期末复习讲义08：概率【8个题型归纳】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义08：概率】 总览 题型梳理 【知识梳理】 知识点1 随机事件 随机事件 （1）随机事件：一般地，把试验的样本空间的__子集______称为的随机事件，简称___事件_____，常用，，等表示． （2）必然事件：样本空间是其自身的__子集______，因此也是一个___事件_____；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，都__必然发生______，因此称为必然事件． （3）不可能事件：空集也是的一个子集，可以看作一个_事件_______；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都__不会发生______，故称为不可能事件． 知识点2 随机事件的关系与运算 ）随机事件的运算 事件 内容 图示 交事件（或积事件） 一般地，由事件和事件都发生所构成的事件，称为事件与事件的交事件（或积事件），记作______（或）．事件是由事件和事件所共有的样本点构成的集合． 并事件（或和事件） 一般地，由事件和事件__至少有一个发生____（即发生，或发生）或_和都发生_____所构成的事件，称为事件与事件的并事件（或和事件），记作______（或）．事件与事件的并事件是由事件或事件所包含的样本点构成的集合． 互斥事件 一般地，_不能同时_______发生的两个事件与（）称为互斥事件．它可以理解为，同时发生这一事件是不可能事件． 对立事件 给定事件，不发生也是一个事件，记为．若_ _____，且______，则称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记作． 事件之间的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件___包含_____事件（或称事件包含于事件） ___ _____（或） 相等关系 若且，那么称事件与事件相等 ________ 并事件（和事件） 若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，称此事件为事件与事件的___并事件_____（或和事件） （或） 交事件（积事件） 若某事件发生当且仅当___事件发生_____且_____事件发生___________，则称此事件为事件与事件的交事件（或积事件） （或） 互斥事件 若为不可能事件，则称事件与事件互斥 对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件      知识点3 古典概型 （1）古典概型的概念：具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①有限性：样本空间的样本点只有__有限个______； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等________． （2）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率________． 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点4 概率的性质 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么__ ______； 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，________； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以． 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有． 知识点5 相互独立事件 1．定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率___没有影响_____，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即_ _______． 3．性质：如果事件与事件相互独立，则与，与，与也都相互独立________． 相互独立事件的概率 一般地，当个事件相互独立时，有以下公式成立：______． 知识点6 频率的稳定性（用频率估计概率） 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为___频率的稳定性___________．因此，我们可以用频率估计概率． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：互斥事件对立事件辨析】 【练方法】 方法技巧 1互斥判定两事件不能同时发生 2对立判定互斥且并事件为必然事件 3对立一定互斥互斥不一定对立 公式结论 1互斥 2对立 （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（     ）经典例题1例题 A．小明只有一场比赛获奖 B．小明两场比赛均获奖 C．小明至多一场比赛获奖 D．小明两场比赛均未获奖 【答案】D 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】小明仅参加了两场比赛，情况如下： ①两次都获奖；②只有一次获奖；③两次均未获奖， 所以与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的事件是“小明两场比赛均未获奖”. （25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ）经典例题2例题 A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】CD 【分析】依据互斥事件不能同时发生、对立事件不能同时发生且必有一个发生的定义，逐一判断每个选项中两个事件的关系即可得到答案. 【详解】 从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：两个红球，一红一白，两个白球， 对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至少一个白球”包含一红一白、两个白球， 二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误； 对于B：“恰有一个红球”即一红一白，“都是白球”即两个白球，二者互斥，但存在“两个红球”的情况， 二者不是必有一个发生，不对立，B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”即两个白球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确； 对于D：“至多一个红球”包含两个白球、一红一白，“都是红球”即两个红球， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确. （2026·广东佛山·二模）设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ）小试牛刀1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. （25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ）小试牛刀2 A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. （25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ）小试牛刀3 A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 【答案】D 【分析】根据已知写出各事件的基本事件，结合互斥事件、对立事件的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，样本空间，事件，事件，事件，事件， 所以是互斥事件，也是对立事件，、均不是互斥事件，是互斥事件，但不是对立事件. 故选：D 【题型2：事件的运算及其含义】 【练方法】 方法技巧 1并事件事件发生或发生 2交事件事件且同时发生 3对立事件事件不发生 公式结论 1并事件概率加法公式 2互补关系 （2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）．经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据事件的独立性及对立定义求解. 【详解】根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为. （2026·江西·二模）设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件“、至少有一个发生”可表示为，事件“不发生”可表示为. 选项A中表示同时发生且不发生，不符合题意 选项B中表示至少一个发生且不发生，与题意一致 选项C中表示至少一个发生或不发生，不符合题意 选项D中表示同时发生或不发生，不符合题意. （25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用集合的形式分别表示事件，再根据集合之间的包含关系及交集，并集的概念进行运算，即可判断A，B，C，D. 【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D （25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ）小试牛刀2 A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【答案】C 【分析】根据题意用自然语言描述出事件，即可得. 【详解】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次， 所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”. 故选：C （2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 【题型3：概率的基本性质】 【练方法】 方法技巧 1概率取值范围 2必然事件概率为1不可能事件概率为0 3包含事件概率满足单调性 公式结论 1取值范围 2 3若则 （25-26高一下·北京·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______．经典例题1例题 【答案】①②④ 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出①正确；再利用和事件的概率公式，即可得出判断． 【详解】对于①，， ， 又，所以， 故，①正确； 对于②③④，，结合， 可得，而， 所以，②正确，③错误，④正确． （25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：； 选项B：; 选项C：； 选项D：. （25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设，是一个随机实验中的两个互斥事件，若，，则（   ）小试牛刀1 A．0.05 B．0.144 C．0.75 D．0.25 【答案】C 【详解】，是互斥事件，，， . （25-26高二下·上海杨浦·期末）已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（     ）小试牛刀2 A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据题意，利用互斥事件的定义和互斥事件的概率加法公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若事件和互斥，且不妨设， 此时，所以A不一定正确； 对于B，由事件和互斥，可得，所以， 因为不一定为，所以与不一定相等，所以B不正确； 对于C，由互斥事件的概率加法公式，若事件和互斥， 可得，所以C正确； 对于D，若事件和互斥，且不妨设， 则，所以D不一定正确； （25-26高一下·吉林长春·期中）设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ）小试牛刀3 A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 【答案】C 【分析】依据概率的基本性质、对立事件、事件包含关系、互斥事件的定义逐一验证选项，判断是否必然成立。 【详解】对于A：是事件的对立事件，满足且，由概率加法公式可得，故A一定成立； 对于B：若，说明事件的全部样本点都属于事件，所以，故B一定成立； 对于C：若，由概率加法公式得，当且仅当即时，才有，若存在公共样本点，该等式不成立，故C不一定成立； 对于D：若与互斥，根据互斥事件定义得，空集的概率为0，因此，故D一定成立. 【题型4：计算古典概型的概率】 【练方法】 方法技巧 1满足有限性等可能性两个条件 2分步计算基本事件总数目标事件包含基本事件数 公式结论 古典概型概率 （25-26高一下·河南周口·期末）周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．经典例题1例题    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 【答案】(1)，众数为85，平均成绩为77.5 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及众数、平均数定义求解即可. （2）结合分层抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得， ，解得． 由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为85， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为85，平均成绩为77.5． （2）由（1）知，成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为，， 在中随机抽取了人，记为，，， 从5人中随机抽取2人的样本空间为： ，共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． （25-26高一下·山东泰安·阶段检测）2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，经典例题2例题 (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1) 平均年龄为岁，众数为岁； (2) . 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用组中值乘以对应频率之和估算平均数，最高矩形底边的中点即为众数； （2）根据分层抽样比例计算第四、五组抽取的人数，确定样本空间，利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：. 则平均年龄约为：（岁）. 众数的估计值为最高矩形底边的中点，即（岁）. 故估计这人的平均年龄为岁，众数为岁. （2）第四组的人数为人，第五组的人数为人. 因为采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 所以第四组应抽取人，第五组应抽取人. 第四组和第五组共抽取人. 由题意知，甲在第四组被抽取的人中，乙在第五组被抽取的人中. 记第四组除甲外的人为，第五组除乙外的人为. 则这人构成的集合为甲，，乙，. 从中随机抽取名作为组长， 结果有：甲，，甲，，甲，，甲，乙，甲，，，， ，乙，，，，乙，，，乙，，乙，共15种. 设事件为“甲、乙两人至少有一人被选上”，则其对立事件为“甲、乙两人都没有被选上”. 事件包含的结果是从这人中抽取人，结果有：，，， ，，共6种，则. 故，即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为. （25-26高一下·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从中随机选取三个不同的数 有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于的有，，，，共种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为，故C正确. （25-26高二上·四川成都·期中）一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为，，，当且仅当，时称为“凹数”如，等，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】首先找到组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点数，再找到“凹数”的个数，用古典概型的知识相除即可． 【详解】组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点共有个， 而满足三位数是“凹数”的有，，，，，，，共个， 所以这个三位数为“凹数”的概率为． （25-26高三·全国·一轮复习）从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为________．小试牛刀3 【答案】 【详解】由题意知11个零件的平均数为， 第六十百分位数的位置为，即取第7位数50，故第六十百分位数为50， 由题可知众数为45， 所以当从11中取出3个零件共种情况， 则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45，共有种情况， 所以其概率为． 【题型5：有放回与无放回概率问题】 【练方法】 方法技巧 1有放回每次抽取后样本总量不变各次抽取相互独立 2无放回每次抽取后样本总量递减各次抽取不独立 公式结论 1有放回单次抽取概率恒定 2无放回分步概率第次取到目标 （25-26高一下·天津·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求）经典例题1例题 (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设不放回抽取两张标签数字和为5的事件为， 基本事件总数为， 样本空间为，，，，， 事件包含的基本事件数4，，，，， ． （2）设有放回抽取两张标签数字和为5的事件为， 基本事件总数为， 样本空间为，，，，. 事件包含的基本事件数4，即，，，， ． （25-26高二下·上海松江·期中）祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______．经典例题2例题 【答案】 【详解】因为是有放回地抽取，所以第一次和第二次抽到写有数字1的卡片的概率均为：， 则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为：. （2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件．小试牛刀1 (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可； （2）放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. （25-26高二上·广东江门·期末）已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】依题意，不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是. 故选：A. （25-26高三上·江苏苏州·期末）一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】根据不放回和放回的不同方式特点，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】当标签的选取是不放回的，共有方式， 其中事件A有共4种方式， 所以； 当标签的选取是放回的，共有方式， 其中事件A有，5种方式， 所以, 所以. 故答案为： 【题型6：相互独立事件】 【练方法】 方法技巧 1一事件发生与否不影响另一事件发生概率 2独立与互斥无必然推导关系 公式结论 1独立充要条件 2独立并事件 3独立则与与与均独立 （25-26高一下·河南·期末）在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”， “取出的小球上的数字分别为1，2，3”， “取出的3个小球上的数字之和大于5”．经典例题1例题 (1)求； (2)判断事件A，B是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)事件 ："3个小球颜色均不相同"，即必须取到红、黄、白各一个.红球有3种取法，黄球有2种，白球1种，故 ，.事件 ："取出的小球上的数字分别为 "，即取到的三个数字恰好是1、2、3各一个.数字1的球有3个（），数字2的球有2个（），数字3的球有1个（），故 ，.事件 ：既满足颜色均不相同，又满足数字分别为1,2,3.在 的6种取法中，只有符合条件，故 ，.计算，而，两者不相等.因此 ，故事件A，B不相互独立． 【分析】（1）列举所有等可能的取法，统计数字和大于5的取法数，利用古典概型求概率； （2）分别计算 、 、 ，利用独立事件的定义 判断. 【详解】（1）设3个红球分别为（对应数字1，2，3），2个黄球分别为（对应数字1，2）， 白球为（数字1）.从中任取3个球， 取法有：，，， ，，，共个. 其中数字和大于5的有：，，，，，，，共7种. 故. （浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（      ）经典例题2例题 A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【答案】B 【分析】利用互斥事件，相互独立事件的定义依次判断选项即可. 【详解】抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，对于A，C选项，事件与事件能同时发生，A，C错误； 对于B,抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数，,,, 满足,所以事件与事件为相互独立事件，故B正确； 对于D，事件包含两个基本事件，事件包含三个基本事件，所以事件与事件不相等，故D错误； （25-26高一下·江苏南京·期末）（多选）下列说法正确的有（   ）小试牛刀1 A．若事件两两独立，则 B．若，则事件两两独立 C．若，则事件两两互斥 D．若事件两两互斥，则 【答案】CD 【分析】利用前提举反例，结合独立事件的判定判断A、B；由概率的性质及事件的运算、互斥事件定义判断C、D． 【详解】A：若事件两两独立，则， ，， 抛两次硬币，第一次正面，第二次正面，两次结果相同， 所以，，显然满足前提， 而，此时，不满足，即A错； B：对于样本空间，若，，，则， 所以，且，此时满足， 但，即，显然，显然不相互独立，即B错； C：若， 而 ， 所以， 必有，即事件两两互斥，即C对； D：若事件两两互斥，则， ，即D对． （25-26高二下·重庆·期中）已知随机事件，相互独立，且，则__________．小试牛刀2 【答案】0.64 【详解】由题意得. （2026·广东广州·模拟预测）（多选）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ）小试牛刀3 A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 【题型7：与比赛有关的概率计算】 （2026·黑龙江哈尔滨·二模）甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得分，负者得分，约定一方比另一方多分或满局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则这次比赛经过局结束的概率为_________．经典例题1例题 【答案】 【详解】若比赛经过局结束，则甲胜局负局，且前局负局或乙胜局负局，且前局负局， 又甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立， 所以比赛经过局结束的概率为. （2025·江西·二模）甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为______．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【详解】甲以3：0获胜的概率为， 以3：1获胜的概率为， 以3：2获胜的概率为， 所以甲获胜的概率为. （25-26高二下·福建莆田·阶段检测）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________.小试牛刀1 【答案】 【分析】先明确积分为0分终止的所有可能比赛场次情况，上述情况的概率相加，得到比赛终止时积分为0分的总概率. 【详解】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. （25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.小试牛刀2 (1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； (2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； (3)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 【答案】(1)甲、乙两队打成平局的概率为 (2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为 (3)甲队第5个球员需出场罚球的概率为 【分析】（1）平局包含两人都罚进或两人都罚不进两个互斥事件，利用独立事件乘法分别计算两种情况的概率，再相加即可. （2）3 轮后两队各剩 2 次罚球机会，落后方最多追回2分，因此分差≥3时比赛提前终止. 3轮内分差≥3，仅有两种极端比分：甲 3:0 乙、乙 3:0 甲（前两轮分差均未达终止条件，天然成立）.分别计算两种比分的概率，求和即得总概率. （3）分析甲队第5个球员需出场的前提条件：前两轮甲队2:0领先，若甲队第5个球员需出场，说明第三、四轮罚球结束后比赛未提前终止，即前四轮总比分甲队与乙队的分差不超过1分，分别计算三种比分情况2:1、2:2、3:2的概率，再计算概率之和即可. 【详解】（1）设甲队球员罚进点球为事件，未罚进为事件，乙队球员罚进点球为事件，未罚进为事件. 因为，所以；同理，因为，所以. 则甲、乙均罚进的概率为， 甲、乙均未罚进的概率为， 所以甲、乙两队打成平局的概率为. （2）设踢完轮后，甲队总得分为，乙队总得分为. 分类讨论：踢完3轮分差大于或等于3，且前1、2轮未提前结束， ①当3轮后甲队比乙队多3分，甲队3轮全进，乙队3轮全不进，即，则概率为： ​ ②当3轮后乙队比甲队多3分，乙队3轮全进，甲队3轮全不进，即，则概率为： 综上，求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为. （3）因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为或或，则需要分以下情况来讨论： ①比分为的概率为： . ②比分为的概率为： . ③比分为的概率为： . 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为. （2025高一·全国·专题练习）某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略.小试牛刀3 (1)若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率； (2)若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率； (3)应该在第一局选择哪种策略？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)应在第一局选择保守策略，理由见解析 【分析】（1）分为第一局胜和第一局负两种情况分别讨论，求出第二局选保守和选激进两种策略获胜的概率，选择最优策略，根据独立事件的概率计算公式即可求出答案； （2）分为第一局胜和第一局负两种情况分别讨论，求出第二局选保守和选激进两种策略获胜的概率，选择最优策略，根据独立事件的概率计算公式即可求出答案； （3）比较（1）（2）问两个概率的大小即可得到答案. 【详解】（1）第一局采取保守策略： 情况1：第一局胜（概率），此时比分， 若第二局选保守：胜率；败率，进入第三局选择激进策略（胜率） 若第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选保守策略，胜率为， 情况2：A第一局败（概率），此时比分 若第二局选保守：胜率；进入第三局选择激进策略（胜率）， 若第二局选激进：胜率；第三局选择激进策略（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选激进策略，胜率为， 综上，第一局保守策略的总胜率. （2）第一局采取激进策略： 情况1：第一局胜（概率），此时比分， 第二局选保守：胜率；败率，则进入第三局选择激进策略（胜率）， 第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选保守策略，胜率为， 情况2：第一局败（概率），此时比分， 因第一局使用激进策略失败，第二局胜率降为 若第三局选保守：胜率，若第三局选激进：胜率，所以第三局选择激进策略， 综上，第一局激进策略的总胜率： （3）因为，即第一局选择保守策略最终获胜的概率大于第一局选择激进策略最终获胜的概率，所以应在第一局选择保守策略. 【题型8：概率综合计算题型】 （25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解. 【详解】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为， 选项A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 四支球队的积分总和为15分， 选项B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为， 胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为， 选项C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 选项D正确. （25-26高一上·辽宁沈阳·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5.经典例题2例题 (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）5，6，7 【分析】（1）利用列举法求出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）（i）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二获得书签的概率，再根据当时，即可得答案； （ii）同（i），求得先玩游戏三获得书签的概率，从而得到满足题意，再结合（1），讨论满足的的解即可. 【详解】（1）解：对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以， 所以. 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ， 则，因为，所以， 所以. （2）解：（i）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为， 则，所以． 则互斥，相互独立， 所以 由（1）知，当时，，， , 所以当时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为. （ii）由（i）知． 同理，互斥，相互独立， ． 因为，所以，解得． 仿照（1）中的方法得，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，当对应的均为，大于，满足题意； 对应的均为，小于，不满足题意． 因此，符合题意的的取值为5，6，7． （2025·广东·模拟预测）某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变．小试牛刀1 (1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； (2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式进行求解； （2）计算出甲队和乙队分别进入决赛的概率，从而得到乙队进入决赛甲队夺冠的概率和乙队没进入决赛甲队夺冠的概率，相加即可. 【详解】（1）设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件， 由题得，，，． 设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件，则． 由题可得， ． 因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为． （2）由题得，甲队进入决赛的概率为； 乙队进入决赛的概率为． 则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为； 乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为． 因此，甲队夺冠的概率为． （25-26高二上·河南信阳·期中）某国际学校举办国际象棋锦标赛，甲、乙、丙三名选手通过预选赛，进入决赛阶段．已知甲与乙对局时，甲获胜的概率为，甲与丙对局时，甲获胜的概率为．乙与丙对局时，乙获胜的概率为．决赛规则如下：首先通过抽签决定由甲与乙进行第一轮对决，丙轮空；每一轮结束后，该轮的胜者与轮空者进行下一轮对决，败者轮空．每轮胜者得1分，败者得0分，率先累计获得2分者成为冠军，比赛结束．小试牛刀2 (1)假设，且各轮比赛结果相互独立． ①求乙连续赢下两轮并获得最终冠军的概率； ②求比赛结束时乙获得冠军的概率． (2)若，且乙在第一轮出场，并有权选择首轮对手．为最大化夺冠概率，乙应如何选择首轮对手？请进行分析． 【答案】(1)①；② (2)乙的最优选择策略是指定第一轮的对手为甲 【分析】（1）①计算第一轮乙获胜的概率和第二轮乙获胜的概率，相乘即可得结果. ②考虑比赛结束时乙获胜的所有情况，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得结果. （2）计算第一轮乙对丙最终乙获胜的概率和第一轮乙对甲最终乙获胜的概率，结合条件作差比较大小即可得到结果. 【详解】（1）①依题意乙连续赢下两轮并获得最终冠军的概率. ②乙连续赢下两轮获得最终冠军的概率为， 乙第一轮失败，第二轮轮空（第二轮甲失败），第三轮胜利，第四轮胜利的概率为， 乙第一轮胜利，第二轮失败，第三轮轮空（第三轮甲胜利），第四轮胜利的概率为， 所以比赛结束时乙获得冠军的概率 ， （2）设事件为“第一轮乙对丙最终乙获胜”，为“第一轮乙对甲最终乙获胜”， 第一轮乙对丙，则乙获得冠军有以下三种情况： 第一种，第一轮乙获胜，第二轮乙获胜，则所对应的概率为； 第二种，第一轮乙获胜，第二轮甲获胜，第三轮丙获胜，第四轮乙获胜， 则所对应的概率为； 第三种，第一轮丙获胜，第二轮甲获胜，第三轮乙获胜，第四轮乙获胜， 则所对应的概率为； 故； 同理可得； 则 ， 由于，故， 所以，故乙的最优选策略是指定第一轮的对手为甲. （25-26高二上·四川·期中）第六届嘉祥杯足球赛不同于以往的淘汰赛制（输一局就淘汰），采用双败赛制（如下图），四支队伍A、B、C、D．其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p（＜p＜1），而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时，A和C同组，B和D同组．小试牛刀3 (1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场表演赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； (2)若，在淘汰赛赛制下，A和B获得冠军的概率分别为多少？ (3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此证明双败赛制对强队更有利． 【答案】(1) (2)， (3)淘汰赛赛制：，双败赛制：，证明见解析 【分析】（1）古典概率的计算公式求解即可； （2）根据淘汰赛赛制的比赛规则，结合独立事件概率公式分别计算A和B获得冠军的概率； （3）作差得到，因式分解后判断即可. 【详解】（1）从4支队伍中随机选出2支，总共有 6种可能组合：AB、AC、AD、BC、BD、CD． 其中选出的两支队伍恰好是A和B只有1种情况． 因此，概率为． （2）淘汰赛赛制分组为A vs C、B vs D，胜者进入决赛． A获得冠军的概率：A必须赢半决赛和决赛． P（A赢半决赛）= P（A赢C）= p =． 决赛对手是B或D，但无论对手是谁， P（A赢决赛）= p =，因此，PA =． B获得冠军的概率：B必须赢半决赛和决赛． P（B赢半决赛）= P（B赢D）=． 决赛对手是A或C：P（对手是A）= P（A赢半决赛）=，P（B赢A）= 1－p =． P（对手是C）= P（C赢半决赛）=1－p =，P（B赢C）=． 因此，P（B赢决赛）=，PB =．              综上，PA =，PB =． （3）淘汰赛赛制：． 双败赛制：双败赛制流程如下：            第一轮（胜者组）：A vs C、B vs D，胜者组决赛：第一轮胜者比赛，败者组第一轮：第一轮败者比赛，败者组决赛：败者组第一轮胜者 vs 胜者组决赛败者， 总决赛：胜者组决赛胜者vs败者组决赛胜者. 计算A夺冠概率需考虑所有可能路径． 通过案例分析，可得 ． 比较：要证明双败赛制对强队更有利，因为 ． 所以当 时，． 因此，双败赛制对强队更有利． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义08：概率】 总览 题型梳理 【知识梳理】 知识点1 随机事件 随机事件 （1）随机事件：一般地，把试验的样本空间的__子集______称为的随机事件，简称___事件_____，常用，，等表示． （2）必然事件：样本空间是其自身的__子集______，因此也是一个___事件_____；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，都__必然发生______，因此称为必然事件． （3）不可能事件：空集也是的一个子集，可以看作一个_事件_______；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都__不会发生______，故称为不可能事件． 知识点2 随机事件的关系与运算 ）随机事件的运算 事件 内容 图示 交事件（或积事件） 一般地，由事件和事件都发生所构成的事件，称为事件与事件的交事件（或积事件），记作______（或）．事件是由事件和事件所共有的样本点构成的集合． 并事件（或和事件） 一般地，由事件和事件__至少有一个发生____（即发生，或发生）或_和都发生_____所构成的事件，称为事件与事件的并事件（或和事件），记作______（或）．事件与事件的并事件是由事件或事件所包含的样本点构成的集合． 互斥事件 一般地，_不能同时_______发生的两个事件与（）称为互斥事件．它可以理解为，同时发生这一事件是不可能事件． 对立事件 给定事件，不发生也是一个事件，记为．若_ _____，且______，则称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记作． 事件之间的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件___包含_____事件（或称事件包含于事件） ___ _____（或） 相等关系 若且，那么称事件与事件相等 ________ 并事件（和事件） 若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，称此事件为事件与事件的___并事件_____（或和事件） （或） 交事件（积事件） 若某事件发生当且仅当___事件发生_____且_____事件发生___________，则称此事件为事件与事件的交事件（或积事件） （或） 互斥事件 若为不可能事件，则称事件与事件互斥 对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件      知识点3 古典概型 （1）古典概型的概念：具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①有限性：样本空间的样本点只有__有限个______； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等________． （2）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率________． 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 知识点4 概率的性质 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么__ ______； 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，________； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以． 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有． 知识点5 相互独立事件 1．定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率___没有影响_____，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即_ _______． 3．性质：如果事件与事件相互独立，则与，与，与也都相互独立________． 相互独立事件的概率 一般地，当个事件相互独立时，有以下公式成立：______． 知识点6 频率的稳定性（用频率估计概率） 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为___频率的稳定性___________．因此，我们可以用频率估计概率． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：互斥事件对立事件辨析】 【练方法】 方法技巧 1互斥判定两事件不能同时发生 2对立判定互斥且并事件为必然事件 3对立一定互斥互斥不一定对立 公式结论 1互斥 2对立 （25-26高一下·河北邢台·阶段检测）学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（     ）经典例题1例题 A．小明只有一场比赛获奖 B．小明两场比赛均获奖 C．小明至多一场比赛获奖 D．小明两场比赛均未获奖 （25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（   ）经典例题2例题 A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 （2026·广东佛山·二模）设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ）小试牛刀1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 （25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ）小试牛刀2 A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 （25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ）小试牛刀3 A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 【题型2：事件的运算及其含义】 【练方法】 方法技巧 1并事件事件发生或发生 2交事件事件且同时发生 3对立事件事件不发生 公式结论 1并事件概率加法公式 2互补关系 （2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）．经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·江西·二模）设是三个事件，则事件“至少有一个发生且不发生”可表示为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ）小试牛刀2 A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” （2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：概率的基本性质】 【练方法】 方法技巧 1概率取值范围 2必然事件概率为1不可能事件概率为0 3包含事件概率满足单调性 公式结论 1取值范围 2 3若则 （25-26高一下·北京·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______．经典例题1例题 （25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设，是一个随机实验中的两个互斥事件，若，，则（   ）小试牛刀1 A．0.05 B．0.144 C．0.75 D．0.25 （25-26高二下·上海杨浦·期末）已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（     ）小试牛刀2 A．； B．； C．； D．． （25-26高一下·吉林长春·期中）设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ）小试牛刀3 A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 【题型4：计算古典概型的概率】 【练方法】 方法技巧 1满足有限性等可能性两个条件 2分步计算基本事件总数目标事件包含基本事件数 公式结论 古典概型概率 （25-26高一下·河南周口·期末）周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．经典例题1例题    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． （25-26高一下·山东泰安·阶段检测）2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，经典例题2例题 (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． （25-26高一下·湖南·阶段检测）从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·四川成都·期中）一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为，，，当且仅当，时称为“凹数”如，等，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是__________．小试牛刀2 （25-26高三·全国·一轮复习）从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为________．小试牛刀3 【题型5：有放回与无放回概率问题】 【练方法】 方法技巧 1有放回每次抽取后样本总量不变各次抽取相互独立 2无放回每次抽取后样本总量递减各次抽取不独立 公式结论 1有放回单次抽取概率恒定 2无放回分步概率第次取到目标 （25-26高一下·天津·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求）经典例题1例题 (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的． （25-26高二下·上海松江·期中）祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______．经典例题2例题 （2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件．小试牛刀1 (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． （25-26高二上·广东江门·期末）已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏苏州·期末）一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______．小试牛刀3 【题型6：相互独立事件】 【练方法】 方法技巧 1一事件发生与否不影响另一事件发生概率 2独立与互斥无必然推导关系 公式结论 1独立充要条件 2独立并事件 3独立则与与与均独立 （25-26高一下·河南·期末）在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”， “取出的小球上的数字分别为1，2，3”， “取出的3个小球上的数字之和大于5”．经典例题1例题 (1)求； (2)判断事件A，B是否相互独立，并说明理由． （浙江衢州市2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（      ）经典例题2例题 A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 （25-26高一下·江苏南京·期末）（多选）下列说法正确的有（   ）小试牛刀1 A．若事件两两独立，则 B．若，则事件两两独立 C．若，则事件两两互斥 D．若事件两两互斥，则 （25-26高二下·重庆·期中）已知随机事件，相互独立，且，则__________．小试牛刀2 （2026·广东广州·模拟预测）（多选）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ）小试牛刀3 A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 【题型7：与比赛有关的概率计算】 （2026·黑龙江哈尔滨·二模）甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得分，负者得分，约定一方比另一方多分或满局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则这次比赛经过局结束的概率为_________．经典例题1例题 （2025·江西·二模）甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为______．经典例题2例题 （25-26高二下·福建莆田·阶段检测）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________.小试牛刀1 （25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.小试牛刀2 (1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； (2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； (3)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. （2025高一·全国·专题练习）某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略.小试牛刀3 (1)若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率； (2)若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率； (3)应该在第一局选择哪种策略？为什么？ 【题型8：概率综合计算题型】 （25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ）经典例题1例题 A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 （25-26高一上·辽宁沈阳·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5.经典例题2例题 (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ （2025·广东·模拟预测）某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变．小试牛刀1 (1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； (2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． （25-26高二上·河南信阳·期中）某国际学校举办国际象棋锦标赛，甲、乙、丙三名选手通过预选赛，进入决赛阶段．已知甲与乙对局时，甲获胜的概率为，甲与丙对局时，甲获胜的概率为．乙与丙对局时，乙获胜的概率为．决赛规则如下：首先通过抽签决定由甲与乙进行第一轮对决，丙轮空；每一轮结束后，该轮的胜者与轮空者进行下一轮对决，败者轮空．每轮胜者得1分，败者得0分，率先累计获得2分者成为冠军，比赛结束．小试牛刀2 (1)假设，且各轮比赛结果相互独立． ①求乙连续赢下两轮并获得最终冠军的概率； ②求比赛结束时乙获得冠军的概率． (2)若，且乙在第一轮出场，并有权选择首轮对手．为最大化夺冠概率，乙应如何选择首轮对手？请进行分析． （25-26高二上·四川·期中）第六届嘉祥杯足球赛不同于以往的淘汰赛制（输一局就淘汰），采用双败赛制（如下图），四支队伍A、B、C、D．其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p（＜p＜1），而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时，A和C同组，B和D同组．小试牛刀3 (1)若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场表演赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； (2)若，在淘汰赛赛制下，A和B获得冠军的概率分别为多少？ (3)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此证明双败赛制对强队更有利． 1 学科网（北京）股份有限公司 $