精品解析：安徽合肥市第四十五中学等校2025－2026学年八年级第二学期期末测试数学试题卷

安徽省合肥市第四十五中学 2025学年度八年级第二学期 期末测试数学试题卷 一、单选题（本大题共10小题） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式正确的是（　　） A. （）2=3 B. =﹣3 C. =3 D. （﹣）2=﹣3 3. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 6. 如图，在矩形 中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点 和点重合于点，则的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图，在中，是边上一点，是 边的中点，平分．若，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（   ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形 中，、是 上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 10. 如图1，在面积为4的正方形 中，E为 边的中点，动点F从点D出发，在正方形的边上沿匀速运动，运动到点B时停止．设点F的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题） 11. 如图，在中，，点 在边 上，且，过点 作，交 的延长线于点 ，若，则 的长为___________． 12. 如图，在中，，过点作于点 ，，． （1）的长为______． （2）点在线段 上，过点作于点，若，则 的长为______． 13. 如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F． （1）EF的长为_____． （2）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为_____． 14. 如图，矩形 中，，．点N是边上一动点，将沿 折叠，使点B落在点M处，延长交矩形的一边与点E， （1）当为的角平分线时，的度数为____________； （2）当点E为 中点时，则的长为____________． 三、解答题（本大题共1小题） 15. 已知平行四边形 中，，，，过点 作交边于点． （1）如图1，为 边上一点，当时，求线段的长； （2）如图2，为平行四边形 所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； （3）如图3，为直线上一动点，连接并将绕点 逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 四、作图题（本大题共1小题） 16. 下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个菱形和一个平行四边形”的尺规作图过程． 已知：矩形 ． 求作：菱形，平行四边形． 作法： ①过点 作射线交线段于点； ②以点 为圆心，以 长为半径作弧，交射线于点； ③分别以点、 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点（不同于点 ），连接、．则四边形即为所求作的菱形． 连接、，则四边形即为所求作的平行四边形． （1）请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明：， 四边形是菱形．（①__________）（填推理的依据） 四边形 为矩形， ，． 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形．（②__________）（填推理的依据） 五、计算题（本大题共1小题） 17. 你能找出规律吗 (1)计算：=  ， =  . =  ， =  . (2)请按找到的规律计算：① ；②； (3)已知：a=，b=，则=    (用含a、b的式子表示). 六、证明题（本大题共2小题） 18. 如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M． (1)试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论； (2)当AB=3，BP=2PC，求QM的长； (3)当BP=m，PC=n时，求AM的长． 19. 【问题探究】 如图，正方形 中， 是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点 ．直角顶点在射线 上移动，另一边交于． （1）如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程 （2）【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形 的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为______． 七、应用题（本大题共2小题） 20. 根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角尺 活动 背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中，为直角，，把两直角顶点重合（点A与点F重合于点O），旋转三角尺进行探究活动 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形的对边． 素材3 李老师提出问题：如图4，在上述操作过程（），与的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______． 任务2 （2）根据图3帮助小聪同学写出的推导过程． 任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由． 21. 【问题提出】 如图，在中，，，是的中线， 是边上一点，连接 ，以 为边作等边，且点在的内部，连接，． （1）求证：； （2）试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图，是某小区的健身场地，，，为了让住户们有更多的健身空间，物业计划对进行扩建，以小路 为边作等边为儿童活动区，以为边作等边为成人健身区，沿线段铺设一条健身步道，步道与小路 相交于点，且小路米，现需要翻修小路 ，求小路 的长． 八、综合题（本大题共2小题） 22. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边 ，分别在 轴、 轴上，，将矩形沿直线 折叠使点与点 重合，直线 与 、 、 的交点分别为 ，，． （1）直接写出点 和点 的坐标为： ________； ________； （2）若点在 轴上，点为平面直角坐标系中任意一点，若以 、 、、为顶点的四边形是菱形，求满足上述条件的点的坐标． 23. 在等腰中，，，点D为 上一点，连接 ． （1）如图1，若 平分，，求 的长； （2）如图2，过点D作，交于点E，交延长线于点F，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明； （3）如图3，，P为上的点，且，连接，当取最小值时，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，在 的延长线上取一点M，且，连接，若，为锐角，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市第四十五中学 2025学年度八年级第二学期 期末测试数学试题卷 一、单选题（本大题共10小题） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 2. 下列等式正确的是（　　） A. （）2=3 B. =﹣3 C. =3 D. （﹣）2=﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可． 【详解】解：（）2=3，A正确,符合题意； =3，B错误，不符合题意； =，C错误，不符合题意； （-）2=3，D错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键． 3. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 4. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B. 是最简二次根式，故此选项符合题意； C. ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D. ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 5. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线 交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在矩形 中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点 和点 重合于点，则 的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，过点作于点，则于点，由勾股定理可求，，设，则，由勾股定理求出，从而进一步可得出结论． 【详解】解： 四边形 是矩形， ，，， 由折叠得，，，，， ， ， ， ， 过点作于点，则于点，如图，则， ， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在直角中，， ， 解得，， ， 即， ， 故选：C． 7. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分．若，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】延长，相交于点G，根据平行四边形的性质可得，，通过证明得出，，进而得出，即可求解． 【详解】解：延长，相交于点G， ∵四边形 为平行四边形， ∴，则，， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形，掌握平行四边形对边平行且相等，全等三角形对应边相等，以及“三线合一”定理是解题的关键． 8. 已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象平行的问题、求一次函数的解析式，解题关键是明确一次函数图象平行时k的值不变，再利用待定系数法求解析式． 设此一次函数的解析式为，根据一次函数图象平行得到相同，再代入得到方程组求解即可． 【详解】解：设此一次函数的解析式为 由题意可得出方程组， 解得：， 那么此一次函数的解析式为：． 故选：． 9. 如图，在平行四边形 中，、是 上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【详解】∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∵对角线 上的两点、满足， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 10. 如图1，在面积为4的正方形 中，E为边的中点，动点F从点D出发，在正方形的边上沿匀速运动，运动到点B时停止．设点F的运动路程为x，线段 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键． 当点F在边上时，y的值先减小后增大，当点F在边上时，y的值逐渐减小，可得点P的横坐标为的长，纵坐标为 的长，先根据正方形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得 ，从而可得点P的坐标． 【详解】解：连接 ． 当点F在边上时，y的值先减小后增大， 当点F在边上时，y的值逐渐减小， 点P的横坐标为的长，纵坐标为 的长． 正方形 的面积为4， ， 是的中点， ． 在中，由勾股定理得， 点P的坐标为， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题） 11. 如图，在中，，点在边上，且，过点 作，交 的延长线于点 ，若，则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键，作，证明，求出，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作，垂足为 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴，解得； 故答案为：． 12. 如图，在中，，过点 作于点，，． （1）的长为______． （2）点在线段上，过点作于点，若，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）在中，，在中，，代入数据可得答案； （2）证明得，根据可得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴的长为； （2）∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F． （1）EF的长为_____． （2）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为_____． 【答案】 ①. 3 ②. 2或或 【解析】 【分析】（1）先判定△ADE等腰三角形可得DE=AE=6,同理可得FE=BC=6,最后根据线段的和差解答即可； （2）分点E、F在线段CD上和在CD的延长线上两种情况解答即可． 【详解】解：（1）∵在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6 ∴BC=AD=6,CD=AB=9，AB//CD ∵∠DAB的平分线AE ∴∠DAE=∠EAB ∵AB//CD ∴∠DEA=∠DAB ∴∠DEA=∠DAE ∴DE=AD=6 同理：CF=BC=6 ∴EF=CF+DE-CD=6+6-9=3 故答案为3． （2）分两种情况： ①当E、F在CD上时 a.如图3：当E在F的左侧时 同（1）得：AD＝DE， ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴AD＝DE＝EF＝CF， ∴AB=3DE ∴； b.如图4：当E在F的右侧时 同（1）得：AD＝DE＝CF， ∵DF＝FE＝CE， ∴AD=2DF，AB=3DF ∴； ②如图5所示：点E、F在线段CD延长线上时 同（1）得：AD＝DE＝CF， ∵DF＝DC＝CE ∴AB=CD ∴＝2． 综上所述，的值为2或或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及分类讨论思想，灵活运用平行线四边形的性质和分类讨论思想成为解答本题的关键 14. 如图，矩形 中，，．点N是边上一动点，将沿折叠，使点B落在点M处，延长交矩形的一边与点E， （1）当为的角平分线时，的度数为____________； （2）当点E为中点时，则的长为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据为的角平分线，得到，于是得到，结合矩形的性质计算即可． （2）延长，，二线交于点P，证明，根据折叠性质，矩形性质和勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵矩形 ， ∴， ∵沿折叠， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）延长，交于点P， ∵矩形 ， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴． 根据折叠的性质，得到，，， 故． 设， 则， 在中， ， 故， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判断和性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共1小题） 15. 已知平行四边形 中，，，，过点 作交边于点． （1）如图1，为边上一点，当时，求线段 的长； （2）如图2，为平行四边形 所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； （3）如图3，为直线上一动点，连接 并将 绕点 逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点 ，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，可得是等腰直角三角形，，可证是等腰直角三角形，得到，在中，，则，即可求解； （2）延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点，先证明，得出，，再证明，可证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，即可证明； （3）取中点，将绕点 逆时针旋转，得，连接，，通过证明，得出，再求证，即点、、共线，证明，得出点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上，过点作直线的对称点，连接，由对称得，则，当且仅当 、、依次共线时，取得最小值，此时，过点作于点，过点 作于点，通过计算求出，再计算出，，作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点 作于点，利用四边形是平行四边形，得出，则，由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：取中点，将绕点 逆时针旋转，得，连接，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形 中，，，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∴点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上， 如图，过点作直线的对称点，连接， 由对称得， ∴，当且仅当 、、依次共线时，取得最小值， 此时点位置如图，过点作于点，过点 作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点 作于点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值， 由（1）知与间的距离为， ∴， ∴， ∵，平行四边形中，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，四边形的内角和，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 四、作图题（本大题共1小题） 16. 下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个菱形和一个平行四边形”的尺规作图过程． 已知：矩形 ． 求作：菱形，平行四边形． 作法： ①过点 作射线交线段于点； ②以点 为圆心，以长为半径作弧，交射线于点； ③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点（不同于点 ），连接 、．则四边形即为所求作的菱形． 连接 、，则四边形即为所求作的平行四边形． （1）请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成以下证明：， 四边形是菱形．（①__________）（填推理的依据） 四边形 为矩形， ，． 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形．（②__________）（填推理的依据） 【答案】（1）见解析 （2）四条边相等的四边形是菱形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据四边相等的四边形是菱形证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：， 四边形是菱形．（①四边相等的四边形是菱形） 四边形 为矩形， ，． 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形．（②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 故答案为：四边相等的四边形是菱形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 五、计算题（本大题共1小题） 17. 你能找出规律吗 (1)计算：=  ， =  . =  ， =  . (2)请按找到的规律计算：① ；②； (3)已知：a=，b=，则=    (用含a、b的式子表示). 【答案】（1）6，6，20，20；（2）10，4；（3）. 【解析】 【详解】试题分析： （1）按算术平方根的定义进行计算即可得到空格处的数； （2）分析（1）中所得结果可知：当时，，按照所得规律进行计算即可； （3）按照所得规律可知：，再结合即可得到结论. 试题解析： （1），； ，； （2）由（1）中的计算结果可知：当时，， ∴①； ②； （3）∵，， ∴. 六、证明题（本大题共2小题） 18. 如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M． (1)试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论； (2)当AB=3，BP=2PC，求QM的长； (3)当BP=m，PC=n时，求AM的长． 【答案】(1)AP=BQ；(2)QM的长为；(3)AM的长为． 【解析】 【分析】(1)要证AP=BQ，只需证△PBA≌△QCB即可； (2)过点Q作QH⊥AB于H，如图．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得AP(即BQ)=，BH=2．易得DC∥AB，从而有∠CQB=∠QBA．由折叠可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．设QM=x，则有MB=x，MH=x-2．在Rt△MHQ中运用勾股定理就可解决问题； (3)过点Q作QH⊥AB于H，如图，同(2)的方法求出QM的长，就可得到AM的长． 【详解】解：(1)AP=BQ． 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°， ∴∠ABQ+∠CBQ=90°． ∵BQ⊥AP， ∴∠PAB+∠QBA=90°， ∴∠PAB=∠CBQ． 在△PBA和△QCB中， ， ∴△PBA≌△QCB， ∴AP=BQ； (2)过点Q作QH⊥AB于H，如图． ∵四边形ABCD是正方形， ∴QH=BC=AB=3． ∵BP=2PC， ∴BP=2，PC=1， ∴BQ=AP===， ∴BH===2． ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC∥AB， ∴∠CQB=∠QBA． 由折叠可得∠C′QB=∠CQB， ∴∠QBA=∠C′QB， ∴MQ=MB． 设QM=x，则有MB=x，MH=x-2． 在Rt△MHQ中， 根据勾股定理可得x2=(x-2)2+32， 解得x=． ∴QM的长为； (3)过点Q作QH⊥AB于H，如图． ∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n， ∴QH=BC=AB=m+n． ∴BQ2=AP2=AB2+PB2， ∴BH2=BQ2-QH2=AB2+PB2-AB2=PB2， ∴BH=PB=m． 设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x-m． 在Rt△MHQ中， 根据勾股定理可得x2=(x-m)2+(m+n)2， 解得x=m+n+， ∴AM=MB-AB=m+n+-m-n=． ∴AM的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握． 19. 【问题探究】 如图，正方形 中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点 ．直角顶点在射线上移动，另一边交于． （1）如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程 （2）【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形 的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为______． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过P作，先证明四边形为正方形，再证明，即可得到结论； （2）过P作，先证明四边形为正方形，再证明，从而可得结论． （3）连接，根据正方形的性质，对角线垂直和同角的余角相等，证明，即可得解． 【小问1详解】 证明：过P作，如图所示： ∵P，C为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下， 过P作， ∴ ∵P，C为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：在P点运动的过程中，的长度不发生变化．理由如下： 如图，连接． ∵四边形 是边长为2的正方形， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）得：， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的长不发生变化，为． 七、应用题（本大题共2小题） 20. 根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角尺 活动 背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中，为直角，，把两直角顶点重合（点A与点F重合于点O），旋转三角尺进行探究活动 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形的对边． 素材3 李老师提出问题：如图4，在上述操作过程（），与的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______． 任务2 （2）根据图3帮助小聪同学写出的推导过程． 任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）定值，见解析 【解析】 【分析】（）在中，利用直角三角形的性质求得，在中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得即可，由求解； （ ）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可； （）作于，交延长线于，证明，得到，然后由三角形面积公式计算出 ，从而得出结论． 【详解】解：（）在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （ ）∵（已知）， （已知）， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴ （）与的面积比是定值，理由： 作于，交延长线于，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与的面积比是定值． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21. 【问题提出】 如图，在中，，， 是的中线，是边上一点，连接，以为边作等边，且点在的内部，连接，． （1）求证：； （2）试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图，是某小区的健身场地，，，为了让住户们有更多的健身空间，物业计划对进行扩建，以小路为边作等边为儿童活动区，以为边作等边为成人健身区，沿线段铺设一条健身步道，步道与小路相交于点，且小路米，现需要翻修小路，求小路的长． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析； （3）小路的长为米． 【解析】 【分析】（）由直角三角形的性质可得，，则，然后证明是等边三角形，最后由等边三角形性质即可求证； （ ）证明，则，又，可得是的垂直平分线，再由垂直平分线性质即可求解； （）先得出，过点作中线，由是等边三角形，点是中点，则，，通过勾股定理得，，所以，再证明，所以米，再通过线段的和与差即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ 是的中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：，理由， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 如图，过点作中线， ∵是等边三角形，点是中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴米， ∵是中点， ∴（米）， ∴米， ∴小路的长为米． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 八、综合题（本大题共2小题） 22. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴上，，将矩形沿直线折叠使点 与点 重合，直线与、、的交点分别为，，． （1）直接写出点 和点的坐标为： ________；________； （2）若点在轴上，点为平面直角坐标系中任意一点，若以 、、、为顶点的四边形是菱形，求满足上述条件的点的坐标． 【答案】（1）， （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据题意，则，，由折叠得到是线段的垂直平分线，连接，则，设，则，在中，由勾股定理得到，由此列式求解即可； （2）根据菱形的性质，结合图形，利用勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵将矩形沿直线折叠使点 与点 重合， ∴是线段的垂直平分线， 如图所示，连接，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， ①如图所示，当，为菱形的邻边时， ， ∵轴，， ∴轴， 当点在位置，当点在位置时，， ∴； 当点 在位置，当点在位置时， ， ∴； ②如图所示，当，为菱形的邻边时， 由，点得点在轴负半轴上，， ∴； ③如图所示，当，为菱形的邻边时，，，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上的坐标为：，，，． 23. 在等腰中，，，点D为上一点，连接 ． （1）如图1，若 平分，，求的长； （2）如图2，过点D作，交于点E，交延长线于点F，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明； （3）如图3，，P为上的点，且，连接，当取最小值时，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，在的延长线上取一点M，且，连接，若，为锐角，请直接写出的值． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作，交于点H．证明，得出，，根据等腰三角形的判定和勾股定理可得出，，设，则，结合得出，然后解方程即可求解； （2）过点A作，且，连接，，证明，得出，，进而可证，再证明，得出，根据勾股定理可求出，即可出结论； （3）以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接， ，可证，得出，则，故当A、P、G三点共线时，取最小值，此时，过A作于E，过G作于F，可求出，，根据等面积法求出，进而求出，根据等边对等角、三角形外角的性质等知识可得出，则，然后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：过点D作，交于点H． ∵在等腰中，，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：．证明如下： 过点A作，且，连接，， ∵在等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、G三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， 此时，过A作于E，过G作于F， 则和都是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $