=QC=AP=AQ， ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ． 又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP， ∴∠BAP=∠CAQ=30°． ∴∠BAC=120°． 故∠BAC的度数是120°． 故选C． 【点睛】此题考查等边三角形的性质,等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质,解题关键在于掌握各性质定义. 【题型2 三线合一】 【例2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据三线合一性质直接能得到点D是线段的中点，即可求解． 【详解】解∶∵，，， ∴， 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过A作于H，过E作于F，    ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：B． 【变式2-2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______． 【答案】6 【分析】根据在中，，D是的中点，于点E，可以求得，，以及和的度数，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段BE的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，把绕点A逆时针旋转得到，点D的对应点为点G，当点G落在的边上时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）等腰三线合一得到，再根据等角的余角相等即可求证； （2）根据互余关系得到，再证明即可； （3）可得是等边三角形，则，分两种情况：当点G落在边上时和当点G落在边上时，根据三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，D为线段的中点， ， ． ， ． ，， ． （2）证明：， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ． 在和中， ， ． （3）解：，， 是等边三角形． ， ，． 分两种情况： ①如图1，当点G落在边上时． ，， ， ； ②如图2，当点G落在边上时． ， ． ， ， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识点． 【题型3 等角对等边】 【例3】（25-26八年级下·全国·周测）在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理解答． 根据等腰三角形的判定定理，有两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形．分别验证各选项是否符合判定条件． 【详解】解：A、 ， ∴ 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； B、∵ ， ，没有两边相等， ∴ △ABC不是等腰三角形，不能判定是等腰三角形，符合题意； C、∵ ， ， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； D、， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用． 【详解】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点， ∴， ∴是等腰三角形，不合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴和不一定等腰三角形，符合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴是等腰三角形，不符合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴和是等腰三角形，不符合题意； 故选：． 【变式3-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质等知识，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键． 根据相关知识分别进行判断即可． 【详解】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图1，在中，是它的角平分线．求证：． (1)请你完成这道题的证明； (2)若添加一个条件，如图2，请同学们去探究线段三者的数量关系，请猜想它们的数量关系，并完成证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，三角形计算面积的方法等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）根据平分，作，由角平分线性质可知，与等高，面积比即为底边的比． （2）在上截取，证明，得出，，，由外角性质可得，得出，可得结论． 【详解】（1）证明：作，垂足为E、F，如图1， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：． 证明：在上截取，连接，如图2， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， 又，且， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【题型4 等腰三角形与分类讨论】 【例4】在中，，点在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是_________________．    【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分三种情形，分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1中，当，时，满足条件．    如图2中，当，时，可得， ．    如图3中，当，时，，    ， 故答案为：或或． 【变式4-1】等腰三角形的一个角比另一个角的倍少度，则等腰三角形顶角的度数是（   ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°， ①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°， 解得x=44°， ∴顶角是44°； ②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°， 解得x=50°， ∴顶角是2×50°-20°=80°； ③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°， 解得x=20°， ∴顶角是180°-20°×2=140°； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 【变式4-2】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为_______． 【答案】或 【分析】需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余及平角定义求解． 【详解】解：设等腰三角形中，，为腰上的高，，垂足为， ①当为锐角三角形时，点在上. 在中，，， . ②当为钝角三角形时，点在的延长线上. 在中，，， ， . 综上，顶角的度数为或. 【变式4-3】在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，则______°． 【答案】或 【分析】根据线段垂直平分线的性质定理，可得，，从而得到，分情况讨论当为锐角时和当为钝角时，再由三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】当为锐角时，如图所示 ∵、是、的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 当为钝角时，如图所示 ∵、是、的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 【题型5 等腰三角形的性质与判定的综合运用】 【例5】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， ， 又， ， ， 点是边上一点， ，选项符合题意． 【变式5-1】如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式5-2】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，已知线段，射线于点，是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点作于点，证得，根据等腰直角三角形的性质证得、和，进而证得和，根据全等三角形的性质求得的长即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 、 和都是直角三角形 、、 在和中 ， ， 在和中 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点E，F分别在，上，，与相交于点P． (1)求证：； (2)请直接写出图中其他相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“等边对等角”得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据角的和差得，最后根据“等角对等边”得出答案； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等得，再根据线段的和差说明另外两组即可． 【详解】（1）证明；∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：，，． ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴． 模块三 等边三角形 在雪花纷飞的冬天，小明用放大镜仔细观察落在深色衣服上的一片小雪花。他惊讶地发现，这片雪花的整体轮廓竟然是一个极其标准的“正三角形”！ 带着好奇，小明在美术课上尝试用一张普通的长方形纸条，通过几次简单的折叠和裁剪，竟然也完美地“变”出了一个三条边、三个角都完全一样的三角形。小明不禁思考：这种最完美的三角形到底藏着什么特殊的数学秘密？为什么无论是大自然的鬼斧神工，还是人类的巧手，都能如此精准地创造出它？今天，就让我们一起揭开“最完美三角形”——等边三角形的奥秘！ 【知识点4 等边三角形及其性质】 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴. （2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识点5 等边三角形的判定】 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形． （4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点6 含30°角的直角三角形的性质】 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【知识点7 直角三角形的性质】 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 在△ABC内作∠ACD=∠A，可得AD=DC(等角对等边），由∠B与∠A互余，∠BCD与∠ACD互余，可得∠B=∠BCD(等角的余角相等)，从而可得BD=DC(等角对等边），于是得到CD=-AB（这里 CD是斜边AB上的中线). 【题型6 根据等边三角形的性质求角度】 【例6】（2026·陕西西安·一模）将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 【详解】解：如图，设等边三角形为，过点作， ∵， ∴， ∴，， 在等边三角形中，， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，平移图形，与图形可以拼成一个等边三角形则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，设原三角形的三个顶点为，由等边三角形的性质可得，再根据五边形的内角和定理即可求解，解题的关键是熟练运用多边形内角和公式，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设原三角形 得三个顶点为， 解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∵右边图形为五边形，内角和为， ∴， 故选：． 【变式6-2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则________． 【答案】50 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，证明，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50． 【变式6-3】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接． (1)依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)20° 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）根据A，D关于对称，得到垂直平分，从而得到，进而得到，再根据是等边三角形，得到，利用等边等对角，以及三角形的内角和，即可求出的大小． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）解：∵A，D关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，以及三角形的内角和定理．根据对称得到垂直平分是解决本题的关键． 【题型7 等边三角形的判定】 【例7】下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 【答案】B 【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【详解】A．∵∠A＝∠B＝60°， ∴∠C＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． 故A选项不符合题意； B．∵∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABC不一定是等边三角形， 故B选项符合题意； C．∵∠B＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故C选项不符合题意； D．∵∠A＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 【变式7-1】一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距(      ) A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 【答案】B 【详解】试题分析：连接AC，根据题意可得△ABC为等边三角形，则AC=80海里. 考点：等边三角形的性质 【变式7-2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）在中，，，得，，又由平分，可得即可证得，继而证得：为等边三角形． （2）由是等边三角形可得，根据等角对等边可得，再等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ∵， ， ， 又平分， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）证明：是等边三角形 ，， ， ， ∴． 【变式7-3】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在四边形中，，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，则的长为 ． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）先证明为等边三角形，进而得到，结合平行线的性质，推出是等边三角形即可； （2）连接交于点，易得垂直平分，三线合一，结合平行线的性质，推出，进而求出的长，根据等边三角形的性质，得到的长，利用求出的长即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：5． 【题型8 含30°角的直角三角形的性质】 【例8】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，解题关键是利用垂直平分线的性质添加辅助线构造等腰三角形． 根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线，， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：C． 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形，平分交于点， ∴，，，且平分， ∴是直角三角形，， 又∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【变式8-2】（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【答案】 【分析】作于点，求得，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，即点到水平线的距离为分米． 【变式8-3】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点运动，点到达点停止运动，同时点从点出发以的速度向点运动，点到达点停止运动，运动的时间为秒，解决以下问题： (1)当为何值时，为等边三角形； (2)当为何值时，为直角三角形． 【答案】(1)当为2时，为等边三角形 (2)当为或3时，为直角三角形 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质： （1）用含t的式子表示出各边长度，根据等边三角形各边相等列方程，即可求解； （2）分为直角和为直角两种情况，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，即，， ∴当为2时，为等边三角形； （2）解：①当为直角时，， ∴， ∴， ∴； ②当为直角时，， ∴， ∴， ∴． ∴当为或3时，为直角三角形． 【题型9 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 【例9】（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是____________________．（变大、变小、不变） 【答案】不变 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，连接，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，点为梯子的中点，， ∴ ∴滑动过程中的变化规律是不变 故答案为：不变． 【变式9-1】（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，在中，D为的中点，连接，过点D作于点E．若，则中，边上的高为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，中线与面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点A作的延长线于点，连接，结合D为的中点，得，即，因为，，得，进行计算，即可作答． 【详解】解：过点A作的延长线于点，连接，如图： ∵D为的中点，的延长线于点， ∴， ∴ ∵，， 则， 解得 ∴中，边上的高为， 故选：A 【变式9-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，，过点作交于，若，则的长为______． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形外角和的性质，等角对等边的运用，构造直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，取中点，连接，则是的中线，可得，即，有三角形的外角和性质可得，结合题意可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解． 【详解】解：如图所示，取中点，连接，则是的中线， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 【变式9-3】 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=n°．当n变化时，斜边AB上总存在O、P两点，使得OC=CP=AB（O、P两点不重合），则n的取值范围为______． 【答案】且 【分析】根据题意，O、P两点总有一个点是AB的中点，画出图形，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵OC=CP=AB， ∴不妨设点O为AB的中点， 当点P与点B重合时，∠A最小， 此时CB=CP=AB， ∴∠A=30°； 当点P与点A重合时，∠A最大， 此时CA=CP=AB， ∴∠B=30°，则∠A=60°； 当点P与点O重合时，∠A=45°，不符合题意，舍去， ∴n的取值范围为且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型10 等边三角形的性质与判定的综合运用】 【例10】如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转可得，即得是等边三角形，得到，进而即可求解． 【详解】解：由旋转可得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 【答案】5 【分析】由平移可得，，，然后证明为等边三角形，再求出四边形的各边长，再相加即可． 【详解】解：∵等边， ∴， 由平移可得，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∴四边形的周长为：． 【变式10-2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴是等腰三角形，且， ∴是等边三角形． 【变式10-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． (1)旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； (2)若求 的度数； 【答案】(1)B点；顺时针； (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定， 对于（1），根据旋转的定义可得答案； 对于（2），先根据旋转的性质得，即可说明是等边三角形，进而得出，再结合已知条件根据得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． 将绕点B顺时针旋转得到． 所以旋转中心是B点，旋转方向是顺时针，旋转角为； 故答案为：B点，顺时针，； （2）解：由旋转的性质可知：， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 模块四 课后作业 1．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 2．（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合． 理由：∵，， ∴． ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的． 3．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明，结合，，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 4．（25-26八年级下·广东梅州·阶段检测）在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到底角相等，再利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵ ∴是等边三角形． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 6．（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，D为边的中点，E为边的中点，，则的长是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据等腰三角形三线合一性质推出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，是边的中点， ∴， ∴是直角三角形； ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 7．（2026·内蒙古包头·二模）如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得出为等边三角形，然后判断出平分，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由尺规作图可得，平分， ∴． 8．（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【答案】 【分析】作于点，求得，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，即点到水平线的距离为分米． 9．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，垂足为D，E是边的中点．如果，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，先求出、的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，则，再根据外角的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由折叠得，由三角形内角和定理得，结合可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，E是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为______度． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键．根据正方形的性质得，根据等边对等角的性质可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解． 【详解】解：连接． ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴ ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________． 【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 13．如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质得到，即可证明出； （2）首先根据三角形内角和定理求出，然后求出，利用含角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，等边对等角，垂直平分线的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 14．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴是等腰三角形，且， ∴是等边三角形． 15．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 16．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再结合，，证明； （2）结合，得，又因为三角形内角和性质，得出，根据是的中点，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， 即， （2）证明：依题意，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的中点， ∴． 17．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求出的度数，结合，根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形； （2）先利用等腰三角形的性质求出的度数，再结合等边三角形的性质求出的度数，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度，进而得到的长； （3）先根据角的和差关系推出，再利用等边三角形和等腰三角形的性质得到对应边、角相等，通过证明，结合全等三角形的性质与线段的和差关系证明． 【答案】(1)证明：，， 平分， ， 又， 是等边三角形； (2) 解：，， ， 由（1）得，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； (3)证明：，， ， 在和中， ， ， ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 等腰三角形（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+7个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 等腰三角形 在建筑工地上，经验丰富的老师傅手里有一个看似普通的等腰三角形木架。当他需要检测房梁是否完全水平时，只需要在这个木架的顶点系上一根带重锤的细线。 老师傅自信地说：“只要看这根细线是否经过底边的中点，我就能立刻知道房梁是不是水平的！” 同学们，你们知道这个“土办法”背后的数学原理是什么吗？为什么等腰三角形里藏着能检测水平的“秘密武器”？今天，就让我们走进等腰三角形的世界，去揭开它的神秘面纱！ 【知识点1 等腰三角形的相关概念】 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 【知识点2 等腰三角形的性质】 1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 2. 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【知识点3 等腰三角形的判定】 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （3）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【题型1 等边对等角】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为_______． 【变式1-1】（24-25八年级上·广西桂林·期中）我们定义：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作，若，则该等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接．②以D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接．则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，为的边上的两点，并且，则（    ）    A． B． C． D． 【题型2 三线合一】 【例2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2-1】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式2-2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______． 【变式2-3】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段BE的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，把绕点A逆时针旋转得到，点D的对应点为点G，当点G落在的边上时，请直接写出的度数． 【题型3 等角对等边】 【例3】（25-26八年级下·全国·周测）在中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【变式3-1】如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图1，在中，是它的角平分线．求证：． (1)请你完成这道题的证明； (2)若添加一个条件，如图2，请同学们去探究线段三者的数量关系，请猜想它们的数量关系，并完成证明过程． 【题型4 等腰三角形与分类讨论】 【例4】在中，，点在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是_________________．    【变式4-1】等腰三角形的一个角比另一个角的倍少度，则等腰三角形顶角的度数是（   ） A． B．或 C．或 D．或或 【变式4-2】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为_______． 【变式4-3】在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，则______°． 【题型5 等腰三角形的性质与判定的综合运用】 【例5】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 【变式5-2】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，已知线段，射线于点，是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点，则的长为______． 【变式5-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点E，F分别在，上，，与相交于点P． (1)求证：； (2)请直接写出图中其他相等的线段． 模块三 等边三角形 在雪花纷飞的冬天，小明用放大镜仔细观察落在深色衣服上的一片小雪花。他惊讶地发现，这片雪花的整体轮廓竟然是一个极其标准的“正三角形”！ 带着好奇，小明在美术课上尝试用一张普通的长方形纸条，通过几次简单的折叠和裁剪，竟然也完美地“变”出了一个三条边、三个角都完全一样的三角形。小明不禁思考：这种最完美的三角形到底藏着什么特殊的数学秘密？为什么无论是大自然的鬼斧神工，还是人类的巧手，都能如此精准地创造出它？今天，就让我们一起揭开“最完美三角形”——等边三角形的奥秘！ 【知识点4 等边三角形及其性质】 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴. （2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识点5 等边三角形的判定】 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形． （4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点6 含30°角的直角三角形的性质】 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【知识点7 直角三角形的性质】 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 在△ABC内作∠ACD=∠A，可得AD=DC(等角对等边），由∠B与∠A互余，∠BCD与∠ACD互余，可得∠B=∠BCD(等角的余角相等)，从而可得BD=DC(等角对等边），于是得到CD=-AB（这里 CD是斜边AB上的中线). 【题型6 根据等边三角形的性质求角度】 【例6】（2026·陕西西安·一模）将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，平移图形，与图形可以拼成一个等边三角形则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则________． 【变式6-3】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接． (1)依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的大小． 【题型7 等边三角形的判定】 【例7】下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 【变式7-1】一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距(      ) A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 【变式7-2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【变式7-3】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在四边形中，，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，则的长为 ． 【题型8 含30°角的直角三角形的性质】 【例8】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式8-2】（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【变式8-3】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点运动，点到达点停止运动，同时点从点出发以的速度向点运动，点到达点停止运动，运动的时间为秒，解决以下问题： (1)当为何值时，为等边三角形； (2)当为何值时，为直角三角形． 【题型9 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】 【例9】（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是____________________．（变大、变小、不变） 【变式9-1】（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，在中，D为的中点，连接，过点D作于点E．若，则中，边上的高为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式9-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，，过点作交于，若，则的长为______． 【变式9-3】 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=n°．当n变化时，斜边AB上总存在O、P两点，使得OC=CP=AB（O、P两点不重合），则n的取值范围为______． 【题型10 等边三角形的性质与判定的综合运用】 【例10】如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 【变式10-2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式10-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． (1)旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； (2)若求 的度数； 模块四 课后作业 1．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 3．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 4．（25-26八年级下·广东梅州·阶段检测）在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，D为边的中点，E为边的中点，，则的长是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 7．（2026·内蒙古包头·二模）如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 9．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，垂足为D，E是边的中点．如果，那么__________． 10．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 11．如图，E是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为______度． 12．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________． 13．如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 14．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 15．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 16．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 17．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $