期末复习讲义05：点线面的位置关系，平行与垂直【12个题型归纳】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义05：点线面的位置关系，平行与垂直】 总览 题型梳理 【知识梳理】 1．平面的基本性质 （1）基本事实1 ①文字语言：过_不在一条直线上_____的三个点，有且只有一个平面． ②符号语言：三点不共线⇒存在唯一的使 ______． ③图形语言： （2）基本事实2 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． ②符号语言：______，______，且，______． ③图形语言： （3）基本事实3 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__公共直线____． ②符号语言：______，且，且______． ③图形语言： （4）三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论1亦可说成：直线及其外一点__确定____一个平面． 推论2：经过两条__相交____直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条_平行_____直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 （1）从是否有公共点的角度来分： （2）从是否共面的角度来分： 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与面 相交 ____1____个 平行 ____0____个 在平 面内 ___无数_____个 平面与平面 平行 ____0____个 相交 __无数______个 4．直线与平面平行的性质定理和判定定理： 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面___相交_____，那么该直线就与_交线_______平行（简记为“线面平行⇒线线平行”） 因为，，，所以 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的_一条直线____平行，那么该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行） 因为，，，所以 5．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面___相交___，那么两条__交线____平行 因为， ，， 所以 判定定理 如果一个平面内的两条_____直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 因为，，， _________， ，所以 6．直线与平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_平行________ 判定定理 如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线_______垂直，那么该直线与此平面垂直 7．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的__交线___，那么这条直线与另一个平面垂直. 判定定理 如果一个平面过另一个平面的___垂线__，那么这两个平面垂直. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：空间中点共面问题】 【练方法】 方法技巧 1基础判定直线上任意两点与直线外一点三点一定共面 2四点共面几何证法 ①连接两点得到一条直线证明剩余两点分别在两条相交直线上 ②连接两条线段证明两条线段相交或互相平行则四个端点共面 ③证明多条直线两两相交且所有交点落在同一平面内 3反证法假设某点不在目标平面推出与平行垂直相交已知条件矛盾 4多面体模型利用棱柱棱锥底面侧面现成平面直接判定点归属 核心结论 1不共线的三点确定唯一平面 2一条直线和直线外一点确定唯一平面 3两条相交直线/两条平行直线确定唯一平面 4若两条直线有公共交点则四条端点四点共面 （25-26高一下·江苏·期中）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且.经典例题1例题 (1)求证：四点共面； (2)延长交延长线于点，延长交延长线于点，求证：； (3)设平面将该正方体分成上、下两个几何体，求两几何体的体积之比. （2027高三·全国·专题练习）（多选）（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ）经典例题2例题 A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 （多选）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ）小试牛刀1 A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 （25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，.小试牛刀2 证明：四点共面. （25-26高二上·上海·阶段检测）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____，小试牛刀3 【题型2：空间中点共线问题】 【练方法】 方法技巧 1平面交线核心思路若点同时落在两个不同平面内则该点一定在两平面的交线上多点同时属于两个平面所有点共线 2作图判定两点确定一条直线证明第三第四点都落在这条直线上 3截面专用技巧多面体截面与棱的交点全部位于两个相交平面的公共交线上可直接判定多点共线 核心结论 1两平面相交有且仅有一条公共直线两平面所有公共点全部在这条交线上 2两点确定唯一一条直线若第三点同时属于过这两点的直线则三点共线 （25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线．经典例题1例题 （23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．经典例题2例题    （2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线.小试牛刀1 （23-24高一·江苏·单元复习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．小试牛刀2    （2023·江苏南京·一模）（多选）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【题型3：空间中线共点问题】 【练方法】 方法技巧 1分步证明先取其中两条不平行直线找到二者交点再证明该交点同时落在第三条第四条直线所在平面内从而交点在第三条直线上 2棱台棱锥模型延长各组侧棱利用上下底面相似多边形边长比例证明侧棱延长后交于同一点 3反证假设三条直线无公共交点推出与平面相交定理矛盾 核心结论 1空间内两条不平行的直线有且仅有一个公共交点互相平行的直线无交点 2三线共点充要条件两条直线的交点同时属于第三条直线 （25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在三棱柱中，，分别是棱，上一点，且，.经典例题1例题 (1)证明：直线，，交于同一点； (2)记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. （25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点．经典例题2例题 (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． （24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．小试牛刀1 (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点；小试牛刀2 （24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．小试牛刀3    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【题型4：截面问题】 【练方法】 方法技巧 1截面作图根本规则平面与几何体每个平面相交交线一定是直线两个交点确定一条交线 2找点步骤 ①找到截面平面与几何体棱已有的交点 ②延长截面内线段几何体棱延长线相交得到新交点 ③利用线面平行性质过已知交点作棱的平行线补全缺失交点 ④顺次连接所有交点封闭图形即为截面 3有垂直条件时借助面面垂直线面垂直作垂线锁定截面顶点位置 核心结论 1截面是平面切割多面体形成的封闭多边形边数等于平面相交的面的数量 2若一条直线平行于平面内某条直线则截面内对应交线互相平行 （25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．经典例题1例题    （2026·山西忻州·模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体中，点P在线段上，且，．过点P作平面，使．设平面截正方体所得截面的面积为，则下列说法正确的是（     ）经典例题2例题 A．当时，截面面积为 B．当时，截面为等边三角形 C．的最大值在处取得 D．当时，截面周长为3 （25-26高三·全国·一轮复习）如图，正方体中，分别为的中点，画出过的截面．小试牛刀1 （25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（   ）小试牛刀2    A．当时，S为四边形 B．当时，S为等腰梯形 C．当时，S为六边形 D．当时，S与的交点为，三棱锥的体积为 （25-26高一下·黑龙江·期中）已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：异面直线的判定】 【练方法】 方法技巧 1排除法空间两直线只有三种位置相交平行异面先证明直线不相交不平行即可判定为异面直线 2专用几何判定定理直接判定无需画图推导 3正方体长方体模型快速举例验证异面关系 核心结论 1异面直线判定定理点在平面内点不在平面内直线在平面内且不在上则直线与直线是异面直线 2异面直线特征无公共点且不存在任何一个平面可以同时包含两条直线 3共面直线只有两类相交直线平行直线 （25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（    ）经典例题1例题 A．异面 B．相交 C．平行 D．以上都有可能 （25-26高一下·河南郑州·期中）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（    ）经典例题2例题 A．AB与HG相交 B．AB与EF平行 C．HE与CD共面 D．EF与CD异面 （25-26高三下·上海·阶段检测）在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ）小试牛刀1 A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 （25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）如图所示，在正方体中，，分别是棱，的中点，给出以下结论，其中正确的结论为（    ）小试牛刀2 A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线与直线异面 D．直线与直线异面 （25-26高一下·江苏·期中）在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ）小试牛刀3 A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【题型6：点线面位置关系的有关命题判断】 【练方法】 方法技巧 1模型反例法借助正方体长方体三棱锥举反例快速推翻错误命题 2区分量词带“任意全部”的命题找到一个反例即可判定错误带“存在有一个”的命题找到一例成立即可判定正确 3区分符号含义点与直线/平面用直线与平面用不可混用 4特殊边界排查直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交三种情况全部验证 核心结论 1点与直线点在直线上点不在直线上 2点与平面点在平面内点不在平面内 3直线与平面直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交 4平面与平面两平面平行两平面相交相交有唯一公共交线 （25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（     ）经典例题1例题 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （25-26高一下·广东广州·期中）设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ）经典例题2例题 A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 （25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知，是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题为（     ）小试牛刀1 A．若，，，则 B．若，且，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 （25-26高一下·河南新乡·阶段检测）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ）小试牛刀2 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 （2026·浙江·三模）（多选）已知两个平面和两条直线，满足，下列命题正确的是（   ）小试牛刀3 A．若不垂直，则不可能垂直 B．若垂直，则可能不垂直 C．若不平行，则不可能平行 D．若平行，则可能不平行 【题型7：线面面面平行的判定】 【练方法】 方法技巧 1线面平行判定在平面内找到一条与已知直线平行的直线且已知直线不在该平面内 2面面平行判定 ①平面内两条相交直线全部平行于另一个平面则两面平行 ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ③分别平行于同一个平面的两个平面互相平行 3证明平行优先利用中位线平行四边形相似三角形推导线线平行 核心结论 1线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行则直线与平面平行 2面面平行判定定理一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面则两平面平行 3推论垂直于同一条直线的两个平面互相平行 （25-26高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点；经典例题1例题 (1)求证：，，，四点共面 (2)点为的中点，求证：平面 （25-26高一下·吉林长春·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且．经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． （25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点.小试牛刀1 (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （25-26高二·全国·暑假作业）如图，在平行六面体中，，，，，分别是，，，，的中点，求证：小试牛刀2 (1)； (2)平面； (3)平面平面． （25-26高一下·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．小试牛刀3    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【题型8：线面平行面面平行的性质】 【练方法】 方法技巧 1已知线面平行直接使用性质定理得到线线平行过已知直线作辅助平面辅助平面与原平面的交线平行于已知直线 2已知面面平行任意一个平面内的直线都平行于另一个平面第三个平面与两个平行平面相交两条交线互相平行 3平行传递线∥面面∥面可逐级推导线线平行 核心结论 1线面平行性质定理如果一条直线平行于一个平面经过这条直线的平面与该平面相交则这条直线平行于交线 2面面平行性质1两平面平行一个平面内任意直线平行于另一平面 3面面平行性质2两平行平面同时与第三个平面相交所得两条交线互相平行 （25-26高一下·海南·阶段检测）正方体的棱长为2，为棱的中点．经典例题1例题 (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． （25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.经典例题2例题    (1)求证：平面； (2)求证：； （25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点．小试牛刀1 (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． （25-26高一下·山东·期中）如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面.小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. （25-26高一下·广东梅州·期中）如图，在四棱锥中， 分别是的中点，，小试牛刀3 . (1)求证 平面； (2)若 平面，求的值； (3)作出平面与平面的交线，并说明理由. 【题型9：线面垂直面面垂直的判定】 【练方法】 方法技巧 1线面垂直判定证明直线垂直于平面内两条相交的直线即可证线面垂直常用勾股等腰三角形三线合一找垂线 2面面垂直判定证明一个平面经过另一个平面的一条垂线则两面垂直 3辅助线作法等腰三角形取底边中点构造垂线菱形正方形对角线互相垂直 核心结论 1线面垂直判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直则直线垂直于该平面 2面面垂直判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线则两个平面互相垂直 3推论两条平行线中一条垂直平面另一条也垂直该平面 （25-26高一下·天津·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点．经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)求证：平面． （25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点．经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)求证：平面； （25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．小试牛刀1    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． （25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点．小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． （25-26高一下·福建·阶段检测）如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面是等腰梯形，是的中点.小试牛刀3 (1)求证：平面； (2)画出平面与平面的交线（保留作图痕迹）； (3)若，求证：平面平面. 【题型10：线面垂直面面垂直的性质】 【练方法】 方法技巧 1线面垂直性质直线垂直平面则这条直线垂直平面内所有直线垂直同一平面的直线互相平行 2面面垂直性质（高频）两平面垂直在一个平面内作两平面交线的垂线则这条垂线垂直于另一个平面 3求二面角高距离时利用面面垂直性质作垂线构建垂直关系解题 核心结论 1线面垂直性质1直线垂直平面则直线垂直平面内任意一条直线 2线面垂直性质2垂直于同一个平面的两条直线互相平行 3面面垂直性质定理两平面互相垂直在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面 （25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）（多选）如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ）经典例题1例题 A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 （多选）（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论正确的是（   ）经典例题2例题 A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 （25-26高一下·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点．小试牛刀1 (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． （25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分）小试牛刀2 (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． （25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.小试牛刀3    (1)证明：平面. (2)证明：. 【题型11：线面平行面面平行的存在性】 【练方法】 方法技巧 1线面平行存在过平面外一条直线存在无数平面与已知平面相交交线都与该直线平行平面外一定存在直线与已知平面平行 2面面平行存在给定一个平面空间内存在无数平面与它平行过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行 3作图验证借助中位线平行线构造满足平行条件的直线与平面 核心结论 1过平面外一点有且仅有一条直线与平面平行有且仅有一个平面与已知平面平行 2若直线不在平面内则一定存在直线与该平面平行 3平行于同一平面的平面有无穷多个 （25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点．经典例题1例题 (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，．经典例题2例题 (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． （24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点.小试牛刀1 (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. （25-26高一下·陕西铜川·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点．小试牛刀2 (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． （25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点．小试牛刀3 (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【题型12：线面垂直面面垂直的存在性】 【练方法】 方法技巧 1线面垂直存在过空间任意一点有且仅有一条直线垂直于已知平面给定直线存在无数平面垂直这条直线 2面面垂直存在给定一个平面空间内存在无穷多个平面与它垂直过平面内任意一条直线能作出一个平面与原平面垂直 3作图验证作交线垂线构造面面垂直模型 核心结论 1过空间任意一点有且仅有一条直线垂直于已知平面 2过任意一条直线存在无数个平面与该直线垂直 3过平面内任意一条直线存在至少一个平面与原平面互相垂直 如图，直三棱柱，，分别是，的中点，经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 如图，长方体中，，，点是棱的中点.经典例题2例题    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.小试牛刀1    (1)若，求三棱柱的体积； (2)证明：平面； (3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论. 如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．小试牛刀2 (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．小试牛刀3 (1)求证： 平面； (2)求点C到平面的距离； (3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义05：点线面的位置关系，平行与垂直】 总览 题型梳理 【知识梳理】 1．平面的基本性质 （1）基本事实1 ①文字语言：过_不在一条直线上_____的三个点，有且只有一个平面． ②符号语言：三点不共线⇒存在唯一的使 ______． ③图形语言： （2）基本事实2 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． ②符号语言：______，______，且，______． ③图形语言： （3）基本事实3 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__公共直线____． ②符号语言：______，且，且______． ③图形语言： （4）三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论1亦可说成：直线及其外一点__确定____一个平面． 推论2：经过两条__相交____直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条_平行_____直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 （1）从是否有公共点的角度来分： （2）从是否共面的角度来分： 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与面 相交 ____1____个 平行 ____0____个 在平 面内 ___无数_____个 平面与平面 平行 ____0____个 相交 __无数______个 4．直线与平面平行的性质定理和判定定理： 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面___相交_____，那么该直线就与_交线_______平行（简记为“线面平行⇒线线平行”） 因为，，，所以 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的_一条直线____平行，那么该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行） 因为，，，所以 5．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面___相交___，那么两条__交线____平行 因为， ，， 所以 判定定理 如果一个平面内的两条_____直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 因为，，， _________， ，所以 6．直线与平面垂直的性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_平行________ 判定定理 如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线_______垂直，那么该直线与此平面垂直 7．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的__交线___，那么这条直线与另一个平面垂直. 判定定理 如果一个平面过另一个平面的___垂线__，那么这两个平面垂直. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：空间中点共面问题】 【练方法】 方法技巧 1基础判定直线上任意两点与直线外一点三点一定共面 2四点共面几何证法 ①连接两点得到一条直线证明剩余两点分别在两条相交直线上 ②连接两条线段证明两条线段相交或互相平行则四个端点共面 ③证明多条直线两两相交且所有交点落在同一平面内 3反证法假设某点不在目标平面推出与平行垂直相交已知条件矛盾 4多面体模型利用棱柱棱锥底面侧面现成平面直接判定点归属 核心结论 1不共线的三点确定唯一平面 2一条直线和直线外一点确定唯一平面 3两条相交直线/两条平行直线确定唯一平面 4若两条直线有公共交点则四条端点四点共面 （25-26高一下·江苏·期中）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且.经典例题1例题 (1)求证：四点共面； (2)延长交延长线于点，延长交延长线于点，求证：； (3)设平面将该正方体分成上、下两个几何体，求两几何体的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）在上取一点，根据正方体的性质得后即可得证； （2）由相似三角形可得，，以点为原点建立平面直角坐标系，计算所在直线方程，根据点在直线上即可证明； （3）结合（2）根据三棱锥的体积计算即可求解. 【详解】（1）在上取一点，使得，连接， 在中，因为，所以且， 因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，且，则四边形是平行四边形， 所以，故， 所以四点共面； （2）在正方体中，， 所以，则，解得， 同理，则，解得， 以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系如图所示： 则，，， 设所在直线为， 则，解得， 所以所在直线为， 将代入可得，， 所以在所在的直线上，故； （3）由（2）可知，， ， ， 所以平面截正方体下半部分体积为， 而正方体的体积为， 故平面截正方体下半部分体积为正方体的一半， 所以平面将该正方体分成上、下两个几何体的体积之比为. （2027高三·全国·专题练习）（多选）（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ）经典例题2例题 A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】AB 【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项. 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点． 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确． 故选：AB． （多选）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ）小试牛刀1 A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 【答案】ACD 【分析】根据平面的性质的公理及推论逐个进行判断. 【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心， 所以是的中点，所以在平面内，故A正确； 对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误； 对于C：因为分别为的中点，所以∥ 因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确； 对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥， 因为分别为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确． 故选：ACD. （25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，.小试牛刀2 证明：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的方式，在平行六面体中，用基底的方式分解，根据长度关系，，最终证明，即可证明四点共面； 【详解】在中，， 在平行六面体中：且 又因为，，所以， 则有，即四点共面. （25-26高二上·上海·阶段检测）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____，小试牛刀3 【答案】①②③ 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 【题型2：空间中点共线问题】 【练方法】 方法技巧 1平面交线核心思路若点同时落在两个不同平面内则该点一定在两平面的交线上多点同时属于两个平面所有点共线 2作图判定两点确定一条直线证明第三第四点都落在这条直线上 3截面专用技巧多面体截面与棱的交点全部位于两个相交平面的公共交线上可直接判定多点共线 核心结论 1两平面相交有且仅有一条公共直线两平面所有公共点全部在这条交线上 2两点确定唯一一条直线若第三点同时属于过这两点的直线则三点共线 （25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线．经典例题1例题 【答案】证明见解析 【分析】由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证． 【详解】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． （23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．经典例题2例题    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      （2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线.小试牛刀1 【答案】证明见解析. 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. （23-24高一·江苏·单元复习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．小试牛刀2    【答案】证明见解析 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【详解】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． （2023·江苏南京·一模）（多选）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】ABC 【分析】根据基本事实和推论判断. 【详解】    连接，，，因为为的中点，所以，平面平面， 因为平面，平面，所以点是平面和平面的交点， 所以，，，三点共线，故A正确； 因为，，三点共线，所以，，，四点共面，，，，四点共面，故BC正确； 取中点，连接交于点，由题意得，， 所以，即为的三等分点，因为，，不共线，平面，平面，为的中点， 所以点平面，，，，四点不共面，故D错. 故选：ABC. 【题型3：空间中线共点问题】 【练方法】 方法技巧 1分步证明先取其中两条不平行直线找到二者交点再证明该交点同时落在第三条第四条直线所在平面内从而交点在第三条直线上 2棱台棱锥模型延长各组侧棱利用上下底面相似多边形边长比例证明侧棱延长后交于同一点 3反证假设三条直线无公共交点推出与平面相交定理矛盾 核心结论 1空间内两条不平行的直线有且仅有一个公共交点互相平行的直线无交点 2三线共点充要条件两条直线的交点同时属于第三条直线 （25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在三棱柱中，，分别是棱，上一点，且，.经典例题1例题 (1)证明：直线，，交于同一点； (2)记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. 【答案】(1)因为，，所以，所以，. 因为，，所以，，则直线与相交. 设直线与的交点为，如图. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为平面平面，所以点在直线上， 即直线，，交于点. (2) 【分析】（1）利用三棱柱的结构特征判定两条直线共面且相交，再结合平面的基本公理证明交点在第三条直线上，即可完成三线共点的推导. （2）先通过相似三角形的性质求得棱台小底面的面积，代入棱台体积公式计算，再通过三棱柱总体积减去得到，最终化简得到体积比值. 【详解】（1）略 （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积. 因为，所以，且， 所以的面积， 则三棱台的体积. 故. （25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点．经典例题2例题 (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【答案】(1)相交，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明，可得以E，F，G，H四点共面，进而得出为梯形，则与必相交； （2）由为梯形，则与必相交，证明交点在上即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． （24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．小试牛刀1 (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线相交，设交于，同理可得直线相交于点，再由可得三线共点. 【详解】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点；小试牛刀2 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. （24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．小试牛刀3    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 【题型4：截面问题】 【练方法】 方法技巧 1截面作图根本规则平面与几何体每个平面相交交线一定是直线两个交点确定一条交线 2找点步骤 ①找到截面平面与几何体棱已有的交点 ②延长截面内线段几何体棱延长线相交得到新交点 ③利用线面平行性质过已知交点作棱的平行线补全缺失交点 ④顺次连接所有交点封闭图形即为截面 3有垂直条件时借助面面垂直线面垂直作垂线锁定截面顶点位置 核心结论 1截面是平面切割多面体形成的封闭多边形边数等于平面相交的面的数量 2若一条直线平行于平面内某条直线则截面内对应交线互相平行 （25-26高一下·上海徐汇·期末）如图，在边长为4的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面面积是________．经典例题1例题    【答案】18 【分析】首先根据平行的性质，作出截面，再求面积. 【详解】连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为为中点，为中点， 所以，所以即四点共面，而平面是过、、的截面，且三点、、不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为4， ，过点作于点， 所以， 所以截面的面积为.    （2026·山西忻州·模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体中，点P在线段上，且，．过点P作平面，使．设平面截正方体所得截面的面积为，则下列说法正确的是（     ）经典例题2例题 A．当时，截面面积为 B．当时，截面为等边三角形 C．的最大值在处取得 D．当时，截面周长为3 【答案】ABC 【分析】先证明出平面．设与平面交于点，证明出是的三等分点，此时截面多边形为等边，即可求出截面面积判断A选项，结合图形分析当时，截面图形的变化即可判断B选项分析出的单调性，根据对称性，判断出截面的位置在平面与平面中间，且为过的中点的正六边形时，截面多边形面积最大即可求解从而判断C、D选项. 【详解】连接BD，，.    在正方体中，平面，平面， 所以. 由为正方形，所以. 又，平面， 所以平面，平面， 所以 .同理可证 . 因为，所以平面． 设与平面交于点， 由等体积法得： ， 解得：，所以是的三等分点， 此时截面多边形为，且为等边三角形 对于A，当时，点与点重合，所以截面的面积为，故A正确； 当时，截面与相似，因为为等边三角形， 所以当时，截面为等边三角形，故B正确； 对于C、D，当时，单调递增，； 当时，先增后减，根据对称性， 当截面的位置在平面与平面中间，且为过的中点的正六边形时，边长为， 此时截面多边形面积最大，此时，且截面的周长为，故C正确，D错误. （25-26高三·全国·一轮复习）如图，正方体中，分别为的中点，画出过的截面．小试牛刀1 【答案】 【详解】延长交于，延长交于， 连接交于，连接交于， 连接， 所得到的五边形就是截面． （25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（   ）小试牛刀2    A．当时，S为四边形 B．当时，S为等腰梯形 C．当时，S为六边形 D．当时，S与的交点为，三棱锥的体积为 【答案】ABD 【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误． 【详解】 对于A，当时，截面如图：  ，所以截面S为四边形，故A正确； 对于B，当时，截面如图：  ，所以截面S为等腰梯形，故B正确； 对于C，当时，截面如图：  ，所以截面S为五边形；故C错误； 对于D，当时，S与的交点为R，截面如图：  ， 由 ，可得，，由 ，可得，，， 所以，，故D正确. （25-26高一下·黑龙江·期中）已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又， 所以五边形的面积为.    【题型5：异面直线的判定】 【练方法】 方法技巧 1排除法空间两直线只有三种位置相交平行异面先证明直线不相交不平行即可判定为异面直线 2专用几何判定定理直接判定无需画图推导 3正方体长方体模型快速举例验证异面关系 核心结论 1异面直线判定定理点在平面内点不在平面内直线在平面内且不在上则直线与直线是异面直线 2异面直线特征无公共点且不存在任何一个平面可以同时包含两条直线 3共面直线只有两类相交直线平行直线 （25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（    ）经典例题1例题 A．异面 B．相交 C．平行 D．以上都有可能 【答案】A 【详解】在直四棱柱中， 因平面，平面，且，平面， 故直线与为异面直线. （25-26高一下·河南郑州·期中）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（    ）经典例题2例题 A．AB与HG相交 B．AB与EF平行 C．HE与CD共面 D．EF与CD异面 【答案】D 【详解】首先还原正方体，再根据选项判断直线与直线的位置关系． 由图可知与异面，与异面，与异面，与异面. （25-26高三下·上海·阶段检测）在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ）小试牛刀1 A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，平面， 点直线，点直线，因此直线与直线互为异面直线，A是； 对于B，，直线与直线是相交直线，B不是； 对于C，连接，由，得四边形是平行四边形，直线与直线是相交直线，C不是； 对于D，由选项C，同理得直线与直线是相交直线，D不是. （25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）如图所示，在正方体中，，分别是棱，的中点，给出以下结论，其中正确的结论为（    ）小试牛刀2 A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线与直线异面 D．直线与直线异面 【答案】CD 【详解】平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故A错； 连接，因为，所以直线和直线共面， 平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故B错； 平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故C正确； 平面，平面，，根据异面直线的定义可得，直线与直线异面，故D正确. （25-26高一下·江苏·期中）在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ）小试牛刀3 A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线性质与平行线分线段成比例定理证明且长度不等，得与共面且相交，再结合平面交线的公理判断交点位置. 【详解】连接、： 因为、分别为、的中点，由三角形中位线定理得：，且. 在中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理得：，且. 判断与的位置关系： 由且，可知四边形为梯形，、为梯形两腰，必相交且共面，故A（平行）、B（异面）错误. 判断交点的位置： 设，因为平面，故平面；又平面，故平面. 平面与平面的交线为，根据公理3：两个不重合的平面若有公共点，则所有公共点都在它们的交线上，可得，即交点一定在直线上，故C错误，D正确. 【题型6：点线面位置关系的有关命题判断】 【练方法】 方法技巧 1模型反例法借助正方体长方体三棱锥举反例快速推翻错误命题 2区分量词带“任意全部”的命题找到一个反例即可判定错误带“存在有一个”的命题找到一例成立即可判定正确 3区分符号含义点与直线/平面用直线与平面用不可混用 4特殊边界排查直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交三种情况全部验证 核心结论 1点与直线点在直线上点不在直线上 2点与平面点在平面内点不在平面内 3直线与平面直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交 4平面与平面两平面平行两平面相交相交有唯一公共交线 （25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（     ）经典例题1例题 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C，根据面面垂直的性质定理可知C正确； 对于D，若，则或与相交，故D错误． （25-26高一下·广东广州·期中）设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ）经典例题2例题 A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误； 对于B，因为，，故，而，故，故B正确； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误. （25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知，是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题为（     ）小试牛刀1 A．若，，，则 B．若，且，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A，如图所示：    此时，，，但与相交，所以A错误； 对于B，如图所示：      此时，且，，但与相交，所以B错误； 对于C，如图所示：    此时，，，但，所以C错误； 对于D，由线面垂直的性质定理可知当，时，可得，当时，可得，所以D正确； （25-26高一下·河南新乡·阶段检测）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ）小试牛刀2 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据空间位置关系结合选项条件判断选项中位置的所有关系后判断ABC，对于D，可利用面面垂直的判断定理证明. 【详解】对于A，若，，则或异面或相交，故A错误； 对于B，若，，则或相交，故B错误； 对于C，若，，则或或相交，故C错误； 对于D，设，，过平面内一点，分别作，， 如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、，所以，故D正确. （2026·浙江·三模）（多选）已知两个平面和两条直线，满足，下列命题正确的是（   ）小试牛刀3 A．若不垂直，则不可能垂直 B．若垂直，则可能不垂直 C．若不平行，则不可能平行 D．若平行，则可能不平行 【答案】BD 【分析】根据空间中面面位置关系与线线位置关系的判定，可通过生活中的实物模型举反例结合空间几何基本定理判断各选项正误。 【详解】对于A，想象一本半打开的书（比如打开成 角），左边的书页是平面 ，右边的书页是平面，显然这两个平面不垂直， 在左边书页上，画一条直线 垂直于书脊（交线），在右边书页上，取书脊即交线为，此时互相垂直的， 因此平面不垂直，也可以垂直，故A错误；   对于B，想象教室的墙角，地面是平面，前面的黑板墙面是平面 ，它们互相垂直， 在地面上画一条直线，让它平行于墙脚线（交线），在黑板墙面上也画一条直线 ，让它也平行于墙脚线，此时，直线和直线是互相平行的， 因此即使平面垂直，可以平行，即可能不垂直，故B正确； 对于C，还是那本半打开的书，左右两页纸代表平面和，它们相交于书脊，肯定不平行， 在左页纸上画一条横线平行于书脊，在右页纸上也画一条横线平行于书脊， 根据几何公理（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行），和都平行于书脊，所以和互相平行， 因此哪怕平面相交（不平行），依然可以平行，故C错误； 对于D，想象教室的天花板是平面，地面是平面，这两个平面是平行的， 在天花板上画一条直线，方向是南北走向，在地面上画一条直线，方向是东西走向， 直线 a在头顶，直线在脚下，方向还互相交叉，它们既不会相交，方向也不一样，这种关系叫作异面直线，既然是异面，它们自然不平行， 因此平面平行，可以是异面的（即不平行），故D正确. 【题型7：线面面面平行的判定】 【练方法】 方法技巧 1线面平行判定在平面内找到一条与已知直线平行的直线且已知直线不在该平面内 2面面平行判定 ①平面内两条相交直线全部平行于另一个平面则两面平行 ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ③分别平行于同一个平面的两个平面互相平行 3证明平行优先利用中位线平行四边形相似三角形推导线线平行 核心结论 1线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行则直线与平面平行 2面面平行判定定理一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面则两平面平行 3推论垂直于同一条直线的两个平面互相平行 （25-26高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点；经典例题1例题 (1)求证：，，，四点共面 (2)点为的中点，求证：平面 【答案】(1)取的中点，连接，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以， 因为，所以， 所以，，，四点共面. (2)连接 因为是的中点，点为的中点，所以, 因为，分别是，的中点，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （25-26高一下·吉林长春·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且．经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明：连接， 在中，因为，所以，且． 又，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． (2)证明：由（1）得，又平面，平面， 所以平面. 在中，因为，所以，所以． 又平面，平面，所以平面． 又因且，平面， 所以平面平面． （25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点.小试牛刀1 (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． （25-26高二·全国·暑假作业）如图，在平行六面体中，，，，，分别是，，，，的中点，求证：小试牛刀2 (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，证明线线平行； （2）根据平行六面体的性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明线面平行； （3）根据平行六面体的性质，结合已知条件，利用面面平行判定定理证明面面平行． 【详解】（1） ，分别是，的中点， ， 又，且， 四边形是平行四边形， ， ． （2）连接，交于点，连接， 四边形为平行四边形，则点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， 又平面，平面， 平面． （3）连接， ，，则四边形是平行四边形， ， ，，则四边形是平行四边形， ， ， 又，， 四边形是平行四边形， ， ， 平面平面． （25-26高一下·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．小试牛刀3    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为    （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 【题型8：线面平行面面平行的性质】 【练方法】 方法技巧 1已知线面平行直接使用性质定理得到线线平行过已知直线作辅助平面辅助平面与原平面的交线平行于已知直线 2已知面面平行任意一个平面内的直线都平行于另一个平面第三个平面与两个平行平面相交两条交线互相平行 3平行传递线∥面面∥面可逐级推导线线平行 核心结论 1线面平行性质定理如果一条直线平行于一个平面经过这条直线的平面与该平面相交则这条直线平行于交线 2面面平行性质1两平面平行一个平面内任意直线平行于另一平面 3面面平行性质2两平行平面同时与第三个平面相交所得两条交线互相平行 （25-26高一下·海南·阶段检测）正方体的棱长为2，为棱的中点．经典例题1例题 (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)在正方体中，连接，令，连接， 由四边形为正方形，得是的中点，又是的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. (2) 由（1）知：平面，又平面且平面平面， 所以. (3) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）由（1）的结论，利用线面平行的性质推理得证. （3）利用等体积法求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在正方体中，，， ，而点到平面的距离为正方体棱长2， 所以三棱锥的体积． （25-26高一下·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.经典例题2例题    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又 ， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中， ， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，， . （25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点．小试牛刀1 (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证； （2）由（1）中信息，利用线面平行的性质推理判断； （3）利用等体积法，结合柱体体积公式求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，为中点，连接，由D是的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面； 由，得四边形为平行四边形，， 而，则四边形为平行四边形， 而平面，平面，因此平面， 又平面， 则平面平面，而平面， 所以平面. （2）； 由（1）知平面，而平面平面，平面， 所以. （3）依题意，平面， 则 ， 所以的体积为. （25-26高一下·山东·期中）如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面.小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）由平面，结合线面平行的性质定理，即可证得； （3）利用等体积转化为，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. （2）由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. （25-26高一下·广东梅州·期中）如图，在四棱锥中， 分别是的中点，，小试牛刀3 . (1)求证 平面； (2)若 平面，求的值； (3)作出平面与平面的交线，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)理由见解析 【分析】（1）利用中点构造中位线平行即可证明. （2）运用线面平行的性质定理，得到线线平行，利用平面三角相似，得到相似比进而求解. （3）运用线面平行的性质定理，可知交线的位置且与已知线的平行关系. 【详解】（1） 如图延长，连接并延长与交于点，连接 因为 且是的中点， 所以，且， 所以 所以为中点， 在中，分别是的中点，所以 又因为平面，平面，所以 平面 （2） 连接，交于点，连接 因为 平面，平面，而平面平面， 故, 所以 所以 在梯形中，因为 ， 所以 又 所以 所以 （3） 过点在平面中作直线，如图 理由如下 因为 ，平面，平面， 所以 平面 又因为平面，平面平面 所以 所以 【题型9：线面垂直面面垂直的判定】 【练方法】 方法技巧 1线面垂直判定证明直线垂直于平面内两条相交的直线即可证线面垂直常用勾股等腰三角形三线合一找垂线 2面面垂直判定证明一个平面经过另一个平面的一条垂线则两面垂直 3辅助线作法等腰三角形取底边中点构造垂线菱形正方形对角线互相垂直 核心结论 1线面垂直判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直则直线垂直于该平面 2面面垂直判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线则两个平面互相垂直 3推论两条平行线中一条垂直平面另一条也垂直该平面 （25-26高一下·天津·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点．经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明：连接， 因为，，为线段的中点， 所以四边形是平行四边形，是平行四边形， 设，连接，则是的中点， 又为线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)证明：因为是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 所以， 又，，平面， 所以平面． （25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点．经典例题2例题 (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1) 证明：连接交于点，连接； 因为底面是矩形，故为中点； 又因为M是PD的中点，故； 因为平面，平面， 故平面； (2)证明：因为平面，平面，故； 因为底面是矩形，故； 因为，且平面； 故平面，因为平面，故； 又因为，且M是PD的中点，故； 因为，且平面， 故平面． （25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．小试牛刀1    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用锥体体积求解即可； （2）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直； （3）利用线线平行证明线面平行即可. 【详解】（1）因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （3）    取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． （25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点．小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，进而利用线面平行判定定理证明； （2）利用等腰三角形性质证明，结合线面垂直性质证明，从而证得平面，进而利用面面垂直判定定理证明； （3）取中点，确定直线与平面所成角为，通过解直角三角形计算正弦值. 【详解】（1） 连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）在中，因为， 所以为等腰三角形，故． 所以，即． 因为平面，平面， 所以． 又因为，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （3）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． 在中，，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． （25-26高一下·福建·阶段检测）如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面是等腰梯形，是的中点.小试牛刀3 (1)求证：平面； (2)画出平面与平面的交线（保留作图痕迹）； (3)若，求证：平面平面. 【答案】(1)在四棱锥中，取中点，连接， 由是的中点，得，     又因为，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面平面，所以平面. (2)延长交于，连接，则是平面与平面的交线. (3)在等腰梯形中，，过点作交于点， 由，所以， 在直角三角形中，，得. 在中，由余弦定理， 得，所以，所以， 又因为，平面，因此平面， 而平面，所以平面平面. 【分析】（1）取中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）根据平面的性质先找到两个平面的一个公共点，再结合也是两个平面的公共点，从而可得是两个平面的交线； （3）先在底面等腰梯形中证明，再线面垂直的判定定理可得平面，进而再由面面垂直的判定定理可得面面垂直. 【题型10：线面垂直面面垂直的性质】 【练方法】 方法技巧 1线面垂直性质直线垂直平面则这条直线垂直平面内所有直线垂直同一平面的直线互相平行 2面面垂直性质（高频）两平面垂直在一个平面内作两平面交线的垂线则这条垂线垂直于另一个平面 3求二面角高距离时利用面面垂直性质作垂线构建垂直关系解题 核心结论 1线面垂直性质1直线垂直平面则直线垂直平面内任意一条直线 2线面垂直性质2垂直于同一个平面的两条直线互相平行 3面面垂直性质定理两平面互相垂直在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面 （25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）（多选）如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ）经典例题1例题 A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】选项A：因为垂直于圆所在的平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故选项A正确； 选项B：因为平面，平面， 所以， 因为是圆的直径，且为圆周上不与点，重合的点， 所以，即， 因为，平面， 所以平面，故选项B正确； 选项C：因为平面，平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，故选项C正确； 选项D：平面平面，平面，于点， 假设平面平面，则必有平面， 因为平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 因为平面，则必有， 因为垂直于圆所在的平面，， 所以，因为于点， 所以为的中点，由，则为的中点， 又于点，则， 因为是圆的直径， 且为圆周上不与点，重合的点，，推出矛盾. 故假设错误， 选项D错误. （多选）（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论正确的是（   ）经典例题2例题 A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定性质推理判断ACD；借助反证法推理判断B. 【详解】由平面平面，得平面平面，D正确； 由平面，得，又为圆的直径，为圆周上不与点重合的点， 则，又平面，因此平面，又平面， 则平面平面，C正确； 由平面，得，而平面， 于是平面，又平面，则， 又平面，从而平面， 又平面，平面平面，A正确； 对于B，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，B错误. 故选：ACD （25-26高一下·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点．小试牛刀1 (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 【答案】(1)如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面， 平面， 故平面. (2)因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以， 所以平面， 所以. 又因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】（1）取的中点为，连接，，利用三角形的中位线定理结合棱柱的性质可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）根据四边形为正方形，平面平面，得出，再结合（1）中的平行关系得出，从而得出平面，根据平面与平面垂直的判定定理得出平面平面． （25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分）小试牛刀2 (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作于点，再利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而得到为中点即可证明； （2）利用体积求出，作于点，作于点，连，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到为二面角的平面角，再求解即可. 【详解】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点． ，． ，，． （2），，为三棱锥的高， ， 作于点，作于点，连． 平面，平面， ． ，又，平面， 平面，平面， 所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，， ． （25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.小试牛刀3    (1)证明：平面. (2)证明：. 【答案】(1)取的中点，连接，由是的中点，得，， 由是矩形边的中点，得，则， 四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. (2)过作于点，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，又平面，则， 由，，得为的中点，且， 则，， ， 于是，而平面， 因此平面，又平面，所以. 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行公理及平行四边形性质推理得证. （2）过作于点，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定及性质推理得证. 【题型11：线面平行面面平行的存在性】 【练方法】 方法技巧 1线面平行存在过平面外一条直线存在无数平面与已知平面相交交线都与该直线平行平面外一定存在直线与已知平面平行 2面面平行存在给定一个平面空间内存在无数平面与它平行过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行 3作图验证借助中位线平行线构造满足平行条件的直线与平面 核心结论 1过平面外一点有且仅有一条直线与平面平行有且仅有一个平面与已知平面平行 2若直线不在平面内则一定存在直线与该平面平行 3平行于同一平面的平面有无穷多个 （25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点．经典例题1例题 (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． （25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，．经典例题2例题 (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解； （2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解. 【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即． 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以， 即异面直线和所成角为． （2）因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． （24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点.小试牛刀1 (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案； （2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论； （3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论. 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. （25-26高一下·陕西铜川·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点．小试牛刀2 (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）取中点为，连接 ，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【详解】（1）取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. （25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点．小试牛刀3 (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【分析】（1）直接由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得. 【题型12：线面垂直面面垂直的存在性】 【练方法】 方法技巧 1线面垂直存在过空间任意一点有且仅有一条直线垂直于已知平面给定直线存在无数平面垂直这条直线 2面面垂直存在给定一个平面空间内存在无穷多个平面与它垂直过平面内任意一条直线能作出一个平面与原平面垂直 3作图验证作交线垂线构造面面垂直模型 核心结论 1过空间任意一点有且仅有一条直线垂直于已知平面 2过任意一条直线存在无数个平面与该直线垂直 3过平面内任意一条直线存在至少一个平面与原平面互相垂直 如图，直三棱柱，，分别是，的中点，经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 如图，长方体中，，，点是棱的中点.经典例题2例题    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 【答案】(1)； (2)存在，，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意只需证明平面，即可得到，从而可得答案； （2）存在实数m，使得直线与平面垂直．只需证明，，即可得到直线平面； （3）计算，，设与平面的斜足为O，则，则P为AO的中点，从而可得答案. 【详解】（1）连接，由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； （2）存在实数，使得直线直线与平面垂直．理由如下： 当时，， 因为BC＝1，所以，所以，则， 所以，即， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，所以平面， 又平面，所以. 同理可证，又， 所以直线平面； （3）设与平面的斜足为O， 因为， ， 所以,则. 若，则，故. 所以在线段上取一点P，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则P为AO的中点，即． 如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.小试牛刀1    (1)若，求三棱柱的体积； (2)证明：平面； (3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论. 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，平面，证明见解析. 【分析】（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可； （2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面； （3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可. 【详解】（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面， 且，，， ∴由三棱柱体积公式得：； （2）证明：取的中点，连接，，    ∵，分别为和的中点， ∴，， ∵平面，平面， 平面，平面， ∴平面，平面， 又，∴平面平面， ∵平面，∴平面； （3）连接，设， 则由题意知，， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面，则平面， 因为平面，∴平面平面，平面平面， ∵，∴，又点是的中点，则平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，由线面垂直的判定定理只需即可， 又∵，∴， ∴，即， ∴，则时，平面. 如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．小试牛刀2 (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，可得出，再由已知条件可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知，计算出三边边长，利用余弦定理求出的值，可求得的长，进而可求得的长，即可得解. 【详解】（1）证明：因为，，，所以，， 所以，，则， 因为平面，平面，所以，， 又因为，、平面，所以，平面. （2）解：因为平面，平面，所以，， 若面，平面，则， 因为，， 由余弦定理可得， 因为平面，、平面，则， 所以，，， 在中，，，， 所以，， 所以，， 所以，，则， 因此，若满足面，则. 如图，四棱柱中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，E为中点，．小试牛刀3 (1)求证： 平面； (2)求点C到平面的距离； (3)在上是否存在点M，满足平面?若存在，求出AM长，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）连交于点F，连EF，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可； （2）连交EF于点N，由题可得，进而点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍，然后根据等积法即得； （3）由线面垂直的性质证明，作，垂足为M，由线面垂直的判定证明平面，最后得出AM的长. 【详解】（1）连交于点F，连EF， ∵是菱形， ∴F是中点，又∵E是中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面； （2）连交EF于点N，棱柱中是平行四边形，且E，F分别为，中点， ∴，又平面， ∴点C到平面的距离是点到平面的距离的3倍， ∵菱形中，，又， ∴，，， 又平面ABCD，平面ABCD， ∴，又， ∴，∴， 因为，，， ∴面积为，的面积为， 由得，其中h是到平面的距离， ∴， ∴点C到平面的距离为； （3）∵平面ABCD，平面平面ABCD， ∴平面，∵平面， ∴， ∵菱形，，，平面， ∴平面，又平面， ∴， 在中，过F作，垂足为M， 又，平面， 所以平面， ∴存在M满足条件， 在中，，，F是中点， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $