期末复习：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末复习：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率复习讲义 期末复习：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率复习讲义 考点目录 古典概型求概率 独立事件的乘法公式求概率 考点一 古典概型求概率 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 古典概型满足两个特征 ① 有限性：试验所有可能结果总数有限； ② 等可能性：每个基本事件发生的概率相等。 1. 概率计算公式 设基本事件总数为 ，事件 包含的基本事件数为 ，则 1. 常用计数方法：列举法、排列、组合计算 、；区分有序（放回、先后抽取）与无序（一次性抽取）。 1. 对立事件公式：，正面计数复杂时可反向求解。 二、解题原理 1. 先判断试验是否符合有限、等可能，确认属于古典概型； 1. 分步求出总基本事件个数 ； 1. 统计满足事件要求的有利事件个数 ； 1. 代入公式作比值得到概率； 1. 多情况分类用加法，正面情况过多则用对立事件简化计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东枣庄·阶段检测）某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. (1)求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； (2)现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 例2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 例3．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）为加强科学教育，某校按照上级要求，开展了科学知识与科技创新比赛．该校将经过初选脱颖而出的10名学生平均分为甲、乙两组，进行加强测试，要求每组的5名学生每个人个人在单位时间内做竞赛题目若干，将每个同学做对题目的个数统计如下表： 甲组 5 5 6 9 10 乙组 5 6 7 8 9 (1)分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析这两组的水平； (2)按照上级要求，学校将从甲、乙两组中做对题目超过7个的同学中随机抽取2名学生，若两人做对题目的个数之和不少于19个，则授予该校获得科学教育先进校称号．求该校获得科学教育先进校的概率． 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·北京通州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.    (1)求图中的值； (2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 变式2．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 变式3．（24-25高一下·吉林长春·期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品.下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分： 10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 经计算得，其中为抽取的第件产品的评分. (1)求这组样本平均数和方差； (2)从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率. 考点二 独立事件的乘法公式求概率 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 独立事件定义：事件 、 发生互不影响，满足 。 1. 两独立事件乘法公式 若 、 相互独立，则 、 同时发生的概率： 1. 推广至 个独立事件 1. 配套推论：若 、 独立，则 与 、 与 也独立，即 。 1. 和一般乘法公式区分：任意事件 ；只有独立时条件概率 ，才可直接相乘。 二、解题原理 1. 先判定各次试验、各事件相互独立（如放回抽样、多次互不干扰试验）； 1. 分别求出每个事件单独发生的概率； 1. 求“全部同时发生”直接将各概率相乘； 1. 求“至少一件发生”转化为对立事件“全都不发生”，先用乘法算出全不发生概率，再用 ； 1. 多阶段独立试验分步计算，每一步概率相乘得到总概率。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·甘肃武威·期末）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是和，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙至少一人命中的概率． 例2．（24-25高一下·山东滨州·期末）在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过．已知李明答对每道题的概率都是0.6，张志答对每道题的概率都是0.5，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的． (1)求李明第二次答题通过面试的概率； (2)求张志通过面试的概率； (3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率． 例3．（24-25高一下·贵州毕节·期末）某校为选拔足球特长生，特设置第一轮足球理论与第二轮足球技能两轮选拔考试.每位学生均需要参加两轮选拔且两轮选拔均通过，则获得特长生资格.在第一轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是，；在第二轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是，，甲、乙两名学生在每轮选拔中是否通过互不影响. (1)甲、乙两名学生谁获得特长生资格的概率最大？请说明理由； (2)求甲、乙两名学生中至少有一人获得特长生资格的概率. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·福建福州·期末）某高校的社团招聘面试中有4道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有四次答题机会，一旦累计2次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第4次为止，假设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的．设事件表示“李明第i次答对题目”，试用分别表示以下问题中的事件，并求对应的事件概率． (1)求李明第三次答题通过面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率． 变式2．（24-25高一下·河南商丘·期末）小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 变式3．（24-25高一下·湖南郴州·期末）错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. (1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； (2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率复习讲义 期末复习：古典概型求概率、独立事件的乘法公式求概率复习讲义 考点目录 古典概型求概率 独立事件的乘法公式求概率 考点一 古典概型求概率 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 古典概型满足两个特征 ① 有限性：试验所有可能结果总数有限； ② 等可能性：每个基本事件发生的概率相等。 1. 概率计算公式 设基本事件总数为 ，事件 包含的基本事件数为 ，则 1. 常用计数方法：列举法、排列、组合计算 、；区分有序（放回、先后抽取）与无序（一次性抽取）。 1. 对立事件公式：，正面计数复杂时可反向求解。 二、解题原理 1. 先判断试验是否符合有限、等可能，确认属于古典概型； 1. 分步求出总基本事件个数 ； 1. 统计满足事件要求的有利事件个数 ； 1. 代入公式作比值得到概率； 1. 多情况分类用加法，正面情况过多则用对立事件简化计算。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东枣庄·阶段检测）某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. (1)求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； (2)现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 【答案】(1)，中位数为； (2) 【分析】（1）直接由频率分布直方图的性质计算可得，进而可得中位数； （2）先由分层抽样确定两层所抽取的人数，再按古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得. 本次联考该校数学成绩在的频率为， 在的频率为，在的频率为. 因为，， 所以中位数在之间，设为，则，解得. 所以本次联考该校数学成绩的中位数为. （2）因为成绩在的频率与成绩在的频率之比为， 所以成绩在的人数与成绩在的人数之比为， 因此按分层抽样抽取的人中成绩在的有人，成绩在的有人， 假设成绩在的人分别记为，， 成绩在的人分别记为，，，. 随机抽取两人的样本空间为： 共个， 两人中恰好一人分数在内，另一人在内包含： 共个，所以. 因此抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率为. 例2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数； （2）由频率直方图及题设，求平均值，比较大小即可； （3）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由图知，可得； （2）由图，， ， 所以； （3）由题意，，的人数比为，故6人中4人来自，2人来自， 令中4人为，中2人为， 所以，6人任意抽取2人有，共15种， 其中2人来自同一区间有，共7种， 所以这2人的成绩在同一区间内的概率为. 例3．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）为加强科学教育，某校按照上级要求，开展了科学知识与科技创新比赛．该校将经过初选脱颖而出的10名学生平均分为甲、乙两组，进行加强测试，要求每组的5名学生每个人个人在单位时间内做竞赛题目若干，将每个同学做对题目的个数统计如下表： 甲组 5 5 6 9 10 乙组 5 6 7 8 9 (1)分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析这两组的水平； (2)按照上级要求，学校将从甲、乙两组中做对题目超过7个的同学中随机抽取2名学生，若两人做对题目的个数之和不少于19个，则授予该校获得科学教育先进校称号．求该校获得科学教育先进校的概率． 【答案】(1)，，，，两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大 (2) 【分析】（1）代入平均数与方差公式求其值，比较可得两组学生的总体水平相同，甲组中学生的数学水平差异比乙组大； （2）由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】（1）依题中的数据可得： ，， ， ， ∵，， ∴两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大. （2）将从甲、乙两组中做对题目超过7个的同学共有四个，记四名同学为，他们对应的分数为， 样本空间为，共包含6个样本点， 若两人做对题目的个数之和不少于19个，则对应的样本点共2个，即为：， 故所求为. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·北京通州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示.    (1)求图中的值； (2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 【答案】(1) (2)（ⅰ）5人，2人；（ⅱ） 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值； （2）（ⅰ）根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数； （ⅱ）依题意即可写出样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得； （2）（ⅰ）由图可得和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为（人）， 应从学生中抽取的学生人数为（人）；, （ⅱ）设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为 ， 共有21个基本事件； 事件“至少有1人测试成绩位于区间”，事件的个数有11个， 即， 故. 变式2．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，这个电路的工作状态可用表示，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，列出所有情况得解； （2）“电路是通路”即，且，至少有一个是1，由古典概率的公式计算. 【详解】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示． 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“电路是通路”等价于，，且，至少有一个是1， 所以. 所以. 变式3．（24-25高一下·吉林长春·期末）某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品.下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分： 10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 经计算得，其中为抽取的第件产品的评分. (1)求这组样本平均数和方差； (2)从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率. 【答案】(1)平均数9.9，方差0.02 (2) 【分析】（1）根据平均数和方差计算公式求解即可； （2）由列举法结合概率公式求解； 【详解】（1）， 样本方差为 ； （2）用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品， 用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品， 则该试验的样本空间可表示为 共有15个样本点． 设事件A为两次都抽到一等品，它包含了3种等可能的结果， 即． 所以． 即两件均为一等品的概率为． 考点二 独立事件的乘法公式求概率 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 独立事件定义：事件 、 发生互不影响，满足 。 1. 两独立事件乘法公式 若 、 相互独立，则 、 同时发生的概率： 1. 推广至 个独立事件 1. 配套推论：若 、 独立，则 与 、 与 也独立，即 。 1. 和一般乘法公式区分：任意事件 ；只有独立时条件概率 ，才可直接相乘。 二、解题原理 1. 先判定各次试验、各事件相互独立（如放回抽样、多次互不干扰试验）； 1. 分别求出每个事件单独发生的概率； 1. 求“全部同时发生”直接将各概率相乘； 1. 求“至少一件发生”转化为对立事件“全都不发生”，先用乘法算出全不发生概率，再用 ； 1. 多阶段独立试验分步计算，每一步概率相乘得到总概率。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·甘肃武威·期末）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是和，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙至少一人命中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率，即可求出甲和乙同时命中的概率； （2）求出甲和乙都不命中的概率，即可求出甲和乙至少一人命中的概率. 【详解】（1）由题意， 设甲命中为事件，概率为， 乙罚球时命中为事件，概率为， 则设甲和乙同时命中为事件， ∴甲和乙同时命中的概率为：. （2）由题意及（1）得， 设甲和乙都不命中为事件，甲和乙至少一人命中为事件， 则， ∴甲和乙至少一人命中的概率为：. 例2．（24-25高一下·山东滨州·期末）在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过．已知李明答对每道题的概率都是0.6，张志答对每道题的概率都是0.5，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的． (1)求李明第二次答题通过面试的概率； (2)求张志通过面试的概率； (3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率． 【答案】(1)0.24； (2)0.75； (3)0.96. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算得解. （2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解. （3）利用对立事件及相互独立事件的概率公式求解. 【详解】（1）令“李明第次答对题目”，，则， 李明第二次答题通过面试的事件为，而相互独立， 所以李明第二次答题通过面试的概率. （2）令“张志第次答对题目”，，则， 张志通过面试的事件， 所以张志通过面试的概率. （3）李明通过面试的事件，则， 李明和张志至少有一人通过面试的事件，则. 例3．（24-25高一下·贵州毕节·期末）某校为选拔足球特长生，特设置第一轮足球理论与第二轮足球技能两轮选拔考试.每位学生均需要参加两轮选拔且两轮选拔均通过，则获得特长生资格.在第一轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是，；在第二轮选拔中，甲、乙两名学生通过的概率分别是，，甲、乙两名学生在每轮选拔中是否通过互不影响. (1)甲、乙两名学生谁获得特长生资格的概率最大？请说明理由； (2)求甲、乙两名学生中至少有一人获得特长生资格的概率. 【答案】(1)乙获得特长生资格的概率更大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件乘法公式分别假设甲、乙获得特长生资格的概率，再比较即可； （2）利用对立事件求概率，甲、乙两名学生中至少有一人获得特长生资格的对立为两个都获得，再根据独立事件乘法公式计算即可. 【详解】（1）设事件分别表示甲、乙两名学生在第轮选拔中通过， 事件“甲获得特长生资格”，事件“乙获得特长生资格”， 由题意得，，，， ∴， ， ∵， ∴乙获得特长生资格的概率更大. （2）设事件“甲、乙两名学生至少有一人获得特长生资格”， 由（1）知，， ∴甲、乙两名学生都没获得特长生资格的概率为： ， ∴. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·福建福州·期末）某高校的社团招聘面试中有4道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有四次答题机会，一旦累计2次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第4次为止，假设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的．设事件表示“李明第i次答对题目”，试用分别表示以下问题中的事件，并求对应的事件概率． (1)求李明第三次答题通过面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由前2次有一次答对，第3次答对，利用独立事件的概率求解；， （2）根据题意，由前2次都答对，前2次有一次答对，第3次答对和前3次有一次答对，第4次答对求解. 【详解】（1）由题意得：前2次有一次答对，第3次答对，即对应的事件为， 所以李明第三次答题通过面试的概率为：； （2）由题意前2次都答对，或者前2次有一次答对，第3次答对或者前3次有一次答对，第4次答对， 即对应的事件为， 李明最终通过面试的概率. 变式2．（24-25高一下·河南商丘·期末）小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据对立事件的内涵进行求解即可. （2）分别求出在两轮比赛中，小张、小胡答对题目个数为的概率，然后概率之积求得结果. 【详解】（1）记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件， 所以，即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为． （2）记“小张在两轮比赛中答对题”为事件， “小胡在两轮比赛中答对题”为事件， “在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件， 所以，， ，， 所以， 即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为． 变式3．（24-25高一下·湖南郴州·期末）错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. (1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； (2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，应用独立乘法公式、互斥事件加法求概率； 【详解】（1）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，， 已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为. 情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为. 情况三：甲做对1题，乙做对1题 甲做对1题的概率为 乙做对1题的概率为 所以甲做对0题，乙做对2题的概率为. 因为这三种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对2题. （2）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，. 已知，，，，且各事件相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对1题 甲做对2题的概率为 乙做对1题的概率为 所以甲做对2题，乙做对1题的概率为. 情况二：甲做对1题，乙做对2题 甲做对1题的概率为 乙做对2题的概率为 所以甲做对1题，乙做对2题的概率为. 由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $