精品解析：2026年河南省平顶山市郏县第二教研区中考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 热点情境传统文化2026年洛阳以“神都上元灯会”为核心，重启传承千年的上元盛典，据统计，春节假期“神都上元灯会”三大核心景区客流量突破69万人次，汉服租赁、特色餐饮文创周边等业态持续火爆，成为洛阳文旅的另一张名片．将数据“69万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 图1是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，机器狗（四足机器人）是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能．如图2是机器狗平稳站立时的示意图，此时，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知金属的活动性顺序为：镁（）铝（）（氢）铜（）银（），其中，排在氢前面的金属能与盐酸反应生成氢气，排在氢后面的金属则不能与盐酸反应生成氢气．小明从镁、铝、铜、银这四种金属中随机选取两种，则选取的两种金属均能与盐酸反应生成氢气的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，点在轴正半轴上，是对角线上的动点，是轴上的动点．当的值最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 自动加热饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直到降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．某天初始水温和室温均为，小林放满水后接通电源，收集了如下数据，并绘制了如图所示的水温y()关于通电时间x()变化的图象，其中，内，y与x满足反比例函函数关系．下列说法正确的是（ ） 通电时间 0 4 8 16 20 32 40 水温 20 60 100 50 40 25 20 A. 第一次加热到用了 B. 通电内，y关于x的函数表达式为 C. 一个循环内水温高于的时间为 D. 小林在期间可以接到不低于的水 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数的值：________．（写出一个即可） 13. 为测试甲、乙两款国产大语言模型（AI）在不同任务上的稳定性，研发团队选取了代码生成、逻辑推理、内容创作、知识问答、语言处理5项任务进行测试，分别记录了它们在每项测试中的成绩（满分分），并绘制了如图所示的折线图．已知甲、乙两款国产大语言模型成绩的平均数均为8，根据图中信息判断甲、乙两款国产大语言模型成绩更稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 14. 如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 15. 如图，在矩形中，，，E是射线上一点，连接，将沿翻折，得到 ，点的对应点是，延长，交直线 于点 ．当时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）计算：． （2）化简：． 17. 某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级、九年级中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为（为优秀），共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：．整理成如下频数分布表． 组别 八年级人数 九年级人数 A 3 2 B 6 4 C 6 8 D 2 4 E 3 2 被抽取的八年级学生跳绳个数在C组的数据：130 135 133 135 135 134； 被抽取的九年级学生跳绳个数在C组的数据：133 132 134 133 133 133 136　136　． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的八年级、九年级学生一分钟跳绳的个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 134 a 135 九年级 133 133 133 b 请回答下列问题： （1）填空： ， ． （2）若该校八年级、九年级参加此次跳绳比赛的人数分别为300，360，请你估计此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数． （3）你认为本次跳绳比赛中八年级和九年级跳绳成绩哪个更好？请说明理由． 18. 如图， 为 的平分线，B为 上一点． （1）尺规作图：过点B作 的平行线，交 于点M．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，在射线 上取点D，使 ，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交，其中一个交点为． （1）求和的值． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）点在第一象限内的直线上，过点作轴于点，连接．若，请直接写出的取值范围． 20. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱，某商场在售“喜洋洋”和“乐融融”吉祥物挂件，已知每个“乐融融”挂件的售价是每个“喜洋洋”挂件售价的，用300元购买“喜洋洋”挂件的数量比购买“乐融融”挂件的数量少3个． （1）求每个“喜洋洋”“乐融融”挂件的售价． （2）某顾客计划用不超过800元购买“喜洋洋”“乐融融”两款挂件，且购买“乐融融”挂件的数量比“喜洋洋”挂件的数量多6个，求该顾客最多购买多少个“喜洋洋”挂件． 21. 中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 22. 仿生跳跃机器人起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O处起跳，最高点距离地面，距起跳点的水平距离为．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，纵截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触（抛物线经过点C或点D视为无接触），则视为顺利越过障碍物．已知，，，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求机器人跳跃的高度与距离起跳点的水平距离之间的函数关系式． （2）判断机器人能否顺利越过障碍物，若能，请说明理由；若不能，计算机器人水平向右至少移动多少才能顺利越过障碍物． （3）如图，E，F是x轴上的点，且，．若机器人从点处起跳（其他条件不变），当它顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，F）时，请直接写出p的取值范围． 23. 数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等腰直角三角形中，，点D在边上，以为斜边在下方作等腰直角三角形，绕点B在平面内旋转、连接，取的中点O，连接，． 【特例感知】 （1）当点E在边上时，与的数量关系是 ，位置关系是 ． 【深入探究】 在旋转过程中，同学们发现（1）中的结论仍然成立，同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：取的中点M，的中点N，连接，，，…… （2）请你将同学们的解题过程补充完整． 【拓展应用】 （3）连接，若，将绕点旋转一周，当A，D，E三点共线时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2. 热点情境传统文化2026年洛阳以“神都上元灯会”为核心，重启传承千年的上元盛典，据统计，春节假期“神都上元灯会”三大核心景区客流量突破69万人次，汉服租赁、特色餐饮文创周边等业态持续火爆，成为洛阳文旅的另一张名片．将数据“69万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将“69万”转化为普通整数，再根据科学记数法的定义确定参数和的值即可． 【详解】解：∵，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数， ∴将的小数点左移位得到，即． 3. 图1是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：俯视图是在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，其图形为： 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵选项A：合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，， ∴ A错误； ∵选项B：平方运算后负数结果为正，， ∴ B错误； ∵选项C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， ∴ C错误； ∵选项D：，符合同底数幂相除，底数不变，指数相减的运算法则， ∴D正确． 5. 如图1，机器狗（四足机器人）是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能．如图2是机器狗平稳站立时的示意图，此时，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点E作，证明，然后根据平行线的性质求出，，然后求解即可． 【详解】解：如图，过点E作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 6. 按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别归纳多项式中a的次数，常数项的绝对值和符号规律，得到第n个多项式的一般形式，再代入即可求解． 【详解】解：观察已知多项式：第1个：，第2个：，第3个：，第4个：， 第n个多项式为：， 则第10个多项式是：． 7. 如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，利用切线的性质求解，可得，进一步利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 已知金属的活动性顺序为：镁（）铝（）（氢）铜（）银（），其中，排在氢前面的金属能与盐酸反应生成氢气，排在氢后面的金属则不能与盐酸反应生成氢气．小明从镁、铝、铜、银这四种金属中随机选取两种，则选取的两种金属均能与盐酸反应生成氢气的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据金属活动性确定能与盐酸反应的金属，再根据列表法列举出所有选取两种金属的等可能结果，找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可； 【详解】解：根据题意，四种金属中，能与盐酸反应生成氢气的是镁和铝， 从四种金属中随机选取两种，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选取的两种金属均能与盐酸反应生成氢气有2种结果， ∴选取的两种金属均能与盐酸反应生成氢气的概率为． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，点在轴正半轴上，是对角线上的动点，是轴上的动点．当的值最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用“将军饮马”将转化为得出的值最小时轴，再证明进而得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点分别作轴于点、轴于点， 以为对称轴，作点的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点是点关于的对称点， 根据“将军饮马”可知， 当、、三点共线时，且轴，的值最小， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：B． 10. 自动加热饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直到降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．某天初始水温和室温均为，小林放满水后接通电源，收集了如下数据，并绘制了如图所示的水温y()关于通电时间x()变化的图象，其中，内，y与x满足反比例函函数关系．下列说法正确的是（ ） 通电时间 0 4 8 16 20 32 40 水温 20 60 100 50 40 25 20 A. 第一次加热到用了 B. 通电内，y关于x的函数表达式为 C. 一个循环内水温高于的时间为 D. 小林在期间可以接到不低于的水 【答案】D 【解析】 【分析】A、根据平均每分钟水温上升计算，即可判断； B、根据y与x满足反比例函数关系，用待定系数法求解，即可判断； C、分别求出水温第一次上升到所需的时间，及水温再次回落到的时间，即可判断； D、正好是一次循环，是第二次循环的开始，当水温达到时，用时，时间为恰好时，再计算水温维持在所用的时间，即可判断答案． 【详解】解：A、第一次加热到，水温上升了，用时，所以选项A错误，不符合题意； B、设y关于x的函数解析式为， 将代入得， 解得， 关于x的函数解析式为， 所以选项B错误，不符合题意； C、当水温第一次上升到时，用时， 通电内，令， 则， 解得， 一个循环内水温高于的时间为()， 所以选项C错误，不符合题意； D、由图可知，正好是一次循环， 后，当水温再上升到时，用时，时间为， 令，则， 解得， 水温在以上的时间是()， ， 小林在期间可以接到不低于的水， 所以选项D正确，符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ； 故答案为． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数的值：________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得， 写出一个满足条件的实数的值：（答案不唯一，即可）． 13. 为测试甲、乙两款国产大语言模型（AI）在不同任务上的稳定性，研发团队选取了代码生成、逻辑推理、内容创作、知识问答、语言处理5项任务进行测试，分别记录了它们在每项测试中的成绩（满分分），并绘制了如图所示的折线图．已知甲、乙两款国产大语言模型成绩的平均数均为8，根据图中信息判断甲、乙两款国产大语言模型成绩更稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查折线统计图和方差，理解方差的意义是解题的关键．根据折线统计图以及方差的定义判断即可． 【详解】根据折线统计图可知，甲款国产大语言模型五项任务的成绩波动较小，乙款国产大语言模型五项任务的成绩波动较大，所以甲的成绩更稳定． 故答案为：甲 14. 如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，通过导角计算可证明，则为等边三角形，则可求相关的边长和角度，根据进行计算即可． 【详解】解：连接，作交于， 由题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，‘ 则 ． 15. 如图，在矩形中，，，E是射线上一点，连接，将沿翻折，得到 ，点的对应点是，延长，交直线 于点 ．当时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，当在上时，记的交点为，求解，，证明，设，求解，即，进一步可得答案；如图，当在的延长线上时，求解，，，进一步同法可得答案． 【详解】解：如图，当在上时，记的交点为， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∵， ∴，， 由对折可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：，即， ∴， ∵， ∴； 如图，当在的延长线上时， ∵， ∴，， 同理可得：， 解得：， ∴， 同理：， ∴； 综上：为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式乘法、零指数幂以及负整数指数幂，再计算算术平方根，最后进行加减运算即可； （2）首先将括号内的式子通分并合并，利用分式的乘除运算法则化简求出即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级、九年级中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为（为优秀），共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：．整理成如下频数分布表． 组别 八年级人数 九年级人数 A 3 2 B 6 4 C 6 8 D 2 4 E 3 2 被抽取的八年级学生跳绳个数在C组的数据：130 135 133 135 135 134； 被抽取的九年级学生跳绳个数在C组的数据：133 132 134 133 133 133 136　136　． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的八年级、九年级学生一分钟跳绳的个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 134 a 135 九年级 133 133 133 b 请回答下列问题： （1）填空： ， ． （2）若该校八年级、九年级参加此次跳绳比赛的人数分别为300，360，请你估计此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数． （3）你认为本次跳绳比赛中八年级和九年级跳绳成绩哪个更好？请说明理由． 【答案】（1）131.5， （2）此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数约为183人． （3）九年级跳绳成绩更好． 理由：九年级跳绳个数的中位数、优秀率都比八年级的高， 九年级跳绳成绩更好（理由不唯一，合理即可）． 【解析】 【小问1详解】 解：因为样本总人数为20人，所以中位数为跳绳个数排名第10和第11两人的平均值，八年级组共有9人， 故中位数位于组区间，第10和第11两人跳绳个数分别为130,133， 故， 两组都是优秀组，九年级两组共有6人， 故 ． 【小问2详解】 解：（人）． 此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数约为183． 【小问3详解】 略 18. 如图， 为 的平分线，B为 上一点． （1）尺规作图：过点B作 的平行线，交 于点M．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，在射线 上取点D，使 ，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1）如解图，即为所求． （2）四边形 是菱形， 理由：如解图，连接 ， 平分 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 四边形 是菱形． 【解析】 【分析】（1）运用尺规作一个角等于已知角，即过点B作即可； （2）根据角平分线的定义，平行四边形的判定得到四边形 是平行四边形，结合菱形的判定即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交，其中一个交点为． （1）求和的值． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）点在第一象限内的直线上，过点作轴于点，连接．若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入可得，得，再代入，即可求得的值； （2）取，，，即可画出图象； （3）由点在直线上，可得，由轴，可得，则，，由，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， 把代入得，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵点在第一象限内的直线上， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为， ∴的取值范围为． 20. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱，某商场在售“喜洋洋”和“乐融融”吉祥物挂件，已知每个“乐融融”挂件的售价是每个“喜洋洋”挂件售价的，用300元购买“喜洋洋”挂件的数量比购买“乐融融”挂件的数量少3个． （1）求每个“喜洋洋”“乐融融”挂件的售价． （2）某顾客计划用不超过800元购买“喜洋洋”“乐融融”两款挂件，且购买“乐融融”挂件的数量比“喜洋洋”挂件的数量多6个，求该顾客最多购买多少个“喜洋洋”挂件． 【答案】（1）每个“喜洋洋”挂件的售价为25元，每个“乐融融”挂件的售价为20元 （2）该顾客最多购买15个“喜洋洋”挂件 【解析】 【分析】（1）设每个“喜洋洋”挂件的售价为元，则每个“乐融融”挂件的售价为元．根据题意列分式方程，解方程即可； （2）设该顾客购买m个“喜洋洋”挂件，则购买个“乐融融”挂件．根据题意列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设每个“喜洋洋”挂件的售价为元， 由题意，可得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：每个“喜洋洋”挂件的售价为25元，每个“乐融融”挂件的售价为20元． 【小问2详解】 解：设该顾客购买m个“喜洋洋”挂件，则购买个“乐融融”挂件． ． ． 又为整数， ． 答：该顾客最多购买15个“喜洋洋”挂件． 21. 中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 【答案】中原福塔的高度为 【解析】 【分析】先利用得，再利用得，根据题目给出的边长计算即可． 【详解】解：由题意，知 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 同理，可得 ， ∴， ∵ ， ∴． ∵ ， ， ， ∴， 解得 ． ∵标杆长 ， ∴ ， ∴， 解得 ， ∴中原福塔的高度为 ． 22. 仿生跳跃机器人起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O处起跳，最高点距离地面，距起跳点的水平距离为．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，纵截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触（抛物线经过点C或点D视为无接触），则视为顺利越过障碍物．已知，，，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求机器人跳跃的高度与距离起跳点的水平距离之间的函数关系式． （2）判断机器人能否顺利越过障碍物，若能，请说明理由；若不能，计算机器人水平向右至少移动多少才能顺利越过障碍物． （3）如图，E，F是x轴上的点，且，．若机器人从点处起跳（其他条件不变），当它顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，F）时，请直接写出p的取值范围． 【答案】（1） （2）解：． 将代入，得． ， 机器人不能顺利越过障碍物． 设机器人水平向右移动，则此时机器人运动轨迹的函数关系式为． 将代入，得， 解得，． ， 机器人水平向右至少移动才能顺利越过障碍物． （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象可知，机器人运动路线的最高点为，设出函数表达式的顶点式，再将点代入函数表达式求解即可． （2）由于，把代入函数表达式求出函数值，与的高度比较即可判断机器人不能顺利越过障碍物．设机器人水平向右移动，则此时机器人运动轨迹的函数关系式为，将点代入求解； （3）机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为，把点代入，求得机器人要越过障碍物，需满足．再分别将点，代入，综合p的取值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得，机器人运动路线的最高点为， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线过原点， ∴，解得， ∴机器人跳跃形成的抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵机器人从点处起跳， ∴机器人运动轨迹的新抛物线的函数表达式为， ∵当机器人恰好越过障碍物，此时抛物线过点， ∴，解得， ∴机器人要越过障碍物，需满足， ∵，， ∴，， 当机器人落在E点时，将代入可得，， 解得， 当机器人落在F点时，将代入可得，， 解得， 综上，当机器人顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点）时，的取值范围为． 23. 数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等腰直角三角形中，，点D在边上，以为斜边在下方作等腰直角三角形，绕点B在平面内旋转、连接，取的中点O，连接，． 【特例感知】 （1）当点E在边上时，与的数量关系是 ，位置关系是 ． 【深入探究】 在旋转过程中，同学们发现（1）中的结论仍然成立，同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：取的中点M，的中点N，连接，，，…… （2）请你将同学们的解题过程补充完整． 【拓展应用】 （3）连接，若，将绕点旋转一周，当A，D，E三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2）如图，取的中点M，的中点N，连接，，，，记与交于点， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， ，是的中点， ，， 同理，可得，， ，，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明，利用三角形的外角定理可得，再由是等腰直角三角形，可得，即可得； （2）利用三角形的中位线和等腰三角形的三线合一，可得，，，可证明，即可证明结论； （3）分点在线段上和点在的延长线上，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， O是的中点， ∴， ∵点E在边上，是以为斜边等腰直角三角形， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 当点在线段上时， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是以为斜边等腰直角三角形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴； 当点在的延长线上时， 同理，则， ∵是的中点， ∴， ∴， 同理； 综上所述，线段 的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $