精品解析：上海市上海理工大学附属储能中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

2025学年度第二学期高二年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间90分钟. 2．本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息. 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，其中1～6题每题3分，7～12题每题4分） 1. 已知集合，，则等于________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 考点：集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合． 2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得， 则此不等式的解集为. 3. 函数导数为_________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为 ， 可看作由与复合而成， 则. 4. 若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，，，得，，则离心率为. 5. 函数，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 根据导数的定义可知. 6. 双曲线的渐近线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由双曲线的方程求解即可 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故答案为： 7. 若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等， ． 8. 若在上严格增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由给定单调区间建立恒成立的不等式并分离参数求解. 【详解】函数，求导得， 由函数在上严格增，得，， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 10. 点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到焦点坐标与准线方程，根据的面积求出，从而求出，再由焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 则， 所以，则，所以， 所以. 故答案为： 11. 已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由图可得单调性，据此可得正负性，结合正负性可解不等式. 【详解】由图可得时，；，， 又由图可得在上单调递减，在上单调递增， 从而时，；时，， 则或， 对于，可得； 对于，可得； 综上可得的解集为：. 12. 如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 【答案】平方米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，则.记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.以为坐标原点直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，将的面积表示为的函数，利用导数分析其单调性，并求得最大值. 【详解】由题意知，，，，， 所以. 过点作，垂足为，则. 记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为. 如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，， 所以. 的最大面积为. 由圆的对称性，不妨令. 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 令，得， 即，化简得. 因为，所以，所以. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以的最大面积为平方米. 二、单选题（本大题共有4题，满分14分，其中13～14题每题3分，15～16题每题4分） 13. 下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断ACD，利用奇偶性定义及一次函数的单调性判断B即可. 【详解】对于A，为奇函数，不是偶函数，在上严格减，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 当时，，显然在上严格减，故B正确； 对于C，由幂函数性质知，为偶函数，在上严格增，故C错误； 对于D，由指数函数性质知，既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：B 14. 若实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 15. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据双曲线的渐近线夹角的余弦值求出，得到， 分别按照，，讨论求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， ，，，， 两条渐近线的夹角为，， ， ，，，， 椭圆，， 点、为椭圆的两个焦点，， 当时，以为直径的圆的方程为， 双曲线，将代入， 得到，解得， 联立，将代入， 得到，解得， 将代入，解得， 则有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 综上可知，使得为直角三角形的点有个，故选项C正确. 16. 已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的零点的个数一定是3个 B. 若集合的解集是，则实数对有2对 C. 函数必存在极值 D. 函数在处的切线方程为，则 【答案】B 【解析】 【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错. B：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，B对. C：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时，，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以C错. D：在处的切线方程为， 求导 ， 得， 得或，D错. 三、解答题（本大题共有5题，满分44分） 17. 设全集为R，集合，集合． （1）求集合A； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，即可求解； （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合，列出关系式，即可求解. 【小问1详解】 解：由不等式，可得，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：集合，且， 当时，不等式的解集为空集，满足，符合题意； 当时，不等式，可得，即， 因为，则满足，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 18. 已知中，，. （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； 【小问2详解】 因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 19. 已知是实数，函数 （1）若，求的值及曲线在点处的切线的方程； （2）当时，求在区间上的最小值． 【答案】（1） ，切线方程为； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，然后代入计算即可； （2）令导函数为0，对导函数零点分布讨论计算即可. 【小问1详解】 由，代入得 此时，，切线斜率为，由点斜式得切线方程 整理得 【小问2详解】 令，得或， 当，即时，在区间上，，单调递减，因此最小值为 当，即时，，，单调递减； 时，单调递增，因此最小值在​处取得 综上， 20. 双曲线经过点，不垂直x轴的直线与交于不同于P的A、B两点，直线、分别与轴交于点、． （1）求的离心率； （2）设直线与x轴交于点Q，且，求点A的横坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可. 【小问1详解】 将代入双曲线方程，可得， 因为双曲线中 ，所以， 即离心率为 . 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， 设 ，直线 方程为， 令 ，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或 （因为此时与点 重合,舍去），即. 21. 已知函数（ 且 ）． （1）当 时，求函数的极值； （2）若函数 的图像与的图像相交于相异两点A和B，求a的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； （2）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围． 【小问1详解】 当时，，的定义域为， 而，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． 【小问2详解】 令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令，得到， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于, 又当和时，， 故，解得， 所以的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第二学期高二年级期末考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间90分钟. 2．本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息. 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，其中1～6题每题3分，7～12题每题4分） 1. 已知集合，，则等于________． 2. 不等式的解集为________． 3. 函数导数为_________． 4. 若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 5. 函数，则 ______. 6. 双曲线的渐近线方程是___________. 7. 若直线与直线平行，则实数a的值为________． 8. 若在上严格增，则实数的取值范围是______． 9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 10. 点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________． 11. 已知定义在上的函数图象如图所示，设的导函数为，则的解集为_____． 12. 如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 二、单选题（本大题共有4题，满分14分，其中13～14题每题3分，15～16题每题4分） 13. 下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（ ） A. B. C. D. 14. 若实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 16. 已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（ ） A. 函数的零点的个数一定是3个 B. 若集合的解集是，则实数对有2对 C. 函数必存在极值 D. 函数在处的切线方程为，则 三、解答题（本大题共有5题，满分44分） 17. 设全集为R，集合，集合． （1）求集合A； （2）若，求实数a的取值范围． 18. 已知中，，. （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 19. 已知是实数，函数 （1）若，求的值及曲线在点处的切线的方程； （2）当时，求在区间上的最小值． 20. 双曲线经过点，不垂直x轴的直线与交于不同于P的A、B两点，直线、分别与轴交于点、． （1）求的离心率； （2）设直线与x轴交于点Q，且，求点A的横坐标； 21. 已知函数（ 且 ）． （1）当 时，求函数的极值； （2）若函数 的图像与的图像相交于相异两点A和B，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $