2025-2026学年人教版数学八年级下册期末考前解答题专项训练

**基本信息** 聚焦八年级下册核心知识，通过15道解答题系统整合代数变形、几何证明、函数探究及统计分析，以题载法培养推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数变形与求值|2题（1,9）|配方法、分式化简技巧|从概念到代数式恒等变形，构建代数推理链条| |几何证明与计算|6题（2-5,7,8）|对称平移、翻折变换、动态分类讨论|以平行四边形、正方形为载体，强化空间观念与逻辑推理| |函数图象与性质|4题（10,13-15）|数形结合、函数建模|从“数”“形”双维探究一次函数、绝对值函数，培养数学眼光| |统计与数据分析|3题（11,12）|数据描述（平均数/中位数/众数）|通过实际情境分析数据，发展数据意识与应用能力|

2025-2026学年数学八年级（人教版）下册 期末考前解答题训练参考答案及其解析 1．(1)(2) 【分析】（1）利用分母有理化化简即可； （2）先利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ； ，， ， ． 2．(1)四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2)， 【分析】（1）由平行四边形的性质，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义可得，可得，可得，即可得出结论； （2）由菱形的性质得到，，，可得，利用勾股定理可得，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 3．(1)(2)的值为，，(3)或 【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分3种情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置，分2种情况利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得． （2）解：在中，， 根据勾股定理，得， 若，则 ，解得； 若，则， 解得； 若，则，解得． 答：当为等腰三角形时，t的值为，，． （3）解：①点Q在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示： 则， ∴，， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点Q在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示： 同①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 4．(1)见解析(2)存在，5或8或18或 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识点． （1）先根据非负数性质求解，再由勾股定理逆定理求解即可； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ ，， ， ∴， ∴ 是直角三角形 （2）解：存在， ①时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点， ∵ ∴； ②时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点、， ∴；； ③时，作的垂直平分线交直线于点，设，则 ∵， ∴， ∴ 解得，即 综上：的值为5或8或18或． 5．(1)垂直(2)9(3)当或或时，是直角三角形 【分析】（1）根据翻折变换的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到结论； （2）根据三角形的面积公式求出的边上的高，根据轴对称变换的性质解答； （3）分、、三种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【详解】（1）解：由翻折变换的性质可知，，， ． ∴与的位置关系是垂直． （2）解：如图，连接，， ，， 是的垂直平分线， ∴点与点关于直线成轴对称， ∴， ∴． ∴的最小值就是的最小值， 即：当、点在上时，取最小值，最小值为的边上的高， 的面积为36，， 的边上的高为， 的最小值为9． （3）解：①如图1，当时，． ∵由翻折变换的性质可知，， ． ， ，， ∴四边形的平行四边形， ， ． ②如图2，由翻折变换的性质可知，当时，． ③如图3，当时， ， ， ， ， ∴当时，． 综上所述，当或或时，是直角三角形． 6．(1)(2)(3)或(4) 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）先求出，，则轴，故线段上点的横坐标为2，且坐标轴的范围为，即可求解； （3）由题意得，，，此时轴，且纵坐标的范围为，再分两种情况讨论求解即可； （4）由图可知，当在线段上时，的最小值保持不变，，最小值为平行线间的距离，据此求出a的范围即可． 【详解】（1）解：将点进行“1型相反平移”后的对应点的坐标为，即； （2）解：由题意得，，，即， ∴轴， ∴线段上点的横坐标为2，且纵坐标的范围为， ∴点在线段上 （3）解：由题意得，，， ∴此时轴，且纵坐标的范围为， 当线段与轴有公共点，即与轴重合，则 解得； 当线段与轴有公共点，则， 解得， 综上：a的取值范围是或； （4）解：点进行“a型相反平移”后得到的对应点为，可知点的横纵坐标和为， 由图可知，当在线段上时，的最小值保持不变，，最小值为平行线间的距离， 当时，解得；当，解得 ∴此时． 7．(1)解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3)解：补全图形如下： 【分析】（1）连接，可证明，得到；根据四边形内角和定理和平角的定义可证明，则可证明，得到，据此可证明； （2）过点E作于H，求出，由三线合一定理得到，证明是等腰直角三角形，得到，再由勾股定理可得答案； （3）先根据题意补全图形，可证明B、D、N三点共线；可证明，由折叠的性质可得，，即；过点M作，过点N作，垂足分别为G、W，证明，再证明都是等腰直角三角形，可推出；过点E作于P，延长交于Q，连接，则四边形是矩形，由（2）可知，则，进而可求出；过点M作于H，则，由等面积法可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点E作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（1）可得， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：补全图形略： 连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴B、D、N三点共线； 由（1）可得， 又∵， ∴， 由折叠的性质可得，，即； 如图所示，过点M作，过点N作，垂足分别为G、W， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点E作于P，延长交于Q，连接，则四边形是矩形， ∴，， 由（2）可知， ∴， 同理可证明是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图所示，过点M作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 8．(1)证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】连接，证明即可求证； 连接，可证四边形和四边形都是矩形，即得，，进而得到，即可求解； 连接，由轴对称的性质可得，，，，进而可证三点共线，设，则，得到，即得，得到，，再由得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 同理可得， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接 ， 由轴对称的性质可得，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 三点共线， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 9．(1)；(2)当取到最大值，最大值为(3) 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）根据题意得出，仿照例题求得分母的最小值，进而求得函数的最大值； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为； ∵， ∴ ∴ 令， ∴ ∴当且仅当， ∵， ∴时，函数取到最小值，最小值为； （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时， 故． 10．(1)一切实数(2)(3)见解析(4)2；(5) 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）根据二次根式有意义条件得，求解即可； （2）把代入中，求出值即为值； （3）用描点法作出函数图象即可； （4）①根据函数的图象与直线有两个交点，可得方程有2个解，； ②根据函数图象可得，当时，y的取值范围是； （5）由题意，结合（2）可得，分析函数的性质，得到在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，从而可求出的范围． 【详解】（1）解：由二次根式有意义条件，得， 解得：为一切实数， ∴函数中自变量的取值范围是一切实数． 故答案为：一切实数； （2）解：把代入中得：， ∴， 故答案为：． （3）解：函数的图象如图所示： （4）解：如图， ∵函数的图象与直线有两个交点， ∴方程有2个解， 故答案为：； 由图可得：当时，， 当时，， 当时，， ∴根据函数图象可得，当时，y的取值范围是． 故答案为：2；； （5）解：对于函数的图象的对称轴是直线，当时，随的增大而减小，而时，随的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小． ∵对于，都有， ∴，在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧， ∴恒成立， ∴． 故答案为：． 11．(1)；，(2)剂量更适合番茄苗的生长．理由：∵剂量组中番茄苗生长高度的中位数大于剂量组中番茄苗生长高度的中位数．∴剂量更适合番茄苗的生长． (3)估计一共需要加大剂量施肥的番茄苗有株 【分析】（1）计算剂量组中番茄苗生长高度在各区间的数量，根据中位数的定义可得a，根据众数的定义可得b，根据剂量组中番茄苗生长高度在各区间的百分比之和等于1，可得m； （2）比较中位数的大小即可； （3）用两种剂量的番茄苗总数分别乘以对应的长度在A区间所占的比例，相加即可． 【详解】（1）解：剂量组中番茄苗生长高度在区间的数据个数为：（个）； 剂量组中番茄苗生长高度在区间的数据个数为6个，两区间共有14个数据， 20个数据按从小到大排列最中间的两个数据为第10，11个，即10，11， 故中位数； ∵剂量组中番茄苗生长高度的数据中，出现次数最多的为12， ∴， ∵B区间番茄苗生长高度的数据中，所占百分比为， ∴， ∴； （2）略 （3）解：（株）， 答：估计一共需要加大剂量施肥的番茄苗有700株 12．(1)；；；甲校成绩统计表和乙校条形统计图补充见解析 (2)平均分，中位数；乙校成绩较好 (3)甲校 【分析】（1）由得“分”的人数除以占的百分比求出乙校参赛的总人数，即可得出“分”的人数；由于两校参赛人数相等，用“分”的人数除以参赛的总人数再乘以即可得到“分”所在扇形的圆心角，根据总人数减去其他人数求出甲校得“分”的人数； （2）根据平均数求法得出甲的平均；把分数从小到大排列，利用中位数的定义解答． （3）根据得“分”的人数解答即可． 【详解】（1）解：参赛的总人数为：（人）， 图中，“分”所在扇形的圆心角为：， 图中，“分”的人数为：（人）， 甲校中，“分”的人数为：（人） 则甲校统计图表补充如下： 分数 分 分 分 分 人数 乙校统计图补充如下：    故答案为：；； （2）甲校的平均分为：（分）， 分数从低到高，第人与第人的成绩都是分， ∴中位数为：（分）， ∵两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数， ∴从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好． （3）∵要选名学生参加洛阳市汉字听写大赛，甲校得分的有人，众数为分，而乙校得分的只有人，众数为， ∴应选甲校． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及平均数、中位数和众数等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 13．(1)，，(2)或(3) 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点情况求解，即可解题； （2）当直线过一、三象限时，根据面积关系得到，设，进而得到点M的坐标为，点N的坐标为，将其分别代入直线解析式中得到求解；当直线过二、四象限时，此时两点重合于直线与直线的交点，求出点P的坐标，即可解题； （3）过点作，交于点，过点作轴，过点作轴，证明，得到，，设，，，，进而得到，将其代入直线求出值，得到，将代入求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线分别交x轴、y轴于A、B两点， 当时，， 当时，， A的坐标为，B的坐标为， 直线分别交x轴、y轴于C、D两点． 当时，， D的坐标为； （2）当直线过一、三象限时， ，，， ， ， 设， 直线过点M，点N， 点M的坐标为，点N的坐标为， 当时，直线交直线于点M，交直线于点N， ， 解得， 即的值为； 当直线过二、四象限时，如图， ，，， 此时两点重合于直线与直线的交点， ， 解得：， ， 当时，直线交直线与直线于点P， ， 解得：， 即的值为或； （3）解：过点作，交于点，过点作轴，过点作轴， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， 设， ，，， ， ， 解得， ， ， 解得． 14．(1)(2)见解析(3)②④(4) 【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，把代入解析式，即可求得a的值； （2）描点、连线，画出函数图象即可； （3）根据图象即可判断； （4）可知点和关于直线对称，则，结合，解得，再结合（2）的函数图象可得m的取值范围是． 【详解】（1）解：把点和代入得 ， 解得， ∴该函数的解析式为， 把代入得，， ∴； （2）解：根据表格描点连线，画出函数图象如图： （3）解：结合函数的图象， ①函数图象关于直线对称，故错误； ②当时，随的增大而增大，故正确； ③当时，或，故错误； ④函数图象与轴围成图形的面积为，故正确． （4）解：函数图象上有两点和， ∴点和关于直线对称， ∴，即， ∵， ∴， 解得， 当时，， 当时，， 当时，， ∴结合（2）的函数图象可得m的取值范围是． 15．(1)； (2)①；② (3)①；②5或20 【分析】（1）将，分别代入，即可求解； （2）①用含m的式子表示出点E，F的纵坐标，作差即可；②根据求解； （3）过点P作轴于点H，设点P的坐标为，由轴对称得，进而证明，推出，即可求解；②令直线交y轴于点N，根据求出点D坐标，有两种情况，一是点D在的内部，二是点D在的外部，分别用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 当时，， 解得， ，； （2）解：①点E的横坐标为m，点E是线段上的一个动点， ， 轴交直线于点F， ， 点E在点F上方， ； ② ， 即； （3）解：①如图，过点P作轴于点H，，交于点G， 点P在直线上， 设点P的坐标为， ，， 把沿直线翻折得到， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ， ， ， 解得， 点P的坐标为； ②令直线交y轴于点N， 与x轴平行， ， ，，点M为的中点， ， ， 设点， 由折叠得， ， 解得或， 当时，，点D在的内部，如图： 设，则，， 在中，， ， 解得， 即； 当时，，点D在的外部，如图： 同理，设，则，， 在中，， ， 解得， 即； 综上可得，的长为5或20． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学八年级（人教版）下册 期末考前解答题训练 1．某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 2．如图，在中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G．    (1)连接，猜想四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 3．已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，当时，求的长度．（结果保留根号） (2)如图，为等腰三角形时，求的值． (3)如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，． 4．如图，的顶点，，所对的边分别为，，． (1)若，试说明是直角三角形； (2)在（1）的条件下，边所在的直线上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知，将沿所在的直线折叠至的位置，连接． (1)直接填空：与的位置关系是 ； (2)点、分别是线段、上的两个动点（不与点、、重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 6．对于平面直角坐标系中的图形Q和图形Q上的任意点，给出如下定义： 将点平移到称为将点P进行“a型相反平移”（其中，a，b互为相反数），点称为将点P进行“a型相反平移”的对应点；将图形Q上的所有点进行“a型相反平移”称为将图形Q进行“a型相反平移”． 例如，将点平移到称为将点P进行“1型相反平移”，将点平移到称为将点P进行“型相反平移”． 已知点和点． (1)将点进行“1型相反平移”后的对应点的坐标为_________； (2)将线段进行“型相反平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是__________________； (3)若线段进行“a型相反平移”后与坐标轴有公共点，则a的取值范围是____________； (4)已知点，，点H是线段上的一个动点，将点M进行“a型相反平移”后得到的对应点为，画图、观察、归纳可得，当a的取值范围是____________时，的最小值保持不变． 7．如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． (1)如图1，若点F在线段上，写出与的数量关系并加以证明； (2)若，，求的值； (3)如图3，若点F在线段上，，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点I，请按题意画出图形，探究当时，的值是多少？ 8．已知：点 、、 、 分别是四边形 的边 、 、 、 上的点，且点 、、 、 不与四边形 的顶点重合． (1)如图，如果四边形与四边形都是平行四边形，求证：； (2)如图，如果四边形与四边形都是矩形，且 ，求的值； (3)如图，如果四边形与四边形都是正方形，且 、 、 、 所在直线为对称轴，作 、 、 、的对称点、、、，如果，，求的面积（简要写出主要的解题思路即可）． 9．阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数最小值为 ，已知，则函数的最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 10．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． (1)函数中自变量的取值范围是___________； (2)如表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 4 5 6 ．．． ．．． 4 2 1 2 3 4 ．．． 直接写出表格中的值是___________； (3)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； (4)结合函数图象，解决问题： ①方程有___________个解； ②当时，的取值范围是___________； (5)进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是___________． 11．【问题背景】某生物兴趣小组探究施肥量对番茄苗生长高度的影响：随机选取40株长势完全相同的番茄苗，平均分成两组（每组20株），一个组施加剂量肥料，另一个组施加剂量肥料． 【实践发现】一周后，同学们对两组番茄苗的生长高度进行了测量（番茄苗生长高度用表示，单位为厘米，分为四组：A．；B．；C．；D．）下面给出部分信息： 剂量组中番茄苗生长高度在区间的数据为：，，，，，． 剂量组中番茄苗生长高度的数据为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【分析数据】 两种剂量组中番茄苗生长高度统计表 剂量 平均数 12 12 中位数 12 众数 13 剂量组中番茄苗生长高度扇形统计图 【解决问题】 (1)上述图表中________，________，________； (2)请判断哪种剂量更利于番茄苗的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） (3)种植基地用剂量培育株，剂量培育株番茄苗．一周后，生长高度低于厘米的植株需要加大剂量施肥，估计一共需要加大剂量施肥的番茄苗有多少株？ 12．甲乙两校参加我县教育局举办的年学生汉字听写大赛，且两校参赛人数相等．比赛结束后，学生成绩分别为分、分、分、分满分为分，依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表： 分数 分 分 分 分 人数 ______    (1)在图中，“分”所在扇形的圆心角等于______；请你将甲校成绩统计表和图的乙校成绩条形统计图补充完整； (2)经计算，乙校的平均分是分，中位数是分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好； (3)如果县教育局要组织一个人的代表队参加洛阳市汉字听写大赛，为了便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 13．如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，直线分别交x轴、y轴于C、D两点． (1)直接写出A、B、D的坐标； (2)当时，直线交直线于点M，交直线于点N，当时，求的值； (3)如图2，直线交直线于点E，当时，，求k的值． 14．【初步探究】—某同学类比一次函数的学习进一步对函数的图象与性质进行了探究．请根据下表探究过程中的部分信息，完成下列问题： … 0 1 2 3 … … 2 1 0 0 … (1)求的值； (2)在图中画出该函数的图象． 【数学思考】 (3)结合函数的图象，下列说法正确的是：_____（填所有正确序号） ①函数图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大； ③当时，；④函数图象与轴围成图形的面积为4． 【深入探究】 (4)函数图象上有两点和，当时，直接写出的取值范围． 15．如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，过点A的另一条直线与y轴交于点N，点E是线段上的一个动点，点C为射线上一点． (1)求点A，B的坐标． (2)如图1，过点E作轴交直线于点F，设点E的横坐标为m． ①用含有m的式子表示线段的长； ②若的面积为S，求S与m之间的函数关系式； (3)把沿直线翻折得到． ①如图2，当点D在的内部时，连结并延长交于点P．若，求点P的坐标． ②如图3，点M为的中点，连结，当与x轴平行时，请直接写出的长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $